Chứng minh rằng số lớn nhất các tập con đôi một khác nhau c ủa tập X, mỗi t ập có đúng r phần tử của Y và hai tập bất kì thì không chứa nhau b ằng.. Tìm số phần tử lớn nhất c ủa tập hợp [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP NĂM 2015 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC Chuyên ngành toán tổ hợp là phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú c Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng Nội dung toán tổ hợp phong phú và ứng dụng nhiều thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều bài toán với độ khó cao Tổ hợp có vị trí đ ặc bi ệt toán học không là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò công cụ đắc lực các mô hình rời rạc giải tích, đ ại s ố, hình học Với vai tròn quan toán học nên hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên gi ữa các tr ường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến tổ hợp thường là các bài toán r ất khó, là bài tập phân loại học sinh tốt Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường phong phú và đa d ạng Nhìn chung để giải bài toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng t ạo phương pháp và cách thức tiếp cận bài toán Do đó giảng dạy phần tổ hợp thì ều quan trọng là với bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng l ời gi ải m ột cách cụ thể để học sinh hiểu ý tưởng mục đích c bài toán Đ ể cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt kết tốt, chúng tôi m ạnh d ạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với các thầy, cô giáo phương pháp giảng dạy các bài toán tổ hợp Trong chuyên đề này, số dạng bài tập chọn lọc là các đ ề c các kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên các tr ường đ ại h ọc trên giới năm gần đây Chuyên đề chia làm hai phần chính: I Phần bài tập minh họa II Phần bài tập tương tự Những bài toán tổ hợp xuất các đề thi chọn học sinh giỏi năm gần đây thường là các bài tập hay và khó, có đ ộ phân hóa cao gi ữa các đ ối (2) tượng học sinh Với thời gian ngắn thì học sinh thường khó để giải quy ết đ ược các bài toán dạng này và đây là vấn đề nan giải công tác ôn luy ện học sinh giỏi đa số giáo viên Số lượng số d ạng bài toán t ổ h ợp là nhiều (có thể nói là vô hạn) nên giáo viên không thể dạy hết tất c ả đ ược, mà cần phải có phương pháp hiệu để trang bị cho học sinh cách ti ếp c ận các kiến thức sở việc giải các bài toán tổ hợp Chuyên đề hoàn thành với giúp đỡ nhiệt tình nội dụng và hình th ức c các thầy, cô giáo tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên Vĩnh Phúc Do thời gian và trình độ có hạn nên bài viết đề cập đến khía c ạnh r ất nh ỏ c dạng toán tổ hợp, mong nhận góp ý và các phương pháp hiệu đ ể việc giảng dạy phân môn này có hiệu I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài Cho tập hợp và M là tập hợp tập X có tính chất T nếu: tích phần tử phân biệt bất kì M không là số chính phương Tìm số phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp rời có phần tử và tích phần tử đ ều là s ố chính phương: 1, 4,9 , 2, 7,14 , 5,12,15 , 3, 6,8 Nếu tập hợp M có