Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD... HƯỚNG DẪN CHẤM câu..[r]
(1)SỞ GD ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT QUỐC OAI ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN –LỚP 11 Thời gian : 90 phút Câu (2 điểm) Giải bất phương trình sau √ x−1−√ x−2> √2 x+1 Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình sau x2 − xy + y =0 x −6 y −5 √ 10 +2 y− x +12 =0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Câu (2 điểm) 2 sin x cos x−cos x P= 1+sin x cos x Tính giá trị biểu thức a Cho tan x=2 b Cho Δ ABC Chứng minh sin( A+ B ) cos( A+C )+ 2sin A +C B sin cosC=sin( B−C ) 2 Câu 4(3 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AB , − ;1 ) ( BD có phương trình x-y+4=0 và x+3y=0 Điểm M thẳng AC a Tìm toạ độ điểm B b Viết phương trình đường thẳng qua M và song song với AB c Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Câu (1 điểm) Cho số thực x, y ,z có tổng Chứng ming : (3 x +4 y +5 z) ≥44 ( xy + yz+zx ) ……….Hết……… thuộc đường (2) Họ và tên học sinh:…………………………………………… Số báo danh…………… HƯỚNG DẪN CHẤM câu NỘI DUNG Thang điểm ĐK: x≥2 (2 điểm) bpt ⇔ √ x−1> √ x−2+ √ x +1 điểm ⇔ x>2 √2 x 2−3 x−2 ⇔ x >8 x −12 x−8(do x≥2 ) ⇔7 x 2−12 x−8<0 6−2 √ 23 6+2 √ 23 ⇔ < x< 7 Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bpt đã cho là [2; (2 điểm) điểm 6+2 √23 ) x 2− xy + y =0( 1) x −6 y −5 √ 10 +2 y− x +12 =0 ( ) ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ điểm pt(1)⇔ y=2 x (3) Thế (3) vào (2) ta : x2 −12 x−5 √10+4 x−x +12=0 Đặt (4) t=√ 10+4 x− x2 (t≥0 )⇒ x −4 x=10−t điểm Khi đó pt (4) trở thành : Với t=3 t +5 t −42 =0 ⇔ [ t =3 ( tm ) ¿ [¿ −14 [ t= ( loai ) ¿ ⇒ √10+4x−x2=3⇔x2−4x−1=0 [x=2+√ 5⇒ y=4+2 √ [ ¿¿ ⇔ [x=2−√5⇒y=4−2 √5 KL: …………………… 3a (2 điểm) P= tan x−1 2−1 = = ( 1+ tan x )+tan x 1+2 +2 điểm (3) 3b B B VT=(sin C )(−cos B )+2 cos sin cosC 2 điểm =-sinC.cosB +sinB.cosC =sin(B-C)=VP (đpcm) 4(3 đ) 4a 4b 4c x− y +4 = x +3 y =0 ⇔ ¿ x =− y= ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Toạ độ điểm B là nghiệm hệ Vậy B(-3;1) Gọi Δ là đường thẳng qua M và song song với AB Vì Δ song song với AB nên Δ có dạng: x-y+c=0 ( c≠4 ) c= điểm điểm x− y + =0 Vậy Δ có pt : M thuộc Δ nên Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD Suy I là tâm đường tròn ngoại tiếp hcn ABCD điểm ⇒ N (−1 ; ) Gọi N là giao BD và Δ Vì ABCD là hcn nên I thuộc đường trung trực MN Pt đường trung trực d MN là : x+y=0 Khi đó I là giao d và BD ⇒ I (0;0 ) Vậy đường tròn cần tìm có tâm I và bán kính R=IB= √ 10 nên có pt: 2 x + y =10 Ta có x+y+z=1 ⇒ z=1−x− y thay vào bđt ta dược: (3 x +4 y +5−5 x−5 y )2≥44 xy+44 ( x + y )(1−x− y ) ⇔ 48 x2 +16 x (3 y −4 )+45 y −54 y +25≥0(1 ) Ta coi VT (1) là tam thức bậc hai x với hệ số x là 48>0 Khi đó ' x 2 Δ =64 (3 y −4 ) −48 (45 y −54 y +25 )=−176(3 y−1 ) ≤0 ⇒VT ( 1)≥0 ∀ x , y (đpcm) y= z= ¿ { ¿ { ¿ ¿¿ ¿ x= Dấu “=” xảy Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa 0,5 điểm 0,5 điểm (4)