www.facebook.com/toihoctoan
Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax by c a D a x b y c a D + = ≠ + = ≠ • ⇔ a b a b ≠ ⇔ • !! ⇔ a b c a b c = ≠ ⇔ "# • ≡ ⇔ a b c a b c = = ⇔ "#$% II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tâ ̣ p 1: & x y m x my + = − = ' ' ()'*+,' & -./0.012/3 2 4+'"5+'6512' 7 '"# 8 912': ; 9/3'4<24=+' HD:1. Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2. 2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: a b c a b c = ≠ ⇔ ' ' & m m = ≠ − ⇒ ' ' & ' & m m = − ≠ ⇒ & m m = − ≠ ⇒ m = – 2: Hệ (1) vơ nghiệm. 3. Hệ (1) có nghiệm: x = & & m m+ ; y = & & m m+ . 4. Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1 ⇔ & & m m+ + & & m m+ = 1 ⇔ m 2 + m – 2 = 0 ⇔ = = − 1( ) 2( ) m thỏa ĐK cónghiệm m khôngthỏa ĐK cónghiệm . Vậy khi m = 1, hệ( 1 có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1. Bài tâ ̣ p 2: & & ; > x y k x y k + = + + = − ' ' ()'**+' & 9.012*/3'654+,?"5+@ 8 912':* HD:1. Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1. 1 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 2. Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 . 8 Hệ (1) có nghiệm: x = A ' & k − ; y = A 8 & k− . Bài tâ ̣ p 3: 8 & ' x y x my + = − = ' ' ()'*+,@ & -./0.012/3 2 4+,'"5+;6512' b) Hệ (1) vô nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. HD:1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = 8 ; − . 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2. 3. Hệ (1) có nghiệm: x = 8 ' & m m + + ; y = A &m+ . Bài tâ ̣ p 4: & ' & 8 ' mx y x y − = − + = ' ' ()'*+8 & 9/34+ ' & − "5+ & 8 8 Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. HD:1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = ' '8 − ; y = A '8 . 2a) Hệ (1) có nghiệmx = ' & − và y = & 8 khi m = & 8 − . 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2. 8 Hệ (1) có nghiệm: x = ' 8 ;m − + ; y = & 8 ; m m + + . Bài tâ ̣ p 5 : ; & 8 x y x y m + = + = ' ' ()'*+,' & 9/3'4B<2 x y > < HD: 1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9. 2. Tìm: • Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 . • Theo đề bài: x y > < ⇒ '& ? m m − > − < ⇔ '& ? m m < < ⇔ m < 8. Bài tâ ̣ p 6: & 8 ' 8 & & 8 x y m x y m + = + + = − 2 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II ' ()*+,' & CD.05124B<2 ' E x y < < HD: 1. Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4. 2. Tìm: • Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m . • Theo đề bài: ' E x y < < ⇒ ' 8 m m < − > − ⇔ ,8Fm < – 1 . Bài tập 7: & A 8 ' mx y mx y − + = + = ' ' ()'*+' & -./0.012/3' 2 "5/: 7 4<24,+& HD: 1. Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – 2 ; y = 1. 2a) Khi m ≠ 0, hệ (1) có nghiệm: & ' x m y =− = . 