Cơ học lý thuyết

Giáo trình cơ học lý thuyết

Bách Khoa Online: hutonline.net Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com Bách Khoa Online: hutonline.net Bách Khoa Online: hutonline.net Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com Bách Khoa Online: hutonline.net Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com -15- Chơng 2 Lý thuyết về hệ lực Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều kiện cân bằng của hệ lực. Chơng này giới thiệu nội dung của hai bài toán cơ bản nói trên. 2.1 Đặc trng hình học cơ bản của hệ lực Hệ lực có hai đặc trng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men chính. 2.1.1. Véc tơ chính Xét hệ lực ( 1 F r , 2 F r , n F r ) tác dụng lên vật rắn (hình 2.1a). Véc tơ chính của hệ lực là véc tơ tổng hình học các véc tơ biểu diễn các lực trong hệ (hình 2.1b) a/ b/ F r F r 1 2 F r F r 3 n R r Hình 2.1 n F r F r 1 a c F r 3 2 b F r O R r m n R r = + + . = 1 F r 2 F r n F r = n 1i F r i (2-1) Hình chiếu véc tơ lên các trục toạ độ oxyz đợc xác định qua hình chiếu các lực trong hệ: R r R r x = x 1 + x 2 + .+ x n = = n 1i X i ; Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com -16- R r y = y 1 + y 2 + .+ y n = = n 1i Y i ; R r z = z 1 + z 2 + . +z n = = n 1i Z i . Từ đó có thể xác định độ lớn, phơng, chiều véc tơ chính theo các biểu thức sau: R r = z 2 y 2 x 2 RRR ++ ; cos(R,X) = R R x ; cos(R,Y) = R R y ; cos(R,Z) = R R z . Véc tơ chính là một véc tơ tự do. 2.1.2. Mô men chính của hệ lực Véc tơ mô men chính của hệ lực đối với tâm O là véc tơ tổng của các véc tơ mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm O (hình 2.2). Nếu ký hiệu mô men chính là M r o ta có M r o = = n 1i m r o ( F r i ) (2 -2) 30 m r A 3 A 2 F r 3 2 F r A 1 F r 1 3 z r 2 z r M r 0 m r 20 10 m r O m 2 1 z r Hình 2.2 Hình chiếu của véc tơ mô men chính M r o trên các trục toạ độ oxyz đợc xác định qua mô men các lực trong hệ lấy đối với các trục đó: Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com -17- M x = m x ( 1 F r ) + m x ( ) + .+ m 2 F r x ( n F r ) = = n 1i m x ( F r i ); M y = m y ( 1 F r ) + m y ( ) + .+ m 2 F r y ( n F r ) = = n 1i m y ( F r i ); M z = m z ( ) + m 1 F r z ( ) + . +m 2 F r z ( n F r ) = = n 1i m z ( F r i ). Giá trị và phơng chiều véc tơ mô men chính đợc xác định theo các biểu thức sau: M o = z 2 y 2 x 2 MMM ++ cos(M o ,x) = o x M M ; cos(M o ,y) = o y M M ; cos(M o ,z) = o z M M . Khác với véc tơ chính R r véc tơ mô men chính M r o là véc tơ buộc nó phụ thuộc vào tâm O. Nói cách khác véc tơ chính là một đại lợng bất biến còn véc tơ mô men chính là đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn O. 2.2. Thu gọn hệ lực Thu gọn hệ lực là đa hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày dới đây. 2.2.1. Định lý 2.1 : Tác dụng của lực lên vật rắn sẽ không thay đổi nếu ta rời song song nó tới một điểm đặt khác trên vật và thêm vào đó một ngẫu lực phụ F r ' F r F r d A B '' Hình 2.3 Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com -18- có mô men bằng mô men của lực đã cho lấy đối với điểm cần rời đến. Chứng minh: Xét vật rắn chịu tác dụng lực F r đặt tại A. Tại điểm B trên vật đặt thêm