b Chứng minh bất đẳng thức c Tính giá trị của biểu thức có điều kiện Bài 3: 4,0 điểm.. a Chứng minh chia hết b Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn cho trước Bài 4: 4,0 điểm.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP ĐỀ CHÍNH THỨC TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Mức độ Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Cấp độ thấp Mạch Kiến thức Cộng Cấp độ cao Biểu thức đại số 1.a 1.b,c 2.c 5,0 đ 1,0 Bất đẳng thức 2,0 2,0 2.b 2,0 Phương trình vô 3.a tỷ Chia hết và nghiệm nguyên 3.b 2.a 6,0 đ 2,0 2,0 Chứng minh mối liên quan đại lượng hình học Tổng cộng 2,0 đ 2,0 4.a,b 3,0 4ý 4ý 3,0 1ý 6,0 Bài 1: điểm) a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: (6,0 điểm) 4,0 7,0 đ 4ý 3,0 8,0 20,0đ (3,0 (2) a) Giải phương trình b) Chứng minh bất đẳng thức c) Tính giá trị biểu thức có điều kiện Bài 3: (4,0 điểm) a) Chứng minh chia hết b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn cho trước Bài 4: (4,0 điểm) a) Chứng minh diện tích b) Chứng minh đẳng thức hình học Bài 5: (3,0 điểm) Tính diện tích hình học PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG (3) KÌ THI HỌC GIỎI LỚP CẤP ĐỀ SINH CHÍNH THỨC TRƯỜNG Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 Bài 1:(3 điểm) A x2 2x 1 ( ) x3 x x Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b)Rút gọn biểu thức A c)Tìm giá trị nhỏ A Bài 2:(6 điểm) a)Giải phương trình: x 2015 x 2014 2 2017 x 2016 1 x y b)Chứng minh : biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = và x.y > 1 1 : 1 x y z x y z x , y , z c)Cho thỏa mãn Tính giá trị biểu thức B x 21 y 21 y11 z11 z2017 x2017 Bài 3:(4 điểm) a)Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) 323 2017 b)Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : ( y 2) x y y 0 Bài 4:(4 điểm) Cho tam giác ABC ( có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Gọi G là trọng tâm D ABC a) Chứng minh SAHG = 2SAGO HD HE HF + + =1 b) Chứng minh AD BE CF Bài 5:(3 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C và D là hai điểm nằm trên nửa đường · · tròn đó cho CAB = 45 , DAB = 30 AC cắt BD M Tính diện tích tam giác ABM theo R HẾT (4) PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA HĨA THẮNG ĐỀ CHÍNH THỨC M MÔN TOÁN p cấp trường hông kể thời Bài 1a (1đ) Nội dung a) Điều kiện x để Điểm biểu thức A có nghĩa : x 0 x 0 x 1 x x 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A A 1b (1đ) x2 x 1 x( x 2) ( ) x x x 21,0đ( x 1)( x x 1) ( x 2) x( x 2) x( x 2) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) x ( x 1)( x x 1) ( x 1) 1 2 ( x 1)( x x 1) x x c) Tìm giá trị nhỏ A Ta có A 1c (1đ) 1 1 x x 1 ( x )2 Ta có A nhỏ (x ) đạt giá trị nhỏ Vậy: Giá trị nhỏ 4 là A là 1 x x = 0 1,0đ (5) a) Giải phương trình: x 2015 x 2014 2 2017 x 2016 2016 x 1,0đ 2017 Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với x x 2017 x 2016 2017 x 2016 0 2a (2đ) x 1 2017 x 2016 0 x 0 2017 x 2016 0 x 1 2017 x 2016 1 x 1 (thỏa mãn 1,0đ điều kiện) Vậy x 1 là nghiệm phương trình đã cho b) Chứng minh: 1 x y biết 2b (2đ) x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = và