De HSG Toan 820162017 48

Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi An lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n n  N hoÆc n  Z a/ Để chứng minh An chia hết cho m ta phân tích An thành tích trong đó cã mét thõa sè lµ m + Nếu m là[r]

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số a – biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a  b)2 = a2  2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = 2 = a1  a   a n  2(a1a  a1a   a1a n  a 2a   a 2a n   a n  1a n ) ; (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b); (a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II B¶ng c¸c hÖ sè khai triÓn (a + b)n Tam gi¸c Pascal §Ønh Dßng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, Khai triÓn (x + y) n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè dßng thø n cña b¶ng trªn Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng n không quá lớn Chẳng hạn, với n = thì : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II C¸c vÝ dô VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z]– – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y) + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) b) c) d) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ Chứng minh các đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : 3 3 A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) 2 = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) 2 = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = nªn x + y = –z  (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 Mµ x + y = (x + y) – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 5 Suy : 2(x + y + z ) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Bµi tËp Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + ; c) x12 + ; Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 2 Cho a – b = 4c Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a b = x y 2 2 a) Chøng minh r»ng nÕu (a + b )(x + y ) = (ax + by) vµ x, y kh¸c th× 2 2 2 b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) vµ x, y, z kh¸c a b c = = x y z th× Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) 10.Chứng minh các đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 11 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945 13 Hai sè a, b lÇn lît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 14 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số a – biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô 3n +1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè 5n + lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; n2 + A= n + (nN) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 b) Cho ph©n sè cho phân số A cha tối giản Tính tổng tất các số tự nhiên đó Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay  d  d = 3n +1 VËy ph©n sè 5n + lµ ph©n sè tèi gi¶n 29 29 A=n- 5+ n + §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè n + ph¶i cha tèi gi¶n b) Ta cã Suy n + ph¶i chia hÕt cho mét c¸c íc d¬ng lín h¬n cña 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n +  29  n + = 29k (k  N) hay n = 29k – Theo điều kiện đề bài thì ≤ n = 29k – < 2009  ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng các số này là : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 1 1 + + = VÝ dô Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iÒu kiÖn a b c a + b + c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ đó suy : 1 1 + + = a 2009 b 2009 c2009 a 2009 + b 2009 + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 + + = + + =0 Ta cã : a b c a + b + c  a b c a + b + c a +b a +b c(a + b + c) + ab + =0 (a + b) =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c)   éa + b = éa =- b ê ê êb + c = êb =- c ê ê êc + a = êc =- a  (a + b)(b + c)(c + a) =  ë ë  ®pcm 1 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 2009 2009 b c a (- c) c a Từ đó suy : a a 2009 +b 2009 +c 2009 = a 2009 1 = 2009 2009 2009 + (- c) + c a + + = b c a + b + c2009  a VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc : ö æ 1ö æ 1÷ æ 1ö ÷ ç ç ç A= + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ (a + b)4 è ÷ ça b ÷ ça b ø èa b ø ø (a + b)5 è (a + b)3 ç Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a +b S 1 a + b S - 2P + = = ; 2+ 2= 2 = ; ab P a b ab P2 Do đó : a b 1 a + b S - 3SP + = 3 = a b3 ab P3 S - 3SP S - 2P S + + P3 S P2 S P Ta cã : A = S = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 = 3 ab Hay A = P VÝ dô Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) = Ax2 – Bx + C 1 A= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; víi : 2009 2009 2009 2009 2009 a +b b +c c +a + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) B= A= b - a +c - b +a - c =0 (a - b)(b - c)(c - a) ; Ta cã : (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) B= (a - b)(b - c)(c - a) b - a + c2 - a + a - c2 = =0 (a - b)(b - c)(c - a) ; ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = =1 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1x (®pcm) C¸ch Đặt P(x) = S(x) – thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá Do đó, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) =  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x) §iÒu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = x Suy S(x) = x  ®pcm x + =3 x VÝ dô Cho TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 A = x2 + B = x3 + C = x4 + D = x5 + x ; x ; x ; x a) b) c) d) Lêi gi¶i æ 1ö A = x2 + = ç x+ ÷ ÷ ç ÷- = - = ç è ø x x a) ; C= ö æ 1÷ ö æ 1÷ ç B = x + =ç x+ ÷ x + = 27 - = 18 ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø x x x b) ; æ2 ö C = x4 + = ç x + 2÷ ÷ ç ÷- = 49 - = 47 ç è ø x x c) ; 3 æ2 ö æ3 ö 1 ÷ ç A.B = ç x + 2÷ x + = x + + x + = D +3 ÷ ÷ ç ç ÷ç ÷ ç è ø è ø x x x x d)  D = 7.18 – = 123 ax + b c = + 2 Ví dụ 10 Xác định các số a, b, c cho : (x +1)(x - 1) x +1 x - Lêi gi¶i ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x +1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) + = = 2 x + x (x + 1)(x 1) (x +1)(x - 1) Ta cã : 2 Đồng phân thức trên với phân thức (x +1)(x - 1) , ta đợc : ìï a + c = ï ïí b - a = Û ïï ïîï c - b = ìï a =- ï ïí b =- - x- 1 ïï = + ïîï c = VËy (x +1)(x - 1) x + x - Bµi tËp n + 2n - P= n + 2n + 2n + 16 Cho ph©n thøc a) Rót gän P ; b) Chứng minh n là số nguyên thì giá trị phân thức tìm đợc câu a) t¹i n lu«n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n 17 a) Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n : 12n +1 ; 30n + n n + 2n ; n + 3n +1 2n +1 2n - n + n +1 b) Chøng minh r»ng ph©n sè n + n +1 kh«ng tèi gi¶n víi mäi sè nguyªn d¬ng n2 + c) TÝnh tæng c¸c sè tù nhiªn n nhá h¬n 100 cho n + lµ ph©n sè cha tèi gi¶n 18 TÝnh c¸c tæng sau : 2n +1 A= + + + 2 (1.2) (2.3) [n(n +1)]2 ; a) 1 1 + + + + 2n +1 + +1 +1 ; b) 1 1 C= + + + 1.4 4.7 7.10 (3n +1)(3n + 4) ; c) 1 D= + + + 1.3 2.4 n.(n + 2) ; d) B =1 + E= e) 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n - 1)n(n +1) ; F= f) 1.2! 2.3! n.(n +1)! + + + 2 2n (k! = 1.2.3…k) (a + b + c2 )(a + b + c)2 + (bc + ca + ab)2 A= (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) 19 Rót gän : (a + 2b)3 - (a - 2b)3 3a + 7a 2b + 3b B= : 3 (2a + b) (2a b) 4a + 7a b + 3b 20 Rót gän : 21.Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh : x - yz y - zx z - xy + + y +z z +x x +y 1+ 1+ 1+ x y z ; a) a(a + b) a(a + c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a- b a- c + b- c b- a + c- a c- b 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 1+ 1+ 1+ (a b)(a c) (b c)(b a) (c - a)(c - b) ; b) c) a + b - 2c b + c - 2a c + a - 2b + + 3 (a - b) (c - a)(c - b) (b - c) (a - b)(a - c) (c - a) (b - c)(b - a) + + + 3 3 3 a - b a + ab + b b - c b + bc + c c - a c + ca + a 3a - 2b 3b - a + 2a + b- ; 22 a) BiÕt a – 2b = 5, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 5a - b 3b - 3a Q= 3a + 2b - ; b) BiÕt 2a – b = 7, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2a - b 5b - a R= + 3a - b 3a + b c) BiÕt 10a2 –3b2 + 5ab = vµ 9a2 – b2 ≠ 0, h·y tÝnh : 23 Cho a + b + c = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 A= + + 2 2 a +b - c b +c - a c + a2 - b2 ; a) P= a2 b2 c2 B= + + 2 2 a b c b c a c - a2 - b2 ; b) 1 1 + + + + A 1(2n - 1) 3(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 = 1 B + + + + 2n - 24.Rót gän biÓu thøc : a b c a2 b2 c2 + + =1 + + =0 25.Cho b + c c + a a + b Chøng minh r»ng b + c c + a a + b a b c + + =0 x y z 26 Cho a + b + c = 0, x + y + z = vµ Chøng minh r»ng 2 ax + by + cz2 = 1 27 Cho x2 – 4x + = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc A = x5 + x vµ B = x7 + x x2 x2 x = 2008 M= N= x + x +1 vµ x - x +1 28 Cho x - x +1 TÝnh a - a - a - a2 = a3 = a n = n- a1 + ; a +1 ; … ; a n- + 29 Cho d·y sè a1, a2, a3, … cho : a) Chøng minh r»ng a1 = a5 b) Xác định năm số đầu dãy, biết a101 = 108 Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử I- Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a, x  x  d, x  13 x  36 b, x  x  e, x  x  18 c, x  x  f, x  x  24 g , 3x  16 x  h, 8x  30 x  i, 2x  x  12 k, 6x  x  20 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x3  x  x  2, x  x  3, x  x  x  4, x3  x  5, x3  x  x  16 6, 4x  13 x  x  18 7, x  x  x  8,  x  x  x  9, 6x3  x  486 x  81 10, x  x  11, x  x  12, x  x  3x  13, x  x  17 x  10 14, x  x  x  15, x  x  16, 2x  12 x  17 x  17, x3  x  18, x  x  x  19, x  x  26 x  24 20, 2x3  x  x  21, 3x  14 x  x  22, x  x  x  x  II- Ph¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, (1  x )2  x(1  x ) 2,  x    36 3, x  4, x  64 5, 64x  6, 81x  7, 4x  81 8, 64x  y 9, x  y 10, x  x 1 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x  x  2, x  x5  3, x5  x 1 4, x5  x  5, x8  x 1 6, x  x  7, x  x  8, x10  x  III- Phơng pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x  4)( x  6)( x  10)  128 2, (x 1)( x  2)( x  3)( x  4)  24 3, ( x  x  8)2  3x( x  x  8)  x 4, ( x  x)  x  x  12 5, x  xy  y  x  y  15 6, (x  a)( x  2a)( x  3a)( x  4a)  a 7, x  11x  8, ( x  x)2  3( x  x)  9, x  xy  y  x  y  10 10, ( x  x)  x 18 x  20 11, x  xy  y  x  y  35 12, (x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  16 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x  x  x  x  2, ( x  y  z )( x  y  z )  ( xy  yz  zx ) IV- Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a, P = x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y ) b, Q =a(b  c  a)2  b(c  a  b)2  c(a  b  c)2  (a  b  c) (b  c  a)(c  a  b) Gi¶i 2 a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y  z )  y ( z  y ) 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh các biến x, y, z) Do đó P đã chúa thùa số x – y thì còng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y) k ( x  y)( y  z )( z  x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta đợc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a(b  c  a )  b(c  a  b)2  c (a  b  c)2  (a  b  c )(b  c  a )(c  a  b) N a(m  a)2  b(m  b)  c(m  c)  abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A (a  b  c)(ab  bc  ca )  abc b) B a (a  2b)3  b(2a  b)3 c)C ab( a  b)  bc(b  c)  ac(a  c) d ) D (a  b)(a  b2 )  (b  c )(b  c )  (c  a )(c  a ) e) E a (c  b )  b3 (a  c )  c3 (b  a )  abc(abc  1) f ) f a (b  c )3  b(c  a )3  c (a  b)3 g )G a 2b (a  b)  b c (b  c)  a c (c  a) h) H a (b  c )  b (c  a )  c (a  b) V-Phong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A  x  x  12 x  14 x  b) B 4 x  x  x  x  c )C 3x  22 xy  11x  37 y  y  10 d ) D x  x  14 x  x  e) E x  8x  63 Bµi tËp: VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : 3 3 A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) 2 = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) 2 = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : f) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; g) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; h) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; i) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; j) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Chuyên đề Iii: Xác định đa thức 1) §Þnh lÝ BªZu: D phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f (x)=( x − a) q( x )+ f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thực nh sau: Bớc 1: Chọn giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm f(x) kh«ng Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x)=(x − a) p(x ) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử còn phân tích đợc Sau đó viết kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ Dạng 1: Tìm đa thức thơng phơng pháp đồng hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng VÝ dô: P(x)=ax 2+2 bx −3 ; Q(x)=x2 − x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Ph¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th¬ng vµ d phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn lît lµ M(x) vµ N(x) Khi đó ta có: P( x)=Q(x) M (x )+ N (x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với x nên ta cho x lấy giá trị bất kì : x=α ( α là số) Sau đó ta giải phơng trình hệ phơng trình để tìm các hệ số cña c¸c h¹ng tö c¸c ®a thøc ( §a thøc th¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d) VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gäi th¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã: a2 x 