PTVP

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP I TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN F Phương trình vi phân phương trình có dạng F(x, y, y0, y00, , y(n)) = 0(∗),      x biến số độc lập     y = y(x) hàm số cần tìm         y0, y00, , y(n) đạo hàm cấp y F Cấp phương trình cấp cao đạo hàm y Ví dụ: Phương trình y0 + sin 2x = PTVP cấp Phương trình y00 + 4y = PTVP cấp hai Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP F Nghiệm phương trình vi phân hàm số thỏa mãn phương trình Nghiệm ba dạng: • y = f (x) (hàm hiện) • φ(x, y) = (hàm ẩn)     x = x(t) • (tham số)     y = y(t) Mỗi nghiệm đường cong Oxy, cịn gọi đường cong tích phân Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Ví dụ Phương trình y0 + sin 2x = có nghiệm hàm số y= cos 2x + C, C số tùy ý Phương trình y00 + 4y = có nghiệm hàm số có dạng y = C1 sin 2x + C2 cos 2x, C1, C2 số tùy ý Nghiệm tổng quát PTVP cấp n phụ thuộc vào n số C1, Cn có dạng y = ϕ(x, C1, , Cn) (thỏa mãn (*)) cho dạng ẩn ϕ(x, y, C1, , Cn) = Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TOÁN CAO CẤP Nghiệm riêng nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho số C giá trị cụ thể Nghiệm kì dị nghiệm khơng nhận từ nghiệm tổng qt Ví dụ » Xét phương trình y0 = − y2 có nghiệm tổng quát y = sin(x + C) Ta có nghiệm riêng y = sin x, y = sin (x + π) , y = sin (x − 5) , Nhận thấy y = nghiệm phương trình, khơng nhận từ nghiệm tổng quát Vậy y = nghiệm kì dị Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình phân ly biến số Chú ý: dy = y0 · dx • Định nghĩa: Là phương trình có dạng f (x) + g(y) · y0 = hay f (x)dx = g(y)dy • Cách giải: Lấy tích phân hai vế phương trình VD Giải phương trình y0 = (1 + y2) · ex Giải Phương trình ⇔ dy = exdx Lấy tích phân hai vế ta + y2 Z Z dy = exdx ⇔ arctan y = ex + C + y2 Vậy NTQ phương trình y = tan(ex + C) Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TOÁN CAO CẤP VD Giải phương trình y0 = ex−y thỏa mãn điều kiện y(1) = Giải y = e x−y dy ex ⇔ = y hay exdx = e ydy e dx Lấy tích phân hai vế ta e y = ex + C, C số tùy ý Do y(1) = nên e1 = e1 + C, C = 0, tức e y = ex Vậy nghiệm toán y = x Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Chú ý Dạng f1(x) · g1(y)dx + f2(x) · g2(y)dy = −→ chia hai vế cho g1(y) · f2(x) , f1(x) f2(x) dx + g2(y) g1(y) dy = F Nếu g1(m) = y = m nghiệm kì dị phương trình » √ VD Giải phương trình x + y dx + y + x2dy = thỏa mãn điều kiện y(0) = Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TOÁN CAO CẤP √ Giải Chia hai vế phương trình cho » + x2 · + y2 , ta ydy + » = √ + x2 + y2 xdx Lấy tích phân hai vế ta p + x2 + » + y2 = C √ √ √ 2 Do y(0) = nên + + + = C ⇔ C = + Vậy nghiệm toán p 1+ x2 + » 1+ y2 √ = + VD Giải phương trình (y2 − 1)dx − (x2 + 1)ydy = Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Giải Nhận thấy y = y = −1 hai nghiệm kì dị Với y , ±1, chia hai vế phương trình cho (y2 − 1) · (x2 + 1) , ta dx x2 +1 = ydy y2 −1 Lấy tích phân hai vế ta nghiệm toán arctan x = ln |y2 − 1| + C x = tan Å ã ln |y2 − 1| + C 10 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP VD Giải phương trình (x + y2)dy = ydx Giải Nếu ta xem y hàm số cần tìm, x biến số độc lập phương trình cho khơng PTTT Ta coi x hàm số cần tìm, y biến số độc lập, phương trình viết thành y x dx = x + y2 hay yx0 − x = y2 hay x0 − = y y dy Đây PTTT theo biến y Giải tương tự ta có NTQ cần tìm x = Cy + y2 16 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Sinh viên tự giải Giải phương trình sau: y0 − y cot x = 2x sin x ĐS: y = x2 sin x + C sin x xy0 − 3y = x2 ĐS: y = Cx3 − x2 , y(1) = ⇒ C = → y = 2x3 − x2 dy = x cos y + sin 2y dx HD: Coi x hàm số cần tìm, y biến số ĐS: x = Cesin y − sin y − + x
