Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 2013

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 2013 Môn thi: Đại số. Thời gian: 150′ Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho . b/ Nếu thêm giả thiết f (AB) = f (BA) với mọi A,B thì tồn tại sao cho . Bài 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận là một ma trận chéo hóa được. Ở đó là ma trận đơn vị cấp n. Bài 3: Cho là các số phức với với mọi cặp . Tính định thức của ma trận , ở đó: Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận cỡ với hệ số phức. Chứng minh rằng Bài 5: a/ Cho là một ma trận thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng $A=I$ b/ Cho là một ma trận thỏa mãn điều kiện . Kết luận A=I có còn đúng không? Tại sao? Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn: Định nghĩa và ký hiệu: (1) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B (2) (3) Giả sử . Ma trận phụ hợp phức của A được định nghĩa như sau: . Ma trận A được gọi là nếu Môn thi: Giải tích Thời gian:120′ Bài 1: Tính giới hạn sau: Bài 2: Cho là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi sao cho: Chứng minh rằng nếu thì g(b)=0 Bài 3: Cho hai dãy số thực và $\left \ { y_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. . 2. . Chứng minh rằng: Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn các điều kiện sau: 1. . 2. bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong . Chứng minh rằng: Bài 5: Cho đa thức với các hệ số và $a \neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên sao cho . Chứng minh rằng phương trình P(x)=0 có nghiệm nguyên. . Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 2013 Môn thi: Đại số. Thời gian: 150′ Bài 1: Cho ánh xạ tuyến. tính a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho . b/ Nếu thêm giả thi t f (AB) = f (BA) với mọi A,B thì tồn tại sao cho . Bài 2: Tìm tất cả các