tính chất T thì có ít phần tử tập trên không thuộc M suy M 11 Giả sử M 11 : Do M có tính chất T nên tập tập hợp 1, 4,9 , 2, 7,14 , 5,12,15 , 3, 6,8 phải có đúng hai phần tử thuộc M và các phần tử 10,11,13 M Khi đó với tập hợp 5,12,15 ta xét các trường hợp sau: +) 5,12 M M 7,14 M M 3, M Do 3.12 6 nên M không chứa phần tử nào 1, 4,9 vô lí +) 5,15 M M 6,8 M M 7,14 M Do 7.14.8 28 vô lí (3) +) 12,15 M M 3,8 M Do 3.12 6 nên M không chứa phần tử nào 1, 4,9 M 10 vô lí Vậy Mặt khác ta lấy M 1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14 Vậy số phần tử lớn tập hợp M là 10 Bài Cho tập hợp X 1, 2,3, ,16 và M là tập hợp tập X có tính chất T nếu: M không chứa ba phần tử nào đôi nguyên tố cùng Tìm s ố phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp số A 1, 2,3,5, 7,11,13 , ta thấy tập hợp M thỏa mãn M 11 tính chất T thì M chứa nhiều phần tử A Mặt khác tập 2,3, 4, 6,8,9,10,12,14,15,16 hợp gồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất T : Vậy số phần tử lớn M là 11 Bài (VMO 2004) Cho tập hợp A 1, 2,3, ,16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân 2 biệt a, b thỏa mãn a b là số nguyên tố Lời giải Xét tập hợp B 2, 4, 6,8,10,12,14,16 2 , ta thấy a, b B a b là số chẵn lớn nên k thỏa mãn yêu cầu bài toán thì k 9 Ta chứng minh k 9 là số nhỏ thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, ta chia tập hợp A 2 a, b thành cặp hai phần tử cho a b là số nguyên tố: 1, , 2,3 , 5,8 , 6,11 , 7,10 , 9,16 , 12,13 , 14,15 Do đó theo nguyên tắc Dirichlet thì phần tử phân biệt t ập hợp A phải tồn hai số thuộc cùng cặp Vậy k nhỏ Bài Cho tập hợp M 1, 2, , n , n 2 Hãy tìm số m nhỏ cho tập chứa m phần tử M tồn ít hai số a, b mà số này là bội số (4) n 1 n n 1 M , 1, , n 2 n M Do Lời giải Xét tập nên M1 n 1 m không có hai số mà số này chia hết cho số Do đó , ta chứng n 1 m minh là số nhỏ thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, xét tập a1 , a2 , , a n 1 1 M Ta xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ b TH1 Nếu n 2k , ta viết 2 ci , đó ci là số lẻ, i 1, 2, , k 1 Do có đúng i c c a ,a k số lẻ nên tồn i j cho i j hai số i j có số chia hết cho số b TH2 Nếu n 2k 1 , ta viết 2 ci , đó ci là số lẻ, i 1, 2, , k Do có i c c a ,a nhiều k+1 số lẻ nên tồn i j cho i j hai số i j có số chia hết cho số n 1 m 1 Vậy số nhỏ thỏa mãn yêu cầu là Sau đây ta đưa số ứng dụng bài toán trên Bài 4.1 Cho tập hợp M 1, 2, , 2n , n 1 Khi đó tập hợp gồm n phần tử M chứa hai phần tử là bội Kết này khá hay và có nhiều ứng dụng việc giải các bài toán liên quan Sau đây tôi xin đưa số bài tập vận dụng hệ đã nêu trên Bài 4.2 (Brasil 2015) Cho tập S 1, 2, , 6n , n 2 Tìm số nguyên dương k lớn A 4n cho khẳng định sau đúng: tập A S , , có ít k a, b , a b a b cặp và Lời giải (5) Lấy A 2n 1, 2n 2, , 6n Nếu x, y A, x y n6y yx32 x, y A, x y x, y , ta có xn21 Do đó thì cặp 2n t , 4n 2t , t 1, 2, , n phải có dạng Từ đó ta k n x , y , x , y , , x , y Nếu k n , ta giả sử có k cặp là 1 2 k k tập S Xét tập B A \ x1 , x2 , , xn x, y , x B , y B Vì cặp và x, y không là bội Ta có B A k 4n n 3n B 3n Từ đây, kết hợp