một cặp lực cân bằng ( F r ', F r '') trong đó F r ' = F r còn F '' = - r F r . (xem hình 2.3). Theo tiên đề 2 có: F ( r F r , F r ', F r ''). Hệ ba lực ( F r , ', '') có hai lực ( FF r F r r , F r '') tạo thành một ngẫu lực có mô men m r = m r B (F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực). Ta đã chứng minh đợc F r F r ' + ngẫu lực ( F r , F r '') 2.2.2 Thu gọn hệ lực bất kỳ về một tâm a. Định lý 2.2: Hệ lực bất kỳ luôn luôn tơng đơng với một lực bằng véc tơ chính đặt tại điểm O chọn tuỳ ý và một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính của hệ lực đối với tâm O đó. Chứng minh: Cho hệ lực bất kỳ ( 1 F r , 2 F r , ., n F r ) tác dụng lên vật rắn. Chọn điểm O tuỳ ý trên vật, áp dụng định lý rời lực song song đa các lực của hệ về đặt tại O. Kết quả cho ta hệ lực ( 1 F r , 2 F r , ., n F r ) o đặt tại O và một hệ các ngẫu lực phụ có mô men là m r 1 = m r o ( ) , 1 F r m r 2 = m r o ( 2 F r ), . m r n = o ( n F r ) (hình 2.4). m r Hợp từng đôi lực nhờ tiên đề 3 có thể đa hệ lực ( 1 F r , , . F ) 2 F r n r o về tơng đơng với một lực . R r Cụ thể có: A 3 F r F r F r 1 A 1 O m r 20 m r 30 M = M o F r 1 R r F r 2 F r 3 3 2 A 2 ( , ) 1 F r 2 F r R r 1 trong đó R r 1 = 1 F r + 2 F r ( R r 1 , F r 3 ) R r 2 trong đó R r R r F r 2 = 1 + 3 = + + F 1 F r 2 F r r 3 m r 10 ( R r (n-1) , F ) n r R r Hình 2.4 Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com -19- trong đó = R r R r (n-2) + n F r = = n 1i F r i Hợp lực R của các lực đặt tại O là véc tơ chính r R r 0 của hệ lực. Các ngẫu lực phụ cũng có thể thay thế bằng một ngẫu lực tổng hợp theo cách lần lợt hợp từng đôi ngẫu lực nh đã trình bày ở chơng 1. Ngẫu lực tổng hợp của hệ ngẫu lực phụ có mô men M r o = = n 1i m r o ( F r i ). Đây là mô men chính của hệ lực đã cho đối với tâm O Theo định lý 2.2, trong trờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực về tâm O bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và một mô men chính. Véc tơ chính bằng tổng hình học các lực trong hệ và là một đại lợng không đổi còn mô men chính bằng tổng mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm thu gọn và là đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn. Để xác định quy luật biến đổi của mô men chính đối với các tâm thu gọn khác nhau ta thực hiện thu gọn hệ lực về hai tâm O và O 1 bất kỳ (hình 2.4a). Thực hiện thu gọn hệ về tâm O ta đợc R r r 0 và M o . R r 0 M r M r 01 O 1 O R r R r 0 01 Trên vật ta lấy một tâm O 1 khác O sau đó rời lực R r o về O 1 ta đợc R r o R r o1 + ngẫu lực ( R r o , R r ' o1 ). ' 01 Suy ra ( R r o , M r o ) R r o1 + ngẫu lực ( R r r r o , ' R o1 ) + M o Hình 2.4a Nếu thu gọn hệ về O 1 ta đợc M r o1 và R r o1 . Điều tất nhiên phải có là : ( R r o , M r o ) ( R r o1 , M r o1 ). Thay kết quả chứng minh ở trên ta có: Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com -20- ( R r o , M r o ) R o1 +( R r o , R r ' o1 ) + M o ( R r o +M o1 ) hay M r 01 M r o + ( R r o , R r ' 01 ) (2.3) Ngẫu lực ( R r o , R r 01 ) có mô men M r ' =m o1. (R o ) Kết luận: Khi thay đổi tâm thu gọn véc tơ mô men chính thay đổi một đại lợng M' bằng mô men của véc tơ chính đặt ở tâm trớc lấy