TRƯỜNG THPT LẠNGGIANG SỐ 1ĐỀ CHÍNH THỨC Đề gồm 01 trang ĐỀTHI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1Năm học: 2013 - 2014 Môn: Toán - Khối A, A1. Thời gian làm bài: 150 phút --------------------*******-------------------- A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 4 1 x y x − + = − có đồ th ị là ( C ) a. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị ( C ) c ủ a hàm s ố . b. Tìm m để đườ ng th ẳ ng : 2d y x m= + c ắ t đồ th ị (C) t ạ i 2 đ i ể m phân bi ệ t A và B sao cho 15 4 IAB S ∆ = v ớ i I là giao đ i ể m c ủ a hai đườ ng ti ệ m c ậ n c ủ a đồ th ị (C). Câu 2 (1,0 điểm) Gi ả i ph ươ ng trình sau: ( ) 2 3cos 2 3 cos 1 cotx x x− = − Câu 3 (1,0 điểm) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: ( ) ( ) 2 3 2 3 2 4 8 4 12 5 4 13 18 9 1 4 8 4 2 1 2 7 2 0 2 x x y y y x x x x y y y − − − = + + − − + − + + + = , ( ) x, y∈ ℝ Câu 4 (1,0 điểm) Gi ả i ph ươ ng trình sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log 2x 7 log x 1 log x 3− − − = + Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đ áy là tam giác vuông cân t ạ i B, BA = a . Tam giác SAC cân t ạ i S và n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i mp (ABC). G ọ i M, N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a SA, BC; bi ế t góc gi ữ a MN v ớ i mp(ABC) b ằ ng 0 60 .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC và kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng chéo nhau AC, MN theo a. Câu 6 (1,0 điểm) Cho , , 0a b c > th ỏ a mãn ( ) ( ) 4 4 4 2 2 2 3 7 12 0a b c a b c+ + − + + + = . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 2 2 2 2 2 2 a b c P b c c a a b = + + + + + B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu 7a (1,0 điểm) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy, cho 2 đườ ng th ẳ ng 1 :2 11 7 0x y∆ − + = và 2 :2 3 4 0x y∆ + + = . L ậ p ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d đ i qua đ i ể m ( ) 8; 14 M − c ắ t hai đườ ng th ẳ ng 1 ∆ và 2 ∆ l ầ n l ượ t t ạ i A, B sao cho 2 3 0 AM MB + = Câu 8a (1,0 điểm) M ộ t h ộ p có 7 viên bi màu đỏ , 5 viên bi màu xanh và 6 viên b ị màu vàng. L ấ y ng ẫ u nhiên trong h ộ p ra 4 viên bi. Tính xác su ấ t để 4 viên bi l ấ y ra có đủ 3 m ầ u. Câu 9a (1,0 điểm) Tìm h ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng ch ứ a 1 x − trong khai tri ể n 2 3 3 2 n x x − thành đ a th ứ c. Bi ế t r ằ ng n là m ộ t s ố nguyên d ươ ng th ỏ a mãn 3 3 2 111 3 . n n n n n n C C C C − − − − + − = 2. Theo chương trình nâng cao. Câu 7b (2,0 điểm) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy, cho ∆ ABC có đỉ nh A thu ộ c đườ ng th ẳ ng d : x – 4y – 2 = 0, c ạ nh BC song song v ớ i d , ph ươ ng trình đườ ng cao BH: x + y + 3 = 0 và trung đ i ể m c ủ a c ạ nh AC là M(1; 1). Tìm to ạ độ các đỉ nh A, B, C. Câu 8b (2,0 điểm) T ừ các ch ữ s ố 0; 1; 2; …; 9 có th ể l ậ p đượ c bao nhiêu s ố t ự nhiên ch ẵ n g ồ m n ă m ch ữ s ố khác nhau đ ôi m ộ t và ch ữ s ố chính gi ữ a luôn là 2. Câu 9b (1,0 điểm) Tìm các giá tr ị x , bi ế t trong khai tri ể n Newton ( ) x n x 5 lg(10 3 ) ( 2)lg3 2 2 − − + s ố h ạ ng th ứ 6 b ằ ng 21 và n n n C C C 1 3 2 2+ = . .Hết . Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. H ọ tên thí sinh: Số báo danh: . CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883 NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM http://trithuctoan.blogspot.com/ HƯỚNG DẪN CHẤM Ơ Lưu ý: Dưới đây chỉ là hướng dẫn chấm và sơ lược các bước giải, trong bài làm của học sinh phải yêu cầu trình bày chi tiết, lập luận chặt chẽ, không được dùng bút xóa và không được viết tắt. Các đồng chí chấm đúng và đủ điểm cho học sinh để bài thi còn trả lại học sinh. Các cách làm khác nếu đúng, các đồng chí vận dụng cách cho điểm trong hướng dẫn chấm để chấm cho học sinh CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) a + Tập xác định: { } \ 1D R= + S ự biến thiên lim 2 x y →+∞ = , lim 2 x y →−∞ = . 2y = là tiệm cận ngang của đồ thị (C) 1 lim x y + → = −∞ , 1 lim x y − → = +∞ . 1x = là tiệm cận ngang của đồ thị (C) + Ta có ( ) 2 2 ' 0 x 1 y D x = > ∀ ∈ − Bảng biến thiên + K ết luận: - Hàm số đồng biến trên ( ) ;1−∞ và ( ) 1;+∞ - Hàm số không có cực trị + Đồ thị: Vẽ đúng dạng, đẹp 0.25 0.25 0.25 0.25 1 b + Xét ph ương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) 2 1 2 4 2 2 4 4 0 11 x x x m x m x m x ≠ − + = + ⇔ + − − + = − Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ( ) 2 2 4 4 0 16 0 4 * 4 m m m m m + − − + ≠ ⇔ ∆ = − > > ⇔ < − + Khi đó, ( ) ( ) ;2 ; ;2 A A B B A x x m B x x m + + với ; A B x x là nghiệm của (1) Áp d ụng định lí Viet ta có: 4 2 4 2 A B A B m x x m x x − + = − = + Theo gi ả thiết, ta có ( ) 2 2 15 2 , . 15 2. . 15 4. . 1125 4 5 AIB m S d I AB AB AB AB m ∆ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 2 20 . 1125 4 4 . 1125 A B A B A B x x m x x x x m ⇔ − = ⇔ + − = ( ) 2 2 2 2 2 16 225 25 9 25 5 5 m m m m m m m ⇔ − = = ⇔ = − ⇔ = = ⇔ = − 0.25 0.25 0.25 0.25 CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883 NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM http://trithuctoan.blogspot.com/ Vậy 5m = ± là giá trị cần tìm 2 + Điều kiện: sin 0 ,x x k k Z π ≠ ⇔ ≠ ∈ . Khi đó phương trình ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 cos 3cos 2 3 cos 1 sin cos 3cos 2 3 cos 11 cos cos 3cos 2 3 1 cos 3cos 2 1 cos 3cos 6cos cos 2 0 1 cos 2 2 cos 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − = − ⇔ − = − − ⇔ − = − + ⇔ − + = − ⇔ + − = = ⇔ = − Với 2 1 3 cos 2 2 3 x k x x k π π π π = + = ⇔ = − + V ới 2 arccos 2 3 2 cos 3 2 arccos 2 3 x k x x k π π = − + = − ⇔ = − − + Kết luận:…. 0.25 0.25 0.25 3 Điều kiện: 1 2 x ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 3 1 8 2 1 4 12 13 5 3 2 1 8 2 1 3 2 1 4 12 13 5 4 2 11 2 1 4 11 4 2 1 2 1 4 11 3 x x y y y x x x x y y y x x y y x x y y ⇔ − = + + + + − ⇔ − − − = + + + ⇔ − + − = + + + ⇔ − + − = + + + Từ ( ) 3 1 0 1y y⇒ + ≥ ⇔ ≥ − Xét hàm số ( ) 3 4f t t t= + trên [ ) 0;D = +∞ Ta có ( ) 2 ' 121 0,f t t t D= + > ∀ ∈ . Suy ra ( ) 3 4f t t t= + đồng biến trên D Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 11 2 11 2 2 2 f x f y x y x y y ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = + + Thay vào ( ) 2 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 4 3 2 2 2 2 4 2 2 4 1 2 7 2 0 6 11 6 0 1 5 6 0 0 1 2 3 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y + + − + + + + + + + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = = = − ⇔ = − = − 0.25 0.25 0.25 0.25 CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883 NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM http://trithuctoan.blogspot.com/ So sánh với điều kiện 1y ≥ − . Ta có 0 1 y y = = − Với 0y = ta có 1x = Với 1y = − ta có 1 2 x = Kết luận:…. 