3+3 ax −6 x − a=( x+1).Q(x ) Vì đẳng thức đúng với x nên cho x = -1 ta dược: a=− a=3 −a + a+6 −2 a=0 ⇒ − a2+ a+6=0 ⇒ ¿ Với a = -2 thì A=4 x − x −6 x + , Q( x)=4 x − 10 x + Với a = thì A=9 x +9 x − x − ,Q(x )=9 x − *Ph¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh SGK) Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Cho đa thức A( x) a x  3ax  x  2a(a  Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) x  x  x  thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x  dx  Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x 3+ ax2 +2 x+ b chia hÕt cho ®a thøc: x + x +1 H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x)=x − x +21 x 2+ x +k chia hết cho đa thức: g( x)=x − x −2 Bài 5: Tìm tất các số tự nhiên k đa thức: f (k )=k 3+2 k 2+15 chia hết cho nhị thức: g(k )=k +3 Bài 6: Với giá trị nào a và b thì đa thức: f ( x)=x −3 x +3 x 2+ ax+b chia hết cho đa thức: g( x)=x −3 x +4 Bài 7: a) Xác định các giá trị a, b và c để đa thức: P( x)=x +ax 2+ bx +c Chia hết cho x −¿3¿ b) Xác định các giá trị a, b để đa thức: Q(x)=6 x − x 3+ ax2 +3 x +2 chia hết cho đa thức M (x)=x − x +b c) Xác định a, b để P(x)=x3 +5 x − x+ a chia hết cho M (x)=x + x +b x − ax2 + bx − c=(x −a)( x −b)( x −c ) Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x2 −7 x +a chia hết cho x −3 b) x +ax +1 chia cho x − dư c) ax 5+ x − chia hết cho x −1 Bài 10: Xác định các số a và b cho: a) x +ax 2+ b chia hết cho x − x +1 b) ax 3+ bx +5 x −50 chia hết cho x 2+3 x +10 ¿2 c) ax + bx2 +1 chia hết cho x −1 ¿ d) x +4 chia hết cho x + ax+b Bài 11: Tìm các hăng số a và b cho x 3+ ax+b chia cho x+ thì dư 7, chia cho x − thì dư -5 Bài 12: Tìm các số a, b, c cho ax 3+ bx +c chia hết cho x+ , chia cho x −1 thì dư x+ Bài 13: Cho đa thức: P( x)=x + x − x +ax +b và Q(x)=x2 + x −2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a và b cho đa thức P( x)=ax + bx3 +1 chia hết cho đa thức x −1 ¿ Q(x)=¿ Bài 15: Cho các đa thức P( x)=x − x3 + ax2 +3 x+ và Q( x)=x2 − x +b Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x) Chuyên đề IV: xác định đa thức Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 ta có thể biểu diễn P(x) dạng: P( x)=b0 +b (x −C 1)+b (x −C 1)( x −C 2)+⋯+b n (x −C 1)( x −C 2) ⋯(x −C n ) Bằng cách thay x các giá trị C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 P(x) ta tính các hệ số b0 , b1 , b2 ,⋯ , bn vào biểu thức Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25 , P(1)=7 , P(2)=− Giải Đặt P( x)=b0 +b x +b2 x ( x −1) (1) Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: b 0=25 7=25+ b1 ⇔b1=−18 −9=25 −18 2+ b2 ⇔ b 2=1 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P( x)=25 −18 x+ x (x −1)⇔ P (x)=x −19 x+25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0)=10 , P(1)=12 , P(2)=4 , P(3)=1 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b x +b2 x ( x −1)+b3 x ( x −1)(x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x − 1),( x − 2),( x −3) dư và P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b ( x −1)+b2 (x −1)(x −2)+b3 ( x −1)(x − 2)( x −3) (1) P(−1)=0 Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P( x)− P( x −1)=x (x +1)(2 x +1),(1) a) Xác định P(x) ❑ b) Suy giá trị tổng S=1 3+2 5+…+n (n+1)(2n+ 1),(n ∈ N ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P(−1)− P(−2)=0⇔ P(−2)=0 , P(0)− P(−1)=0 ⇔ P (0)=0 P(1)− P(0)=1 ⇔ P(1)=6 P(2)− P(1)=2 5⇔ P(2)=36 P( x)=b0 +b (x+1)+b2 ( x +1)x +b3 ( x +1)x (x −1)+ b4 (x +1)x ( x −1)( x −2) (2) Đặt Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 0=b0 0=b ⇔ b1=0, 6=b2 1⇔ b2=3, 36=3 2+ b3 1⇔ b3=3 0=3.( −1)( −2)+ 3.(− 1)(− 2)(−3)+b4 (−1)(−2)(−3)(− 4)⇔ b 4= Vậy, đa thức cần tìm có dạng: x+1 ¿ (x +2) 1 P( x)=3(x +1) x+ 3(x +1) x (x −1)+ ( x +1)x (x − 1)( x −2)= x ¿ 2 (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P(x)=ax 2+ bx +c ,(a , b , c ≠ 0) Cho biết a+3 b+6 c=0 1) Tính a, b, c theo P(0) , P , P(1) 2) Chứng minh rằng: () P(0) , P ( ) , P(1) Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: Chuyên đề V: Tớnh không thể cùng âm cùng dương P (0)=19 P(1)=85 P(2)=1985 chia hết với số nguyên Kiến thức cần nhớ Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n  N hoÆc n  Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích đó cã mét thõa sè lµ m + Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI nguyên tố cùng chứng minh A(n) chia hết cho tất các số đó + Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cña