với bài 4.1 ta suy tập B có hai phần tử là bội nhau, vô lí Vậy số nguyên dương lớn thỏa mãn yệu cầu bài toán là k n a , a 2n, i j Bài 4.3 Cho n, n số nguyên dương a1 a2 an 2n cho i j 2n a1 3 Chứng minh Lời giải 2n 2n a1 a1 3a1 2n 2a ,3a , a , , an 3 Giả sử Xét tập hợp 1 gồm n phần tử 1, 2, , 2n tập nên theo bài 4.1 ta có tồn hai số là b ội c Gi ả s a j , i j , a j ai 2n 2a a , i 2a1 , ai 2n vô lí Nếu i vô lí Nếu 3a1 , i 3a1, ai 2n 2n a1 vô lí Vậy giả sử ban đầu là sai suy Bài 4.4 Cho số nguyên dương n Trên trục số lấy khoảng có độ dài n n 1 Chứng minh khoảng này không chứa nhiều phân số tối giản p dạng q , đó p, q ,1 q n Lời giải (6) n 1 Giả sử khoảng có độ dài n có nhiều phân số tối giản pi p j p , qi q j p , q ,1 q n q dạng , đó Theo bài 4.1 thì tồn hai phân số cho qi q j Đặ t q j kqi Ta nhận thấy Từ (1) ta kpi p j pi p j p pj i qi q j qi kqi kqi kpi p j 0 k p j p j , q j kpi p j pi p j p p i j qi q j qi kqi kqi n (1) vô lí suy vô lí vì kpi p j 0 kpi p j 1 pi p j qi q j n Do đó bài toán chứng minh Bài Cho X là tập tập 1, 2,3, ,10000 , cho a, b nằm X thì ab không nằm X Tìm số phần tử lớn tập X Lời giải Xét tập hợp M 101,102, ,10000 1, 2,3, ,10000 , 101 10000 nên tập hợp M thỏa mãn yêu cầu bài toán, tập hợp M có 9900 phần t Ta chứng minh 9900 là số lớn thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, xét t ập A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A không th ỏa mãn yêu c ầu bài toán Xét 100 số sau : 100 i,100 i, 100 i 100 i , i 99 Dễ thấy số trên thuộc A thì vô lý suy phải có ít số b ộ đó không thuộc A A 10000 100 9900 , vô lí Vậy số phần tử lớn X 9900 1; 2;3; ;100 A Bài Cho A là tập tập hợp , có phần tử nhỏ là và phần tử lớn là 100 Giả sử A có tính chất: Với phần tử x A , x 1 thì x tổng hai phần tử thuộc A hai lần phần tử thuộc A Tìm số phần tử nhỏ có thể tập hợp A (7) Lời giải Giả sử tập hợp A gồm n phần tử là x1 x2 xn xn 100 Với số i n ta có: xi x j xs 2 xi Do đó x2 2 x1 2, x3 2 x2 4, x4 2 x3 8 x5 2 x4 16, x6 2 x5 32, x7 2 x6 64 , .Vì n 8 Nếu n 8 x8 100 , kết hợp với x6 x7 64 32 96 x8 2 x7 x7 50 Do x5 x6 48 x7 2 x6 x6 25 Mặt khác x4 x5 24 x6 2 x5 x5 25 vô lý A 1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100 Do đó n 9 , với n 9 ta lấy tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy số phần tử nhỏ tập hơp A là Bài Cho tập hợp X có n 2 phần tử Xét k 2 tập X thỏa mãn X i X j , i j , X i X j , i, j 1, 2, , k Tìm giá trị lớn có thể có k Lời giải Xét k tập Y1 X \ X , Y2 X \ X , , Yk X \ X k Do X i X j , i j , X i X j , i, j 1, 2, , k nên Yi Y j , i j, Yi X j , i, j 1, 2, , k Do đó ta có 2k tập đôi phân biệt tập X Mặt khác số tập tập hợp X n n n là Do đó 2k 2 k 2 n n X \ a Với k 2 , ta xét phần tử a X và gọi tập là A1 , A2 , , A2 Khi n đó X A1 a , X A2 a , , X 2n A2n a n là tập X thỏa mãn yêu n cầu bài toán Vậy giá trị lớn k 2 Bài Cho n, k là các số nguyên dương, n 2 Tìm số nguyên dương nhỏ k 1, 2, , n cho bất kì họ gồm k tập hợp tập tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng là hợp hai tập hợp còn l ại Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây: (8) n Bổ đề Cho n là số nguyên n 2 Khi đó luôn tồn họ tập 1, 2, , n tập hợp cho bất kì ba tập hợp phân biệt khác rỗng họ này không thỏa mãn tính chất chúng là hợp hai tập hợp còn lại Chứng minh Ta chứng minh bổ đề này quy nạp sau: +) Khi n 2 đễ thấy thỏa mãn n 1, 2, , n +) Ta giả sử bổ đề này đúng đến n 2 , tức là từ tập hợp luôn tồn tập hợp A1 , A2 , , A2 cho không có tập hợp nào là hợp hai tập hợp phân n n biệt khác nó Ta xét tập hợp 1, 2, , n, n 1 Khi đó tập sau: A1 , A2 , , A2n , A1 n 1 , , A2n n 1 Thỏa mãn không có tập hợp nào là hợp hai tập hợp phân biệt khác nó Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề Cho n là số nguyên n 2 Chứng minh họ gồm ít 2n tập hợp tập hợp 1, 2, , n tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng là hợp hai tập hợp còn lại Chứng minh Ta chứng minh quy nạp toán học +) Khi n 2 đễ thấy bổ đề là đúng n +) Giả sử bổ đề đúng đến n 2 , tức là họ tập tập hợp 1, 2, , n luôn tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng là hợp hai tập hợp còn lại n 1, 2, , n, n 1 Ta chứng minh bất kì tập tập hợp luôn tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng là hợp hai t ập hợp còn lại (9) n n Thật vậy, số tập chứa n Gọi k là số tập tập tập hợp 1, 2, , n, n 1 đã xét trên Khi đó ta xét các trường hơp: n TH1 Nếu k 2 1 thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm n n n n n TH2 Nếu k 2 thì có ít 2 tập chứa n n tập đã xét trên Giả sử ta xét tập dạng này là A1 , A2 , , A2 Đặt Bi Ai \ n 1 n 1 i) Nếu Bi , i thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm n ii) Nếu tồn i cho Bi thì Ai n 1 Trong tập đã chọn trên phải có tập khác rỗng 1, 2, , n giả sử nó là C Nếu C B j , j i thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm Nếu j i, C B j thì ba tập Aj , C , n 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy bổ đề chứng minh n Trở lại Bài thì dễ thấy k nhỏ * Bài (Bài toán khoảng cách Hamming) Cho n, d n , d ∈ Gọi C là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài n và khoảng cách Hamming có độ dài không nhỏ d Kí hiệu Khi đó 1) Nếu 2d n d> n thì 2) Nếu d d M n, d M là số phần tử lớn tập hợp C d M n, d 2 2d n lẻ và 2d n d+ 1> n thì d 1 M n, d 2 2d n 3) Nếu d d chẵn thì M 2d , d 4d 4) Nếu d d lẻ thì M 2d 1, d 4d Chứng minh (10) 1) Ta đánh giá d x, y x , yC , x y d x, y theo cách khác nhau, đây kí hiệu d ( x , y ) là khoảng cách Hamming hai xâu x, y x , y x, y M M 1 M ( M −1 ) +) Số cách chọn có thứ tự ( x , y ) là suy ra: d x, y M M 1 d x , yC , x y +) Xét ma trận M n M × n , đó dòng là phần tử C C Gọi mi mi là số số cột thứ i và tương ứng cột thứ i đó có M mi M −mi số Do xét quan hệ hai xâu x , y có tính đối xứng nên suy n x , yC , x y d x, y 2mi M mi i 1 Do đó từ hai cách đánh giá trên ta được: n 2M 2mi M mi M M 1 d i 1 i 1 n Hay M M 1 d nM 2d M 2d n (1) M ( M −1 ) d ≤ n M2 2d M≤ 2 d− M Sau đó xét các trường hợp chẵn, lẻ M +) Nếu M chẵn thì từ (1) ta có M d M d M d d M 2 2d n 2d n 2d n 2d n M 1 m i m M m i hay ta có : +) Nếu M là số lẻ thì i đạt giá trị lớn 1 d x, y n M 1 M M 1 d n M 1 2 x , yC , x y , sử dụng 2d n ta : M 2d M 1 d M 1 d d 1 M 2 1 2d n 2d n 2d n 2d n Kết hợp hai trường hợp trên ta d M 2 2d n 2) Xét tập hợp X a1 , a2 , , an và ta cho tương ứng xâu nhị phân t1t2 tn C với tập A X theo nguyên tắc : Nếu ti 1 thì tập A chứa phần tử và ti 0 thì tập A không chứa phần tử Giả sử các tập A là A1 , A2 , , Am Khi đó ta (11) có Ai Aj d ,1 i j m mãn tính chất , và M là giá trị lớn m cho các tập Ai thỏa Ai Aj d ,1 i j m A A d Hai tập Ai , Aj thỏa mãn tính chất i j gọi là hai tập không giống Xét tập Ai' Ai' theo nguyên tắc sau : Nếu Ai X ' X an 1 Ta thiết lập các tập ' A A' A a chẵn thì Ai Ai , i lẻ thì i i n1 Khi đó chẵn với i Do đó ta có Ai' A'j Ai' A'j Ai' A'j nên Ai' A'j , là số chẵn với i j m Ta có Ai Aj Ai' A'j Ai' A'j Ai Aj d (2) 1) Nếu d chẵn thì ta chứng minh giống phần Ai' A'j d d 2) Nếu lẻ thì theo (2) ta Ta đánh giá d x, y x , yC , x y d x, y theo cách khác nhau, đây kí hiệu d ( x , y ) là khoảng cách Hamming hai xâu x, y x , y x, y M M 1 M ( M −1 ) +) Số cách chọn có thứ tự ( x , y ) là suy ra: d x, y M M 1 d x , yC , x y +) Xét ma trận M n M × n , đó dòng là phần tử C C Gọi mi mi là số số cột thứ i và tương ứng cột thứ i đó có M mi M −m i số Do xét quan hệ hai xâu x , y có tính đối xứng nên suy n x , yC , x y d x, y 2mi M mi i 1 Do đó từ hai cách đánh giá trên ta được: n 2M 2mi M mi M M 1 d 1 i 1 i 1 n Hay M M 1 d 1 d 1 nM M 2 d n (3) M ( M −1 ) d ≤ n M2 2d M≤ 2 d− M Sau đó xét các trường hợp chẵn, lẻ M +) Nếu M chẵn thì từ (3) ta có M d 1 M d 1 M d 1 d 1 M 2 2d n 2d n 2d n 2d n M 1 m i m M m i hay ta có : +) Nếu M là số lẻ thì i đạt giá trị lớn (12) 1 d x, y n M 1 M M 1 d 1 n M 1 2 x , yC , x y , sử dụng 2d n ta : M 2d M 1 d 1 M 1 d 1 d 1 1 M 2 1 2d n 2d n 2d n 2d n Kết hợp hai trường hợp trên ta d 1 d 1 M 2 2 2d n 2d 1 n Bài tập áp dụng khoảng cách Hamming Bài 9.1 (Vĩnh Phúc 2012, vòng 2) Có em học sinh lập thành m nhóm hoạt động ngoại khóa, học sinh có thể tham gia nhiều nhóm hoạt động Biết r ằng với hai nhóm tùy ý thì có ít học sinh tham gia vào m ột hai nhóm đó Tìm giá trị lớn có thể m Lời giải Cách (Đáp án chính thức) Ta lập các “bộ ba”, ba gồm hai nhóm nào đó cùng v ới m ột h ọc sinh không tham gia vào hai nhóm đó Giả sử có k ba Theo bài ta có bất đẳng thức sau: k Cm2 2m m 1 Nếu học sinh a nào đó tham gia ma nhóm, thì không tham gia m ma nhóm Như m m ma vậy, học sinh a đó tham gia vào đúng a ba Từ đó ta có: k ma m ma 2m m 1 a Mặt khác ma m ma m2 Suy 7m 2m m 1 Tức là m 8 Ví dụ sau đây cho cách phân nhóm với m 8 , các học sinh là a, b, c, d , e, f , g : A1 a, b, c , A2 a, d , e , A3 a, f , g , A4 b, d , f , A5 b, e, f A6 c, d , g , A7 c, e, f , A8 a, b, c, d , e, f , g Cách (Sử dụng kết liên quan đến khoảng cách Hamming) X a1 , a2 , , a7 Giả sử học sinh là a1 , a2 , , a7 và đặt Ta coi nhóm là xâu dạng t1t2 t7 , đó ti 1 nhóm đó chứa , ti 0 nhóm đó không (13) chứa Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ Áp dụng kết phần 2.i trên với d 4, n 7 ta m 8 Với m 8 ta có thể xây dựng xâu nhị phân độ dài b ằng và kho ảng cách Hamming hai xâu bất kì sau: a1 