đối với tâm sau. 2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực Kết quả thu gọn hệ lực về một tâm có thể xẩy ra 6 trờng hợp sau 2.2.3.1. Véc tơ chính và mô men chính đều bằng không R r = 0 ; M r o = 0 Hệ lực khảo sát cân bằng. 2.2.3.2. Véc tơ chính bằng không còn mô men chính khác không R r = 0; M r o 0 Hệ lực tơng đơng với một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính. 2.2.3.3. Véc tơ chính khác không còn mô men chính bằng không 0; R r M r o = 0 Hệ có một hợp lực bằng véc tơ chính. 2.2.3.4. Véc tơ chính và mô men chính đều khác không nhng vuông góc với nhau (hình 2.5) R r 0; M r o 0 và MR r r o Trong trờng hợp này thay thế mô men chính M r o bằng ngẫu lực ( R r ', R r '') với điều kiện: R r ' = ; R r R r '' = - và R r M r o = m r o ( R r ') P R r O' O P' n o R r d O R r R r o M r o o O' O M r R r a) ' b) O' Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com -21- Ta có ( , MR r r o ) ( , RR r r ', R r '' ). Theo tiên đề 1 R r o và '' cân bằng do đó có thể bớt đi và cuối cùng hệ còn lại một lực bằng véc tơ chính nhng đặt tại O R r 1 . Nói khác đi hệ có một hợp lực đặt tại O 1 . 2.2.3.5. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không nhng song song với nhau (hình 2.6). R r o 0; M r o 0 và R r o // M r o Trong trờng hợp này nếu thay M r o bằng một ngẫu lực ( ') mặt phẳng của ngẫu này vuông góc với véc tơ chính P r P r R r . Hệ đợc gọi là hệ vít động lực. Nếu véc tơ R r song song cùng chiều với véc tơ M r o hệ gọi là hệ vít động lực thuận (phải) và ngợc lại gọi là hệ vít động lực nghịch (trái). Hình 2.6 biểu diễn vít động lực thuận 2.2.3.6. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không và hợp lực với nhau một góc bất kỳ (hình 2.7) Trờng hợp này nếu thay thế véc tơ M r o bằng một ngẫu lực ( P r P r ') trong đó cólực P r đặt tại O còn lực ' đặt tại O P r 1 sao cho m o (P) = M r o . Rõ ràng mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực ( P ') không vuông góc với r P r R r o . Mặt khác tại O có thể hợp hai lực và P r r R o thành một lực R r '. Nh R r ' R r 0 O 1 P r P r ' M r 0 Hình 2.7 Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com -22- vậy đã đa hệ về tơng đơng với hai lực P r ', R r ' hai lực này chéo nhau. 2.2.4. Định lý Va ri nhông Định lý: Khi hệ lực có hợp lực R r thì mô men của R r đối với một tâm hay một trục nào đó bằng tổng mô men của các lực trong hệ lấy đối với tâm hay trục đó. m r o ( ) = R r = n 1i m r o ( F r i ) m r z ( R ) = r = n 1i m r z ( F r i ) (2.4) F r n O R r ' R r F r 2 F r 1 x y z Chứng minh: Cho hệ lực ( 1 F r , 2 F r , ., n F r ) tác dụng lên vật rắn. Gọi là hợp lực của hệ (hình 2.8). R r Tại điểm C trên đờng tác dụng của hợp lực đặt thêm lực ' = - R r R r R r .Hệ lực đã cho cùng với ' tạo thành một hệ lực cân bằng: R r Hình 2.8 ( , , . 1 F r 2 F r n F r , + ') 0 R r Khi thu gọn hệ lực này về một tâm O bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và một mô men chính. Các véc tơ này bằng không vì hệ cân bằng, ta có: M r o = = n 1i m r o ( F r i ) + m r o ( R r ') = 0 Thay ' = - ta có: R r R r = n 1i m r o ( F r i ) - m r o ( ) = 0 R r Hay m o ( ) = R r = n 1i m r o ( F r i ) Chiếu phơng trình trên lên trục oz sẽ đợc: Bỏch Khoa Online: hutonline.net Tỡm kim & download ebook: bookilook.com [...]