4 Điều kiện: 1 7 2 x x > ≠ . Khi đó phương trình tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2log 2 7 2log 1 2log 3 log 2 7 log 1 log 3 log 2 7 log 1 3 2 7 1 3 * x x x x x x x x x x x x − − − = + ⇔ − = − + + ⇔ − = − + ⇔ − = − + Tr ường hợp 1: Nếu 7 2 7 0 2 x x− ≥ ⇔ ≥ thì ( ) 2 2 * 2 3 2 7 x 4 0x x x⇔ + − = − ⇔ + = Phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: Nếu 7 2 7 0 2 x x− < ⇔ < thì ( ) 2 2 * 2 3 2 7 x 4 10 0 2 14 2 14 x x x x x x ⇔ + − = − + ⇔ + − = = − + ⇔ = − − Kết hợp điều kiện 7 2 x < và 1 7 2 x x > ≠ ta có 2 14x = − + là nghiệm của PT đã cho. 0.25 0.25 0.25 0.25 5 N M I A C B S H J K Gọi I là trung điểm AC, do SAC∆ cân tại S nên ( )SI ABC⊥ . Gọ i H là trung đ i ể m AI suy ra MH//SI ( )MH ABC ⇒ ⊥ , do đ ó (MN,(ABC)) = MNH∠ = 60 0 . Ta có 2 2 ABC a S = . Xét HCN∆ có: 2 2 2 2 0 3 2 5 ; ; 2 . . os45 2 4 8 a a a NC HC NH HC NC HC NC c= = = + − = ; 10 4 a NH = 0.25 CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883 NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM http://trithuctoan.blogspot.com/ 0 30 30 ó tan60 ; 2 4 2 Trong MHN c MH NH a SI MH a∆ = = = = 3 . 1 30 . 3 12 S ABC ABC V SI S a⇒ = = Goi J là trung điểm AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên MJ tức là HK MJ⊥ (1). Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , à / / 2 / / , à (3) 2 , 3 4 1 , 4 JN BI m BI HJ JN HJ SI MH m SI JN JN MH JN MHJ HK HK JN HK MNJ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊃ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ( , ) ( , ) ( ,( ))d AC MN d H AC MN d H MJN HK= ∈ = = = 2 2 .MH HJ MH HJ+ = 2 2 30 2 . 30 4 4 16 30 2 16 16 a a a a a = + 0.25 0.25 0.25 6 Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Cosi ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 9 2 9 3 b c a b c a a a a b c b c + + + ≥ = + + T ươ ng t ự ta c ũ ng có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 9 2 9 3 c a b c a b b b b c a c a + + + ≥ = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 9 2 9 3 a b c a b c c c c a b a b + + + ≥ = + + Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 9 a b c P a b c a b c b c a c a b b c c a a b = + + ≥ + + − + + + + + + + + (*) Theo Cosi, ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a a c b b a c c b a c b a c b a b c + + + + + + + + ≤ + + = + + (**) T ừ (*) và (**) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 9 2 1 3 3 9 P a b c a b c a b c a b c a b c a b c ≥ + + − + + + + ≥ + + − + + + + Đặ t ( ) 2 2 2 3t a b c= + + , t ừ gi ả thi ế t ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 12 3 7 12 0 3 4 a b c a b c a b c a b c a b c a b c + + − = + + ≥ + + ⇔ + + − + + + ≤ ⇔ ≤ + + ≤ Do đ ó 2 3 2 1 9 27 P t t≥ − . Xét hàm s ố ( ) 2 3 2 1 9 27 f t t t= − trên 3; 12D = L ậ p b ả ng bi ế n thi ế n c ủ a hàm s ố ( ) 2 3 2 1 9 27 f t t t= − trên 3; 12D = ta đượ c ( ) ( ) min 3 1 D f t f= = . Suy ra 1P ≥ V ậ y Min 1P = đạ t đượ c khi 1a b c= = = 0.25 0.25 0.25 0.25 CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883 NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM http://trithuctoan.blogspot.com/ B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo ch ương trình chuẩn. 