Sở GD&ĐT Quảng Trị ĐỀ THITHỬĐẠIHỌC (Lần III, năm 2013) Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Môn: Toán khối A, B (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu 1 (2đ) Cho hàm số y = 2x 3 – 3(1+m)x 2 + 6mx + 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho DOAB có diện tích bằng 13 Câu 2 (1đ) Giải bất phương trình 2 1232 1 1 xx x ++- £ - Câu 3 (1đ) Giải phương trình: (1 + sinx)(1 + tanx) = cosx(1 + cotx) Câu 4 (1đ) Tính tích phân 1 2 0 11 ln 23 x Ixdx xx æö + ÷ ç =+ ÷ ç ÷ ç èø ++ ò Câu 5 (1đ) Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = b, OC = c và AÔB = BÔC = CÔA = a Xác định a để thể tích khối tứ diện OABC bằng 2 12 abc . Câu 6 (1đ) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn: 3 232 xy xyxy ££ ì í £+ î Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn Câu 7a (1đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho DABC cân tại A, cạnh BC chứa điểm M(-4;1) và các đường thẳng chứa cạnh AB; AC có phương trình lần lượt là x + 3y – 1 = 0; 3x + y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của DABC. Câu 8a (1đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 1 :2 2 xt dyt zt =+ ì ï =- í ï = î và 2 211 : 212 xyz d ++- == -- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 và tạo với d 2 một góc 45 0 . Câu 9a (1đ) Xét các số phức Z 1 , Z 2 thỏa mãn: 12 12 13 52 ZZ ZZ ì == ï í -= ï î Hãy tính 12 ZZ+ B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b (1đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho DABC vuông cân tại A nội tiếp elip (E): 2 2 1 4 x y+=, với A(-2;0). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp DABC. Câu 8b (1đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng 1 : 22 xt dyt zt =- ì ï = í ï =-+ î Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 4x – 2y + 3 = 0 Câu 9b (1đ) Xét số phức Z, thỏa mãn: 211ZZi+-+=. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2EZZ=+ Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Cảm ơn bạn (hongnhung79@yahoo.com ) gửi tới www.laisac.page.tl P N Phn chung Cõu 1 (2 im) y = 2x 3 3(1+m)x 2 + 6mx + 1 (1) 1) Kho sỏt v v th hm s y = 2x 3 3x 2 + 1 (m = 0) TX: R S bin thiờn: Gii hn: lim x y đ-Ơ =-Ơ , lim x y đ+Ơ =+Ơ Bng bin thiờn: y' = 6x 2 6x = 6x (x 1) x -Ơ 0 1 +Ơ y' + 0 0 + y -Ơ 1 0 +Ơ Nờu y khong ng bin, nghch bin, cc tr th: y" = 12x 6 = 0 ị x 1 2 = , im un U 11 ; 22 ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ V y , rừ rng, chớnh xỏc 2) m = ? S(OAB) = 13 y' = 6[x 2 (1 + m)x + m] y = 0 1x xm ộ = ờ ờ = ở 32 (3) (31) ym ymm = =-++ th hm s cú hai im cc tr A v B m ạ 1 Coi rng A(1, 3m) , B(m; -m 3 + 3m 