x.y > Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + =0 (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) +4=0 ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = ( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 1,0đ (6) ( x + y + 2) ( x y )2 ( x 1) ( y 1)2 2 =0 x+y+2=0 x + y = -2 mà x.y > nên x< 0, y < Áp dụng BĐT CauChy ta có ( x) ( y ) ( x y ) 1 2 Do đó xy 1 suy 2 1,0đ xy hay xy -2 Mà ( x)( y ) 1 x y 2 M x y xy xy 1 M x y Vậy 2c (2đ) (đpcm) c) Cho x, y, z thỏa mãn 1 1 : 1 x y z x yz Tính giá trị biểu thức B x 21 y 21 y11 z11 z2017 x2017 Ta có: 1,0đ 1 1 : 1 x y z x yz (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = x(yz + zx + y2+ yx)+ 1,0đ z(y2 + yz + xz + xy) = (yz + zx + y2+ yx) ( x+ z) = ( x y )( y z )( x z ) 0 1 1 x y z 1 x y z (7) x y y z z x Thay vào B tính B=0 3a (2đ) a) Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 323 Ta có: 323=17.19 1,0đ 20n + 16n – 3n – n 1= (20 – 1) + (16n – 3n) 20n – 19 16n – 3n 19 (n chẵn) Do đó 20n + 16n – 3n – 19 (1) n n n 20 + 16 – – 1= (20n – 3n) + (16n –1) 20n – 3n 17 16n –1n17 ( n chẵn) 1,0đ Do đó 20n + 16n – 3n – 17 (2) Mà (17;19) = nên từ (1) và (2) suy 20n + 16n – 3n – 323 Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : b) ( y 2) x 2017 y y 0 3b (2đ) Nếu y+2=0 y 1,0đ lúc đó phương trình có 2017 dạng x 0 (vô nghiệm ) Nếu y thì ta có x 2017 y y 1 y y 2 y 2 Vì x,y nguyên nên 1,0đ (8) y nguyên y 1;1 Ư(1) Với y y x 2017 (loại ) Với y 1 y x 2017 0 x 0 Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề bài là : x=0,y=-1 a) Chứng minh SAHG = 2SAGO D ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC ^ AC Mà BE ^ AC (gt) Suy KC // BE hay KC // BH Chứng minh tương tự ta có KB // A CH 1,0đ E F H G B (4đ) O D M 1,0đ C Nên tứ giác K BHCK là hình bình hành 2,0đ (9) Gọi M giao điểm BC và HK nên M là trung điểm BC mà G là trọng tâm D ABC nên AG = AM (3đ) M là trung điểm HK nên AM là đường trung tuyến D AHK Mà G thuộc đoạn AM và AG = AM nên G là trọng tâm D AHK Ta có O là trung điểm AK nên HO là đường trung tuyến D AHK Nên HO qua G đó HG = 2GO D AHG và D AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và HG = 2GO Do đó SAHG = 2SAGO b) Chứng minh HD HE HF + + =1 AD BE CF (10) Ta có: 1 HD.BC HE.AC HF.AB HD HE HF + + = +2 +2 AD BE CF AD.BC BE.A C CF.AB 2 S S S = HBC + HAC + HAB SABC SABC SABC S + SHAC + SHAB = HBC SABC = SABC SABC =1 Tính diện tích tam giác ABM theo R M C D N A O B H Gọi N là giao điểm AD và BC; H là giao điểm MN và AB Chứng minh · AHM = 900 ; mà 1,0đ · CAB = 450 (gt) nên D AHM vuông cân MH = AH MH + HB = AH + HB = 2R (1) * D MHB vuông H HB=MB.cos MBH MB = 2,0đ HB HB = = 2HB cos MBH cos 600 (11) MH= MB.sinMBH MH = MB.sin 600 = MB = HB HB= MH 3.MH = 3 (2) Từ (1) và (2) ta có MH + 3.MH 6R = 2R Þ MH = = (3 3+ 3).R Vậy: S= AB.MH = 2R.(3 2 3) R = (3 - 3) R Chú ý: -Học sinh có thể giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa -Không có điểm vẽ hình -Chứng minh mà không có hình vẽ hình vẽ sai thì không có điểm Duyệt đề: Nghĩa Thắng, ngày 21 tháng 10 năm 2016 Nhóm trưởng Lê Bá Thuyết Giáo viên đề Trương Quang An (12)