y2 + y = arctan x ĐS: arctan x − + C · e− arctan x 17 Bộ môn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP √ y + x2 + y = arcsin x với y(0) = 0 ĐS: y = e− arcsin x + arcsin x − 18 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Định nghĩa PTVP cấp hai phương trình có dạng F(x, y, y0, y00) = y00 = f (x, y, y0) hay (∗) Bài toán Cauchy Là tốn tìm nghiệm phương trình (∗) thỏa mãn điều kiện      y(x0) = y0 (gọi điều kiện ban đầu)     y0(x0) = y1 x0, y0, y1 cho trước 19 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Phương trình vi phân cấp tuyến tính với hệ số Là phương trình có dạng y00 + py0 + qy = (1) p, q ∈ R cho trước Định lí Nếu y = y1(x) y = y2(x) hai nghiệm (1) y = C1 y1(x) + C2 y2(x) (trong C1, C2 số) nghiệm 20 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TOÁN CAO CẤP Định nghĩa Hai hàm y1(x), y2(x) gọi phụ thuộc tuyến tính tỉ số y1(x) = k y2(x) số với x ∈ I, gọi độc lập tuyến tính trường hợp cịn lại Ví dụ: Hai hàm số −2x3 5x3 phụ thuộc tuyến tính, hai hàm số sin x cos x độc lập tuyến tính 21 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Định lí Nếu y1(x), y2(x) nghiệm độc lập tuyến tính phương trình y = C1 y1(x) + C2 y2(x), với C1, C2 số tùy ý, nghiệm tổng quát phương trình Ví dụ: Phương trình y00 − 4y = có nghiệm tổng quát y = C1e2x + C2e−2x, dễ dàng kiểm tra e2x e−2x nghiệm độc lập tuyến tính phương trình 22 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Giải phương trình y00 + py0 + qy = Xét phương trình đặc trưng: k2 + pk + q = (1) (2) Xảy trường hợp sau: i) ∆ = p2 − 4q > ⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt k1, k2 Khi y1 = ek1x y2 = ek2x hai nghiệm riêng ĐLTT (1) Vậy NTQ (1) y = C1ek1x + C2ek2x ii) ∆ = p2 − 4q = ⇒ (2) có nghiệm kép k = k0 Khi y1 = ek0x y2 = xek0x hai nghiệm riêng ĐLTT (1) Vậy NTQ (1) y = (C1 + C2x)ek0x 23 Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TOÁN CAO CẤP iii) ∆ = p2 − 4q < ⇒ (2) có hai nghiệm phức k1,2 = α ± iβ      y1 = eαx cos βx Khi hai nghiệm riêng ĐLTT (1)     y2 = eαx sin βx Vậy nghiệm tổng quát (1) y = eαx(C1 cos βx + C2 sin βx) VD Giải phương trình: a) y00 + 3y0 − 4y = b) y00 + 4y0 + 4y = 24 c) y00 + 6y0 + 13y = Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở a) y00 + 3y0 − 4y = TOÁN CAO CẤP b) y00 + 4y0 + 4y = c) y00 + 6y0 + 13y = Giải a) PTĐT: k2 + 3k − = có hai nghiệm phân biệt k1 = 1, k2 = −4 Vậy NTQ phương trình cho y = C1ex + C2e−4x b) PTĐT: k2 + 4k + = ⇔ k = −2 (kép) Vậy NTQ phương trình cho y = (C1 + C2x)e−2x c) PTĐT: k2 + 6k + 13 = ⇔ k = −3 ± 2i Vậy NTQ phương trình cho y = e−3x(C1 cos 2x + C2 sin 2x) 25 ... hàm cấp y F Cấp phương trình cấp cao đạo hàm y Ví dụ: Phương trình y0 + sin 2x = PTVP cấp Phương trình y00 + 4y = PTVP cấp hai Bộ môn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP F Nghiệm phương trình vi phân... y00 + 4y = có nghiệm hàm số có dạng y = C1 sin 2x + C2 cos 2x, C1, C2 số tùy ý Nghiệm tổng quát PTVP cấp n phụ thuộc vào n số C1, Cn có dạng y = ϕ(x, C1, , Cn) (thỏa mãn (*)) cho dạng ẩn ϕ(x,... TQ: y = e x + Cx x e x3 + x Thay điều kiện y(1) = ⇒ C = Vậy nghiệm riêng cần tìm y = · 2 VD Giải PTVP y − 2y x+1 = (x + 1)3, 14 (x , 1) Bộ mơn Tốn Viện Đào Tạo Mở TỐN CAO CẤP Giải PT tuyến tính