k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp mµ sè nguyªn liªn tiÕp: Tån t¹i mét béi sè cña (nªn A  ) Tån t¹i mét béi cña (nªn A  ) Tån t¹i hai béi cña (nªn A  ) Tồn bội đó có bội (nên A  16) Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố cùng  A 5.7.9.16= 5040 VÝ dô 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 –a chia hÕt cho b/ a5-a chia hÕt cho Gi¶i: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)  C¸ch 1: Ta xÕt mäi trêng hîp vÒ sè d chia a cho NÕu a= k (k  Z) th× A 5 (1) NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k2 1) -1 = 25k2  10k 5  A 5 (2) NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k 2)2 + = 25 k2 20k +5  A 5 (3) Tõ (1),(2),(3)  A 5,  n  Z C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Mét sè h¹ng lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) 5 Do đó a5-a 5 * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a 5-a vµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5  a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5  a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 hiÖu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa ta cßn sö dông c¸c h»ng đẳng thức: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (H§T 9) - Sö dông tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 3 1 … Mỗi dòng bắt đầu và kết thúc Mỗi số trên dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền trên cộng với số bên tr¸i cña sè liÒn trªn Do đó: Với  a, b  Z, n  N: an – bn chia hÕt cho a – b( a b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16 n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, k  N th×: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – = 255 17 VËy A 17 - NÕu n lÎ th× : A = 16n – = 16n + – mµ n lÎ th× 16n + 16+1=17 (H§T 9)  A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1) n – = BS17 +(-1)n – (theo c«ng thøc Niu T¬n) - NÕu n ch½n th× A = BS17 + – = BS17 chia hÕt cho 17 - NÕu n lÎ th× A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n,  n  N d/ Ngoài còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hÖ chia hÕt  VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004 ….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d chia cho 2003 Gọi hai số đó là am và an (  n <m 2004) thì am - an 2003 Ta cã: am - an = 2004 2004……2004 000…00 m-n nhãm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 104n m-n nhãm 2004  mµ am - an 2003 vµ (104n , 2003) =1 nªn 2004 2004……2004 2003 m-n nhãm 2004 T×m sè d * VD1:T×m sè d chia 2100 a/ cho b/ cho 25 Gi¶i: a/ Luü thõa cña s¸t víi béi cña lµ 23 = = – Ta cã : 2100 = 299= (23)33 = 2(9 – )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n) = BS9 – = BS9 + VËy 2100 chia cho d b/ Luü thõa cña gÇn víi béi cña 25 lµ 10 = 1024 =1025 – Ta cã: 2100 =( 210)10 = ( 1025 – )10 = BS 1025 + = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n) VËy 2100 chia cho 25 d * VD2: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 51994 viÕt hÖ thËp ph©n Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 1994 = 4k + vµ 54 = 625 Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 n©ng lªn luü thõa nguyªn d¬ng bÊt k× vÉn tËn cïng b»ng 0625 Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k 52 = 25 (0625)k = 25 (…0625)= …5625 - C¸ch 2: T×m sè d chia 51994 ch 10000 = 24.54 Ta thÊy 54k – = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – = (52 + 1) (52 - 1) 16 Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – = (54)497 – chia hÕt cho 16  ( 51994)3 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625  51994 = BS10000 + 15625  51994 chia cho 10000 d 15625 VËy ch÷ sè tËn cïng cña 51994 lµ 5625 T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt * VD1: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biÓu thøc B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Gi¶i: n3 + 2n2- 3n + n2 – n n3 – n n+3 3n2 - 3n + 3n2 – 3n 2 Ta cã: n3 + 2n2- 3n + = (n2 – n)(n + 3) + n  n Do đó Giá trị A chia hết cho giá trị B  n2 – n  Ư(2)  chia hÕt cho n(n – 1)  chia hÕt cho n Ta cã b¶ng: n n–1 n(n – 1) thøc B 0 Lo¹i VËy víi n = -1, n = th× gi¸ trÞ cña biÓu -1 -2 -2 -3 2 T/m T/m Lo¹i thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu  VD 2: T×m sè nguyªn n dÓ n5 + chia hÕt cho n3 + Gi¶i: n5 + n3 +  n5 + n2 – n2 + n3 +  n2(n3 + 1)- ( n2 – 1)   n3 +  (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)  