... (2-12) i= 1 n MC = r mB( F i) = 0 r mo( F i) =0 i= 1 Với điều kiện A, B, C không thẳng hàng r Thật vậy, nếu hệ lực phẳng thoả mãn phơng trình MA = mA( F ) = 0 thì theo định lý Va ri nhông hợp lực của hệ sẽ bằng không hoặc đi qua A Cũng lý luận tơng tự ta thấy để thoả mãn MB = 0 và Mc = 0 thì hợp lực phải bằng không hoặc phải đi qua B, đi qua C Vì chọn 3 điểm A, B, C không thẳng hàng nên điều kiện để hợp... hơn f.s R Bỏch Khoa Online: hutonline.net -46Chơng 4 Trọng tâm của vật rắn 4.1 Tâm của hệ lực song song r r r r Hệ lực song song ( F 1, F2 , Fn ) luôn có hợp lực R song song với các lực r đã cho Theo lý thuyết về hệ lực, hợp lực R đợc xác định bởi biểu thức: r r r r R = F 1 + F2 + Fn = n r F i (4-1) i= 1 Khi ta thay đổi phơng của hệ lực phơng của hợp lực cũng thay đổi theo Chẳng hạn lúc đầu hệ lực...-23- Bỏch Khoa Online: hutonline.net r r n mz( R ) = mz( F i) i= 1 Định lý đã đợc chứng minh 2.2.5 Kết quả thu gọn các hệ lực đặc biệt 2.2.5.1 Hệ lực đồng quy Hệ lực đồng quy là hệ lực có đờng tác dụng của các lực giao nhau tại một điểm Trong trờng hợp hệ lực đồng quy nếu... vật rắn Vật rắn cân bằng khi hệ lực tác dụng lên nó bao gồm các lực đã cho và phản lực liên kết cân bằng Khi giải bài toán cân bằng của vật rắn có thể áp dụng phơng pháp giải tích hoặc phơng pháp hình học nhng phổ biến và có hiệu quả nhất là phơng pháp giải tích Giải bài toán cân bằng của vật thờng tiến hành theo các bớc sau: 1 Chọn vật khảo sát: vật khảo sát phải là vật rắn mà sự cân bằng của nó cần... phanh bằng thép có thể xác định theo công thức: fd = 1 + 0,0112 v ft 1 + 0,006 v Trong đó v là vận tốc trợt tính bằng km/h còn ft = 0,45 khi mặt tiếp xúc khô và ft = 0,25 khi mặt tiếp xúc ớt Trong tĩnh học vì chỉ xét bài toán cân bằng nên ma sát phải là ma sát tĩnh Bỏch Khoa Online: hutonline.net -39- Tỡm kim & download ebook: bookilook.com 3.1.2 Bài toán cân bằng của vật khi chịu ma sát trợt Xét vật... mA(Fi) = 0; (2-11) i= 1 n MB = mB(Fi) = 0 i= 1 Với điều kiện trục x không vuông góc với AB r Thạt vậy từ phơng trình (1) cho thấy hợp lực R của hệ lực bằng không hoặc vuông góc với trục x r Theo định lý Va ri nhông ,từ phơng trình (2) ta thấy hợp lực R hoặc bằng không hoặc đị qua A r Từ phơng trình (3) ta cũng thấy hợp lực R của hệ bằng không hoặc đi qua B Kết hợp cả ba phơng trình ta thấy hợp lực... phơng của hệ lực A1 r r '2 thay đổi nhng đờng tác dụng r r '1 của chúng đều đi qua điểm C r r1 C điểm này gọi là tâm của hệ lực A4 A3 song song đã cho O r Để xác định vị trí của tâm C ta vận dụng định lý Va-ri-nhông r Cho hợp lực R ' nh hình vẽ ta có: r '3 x yC zC r r3 r r '4 my(Fni); i= 1 n R.Xc = Fixi; i= 1 n Fi x i hay Xc = i =1 R ; r r4 xC r R' r R n My(R') = r r2 Hình 4.1 y -47Trong đó Xc là toạ . thiệu nội dung của hai bài toán cơ bản nói trên. 2.1 Đặc trng hình học cơ bản của hệ lực Hệ lực có hai đặc trng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men. & download ebook: bookilook.com -15- Chơng 2 Lý thuyết về hệ lực Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều kiện cân bằng