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a4 1 a5 0 1 a6 0 1 0 a7 0 1 a8 1 1 1 Bài 9.2 Cho A1 , A2 , , Ak là các tập tập S 1, 2,3, ,10 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) Ai 5, i 1, 2, , k b) Ai Aj 2,1 i j k Xác định giá trị lớn có thể có k Lời giải Ta coi tập Ai là xâu nhị phân có dạng t1t2 t10 đó ti 1 tập Ai chứa phần tử i và ti 0 tập hợp Ai không chứa phần tử i Do Ai A j 2,1 i j k , nên khoảng cách Hamming hai tập hợp Ai , Aj ,1 i j k k 2 6 2.6 10 ta không nhỏ Do đó theo kết định lí Với k 6 ta có thể xây dựng xâu nhị phân thỏa mãn khoảng cách Hamming không nhỏ sau : A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 (14) Bài 9.3 Cho tập hợp X 1, 2,3, , 4n Hai tập A và B X gọi là không giống AB 2n , đó AB A \ B B \ A A1 , A2 , , Am mà phần tử là tập Cho tập hợp X gồm m phần tử đôi không giống a) Chứng minh m 2n m n 1 b) Chứng minh Lời giải Ta chứng minh phần b vì phần a là hệ nó Ta coi tập Ai là xâu dạng t1t2 t4 n , đó đó ti 1 Ai chứa i , ti 0 Ai không chứa i Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không m M 2n 1, 4n nhỏ 2n Áp dụng kết phần 2.ii trên với ta 2n 2n n 1 m 2 2 2 n n và đánh giá dễ dàng dấu Bài 9.4 Trong thi có n thí sinh và p giám khảo, đó n, p là các số nguyên dương, p Mỗi giám khảo đánh giá thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đ ỗ hay trượt Giả sử k là số thỏa mãn điều kiện: Với hai giám khảo bất kì, số thí sinh mà họ cho kết giống nhiều là k Chứng minh Lời giải k p n p 1 Giả sử n thí sinh là s1 , s2 , , sn Mỗi giám khảo cho tương ứng với xâu t1t2 tn , đó ti 1 thí sinh đỗ, và ti 0 thí sinh trượt Theo giả thiết thì khoảng cách Hamming hai giám khảo bất kì không nhỏ n k Ta xét hai trường hợp sau : TH Nếu n k n k p n 2 p 1 TH Nếu n k n thì ta xét hai khả sau: +) Nếu n k chẵn thì theo kết định lí ta được: n k n k k p p 2 p n 2k 2n 2k 2 2 n k n n p 1 2 n k n +) Nếu n k lẻ thì theo kết định lí ta được: (15) n k 1 n k 1 p 2 p n 2k 1 2n 2k 2 n k 1 n n k 1 n k p n 1 p n p 1 n p 1 Vậy ta luôn có đánh giá k p n p 1 S 1, 2, , 2013 Bài 9.5 Cho A1 , A2 , , Am là các tập hợp tập hợp , Ai 505, i 1, 2, , m và Si S j 1,1 i j m Chứng minh m 672 Lời giải Ta coi tập Ai là xâu nhị phân dạng t1t2 t2013 , đó ti 1 tập Ai chứa phần tử i và ti 0 tập hợp Ai không chứa phần tử i Do Si S j 1,1 i j m nên hai tập bất kì có khoảng cách Hamming không nhỏ 2.504 1008 Theo kết định lí trên ta 1008 m 2 672 2.1008 2013 Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối tương nào đó ta dạng bài tập tương đối khó Trong tất các dạng bài t ập liên quan đến khoảng cách Hamming thì bài thật tinh tế và sâu sắc Nhận xét Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối tương nào đó ta dạng bài tập tương đối khó Trong tất các dạng bài t ập liên quan đến khoảng cách Hamming thì bài 9.3 thật tinh tế và sâu sắc Bài 10 (THPT chuyên VP 2015) Điểm M x; y mặt phẳng tọa độ gọi là điểm nguyên, x và y là các số nguyên Tìm số nguyên dương n bé cho từ n điểm nguyên, tìm ba điểm nguyên là đỉnh tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm th ẳng hàng thì coi diện tích tam giác 