n – n2 – n +  n(n – 1) n2 – n + Hay n2 – n n2 – n +  (n2 – n + 1) – n2 – n +  n2 – n + XÐt hai trêng hîp: + n2 – n + =  n2 – n =  n(n – 1) =  n = 0, n = thö l¹i thÊy t/m đề bài + n2 – n + = -  n2 – n + = , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n  VD 3: T×m sè tù nhiªn n cho 2n - chia hÕt cho Gi¶i: Ta cã luü thõa cña gÇn víi béi cña lµ 23 = = + NÕu n = 3k (k  N) th× 2n - 1= 23k – = (23)k – = k - 1k 8 – = NÕu n = 3k + 1(k  N) th× 2n - = 23k+1 – = 8k – 1= 2(8k – 1) + = BS7 +  2n - kh«ng chia hÕt cho NÕu n = 3k +2(k  N) th× 2n - = 23k+2 – 1= 4.23k – = 4( 8k – 1) + = 4.BS7 +  2n - kh«ng chia hÕt cho VËy 2n - 7  n = 3k (k  N) Chuyên đề V: Tớnh chia hết với số nguyên Bµi tËp Bµi 1: Chøng minh r»ng: a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n b/ n4 – 10n2 + chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ Gi¶i a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8 b/ n4 – 10n2 + = n4 – n2 – 9n2 + = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lÎ, n = 2k +1, ta cã: n4 – 10n2 + = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + – 3)( 2k + +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bµi 2: Chøng minh r»ng a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n b/ 32n – chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn d¬ng n Gi¶i: Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1) Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = XÐt c¸c trêng hîp: + Víi n = 2k  A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Víi n = 2k +1  A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a  để chứng minh A 9 VËy A 8.9 hay A 72 Bµi 3: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n Chøng minh r»ng a – chia hÕt cho 24 Gi¶i: V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n nªn a lÎ  a2 lµ sè chÝnh ph¬ng lÎ  a2 chia cho d  a2 – chia hÕt cho (1) MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n  a kh«ng chia hÕt cho  a2 lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng chia hÕt cho  a2 chia cho d  a2 – chia hÕt cho (2) Mµ (3,8) = (3) Tõ (1), (2), (3)  a2 – chia hÕt cho 24 Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho th× a6 -1 chia hÕt cho Gi¶i: Bài toán là trờng hợp đặc biệt định lý nhỏ Phéc ma: - D¹ng 1: NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn th× a p – a chia hÕt cho p - D¹ng 2: NÕu a lµ mét sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× a p-1-1 chia hÕt cho p ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) NÕu a = 7k 1 (k  N) th× a3 = ( 7k  1)3 = BS7   a3 - 7 NÕu a = 7k 2 (k  N) th× a3 = ( 7k  2)3 = BS7  23 = BS7   a3 - 7 NÕu a = 7k 3 (k  N) th× a3 = ( 7k  3)3 = BS7  33 = BS7  27  a3 + 7 Ta lu«n cã a3 + hoÆc a3 – chia hÕt cho VËy a6 – chia hÕt cho Bµi 5: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn th× (n-1)n(n + 1) chia hÕt cho 504 Gi¶i: Ta có 504 = 32 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng đôi Vì n là lập phơng số tự nhiên nên đặt n = a3 CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504 Ta cã: + NÕu a ch½n  a3 chia hÕt cho NÕu a lÎ  a3-1vµ a3 + lµ hai sè ch½n liªn tiÕp  (a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho VËy A 8 , 19a9  n  N (1) + NÕu a 7  a3 7  A 7 NÕu a kh«ng chia hÕt cho th× a6 – 7  (a3-1) (a3 + 1) 7(§Þnh lÝ PhÐc ma) VËy A 7 ,   n  N (2) + NÕu a 3  a3 9  A 9 NÕu a kh«ng chia hÊe cho  a = 3k 1  a3 = ( 3k  3)3= BS9 1  a3 – = BS9+1 – 9 a3 + = BS9- + 9 VËy A 9 ,   n  N (3) Tõ (1), (2), (3)  A 9 ,   n N Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau là số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 n3  3n c/ Gi¶i: a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > nªn 3n – > Ta lại có: 3n – < 4n +5(vì n  0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngyên tố thì thừa sè nhá ph¶i b»ng hay 3n – =  n = Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố VËy víi n = th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố n3  3n c/ A = Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) 4 Hai sè n vµ n + kh«ng thÓ cïng ch½n VËy hoÆc n , hoÆc n + chia hÕt cho - NÕu n = th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n = th× A = 7, lµ sè nguyªn tè -NÕu n = 4k víi k  Z, k > th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hîp sè - NÕu n + = th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + = 4k víi k  Z, k > th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hîp