2 + 1) ị (OA): 3mx y = 0 ị BH = d(B; OA) = 3 2 1 91 m m - + ; OA = 2 19m+ S(OAB) 1 2 = OA.BH 1 2 = 3 1m - = 13 3 3 25 m m ộ = ờ ờ =- ở 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu 2. (1 im) Gii bpt 2 1232 1 1 xx x ++- Ê - (1) K: 1 [;1)(1;2] 2 x ẻ-ẩ Vi 1 [;1) 2 x ẻ- tha món (1) (] 1;2x ẻ khi ú (1) 2 2322xxx+-Ê- 2 2 2 3720 x x xx ỡ ù ù = ớ ù -+ ù ợ Tp nghim S = {} 1 [;1)2 2 -ẩ 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu 3. (1 im) Gii phng trỡnh (1 + sinx)(1 + tanx) = cosx(1 + cotx) (1) K: sin0 cos0 x x ỡ ạ ù ù ớ ù ạ ù ợ khi ú: (1) sinx(1 + sinx)(cosx + sinx) = cos 2 x(sinx + cosx) 0,25 2 sincos0 2sinsin10 xx xx ộ += ờ ờ +-= ở 4 sin1 1 sin 2 xk x x p p ộ ờ =-+ ờ ờ =- ờ ờ ờ = ờ ờ ở cos0xị= (loi) 4 2 6 5 2 6 xk xm xm p p p p p p ộ ờ =-+ ờ ờ ờ =+ ờ ờ ờ ờ =+ ờ ở 0,25 0,25 0,25 Cõu 4 (1 im) 11 2 00 1 ln 23 xdx Ixdx xx + =+ ++ ũũ (1) t 2 1 ln (1)(2) 2 1 (1) 2 dx du x u xx x dvxdx vx ỡ ù ù ỡ = + ù ù ù = ù ++ ù ù ị + ớớ ùù ùù = =- ùù ợ ù ù ợ 11 00 11113 lnln1 22222 x xdxdx xx ổử + ữ ỗ ị=-- ữ ỗ ữ ỗ ốứ ++ ũũ = ( ) 1 0 11 ln23ln2 22 xx---+ = 31 ln32ln2 22 -- t 3tanxt= , 2 ;3(1tan) 22 tdxtdt pp ổử ữ ỗ ẻ-ị=+ ữ ỗ ữ ỗ ốứ 1 6 6 2 00 0 333 33318 dx dtt x p p p ổử ữ ỗ ữ ị=== ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ + ốứ ũũ (1) 331 ln32ln2 1822 I pị=+-- 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu 5 (1 im) Ly cỏc im A o , B o , C o trờn OA, OB, OC tng ng sao cho OA o = OB o = OC o = 1 (Gt) ị O. A o B o C o - chúp tam giỏc u A o B o 2 = 2 2cos S(A o B o C o ) = 2 0 33 (1cos) 42 o AB a=- CH o ^ (A o B o C o ) ị H o l tõm tam giỏc u A o B o C o ị 22 0 1 12cos 3 ooo OHOAAH a=-=+ , 1 (cos) 2 a >- V o = 1 3 S(A o B o C o )OH o = 1 (1cos)12cos 6 aa-+ , 2 (0) 3 p a<< (1cos)12cos 6 o abc VabcV aa==-+ , 2 (0) 3 p a<< 0,25 0,25 0,25 A o O B o C o H o Từ đề bài, đưa đến phương trình: 4cos 3 α – 6cos 2 α + 1 = 0 2 (0) 3 p a<< 3 13 arccos() 2 p a a é ê = ê Ûê ê - ê = ê ë 0,25 Câu 6. (1 điểm) Gt 2 2 10; 23 2 x y xy ì ï ï -³ ï ï ï Þ í ï ï +³ ï ï ï î 22 3 y³ 2 2 + 3 2 = 222 22 222 23 ()3(1) x x xyy ++-³ ³ 22 22 2 23 ()(1) 2 xx y xyy ++-³ ³ 2x 2 + y 2 – x 2 = x 2 + y 2 = P MaxP = 13 khi (x, y) = (2 , 3) 0,25 0,25 0,25 0,25 Phần riêng Câu 7a. (1 điểm) AB: x + 3y – 1 = 0 ; AC : 3x + y + 5 = 0 Cạnh BC chứa điểm M(-4 ; 1) , I là trung điểm BC Þ AI ^ BC 310 :(2;1) 350 xy AABACA xy ì +-= ï ï =ÇÞ- í ï ++= ï î Giả sử N(x ; y) trên tia phân giác AI (của góc BÂC), khi đó : Þ M, N cùng phía đối với AB, AC và N cách đều AB, AC (431)(31)0 (1215)(35)030 3135 xy xyxy xyxy ì ï -+-+-> ï ï ï Þ-++++>Þ-+= í ï ï ï +-=++ ï î AIÞ : 30(1;1) BC xyn-+=Þ= r , M Î BC BCÞ : 30xy++= B = AB Ç AC ; C = AC Ç BC Þ B(-5; 2) , C(-1; -2) 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 8a. (1điểm) Véc tơ chỉ phương của d 1 , d 2 lần lượt là 1 (1;1;2)u =- r , 2 (2;1;2)u =-- r Gọi véc tơ pháp tuyến của mp(P) là (;;)nabc= r (P) chứa d 1 và tạo với d 2 một góc 45 0 , nên (P): a(x – 1) + b(y – 2) + z = 0 , (a 2 + b 2 + c 2 > 0) và 1 0 2 222 2 0 22 1 cos(,)sin45 2 3 bac nu abc un abc ì =+ ï ì ï ï = ï ï ïï +- Û íí ïï = = ïï ïï î ++ ï î rur uurr 0 (45)0 4 5 c cac ca é = ê ê Þ+=Þ ê =- ê ë (P) : x + y – 3 = 0 (P’) : 5x – 3y – 4z + 1 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 9a. (1điểm) Giả sử z 1 = a 1 + b 1 i ; z 2 = a 2 + b 2 i (a 1 , b 1 ; a 2 , b 2 Î R) (Gt) 2222 1122 22 1212 13 ()()52 abab aabb ì ï +=+= ï ï Þ í ï ï -+-= ï î 1212 2()24aabbÞ+=- 222222 121211221212 ()()2()2aabbababaabbÞ+++=+++++= Vậy |Z 1 + Z 2 | = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 chọn a = 1 Þ b = 1 chọn a = 5 ; c = - 4Þ b= -3 Câu 7b. (1 điểm) Tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp (E) : 2 2 1 4 x y+= ; A(-2 ; 0) Þ B(x 0 ; y 0 ) thì C(x 0 ; - y 0 ) Þ I(x 0 ; 0) là trung điểm của BC (Gt) 00 1 2 2 AIBCxyÞ=Þ+= 2 2 0 00 441 4 x xxÞ++=- 0 (2)x < 0 0 2() 6 5 xloai x é =- ê ê Þ ê =- ê ë Þ Đường tròn (C) cần tìm có tâm I 6 (;0) 5 - , bán kính R = 14 25 BC = Vậy (C) : 22 616 () 525 xy++= 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 8b. (1điểm) Mặt cầu (S) có tâm I(2 ; 1 ; 0), bán kính R = 2 Gọi véc tơ pháp tuyến của mp (P) là (;;)nabc= r (P) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S), nên (P) : a(x – 1) + by + c (z + 2) = 0 ; (a 2 + b 2 + c 2 >0) Và 222 20 0 2 2 (;()) abc un abc dIPR abc ì -++= ï ï ì ï ï = ïï ++ Û íí ïï = = ïï î ï ++ ï î rr 0 (43)0 4 3 c cbc cb é = ê ê Þ+=Þ ê =- ê ë (P) : x + y – 1 = 0 ; (P’) : 5x – 3y + 4z + 3 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 9b. (1điểm) Đặt z = a + bi (a, b Î R) 2131(1)zziabi+-+=-++ 22 211912(3)zziabab+-+=Û++=- (1) E = 22 29zzab+=+ 22 32(9)2ababEÞ-£+= (1) 2 122EEÞ+£ 2121EÞ-££+ MaxE = 21+ , khi 22 6 22 2 a b ì ï + ï = ï ï ï í ï + ï ï =- ï ï î MinE = 21- , khi 22 6 22 2 a b ì ï - ï = ï ï ï í ï - ï ï =- ï ï î 0,25 0,25 0,25 0,25 chọn b = 1 Þ a = 1 chọn b = -3; c = 4 Þ a = 5 Cảm ơn bạn (hongnhung79@yahoo.com ) gửi tới www.laisac.page.tl . ì ï -+ - +-& gt; ï ï ï -+ +++> -+ = í ï ï ï +-= ++ ï î AIÞ : 30(1;1) BC xyn-+=Þ= r , M Î BC BCÞ : 30xy++= B = AB Ç AC ; C = AC Ç BC Þ B (-5 ; 2) , C (-1 ; -2 ). ớớ ùù ùù = =- ùù ợ ù ù ợ 11 00 11113 lnln1 22222 x xdxdx xx ổử + ữ ỗ ị =-- ữ ỗ ữ ỗ ốứ ++ ũũ = ( ) 1 0 11 ln23ln2 22 xx -- - + = 31 ln32ln2 22 -- t 3tanxt=