2b) m = & 8 − . Bài tập 8 : & & ' mx y m x y m − = − + = + 652$%G 2 H+,&)7I.J b) 9K.0122$%m/3G"5K /: HD: a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = & 8 ; y = ' 8 . b) • Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m ≠ 4. • Khi đó hệ(I) có nghiệm duy nhất: 8 & ; m x m + = − ; & 8 ; m m y m + = − CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax 2 VÀ (D): y = ax + b (a ≠ 0) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0): • 5$%+24 & 2 ≠ LK$2 • MN2O5$%/P7N*4O"507N*4F • MN2F5$%/P7N*4F"507N*4O 3 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II • QP0125$%+24 & 2 ≠ • R5JS2276S"D/T65%U2/J"5VWX65W/%4Y • MN2O/P0IK2ZW5 65/312/P0 • MN2F/P0IK2DW5 65/3212/P0 • C[/P0125$%+24 & 2 ≠ • RV7)..0Y12S • \2"57).0 → "[S 2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax 2 (a ≠ 0) và (D): y = ax + b: • R] ^ _ ` 2 ` /# ^ 2/Z a a 2S"2 ` &"Z b 2 a a 2&2 ` $# b 7c ` 2 → /2"Z ` 7] ^ 22 ^ 24 & =74=+ • (2 a 2 ` /# ^ 2/Z a =MZ b ∆ O ⇒ b &Z ^ ]7Z ^ ⇒ c b S2 ^ &/Z a ]7Z ^ =MZ b ∆ + ⇒ b Z ^ *: b ⇒ "2 ` SZ b 4 b 2 =MZ b ∆ F ⇒ "#Z ^ ⇒ "2 ` S*#22 3. Xa ́ c đi ̣ nh số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax 2 (a ≠ 0) và (D m ) theo tham số m: • R] ^ _ ` 2 ` /# ^ 2/Z a a 2S"2 ` &"Z b 2 a a 2&2 ` $# b 7c ` 2 → /2"Z ` 7] ^ 22 ^ 24 & =74=+ • R] ^ ∆ c ^ ∆' a 22 ` /# ^ 2/Z a • dZ ^ 6] ^ = c b S2 ^ &/Z a ]7Z ^ * ∆ O → 2 a 7] b → _ ` = Z b 4 b S2 ^ '/Z a ∆ + → 2 a → _ ` = "2 ` S*#22* ∆ F → 2 a 7] b → _ ` II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tâ ̣ p 1: 22 ` $# b + 2 2 x b /# ` ^ S"2 ` +e4= b /# ` ^ ' C b +;": f S"2 ` ; Z ` # ^ Z ^ ^ ^ 2/# ^ "# b X4 -2 b / ^ ^ 2/# ^ 2 b 2 /Z a a 2 b & -2 b / ^ 2 b ^ a 2/Z a 2 Sg/35/J7I' 7 Sg&/3]7 N4hS -./0U2/JN/3 HD ' 9U2/J2/3(2 ; 2) "5 (– 4 ; 8) &2 + 8 & &7 ∆ +'=&O ' & m⇒ >− &+ ' & − → U2/JN/3(-1 ; ' & ). Bài tâ ̣ p 2:22 ` $# b +,&4 & b /# ` ^ S"2 ` +,84= b /# ` ^ ' H+'": f S"2 ` ' Z ` # ^ Z ^ ^ ^ 2/# ^ "# b X4 -2 b / ^ ^ 2/# ^ 2 b 2 /Z a a 2 b & -2 b / ^ 2 b ^ a 2/Z a 2 /i2J/3ZSg/35/J7I ' & − 7 Sg&/3]7 N4hS -./0U2/JN/3 4 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II HD ' 9U2/J2/3( ' ' & & −; ;) "5 (1 ; – 2) &2 +–& &7F > ? &+ > ? → U2/JN/3( 8 > ; ? −; ). Bài tâ ̣ p 3:5$%+,&4 & /P0S ' C[SZJWU2/J"# & (Uj & @ 8 ;− − "5d&B' 2 CN/kljd 7 -./0U2/J.2/312/kljd"5S 8 9/3ZSm5/J"5/J127I,E HD &2 Qkljd++84,A &7 9U2/J2/3(1;– 2) "5 ( A & − ; &A & − ) 8 (Un4 n B n 65/3ZS<2/o7524 n = n +,E np*.n4 n B n ∈ S ⇒ n +,& & M x Z4 n = n +,E ⇔ 4 n =,& & M x +,E ⇔ ,& & M x =4 n =E+ ' ' & & & ? 8 > & & x y x y = ⇒ = − ⇒ =− ⇒ = − CV&/3<2/o75n ' &B,?"5n & 8 > & & − −; Bài tâ ̣ p 42 ` $# b + 8 & − 4 & b /# ` ^ S"2 ` +,&4= ' & b /# ` ^ ' C[S"5ZqJWU2/J"# & -./0U2/J.2/312S"5 8 9U2/JL/3ZS<2Km5/J"5/J12/3/7I,; HD & 9U2/J2/3( ' 8 ; ' E − ) "5 (1 ; 8 & − ) 8 (Un4 n B n 65/3ZS<2/o7524 n = n +,; np*.n4 n B n ∈ S ⇒ n + 8 & − & M x Z4 n = n +,; ⇔ 4 n = 8 & − & M x +,; ⇔ 8 & − & M x =4 n =;+ ' ' & & ; ? 8 8 & E x y x y =− ⇒ =− ⇒ = ⇒ = − CV&/3<2/o75n ' ; ? 