1/ Chửựng minh raống trong mói tam giaực ta coự :
4
5 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < 209 (mamb + mbmc + mcma ) HệễÙNG DẪN
P NQ G Q G B M C
+ Trong mói tam giaực ta coự : ma + mb + mc < a + b + c
ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) ( 1 ) Do : ma2 + mb2 + mc2 = 3a2+3b2 +3c2 4 Nẽn ( 1 ) 2(mamb + mbmc + mcma ) < a2+b2 +c2 4 + 2 ( ab + bc + ca ) < ab+bc2+ca + 2 ( ab + bc + ca ) 45 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * )
+ Keỷ PQ // AM ; AM , BN , CP laứ 3 trung tuyeỏn cuỷa ABC . PQG coự 3 cánh laứ : 13 ma ; 13 mb ; 31 mc vaứ 3 trung tuyeỏn laứ a4 ; b4 ; c4 .
Aựp dúng baỏt ủaỳng thửực ( * ) vaứo PQG ta coự :
45 ( a4.b 5 ( a4.b 4+ b 4. c 4+ c 4. a 4¿ < 13 ma . 13 mb + 13 mb . 13 mc + 13 mc . 13 ma ab + bc + ca < 209 (mamb + mbmc + mcma ) .
2/ Cho ABC , trung tuyeỏn AM . Moọt caựt tuyeỏn quay quanh tróng tãm G caột AB , AC tái P vaứ Q . Chửựng minh : ABAP +AC
AQ khõng phú thuoọc vũ trớ cuỷa . 3/ Tam giaực ABC coự ẳ AC < AB < 4AC . Moọt ủửụứng thaỳng ủi qua tróng tãm G cuỷa ABC , caột caực cánh AB , AC lần lửụùt tái E , F . Haừy xaực ủũnh vũ trớ ủieồm E sao cho AE + AF ủát giaự trũ nhoỷ nhaỏt . ( Mụỷ roọng baứi trẽn )
4/ Cho ABC , trung tuyeỏn AD . Tửứứ ủieồm M baỏt kyứ trẽn BD veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AD caột AB tái E , caột AC tái F . Chửựng minh : 2AD = ME + MF .
HệễÙNG DẪN Chuự yự vaứ nhaọn xeựt :
+ 2AD = ME + MF MEAD+MF=2