7a G ọi 1 11 7 11 23 ; ; 14 2 2 a a A A a MA a − − ∈∆ ⇒ ⇒ = + G ọi 2 3 4 3 20 ; ; 14 2 2 b b B A b MB b − − − − ∈∆ ⇒ ⇒ = + Theo giả thiết, ta có 3 2 0 3 2MB AM MB MA+ = ⇔ = 9 60 22 9 14 1 11 23 2 2 3 14 4 3 42 2 28 b a b a a a b b b a − − + = − = = − ⇔ ⇔ ⇔ − = = − + = + Khi đó ( ) ( ) 2;1 , 4; 4A B − Ta có ( ) 2; 5AB = − là 1 vecto chỉ phương của AB. AB được xác định ( ) ( ) 2;1 2; 5 qua A vtcp AB = − AB có phương trình tham số 2 2 1 5 x t y t = + = − 0.25 0.25 0.25 0.25 8a + Số phần tử của không gian mẫu ( ) 4 18 3060n CΩ = = + G ọi biến cố A = “Bốn viên bi lấy ra có đủ 3 mầu” Số các cách chọn thuận lợi cho biến cố A là ( ) 2 111 2 111 2 7 5 6 7 5 6 7 5 6 1575n A C C C C C C C C C= + + = Xác suất của biến cố A là ( ) ( ) ( ) 1575 35 0.515 3060 68 n A P A n = = = = Ω 0.25 0.5 0.25 9a Điều kiện: , 3n N n∈ ≥ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 111 3 1 ! 1 ! 3 ! ! . . 3! 3 ! 3 !2! 2 !1! 2 !1! n n n n n n n n n n C C C C n n n n − − − − + − − + − = ⇔ − = − − − + 2 12 11 12 0 1 n n n n = ⇔ − − = ⇔ = − . Vậy 12n = . V ới 12n = ta có ( ) ( ) ( ) 12121212 2 2 12 24 5 1212 3 3 0 0 3 3 2 1 . 2 . 1 .2 .3 . k k k k k k k k k k k x C x C x x x − − − = = − = − = − ∑ ∑ S ố hạng chứa 1 x − trong khai triển ứng với 24 5 1 5k k− = − ⇔ = V ậy hệ số của số hạng chứa 1 x − là ( ) 5 5 7 5 121 2 .3 24634368C− = − 0.25 0.25 0.25 0.25 2. Theo chương trình nâng cao. 7b Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y x = . Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ : x x y A y x y 2 2 2 4 2 0 3 ; 2 3 3 3 = − − − = ⇔ ⇒ − − = = − Vì M là trung điểm của AC nên C 8 8 ; 3 3 Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: x y 2 4 = + ( ) x y x BH BC B B x y y 3 0 4 : 4;1 1 2 4 + + = = − ∩ = ⇔ ⇒ − = = + 0.25 0.25 0.25 0.25 8b + Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một là 2 ab de Do 2 ab de là số chẵn nên { } 0;4;6;8 e∈ 0.25 CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883 NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM http://trithuctoan.blogspot.com/ + Trường hợp 1: Nếu 0e = thì a có 8 cách ch ọn b có 7 cách chọn d có 6 cách chọn e có 1 cách chọn Theo qui tắc nhân ta có: 8.7.6.1 = 336 số + Trường hợp 2: Nếu { } 4;6;8e∈ thì a có 7 cách ch ọn b có 7 cách chọn d có 6 cách chọn e có 3 cách chọn Theo qui tắc nhân ta có: 7.7.6.3 = 882 số V ậy có 336 + 882 = 1218 số 0.25 0.25 0.25 9b + Phương trình n n n C C C 1 3 2 2+ = ⇔ n n n 2 ( 9 14) 0 − + = ⇔ n 7= + Số hạng thứ 6 trong khai triển ( ) x x 7 5 lg(10 3 ) ( 2)lg3 2 2 − − + là: ( ) ( ) x x C 2 5 5 5 lg(10 3 ) ( 2) lg3 7 2 2 − − + Ta có: x x C 5 lg(10 3 ) ( 2) lg3 7 .2 .2 21 − − = ⇔ x xlg(10 3 ) ( 2)lg3 2 1 − + − = ⇔ x xlg(10 3 ) ( 2) lg3 0− + − = ⇔ x x 2 (10 3 ).3 1 − − = ⇔ x x2 3 10.3 9 0− + = ⇔ x x0; 2 = = + KÕt luËn:… 0.25 0.25 0.25 0.25 CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883 NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM http://trithuctoan.blogspot.com/ . Điều kiện: 1 2 x ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 3 1 8 2 1 4 12 13 5 3 2 1 8 2 1 3 2 1 4 12 13 5 4 2 1 1 2 1 4 1 1 4 2 1 2 1 4 1 1 3 x x y. n n = ⇔ − − = ⇔ = − . Vậy 12 n = . V ới 12 n = ta có ( ) ( ) ( ) 12 12 12 12 2 2 12 24 5 12 12 3 3 0 0 3 3 2 1 . 2 . 1 .2 .3 . k k k k k k k k k k k