8 8 ;− − "5n & &B,E Bài tâ ̣ p 52 ` $# b + & 8 4 & b /# ` ^ S"2 ` +4= A 8 b /# ` ^ ' C[S"5ZqJWU2/J"# & -./0U2/J.2/312S"5 5 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II 8 (Uj65/3 ∈ S"5d65/3 ∈ $2 '' ? A B A B x x y y = = -./0U2/J12j"5d HD & 9U2/J2/3( & ' 8 − ; ) "5 ( A &A & E ; ) 8 Qp4 j +4 d + • j4 j B j ∈ S ⇒ j + & 8 & A x + & 8 & • d4 d B d ∈ ⇒ d +4 d = A 8 += A 8 • 9:/o75 '' ? A B y y= ⇔ '' & 8 & +? = A 8 ⇔ & && ; ? 8 8 t t− − = ⇒ ' & & ' '' t t = =− • CD+& ? ? & & 8 8 '' '' & & 8 8 ( ; ) ( ; ) A A B B x y A x y B = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ • CD+ ' '' − ' & ' & '' 8E8 '' 8E8 ' &A ' &A '' 88 '' 88 ( ; ) ( ; ) A A B B x y A x y B =− ⇒ = ⇒ − ⇒ =− ⇒ = ⇒ − Bài tâ ̣ p 69plU2/J"#X42/3j'B–&"5d–&B8 ' CN/kl/i2jd & (US65/P0125$%+–&4 & 2 C[SZplU2/J/r 7 -./0U2/J.2/312S"5 HD ' S/kljd+ 5 3 − 4 1 3 − & 9U2/J2/3(1; –2) "5 ( 1 6 − ; 1 18 − ) Bài tâ ̣ p 7C[/P0S125$%+,&4 & ZplU2/J"#X4 ' (U65/kl/i2/3j–&B–'"5$%* 2 CN/kl 7 9*/3/i2dIZS7N5/J12d65' HD &2 • S/klgmi.+24=7 • $%* ⇒ +*4=7 • /i2j–&B–' ⇒ –'+* –&=7 ⇒ 7+&*,' • S/kl+*4=&*,' &7 • Q3d4 d B d ∈ S ⇒ d'B– & • /i2d'B–&Z –&+* '=&*,' ⇒ *+ 1 3 − Bài tập 825$%+4 & /P0S"5+4=&/P0 ' C[S"5ZqJWU2/J"#X4 -./0U2/J.2/312 h 6 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II & (Uj65/3J5/J7IA"5d65/3JS5/J7I,& -. /0U2/J12jd 8 9U2/J12/3GIZW$2Gj=Gd< HD ' 9U2/J2/3(2; 4) "5 (–1; 1) & 9U2/J12j(5; 7)"5d(– 2 ; 4) 8 • G4 G G ∈ X ⇒ G G • Gj=Gd<*72/3Gjdl5 • S/kljd+ 8 @ 4= 8; @ • G4 G G ∈ /kljdZ G + 8 @ = 8; @ + 8; @ ⇒ GB 8; @ Bài tập 95$%+,4 & /P0S"5+4,&/P0 2 C[S"5ZqJWU2/J"# -./0U2/J2/312S"5 7I./g$% 7 (Uj65J/3J/J7I'"5d65J/3JS5/J7I, ' -./0U2/J12j"5d 9U2/J12/3nJW5$2nj=nd< HD 29U2/J2/3(2; – 4) "5 (–1; 1) 79U2/J12j(3; 1)"5d(– 1 ; – 1). • j +'O d +,'F ⇒ jdI*.K2/%"DWX4/nj=nd< *njdl5 ⇒ n652/312jd"DX4 • Qkljdg+24=7 Qkljd/i22/3jd ⇒ ' 8 ' a b a b = + − = − + ⇔ ' & ' & a b = = − → Qkljd+ ' & 4, ' & • 9U2/Jn6512 ' ' & & y x y = − = ⇔ ' y x = = • CVn'B Bài tập 10S+4 & "5+,4=& ' C[S"5ZqJWU2/J"#X4 (Uj"5d65.2/312S "54./0U2/J12jd & 9KK2.jXd/"0/ZW$%65 8 ns92.jXd652."# HD ' 9U2/J2/3(1; 1)"5(– 2; 4) & (UH65N12jdZWX42 • ∆ Xj"#g ⇒ t Xj + ' & X Xj+ ' & ' '+ ' & & • ∆ XHd"#gH ⇒ t XHd + ' & XH Hd+ ' & & ;+; & • (UG652/312"DWX4 ⇒ G + ⇒ 4 G +& ⇒ G&B 7 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II • ∆ GHd"#gH ⇒ t GHd + ' & dH HG+ ' & ; ;+? & • t Xjd +t GHd ,t Xj =t XHd +?, ' & =;+8A & 8 • S/klXj+24 • /i2j'B' ⇒ 2+' ⇒ +4 • 2+,'"52+' → 2 2+,' ⇒ ⊥ ⇒ Xj ⊥ jd ⇒ ∆ Xjd"#gj eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải phương trình bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)' 2Nhẩm nghiệm: • 2=7=+ ⇒ '& 1 2 1x c x a = = • 2,7=+ ⇒ '& 1 2 1x c x a =− = − 7Giải với '∆ : MN7+&7 ⇒ 7+ 2 b ⇒ '∆ +7 & ,2 • MN '∆ O ⇒ &]7 1 ' 'b x a − + ∆ = B 2 ' 'b x a − − ∆ = • MN '∆ + ⇒ *u 1 2 'b x x a − = = • MN '∆ F ⇒ "# Giải với ∆ : 9K ∆ ∆ +7 & ,;2 • MN ∆ O ⇒ &]7 1 2 b x a − + ∆ = B 2 2 b x a − − ∆ = • MN ∆ + ⇒ *u 1 2 2 b x x a − = = • MN ∆ F ⇒ "# 2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng: 2Q06v MN 4 ' 4 & 65 & 12 24 & = 74 = + 2 ≠ 2 1 2 1 2 b S x x a c P x x a = + = − = = 7Q06v/)MN . u v S u v P + = = ⇒ "65&124 & ,t4=S+QHt & ,;S ≥ 8 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: • 9m7. 