UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.. Tìm giá trị của biểu thức :.[r]
(1)UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2014-2015 Khóa ngày 18/01/2015 MÔN THI: TOÁN LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) x y z a) Cho Tìm giá trị biểu thức : M= y+z-x x-y+z b) Tìm giá trị lớn biểu thức : f(x) = - x 5x + Bài 2: (6,0 điểm) a) Tìm x, biết rằng: 1 0,75x +4 = 11.13 13.15 + 19.21 : x 231 b) Rút gọn biểu thức sau đây: 1 x 1+x + 1 x + x2 C = 1 x + x 1+ x 1-x 1 x + x2 - x + x2 Bài 3: (2,0 điểm) Trong trường có ba lớp Biết 2/3 số học sinh lớp 7A 3/4 số học sinh lớp 7B và 4/5 số học sinh lớp 7C Lớp C có số học sinh ít tổng số học sinh hai lớp là 57 bạn Tính số học sinh lớp Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC và BC Chứng minh : BG = 2HE và AG = 2HF Bài 5: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AD, BC, AC a) Chứng minh EI // CD; FI // AB b) Chứng minh hệ thức EF AB + CD c) Từ hệ thức trên, suy dấu “ = ” xảy và tứ giác ABCD là hình thang -Hết Họ tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh:…… Chữ ký giám thị 1:……………… Chữ ký giám thị 2:………………………… (2) UBND HUYỆN LONG PHÚ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2014-2015 Khóa ngày 18/01/2015 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán lớp Bài 1: (4,0 điểm) a) (2,0 điểm) x y z =k 0 Đặt (0,5 điểm) x = 2k , y = 3k, z = 4k (0,5 điểm) Khi đó: y+z-x 3k + 4k - 2k M= = x-y+z 2k - 3k + 4k (0,5 điểm) 5k = 3k (0,5 điểm) b) (2,0 điểm) f(x) = - x 5x + = - ( x2 - 5x - ) (0,25 điểm) M= 25 37 4 = - (x – .x + ) (0,5 điểm) 5 37 x - 2 (0,5 điểm) 5 37 - x - + 2 (0,25 điểm) Do 5 - x - nên 2 5 x- 2 37 Vậy f (x) có giá trị lớn là Bài 2: (6,0 điểm) a) (3,0 điểm) Ta có: lớn là x= (0,25 điểm) (0,25 điểm) (3) 1 + + 11.13 13.15 19.21 1 1 1 1 1 1 = + + + 11 13 13 15 19 21 (0,5 điểm) 1 1 1 1 + + 11 13 13 15 19 21 (0,25 điểm) 1 1 11 21 (0,25 điểm) Do đó: 1 0, 75x + 4 : = 11 21 x 231 1 0, 75x + = : x 231 11 21 (0,25 điểm) 10 0, 75x + : = 231 x 231 (0,25 điểm) 0, 75x + 10 10 = : = = = 1,25 x 231 231 (0,5 điểm) 0, 75x + = 1,25x (0,5 điểm) 0,5x = (0,25 điểm) x =8 (0,25 điểm) b) (3,0 điểm) Ta có : 1-x 1+x - x + +x + = = - x + x2 x + x2 - x + x2 + x + x2 - x + x2 + x + x2 Vậy: ( điểm) 1+x 1-x + x - +x 2x = = + x + x2 - x + x2 + x + x2 - x + x2 + x + x2 - x + x2 ( điểm) (4) C= 1- x + x + x + x 2x + x + x2 - x + x2 = = 2x x3 ( điểm) Bài 3: (2,0 điểm) * Gọi x, y, z là số học sinh các lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z N ) (0,25 điểm) Theo đề bài ta có: x= y= z (0,2 điểm) x y z x+y-z 57 = = = = = 36 5 19 4 12 (1 điểm) = 54 - Lớp 7A có học sinh 36 = 48 - Lớp 7B có học sinh 36 - Lớp 7C 36 (0,5 điểm) = 45 học sinh Bài 4: (4,0 điểm) A D I E G H B K C F Chứng minh : BG = 2HE và AG = 2HF Lấy I đối xứng với C qua H, kẻ AI và BI Ta có HE là đường trung bình tam giác ACI, nên: IA HE // IA và HE = Tương tự, tam giác CBI: ( 1) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (5) IB HF // IB và HF = ( 2) (0,5 điểm) Từ BG AC và HE AC ( gt) Suy BG // IA ( 3) Tương tự : AK BC và HF BC ( gt) Suy AG // IB ( 4) Từ ( 3) và ( 4) suy BIAG là hình bình hành Do đó: BG = IA và AG = IB Kết hợp với các kết ( 1) và ( 2) Suy : BG = HE và AG = HF (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Bài 5: (4,0 điểm) B A F E I D C a) Chứng minh EI // CD; FI // AB Ta có: EI là đường trung bình tam giác ACD (0,25 điểm) Suy ra: EI // CD (0,25 điểm) Tương tự, ta có: FI là đường trung bình tam giác ABC (0,25 điểm) Suy ra: FI // AB (0,25 điểm) b) Chứng minh hệ thức EF AB + CD Ta có: EI là đường trung bình tam giác ACD Suy ra: EI = Tương tự : DC IF = AB (1) (0,25 điểm) (2) (0,25 điểm) Trong tam giác EIF, theo bất đẳng thức tam giác, ta có: EF EI + IF (0,5 điểm) (6) Suy ra: EF AB + CD (0,5 điểm) c) Từ hệ thức trên, suy dấu “ = ” xảy và tứ giác ABCD là hình thang Khi tứ giác ABCD là hình thang thì ba điểm E, I, F thẳng hàng, lúc đó EF = EI + IF Suy ra: EF = (0,25 điểm) AB + CD Ngược lại: ta có EF = (0,25 điểm) AB + CD thì EF = EI + IF (0,25 điểm) Suy ra: ba điểm E, I, F thẳng hàng (0,25 điểm) Do EI // CD và FI // AB mà E, I, F thẳng hàng nên AB // CD (0,25 điểm) Suy ra: tứ giác ABCD là hình thang (0,25 điểm) * Ghi chú : Thí sinh có thể giải theo cách khác Nếu đúng cho trọn số điểm theo qui định bài -Hết - (7)