sè n3  3n VËy víi n = th× lµ sè nguyªn tè Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cña hai b¹n Một ngày thập kỷ cuối cùng kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai häc sinh Ngêi kh¸ch hái: - Cã lÏ hai em b»ng tuæi nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: - Kh«ng, em h¬n b¹n em mét tuæi Nhng tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh mçi chóng em là số chẵn - Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không? Ngời khách đã suy luận nào? Gi¶i: Ch÷ sè tËn cïng cña n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ vµ v× trêng hîp ngùoc l¹i th× tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm lµ 1, kh«ng thÓ cïng lµ sè ch½n Gäi n¨m sinh cña Mai lµ 19a9 th× +9+a+9 = 19 + a Muèn tæng nµy lµ sè ch½n th× a  {1; 3; 5; 7; 9} HiÓn nhiªn Mai kh«ng thÓ sinh n¨m 1959 hoÆc 1999 VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cña Mai sinh n¨m 1980 Chuyên đề VI: Tam giác – phân giác Các bài toán tổng quát đờng phân giác 1/ Cho  ABC với AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác và N ( khác A ) thuộc đường phân giác ngoài góc A Chứng minh : a/ AB – AC > MB – MC b/ AB + AC < NB + NC 2/ Ba đường phân giác AD , BE , CF  ABC gặp O Từ O dựng OG vuông góc với BC a/Chứng minh góc BOD = góc COG b/Tính goùc BOC theo A c/Tính goùc GOD theo goùc B vaø goùc C 3/ Cho  ABC , các đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L là giao điểm AA’ và B’C’ , K là giao điểm CC’ và A’B’ Chứng minh : BB’ là phân giác goùc KBL 4/ Cho  ABC có dộ dài cạnh là a,b,c và l a , lb , lc là độ dài đường phân giác ứng với các cạnh BC , CA , AB Chứng minh : 1 1 1 + + < + + a b c la lb lc HƯỚNG DẪN E c A <2c Chuù yù vaø nhaän xeùt : + Ta có thể tạo đoạn thẳng b+c cách từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC E b+c 1 + Ta chứng minh l > bc = c + 2b (1) ( và tương tự a C B D la với các trường hợp còn lại ) cách tính BE ( liên a quan đến b , c , la ) Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA E  ABE caân taïi E Xeùt  ABE ta coù : BE < AB + AE = 2AB = 2c c b BE CE = AD AC b+c 1 AD CE l a (b+ c) > = + (1) = < 2c  BE= AC  l bc c 2b b a 1 1 1 > + (3) Chứng minh tương tự ta có : l > a + c (2) lc b a b Xeùt  CBE ta coù : AD // BE  Lấy (1) + (2) +(3) suy điều phải chứng minh 5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX Chứng minh : AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA HƯỚNG DẪN Nhaän xeùt vaø chuù yù : + Bài toán cho các đường phân giác nên hãy chú ý đến tính chất đường phân giác tam giác + Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng A thức đếnB Z X Y nên hãy chú ý đến các BĐT đó chú ý C BÑT Coâsi AX BY CZ ; ; XB YC ZA AX BY CZ AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA XB YC ZA AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương Theo tính chất đường phân giác : AX BY CZ b c a = XB YC ZA a b c Do đó ta coù : √ Dấu “=” xảy và a = b = c tức  ABC 6/ Cho  ABC , ba đường phân giác AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là SDEF = ¼ SABC 8/ Cho  ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c Vẽ các phân giác AD , BE , CF Chứng minh SDEF  ¼ SABC , dấu “=” xảy   ABC 2.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC 1/ Cho  ABC , các đường phân giác BD , CE Tính số đo các góc tam giaùc neáu BDE = 240 , CED = 180 2/ Cho  ABC , caùc goùc B vaø C coùù tæ leä : , phaân giaùc cuûa goùc A chia dieän tích tam giaùc theo tæ soá 2: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc 3.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1/ Cho  ABC có hai đường phân giác BD , CE cắt I Biết ID = IE Chứng minh  ABC cân A BAC = 600 HƯỚNG DẪN A E’ D E I C B AI là đường phân giác góc A Khi đó hai  IEA và  IDA có thể xảy hai trường hợp : a/  IEA =  IDA Khi đó : BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA   ABD =  ACE ( g – c – g )  AB = AC   ABC caân taïi A b/  IEA và  IDA không   ABC không cân A Không tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ trên AB cho IE’ = IE = ID   IE’E caân  IE’E = IEE’  BEI = IE’A = IDA Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800  A + DIE = 1800  A + BIE = ICB + IBC  2A = 2ICB + 2IBC = C + B Maø BIE + DIE = 180 vaø A + B + C = 1800  A + 2A = 1800  A = 600 4.CỰC TRỊ 1/ Cho  ABC với AB  AC và AD là đường phân giác Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC cho BM.CN = k không đổi ( k < AB ) Xác định vị trí M , N cho diện tích tứ giác AMDN là lớn HƯỚNG DẪN Nhaän xeùt : 1/ BM + CN  BM CN 2/ SAMDN = SAMD + SADN 3/ M A M H Bk H K N ñv E Haï DH , DK vuông Dgóc với AB và B C AC Ta coù : DH = DK = haèng soá ( AD laø phaân giaùc cuûa goùc A ) 2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN ) = DH [AB+AC – (BM+CN)] (1) Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN : BM + CN  √ BM CN=2 √ k , daáu “ = “ xaûy  BM = CN Thay vaøo (1) ta : 2SAMDN  DH(AB+AC- √ k ) Diện tích tứ giác AMDN lớn BM = CN = √ k < AB  AC Lúc đó SAMDN = ½ (AB+AC - √ k ) Dễ dàng dựng các đoạn thẳng BM , CN theo hệ thức BM2 = CN2 = k.1 ( đó đơn vị dài ) Cách dựng : Trên BC lấy E cho BE = trên BF lấy H cho BH = k Dựng đường tròn đường kính BE , dựng tia Hx vuông góc với BE cắt đường tròn M BM có độ dài cần dựng Chuyên đề VIi: Tam giác - đờng cao -trung tuyến I.Các bài toán đờng cao 1/ Cho  ABC có a > b > c Chứng minh : a/ < hb < hc b/ a +  b + hb 2/ Cho  ABC có ba cạnh là a , b , c và ba đường cao là , hb , hc Chứng minh raèng neáu 1 1 1 + + = + + hb hc √ p( p − a) √ p( p − b) √ p( p − c) thì tam giác ABC là tam giác ( p là nửa chu vi  ABC 3/ Chứng minh tam giác cóù cạnh không thì tổng cạnh lớn và đường cao tương ứng lớn tổng cạnh nhỏ và đường cao tương ứng 4/ Cho  ABC có các đường cao AA’ , BB’ , CC’ Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ và CC’ I , J , K , L Chứng minh điểm I , J , K , L thẳng hàng 5/ Cho  ABC , đường cao AH Gọi C’ là điểm đối xứng H qua AB Gọi B’ là điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC và AB là I và K Chứng minh BI và CK là đường cao  ABC ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC 1/ Chứng minh  ABC ta có : p2  ha2 + hb2 + hc2 ( p là nửa chu vi tam giaùc ABC ) 2/ Cho  ABC Xác định các điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc các cạnh BC , CA , AB cho chu vi  MNP laø nhoû nhaát ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ 1/ Cho điểm A , B cóùá định và điểm M di động cho  MAB cóù góc nhọn Gọi H là trực tâm  AMB , K là chân đường cao vẽ từ M Tìm giá trị lớn nhaát cuûa KH.KM TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC 1/ Đường cao và đường phân giác vẽ từ đỉnh A ABC tạo thành góc Tính góc đo theo các góc B và C tam giác ABC ( chứng minh góc đó nửa hiệu hai góc B và C ) HƯỚNG DẪN A Chuù yù vaønhaän xeùt : + D luôn nằm H và trung điểm M ( chứng minh B H D E C phần sau ) + Tìm cách tạo góc B – C tính B-C Cách : Từ A vẽ tia AE cho CAE = BAH Suy : HAD = DAE , HAE = HAD B = 900 – BAH C = 900 – HAE - CAE B – C = HAE = HAD Caùch : B = 900 – BAH C = 900 – CAH B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = HAD 1.1/ Cho  ABC và đường phân giác CE Từø C kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt cạnh AB kéo dài D Chứng minh góc EDC nửa hiệu các góc A vaø B 1.2/ Đuờng phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A  ABC tạo với cạnh BC góc 30 Tìm hieäu cuûa caùc goùc C vaø B ( Cho AB  AC ) 1.3/ Chứng minh tam giác hiệu các góc đáy 90 thì đường phân giác và đường phân giác ngoài góc đỉnh II TAM GIAÙC - TRUNG TUYEÁN 1/ Chứng minh tam giác ta có : (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < HƯỚNG DẪN A 20 (mamb + mbmc + mcma ) P N G Q B M C + Trong moïi tam giaùc ta coù : ma + mb + mc < a + b + c  ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) ( ) a b Do : m + m + mc = 2 a +3b +3c a2 +b2 +c + ( ab + bc + ca ) ab+ bc+ ca + ( ab + bc + ca ) Neân ( )  2(mamb + mbmc + mcma ) < <  (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * ) + Keû PQ // AM ; AM , BN , CP laø trung tuyeán cuûa  ABC  PQG coù caïnh laø 1 a b c : ma ; mb ; mc vaø trung tuyeán laø ; ; Aùp dụng bất đẳng thức ( * ) vào  PQG ta có : a b b c c a + + ¿ ( 4 4 4 ma  ab + bc + ca < 1 1 1 < ma mb + mb mc + mc 20 (mamb + mbmc + mcma ) 2/ Cho  ABC , trung tuyeán AM Moät caùt tuyeán  quay quanh troïng taâm G caét AB , AC P và Q Chứng minh : AB AC + AP AQ khoâng phuï thuoäc vò trí cuûa  3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC Một đường thẳng qua trọng tâm G  ABC , cắt các cạnh AB , AC E , F Hãy xác định vị trí điểm E cho AE + AF đạt giá trị nhỏ ( Mở rộng bài trên ) 4/ Cho  ABC , trung tuyến AD Từø điểm M trên BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB E , cắt AC F Chứng minh : 2AD = ME + MF HƯỚNG DẪN Chuù yù vaø nhaän xeùt : + 2AD = ME + MF  ME+MF =2 AD + Tạo đoạn thẳng ME + MF