Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 81 đ: Chứng minh rằng tổng của tích bốn số nguyên dương liên tiếp với 1 là một số chính phương... Giải hệ trên đưa về giải tìm được x và y..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỨC TRỌNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009- 2010 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI: Bài 1(1đ): Tính giá trị biểu thức sau: 3 2007 2004 1008 1005 A= 2010 2007 Bài 2(1,5đ): Tìm đa thức bậc hai P(x) Biết đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư là 6027; 2009; 6030 Bài 3(1,5đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 28x2 - 31x + 58 Bài 4(1đ)): Chứng minh phương trình sau vô nghiệm với x R x4 - x3 + 2x2 - x + = x y xy 1 2 Bài 5(2 đ): Giải hệ phương trình sau: x y 3x y a 2901 b 2901 2 c 2901 Bài 6(1 đ): Với a; b; c là các số dương thỏa Chứng minh rằng: a b 2c Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2 1) 13 2 14 là số vô tỷ Bài 8(1 đ): Chứng minh tổng tích bốn số nguyên dương liên tiếp với là số chính phương 21n Bài 9(1,5 đ): Chứng minh với n nguyên dương, thì phân số sau: 14n tối giản n n n 1 Bài 10(1 đ): Chứng minh với n là số tự nhiên lẻ, thì A 3.17 29 CB sin A Bài 11(2 đ): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh : CA sin B Bài 12(2 đ): Cho AB, BC, CA là ba dây cung đường tròn (O) Gọi AE là phân giác góc BAC, E BC Chứng minh : AB.AC - EB.EC=AE2 Bài 13(3 đ): Cho tam giác ABC cân A Gọi BN; CM là các đường cao (M AB; N AC) a/ Chứng minh rằng: MN // BC b/ Cho AB = c ;BC = a Tính MN theo a và c HẾT - (2) ĐÁP ÁN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP MÔN TOÁN NĂM HỌC : 20009 -2010 Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau: 3 2007 2004 1008 1005 A= 2010 2007 2010 2007 2007 2004 1008 1005 = 2010 1005 1005( 1) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 2(1,5đ):Tìm đa thức bậc hai P(x).Biết đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư là 6027; 2009; 6030 Lập luận p(1)=6027; p(-1)=2009; p(-2)=6030 (0,5 đ) a b c 6027 a b c 2009 4a 2b c 6030 Đưa hệ phương trình Giải hệ tìm a,b,c và kết luận đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 28x2 - 31x + 58 Tách số hạng hợp lý để nhóm :x3-27x2-x2-58x+27x+58 Đưa (x-1)(x2-27x-58) Tách và phân tích (x2-27x-58) và đưa kết cuối cùng (x-1)(x+2)(x-29) Bài 4(1đ)):Chứng minh phương trình sau vô nghiệm với x R x4 - x3 + 2x2 - x + = Phân tích vế trái đưa phương trình tích (x2+1)(x2-x+1)=0 Lập luận vế trái luôn dương với x,kết luận phương trình vô nghiệm (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) x y xy 1 2 Bài 5(2 đ):Giải hệ phương trình sau: x y 3x y 3( x y ) xy 3 2 Đưa hệ đả cho hệ x y xy 1 (0,5 đ) 3u v 3 u v 1 Đặt biến phụ u=x+y ;v=xy và đưa hệ u 1 v 0 u v 15 Giải hệ trên đưa giải tìm x và y ; (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (3) Bài 6(1 đ):Với a;b;c là các số dương thỏa a 2901 b 2901 2 c 2901 Chứng minh rằng: a b 2c Chứng minh và vận dụng bất đẳng thức 2(x2 +y2) (x+y)2 2 2( a 2901 b 2901 ) ( a 2901 b 2901) 4 c 2901 (0,5 đ) 2(a+b) 4c Từ đó có đpcm (0,5 đ) Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: (2 1) 13 2 14 là số vô tỷ Biến đổi và khai phương dấu cùng Biến đổi và khai phương dấu (0,5 đ) (0,5 đ) Biến đổi và đưa kết 11 và kết luận (0,5 đ) Bài 8(1 đ): Chứng minh tổng tích bốn số nguyên dương liên tiếp với là số chính phương Viết A= n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 (0,5 đ) 2 Đặt y=n +3n; và đưa y +2y+1=(y+1) và kết luận (0,5 đ) 21n Bài 9(1,5đ): Với n nguyên dương ,thì phân số sau : 14n tối giản Cần chứng minh ƯCLN(21n+4;14n+3)=1 Gọi ƯCLN(21n+4;14n+3)=d, với d 1 suy 21n+4=kd;14n+3=hd;với k,h nguyên dương Suy 7n+1=(k-h)d;do đó 21n+3=3(k-h)d Vì :1=(3h-2k)d; d=3h-2k=1.kết luận n (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) 2n n 1 Bài 10(1 đ):Nếu n là số tự nhiên lẻ, thì A= A 3.17 29 Viết A=3(17n+12n) với n lẻ; Vận dụng Xn+Yn= (X+Y)(Xn-1-… ); A=3(17+12).B kết luận A chia hết cho 29 (0,5 đ) (0,5 đ) CB sin A Bài 11(2 đ):Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh : CA sin B Vẽ thêm đường kínhCD vận dụng hệ thức lượng (0,5 đ) AC AC CD R BC BC sin A sin CDB CD R Tam giác vuông ACD ; và tam giác vuôngBCD có sin B sin D (0,5 d) (0,5d ) Suy điều cần chứng minh (0,5 đ) Bài 12(2 đ):Cho AB,BC,CA là ba dây cung đường tròn (O).Gọi AE là phân giác góc BAC,(E BC).Chứng minh :AB.AC - EB.EC=AE2 Nối AE cắt đường tròn (O)tại D Vận dụng tính chất góc nội tiếp chứng minh T am giác ADB đồng dạng tam giác ACE Viết hệ thức AB.AC=AE.AD (1) (0,75 đ) (4) T am giác ECA đồng dạng tam giác EDB Viết hệ thức EC.EB=AE.ED (2) (0,75 đ) Từ (1) và (2) suy điều cần chứng minh (0,5 đ) Bài 13(3 đ):Cho tam giác ABC cân A, gọi BN; CM là các đường cao (M (AB;N AC) a/ Chứng minh :MN // BC b/ Cho AB= c ;BC=a Tính MN theo a và c câu a/ chứng minh MB =MC (0,5 đ) MB NC Lập tỷ lệ thức AB AC suy MN//BC MN AN BC MN AN AC câu b/ viết tỷ số BC AC Suy (0,5 đ) (1) (0,5 đ) kẻ đường cao AK Chứng minh tam giác ACK đồng dạng BCN Viết hệ thức BC BC CN CK AC AC ;tính AN=AC-CN (2) Từ (1)và (2) tính MN (1 đ) (0,5 đ) HẾT - (5)