Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 bằng lập phương của số tự nhiên.. Từ C kẻ CH vuông góc với AB.[r]
(1)TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG Bài (2 điểm) Cho biểu thức P ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút 15 x 11 x 2 x x x 1 x 3 x a Rút gọn P b Tìm x để P là số nguyên Bài (2 điểm) a Giải phương trình x x x x 2 b Giải phương trình nghiệm nguyên y3 – x3 = 2x + Bài (2 điểm) a Tìm các số nguyên tố p cho 13p + lập phương số tự nhiên b Cho n số tự nhiên a1, a2, a3, , an có tổng 201510 Tìm số dư chia A a15 a25 a35 an5 cho 15 Bài (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Lấy C trên nửa đường tròn O cho AC > BC Từ C kẻ CH vuông góc với AB Tiếp tuyến A nửa đường tròn (O) cắt BC P, tiếp tuyến nửa đường tròn (O) cắt AP M Biết MO cắt AC I, MB cắt CH K a Chứng minh: CH2 + AH2 = 2AH.CO b Chứng minh: IK // AB c Cho MO = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R Bài (1 điểm) Cho biểu thức P (14 4)(24 4)(34 4) (n 4) với n là số nguyên dương Chứng minh P là số vô tỉ Cán coi thi không giải thích gì thêm! ====== HẾT ===== (2) TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG Bài Nội dung cần đạt a ĐK: x 0; x 1 P HDC KS CHẤT LƯỢNG HSG LẦN NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN x 2 x 3 Rút gọn b Chứng minh -5 < P < 2/3 Tìm x = 196; 121/4; 64/9; 25/16; 4/25 a ĐK x >= 5/2 Đưa dạng x x 4 x 7 Tìm Điểm 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 b Nhận xét: 3x2 – x + = (x - )2 + 2x2 + > và 6x2 + 10x + = (x + 1)2 + x2 + > (x3+2x+1) - (3x2 -x+2) < x3+2x+1<(x3 + 2x + 1)+(6x2 +10x+7) (x - 1)3 < x3 + 2x + < (x + 2)3 (x - 1)3 < y3 < (x + 2)3 x3 = y3 y3 = (x + 1)3 + x3 = y3 x3 = x3 + 2x + x = - loại x 0 x lo¹i + y3 = (x + 1)3 (x + 1)3 = x3 + 2x + Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: x =0; y = a Ta có 13p + = n3 với n là số tự nhiên Suy 13p = (n-1)(n2+n+1) - TH1: n – = 13 hay n = 14 thì p = 211 là số nguyên tố - TH2: n2+n+1=13 hay n = thì p = là số nguyên tố Vậy p = 2; 211 b - Chứng minh k5 – k = k(k-1)(k+1)(k2+1) chia hết cho và - Tìm số dư là 10 a Chứng minh tam giác ABC vuông C Ta có CH2 + AH2 = AH.BH+AH2 = AH(BH+AH) =2AH.CO 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) b - Chứng minh các tam giác AMC, PMC cân M để M là trung điểm AP - Chứng minh K là trung điểm CH - Chứng minh I là trung điểm AC c - Tính AM - Tính AC dựa vào AI-2 = AO-2 + AM-2 - Tính AH dựa vào AC2 = AH.AB - Tính IK - Tính SMOB - Tam giác MIK đồng dạng với MOB Từ đó tính SMIK 4 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Đặt A (1 4)(2 4)(3 4) ( n 4) Xét k4+1=…=[(k-1)2+1][(k+1)2+1] Suy A=2.(22+1)2.(32+1)2…[(n-1)2+1]2.(n2+1)[(n+1)2+1] Chứng minh (n2+1)[(n+1)2+1] không là số chính phương 0,25 0,25 0,5 (4)