0) Lời giải + n 4 không thỏa mãn, vì ta có thể chọn bốn điểm nguyên là đ ỉnh c m ột hình vuông đơn vị, đó, tam giác có đỉnh là ba bốn ểm nguyên xét có diện tích không phải là số nguyên + Ta chứng minh n 5 là số nguyên bé thỏa mãn Ta chia các điểm nguyên M ( x; y ) mặt phẳng thành loại: (16) Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn Khi đó, điểm nguyên xét, luôn có hai điểm cùng lo ại, ta g ọi đó là hai điểm A, B Ta chứng minh, với điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC luôn là số nguyên Thật vậy: + Nếu A và B có cùng hoành độ a, thì A, B cùng loại, nên độ dài AB là số chẵn S ABC AB h C ( c ; c ), 2 Gọi h là khoảng cách d (C; AB), với đó là số nguyên Tương tự với A, B cùng tung độ, ta có diện tích tam giác ABC là số nguyên + Xét trường hợp A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ) thuộc cùng loại, a1 b1 , a2 b2 Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn D(b1; a2 ) Khi đó, theo lập luận trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích là số nguyên, suy S ACBD là số nguyên Nhưng S ACBD S ABC S ABD , nên S ABC là số nguyên Điều phải chứng minh Bài 11 (THPT chuyên VP 2013) Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,3,, 20 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ có tính chất: Với cách lấy k số phân biệt từ 20 số trên, lấy hai số phân biệt a và b cho a b là số nguyên tố Lời giải 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20 , ta thấy tổng hai phần tử bất kì Xét tập hợp tập hợp này không phải là số nguyên tố Do đó k 11 , ta chứng minh k 11 là số nhỏ thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, ta chia tập hợp A 1, 2,3, , 20 thành 10 cặp số sau: 1, , 3,16 , 4,19 , 5, , 7,10 , 8,9 , 11, 20 , 12,17 , 13,18 , 14,15 Tổng hai số cặp số trên là số nguyên tố Khi đó tập A có 11 phần tử thì tồn ít hai phần tử thuộc cùng vào 10 cặp số trên Suy A luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là số nguyên tố II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (17) Bài 12 Cho A1 , A2 , , An là các tập hợp có hữu hạn phần tử cho A1 A2 An và n A S i i 1 Giả sử có số nguyên dương k n thỏa mãn hợp bất kì k tập hợp họ trên S, hợp nhiều k tập họ đã cho là tập thực S Tìm số phần tử nhỏ S Bài 13 Cho X i 1ik là họ các tập có h phần tử tập hợp X Chứng minh k Bài X i h số nguyên dương m nhỏ cho k Cm i 1 14 Cho n là A Ai 1i 3 n , B Bi 1i 3 n , C Ci 1i 3 n sử ta có bất đẳng Ai B j Ai Ck B j Ck 3n số nguyên dương cho trước và là ba phân hoạch tập hợp hữu hạn X Giả thức sau đúng với i, j, k 1, 2, ,3n : Tìm số phần tử nhỏ có thể có tập hợp X Bài 15(Định lí Sperner) Cho X là tập hợp có n phần tử, và G A1 , A2 , , Ap là họ các tập X thỏa mãn tính chất Ai Aj , i, j 1, 2, , p, i j Chứng minh max p C n n Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado) Cho X là tập hợp có n phần tử, và G A1 , A2 , , Ap là họ các tập X thỏa mãn các điều kiện sau: n Ai r , i 1, 2, , p a) b) Ai Aj , i, j 1, 2, , p r Chứng minh max p Cn (18) Bài 17 Cho X là tập hợp có n phần tử, và Y là tập có k phần tử c X Chứng minh số lớn các