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x x x+ = + − +t & ,&S • 9m0/). 1 2 1 2 1 2 1 1 S P x x x x x x + + = = • 9m0/)7. 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 S 2P ( ) P x x x x x x + − + = = • d12. − = + − 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4x x x x x x +t & ,;S • 9m6V. 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( )x x x x x x x x+ = + − + +t 8 ,8St Ví dụ:4 & ,'&4=8A+ rK.012.73Y$2 2 2 2 1 2 x x+ 7 1 2 1 1 x x + 2 1 2 ( )x x− 3 3 1 2 x x+ Giải: S '∆ + ' O ⇒ & . W Y Ceu ' 1 2 1 2 12 35 b S x x a c P x x a = + = − = = = = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x x x+ = + − +t & ,&S+'& & ,& 8A+@; 7 1 2 1 2 1 2 1 1 S P x x x x x x + + = = + 12 35 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 S -4Px x x x x x− = + − = +'& & ,; 8A+; 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( )x x x x x x x x+ = + − + +t 8 ,8St+'& 8 ,8 8A '&+;E? 3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1 , x 2 không phụ thuộc vào tham số). wPhương pháp giải: • 9/o*/3/r ' 0∆ ≥ B ∆ ≥ 0 p2 F • RVYCeu 1 2 1 2 b S x x a c P x x a = + = − = = • Hx2$%7I.J/g$%Y6ZL2t"5S → Q65 Y/J6V"D2$% Ví dụ:&4 & =&,'4=,'+'652$% ' nsS'6#"DU & (U4 ' 4 & 65&12' 9Y6ZL2&*#WJ"5 Giải: ' S' ∆ +7 & ,;2+=&,' & ,; & ,'+; & ,'&=>+&,8 & ≥ ∀ CV'6#"DU & 9 Toán 9 – Ôn tập học kỳ II • yWYCeu' 1 2 1 2 2 1 2 1 2 b m S x x a c m P x x a − + = + = − = − = = = ⇔ 2 2 1 2 1 S m P m =− + = − ⇔ 2 2 1 4 2 2 S m P m =− + = − ⇒ &t=;S+e' 2&4 ' =4 & =;4 ' 4 & +e'Q]65Yz 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó: wPhương pháp giải: • MN&$%"5" . u v S u v P + = = ⇒ "652124 & ,t4=S+w • ()w =MN '∆ Op ∆ O ⇒ w&]74 ' 4 & CV 1 2 u x v x = = p 2 1 u x v x = = =MN '∆ +p ∆ + ⇒ w*u4 ' +4 & + 'b a − CV+"+ 'b a − =MN '∆ Fp ∆ F ⇒ w"# CV*#&$%"<2/o75 Ví dụ 1:9&$%"7N="+''"5 "+&? Giải: 9:/o75 ⇒ "652124 & ,t4=S+ ⇔ 4 & ,''4=&?+w Sw ∆ +>O ⇒ ∆ = 3 ⇒ 1 2 7 4 x x = = CV 7 4 u v = = 2 4 7 u v = = Ví dụ 2: 2$%2+ 3 ='"57+8, 3 CN7V22652"57 Giải: • 2=7+ 3 ='=8, 3 +; • 2 7+ 3 =' 8, 3 +& 3 t22765&124 & ,t4=S+ ⇔ 4 & ,;4=& 3 +Q]65z 5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • RV7Y '∆ p ∆ • dN/m '∆ /2"og '∆ +j ± d & =O ∀ "D65J$% • HN6VCV/r6#2]7"DU2$% 6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • RV7Y '∆ p ∆ • dN/m '∆ /2"og '∆ +j ± d & ≥ ∀ • HN6VCV/r6#"DU2$% 7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • RV7Y '∆ p ∆ • d6V 10 . phải thì được số mới: xyx =100 x +10y + x = 101 x +10y • Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình: (101 x + 10y) – (10x + y) = 682 ⇔ 91x + 9y. đơn vị: 10 – x • Số đã cho có dạng: 10. x + (10 – x) = 9x + 10 • Tích của hai chữ số ấy: x (10 – x) • Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x (10 – x)=