tập đôi khác c tập X, t ập có đúng r phần tử Y và hai tập bất kì thì không chứa b ằng n k Ckr Cn k2 Bài 18(Balkan MO 2005) Cho n 2 là số nguyên và S là tập tập hợp 1, 2, , n cho S chứa hai phần tử mà phần tử này là bội phần tử kia, chứa hai phần tử nguyên tố cùng Tìm số phần tử lớn c tập hợp S Bài 19(Balkan MO 1997) Cho tập hợp A có n phần tử và S A1 , A2 , , Ak là họ các tập hợp tập hợp A Nếu với hai phần tử bất kì x, y A có tập k Ai S chứa đúng phần tử hai phần tử x, y Chứng minh n 2 Bài 20(Balkan MO 1996) Cho tập X 1, 2, , 21996 1 , chứng minh tồn tập A X thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1996 a) 1 A, 1 A; b) Với phần tử khác A viết thành tổng hai (có thể b ằng nhau) phần tử thuộc A; c) Số phần tử lớn tập A là 2012 1, 2, , n Bài 21(Balkan MO 1989) Cho F là họ các tập tập hợp và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) Nếu A thuộc F, đó A có phần tử; b) Nếu A và B là hai phần tử khác S, đó A và B có nhi ều nh ất m ột phần tử chung Kí hiệu f n là số phần tử lớn có thể có F Chứng minh n 4n n2 n f n 6 (19) Bài 22 Cho S là tập tập hợp 1, 2, ,1989 và S thỏa mãn tính chất S không có hai phần tử mà hiệu chúng Tìm s ố ph ần t l ớn S? Bài 23 (Iran TST 2013) Cho F A1 , A2 , , Ap 1, 2,3, , n thỏa mãn tính chất: Ai Aj thì là họ các tập tập Ai A j 3 Tìm số lớn có thể có p x,y Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn các cặp phân biệt i i cho xi , yi 1, 2, , 2013 , xi yi 2013, i j, xi yi x j y j Bài 25 (China 1996) Cho 11 tập hợp M , M , , M 11 , tập có phần tử và thỏa mãn M i M j , i j; i, j 1, 2, ,11 Gọi m là số lớn cho tồn các tập M i1 , M i2 , , M im Trong số các tập đã cho cho m M k 1 ik Hỏi giá trị lớn m bao nhiêu? Bài 26 (AIME 1989) Cho tập hợp X 1, 2,3, ,1989 Xét tập S X thỏa mãn tính chất: không có hai phần tử nào S kém đơn vị Hỏi số phần tử lớn S là bao nhiêu? X 1, 2, , n Bài 27 Cho số nguyên dương n 5 và tập hợp Tìm số nguyên dương n nhỏ cho với cách chia t ập hợp X thành hai tập rời A, B thì luôn tồn tập chứa ba số lập thành cấp số cộng (20) Bài 28 (IMO 1991) Cho tập hợp S 1, 2, , 280 Tìm số nguyên dương nhỏ n cho tập n phần tử S chứa số đôi nguyên tố cùng Bài 29 Cho m, n là các số tự nhiên cho m và n 2m Tìm số nguyên dương k 1, 2, , n lớn cho tồn k tập rời A1 , A2 , , Ak tập thỏa mãn Ai m, m 1 với i 1, 2, , k TÀI LIỆU THAM KHẢO (21) [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc và số vấn đề liên quan , Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh [4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese Maththematical Olympiad (1962 - 2009), World Scientific [5] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA [6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates, Birkhauser [7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer [8] Titu Andreescu and Zuming Feng 102 combinatorial problems from the training of the USA IMO team [9] Phạm Minh Phương Một số chuyên đề toán học tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [10] Các nguồn tài liệu từ internet www.mathscope.org; www.mathlinks.org; www.imo.org.yu (22)