Chuyên đề số phức dùng trong ôn thi Đại học - Cao đẳng
SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1/ Tập hợp số phức: C 2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b R ∈ , i là đơn vò ảo, i 2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo củaz • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) • z là phần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0) 3/ Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i )',',,( ' ' Rbaba bb aa ∈ = = ⇔ 4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b )R ∈ được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi );( bau = → trong mp(Oxy) (mp phức) y M(a+bi) 0 x 5/ Cộng và trừ số phức : . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’ )R ∈ • Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b )R ∈ • z biểu diễn → u , z’ biểu diễn → 'u thì z + z’ biểu diễn bởi →→ + 'uu và z – z’ biểu diễn bởi →→ − 'uu 6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’ )R ∈ . 7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là biaz −= − a) '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+= b) z là số thực zz =⇔ ; z là số ảo zz −=⇔ 8/ Môđun của số phức : z = a + bi a) OMzzbaz ==+= 22 b) 00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz c) Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''. 9/ Chia hai số phức : a) Số phức nghòch đảo của z (z )0 ≠ : z z z 2 1 1 = − b) Thương của z’ chia cho z (z )0 ≡ : zz zz z zz zz z z '' ' ' 2 1 === − c) Với z .' ' ,0 wzzw z z =⇔=≠ , z z z z z z z z ' ' , '' == 10/ Căn bậc hai của số phức : 1 z là căn bậc hai của số phức ω ω =⇔ 2 z z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi = ++ = ⇔ = =− ⇔ x b y baa x bxy ayx 2 2 2 22 2 22 (a, b, x, y )R ∈ a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 b) w 0 ≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau * Hai căn bậc hai của a > 0 là a ± * Hai căn bậc hai của a < 0 là ia. −± 11/ Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A 0 ≠ ). ACB 4 2 −=∆ a) 0 ≠∆ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt A B 2 δ ±− , ( δ là 1 căn bậc hai của )∆ b) 0 =∆ : Phương trình có 1 nghiệm kép là A B 2 − 12/ Dạng lượng giác của số phức : * z = )sin(cos ϕϕ ir + (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b )0, ≠∈ zR = = += ⇔ r b r a bar ϕ ϕ sin cos 22 + ϕ là một acgumen của z. + ),( OMOx = ϕ 13/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos )'sin'(cos'',)sin ϕϕϕϕ irzi +=+ thì : a) )'sin()'[cos('.'. ϕϕϕϕ +++= irrzz ] b) )]'sin()'[cos( '' ϕϕϕϕ −+−= i r r z z 14/ Công thức Moa-vrơ : * Nn ∈ thì )sin(cos)]sin(cos[ ϕϕϕϕ ninrir nn +=+ 15/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Căn bậc hai của số phức z = r(cos )sin ϕϕ i + (r > 0) là : (cos sin ) 2 2 r i ϕ ϕ + và (cos sin ) [cos( ) sin( )] 2 2 2 2 r i r i ϕ ϕ ϕ ϕ π π − + = + + + 2 B. BÀI TẬP Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1 b) (1 + i) 2 – (1 – i) 2 ĐS: 0 và 4 c) (2 + i) 3 – (3 – i) 3 ĐS: -16 và 37 d) i i i i − − + − 2 1 3 ĐS : 2 33 − và 2 3122 −− Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức : a) z 2 – 2z + 4i ĐS: x 2 – y 2 – 2x và 2(xy – y + 2) b) 1 − + iz iz ĐS: 22 )1( 2 ++ − yx xy và 22 122 )1( ++ − − yx xy Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z): a) i i z i i + +− = − + 2 31 1 2 ĐS: i 25 4 25 22 + b) 0) 2 1 ](3)2[( =+++− i izizi ĐS: -1 + i ; 1/2 c) izz 422 −=+ ĐS: 2/3 + 4i d) 0 2 =− zz ĐS: 0, -1, ii 2 3 2 1 , 2 3 2 1 −+ e) 0 2 =+ zz ĐS: 0, i, -i f) 0 2 2 =+ zz ĐS: bi (b )R ∈ Bài 4: Xác đònh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 43 =++ zz ĐS: x = 1/2 và x = -7/2 b) izz −+− 1 = 2 ĐS: y = 2 31 ± c) 2|z – i| = izz 2 +− ĐS: y = 4 2 x Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn : 1 4 = − + iz iz ĐS: 0, 1 , -1 Bài 6: Phân tích ra thứa số : a) a 2 + 1 ĐS: (a – i)(a + i) b) 2a 2 + 3 ĐS: )32)(32( iaia +− c) 4a 4 + 9b 2 ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a 2 + 5b 2 ĐS: )33)(53( ibaiba +− Bài 7: Thực hiện phép tính : a) i21 3 + ĐS: i 5 6 5 3 − b) i i − + 1 1 ĐS: i c) mi m ĐS: -i m d) aia aia − + ĐS: i a a a a 1 2 1 1 + + + − e) )1)(21( 3 ii i +− + ĐS: i 5 3 5 4 + f) 22 22 )2()23( )1()21( ii ii +−+ −−+ ĐS: i 17 9 34 21 + g) ai bia + ĐS: ai a b − h) (2 – i) 6 ĐS: -117 – 44i Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : a) -1 + 4 i.3 ĐS: ).23( i +± b) 4 + 6 i.5 ĐS: ).53( i +± 3 c) -1 - 2 i.6 ĐS: ).32( i −± d) -5 + 12.i ĐS: ± (2 + 3i) Bài 9: Giải các phương trình sau trong C. a) 01.3 2 =+− xx ĐS: i 2 1 2 3 ± b) 02.32.23 2 =+− xx ĐS: )1( 6 6 i ± c) x 2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i d) 2 3 2 0x x− + = ĐS: 1 23 6 i± e) 2 3 2 2 3 2 0x x− + = ĐS: 6 6 6 6 i± f) 3i.x 2 – 2x – 4 + i = 0 ĐS: 3 12102 .2102 3 1 −+ +−− i ; 3 12102 .2102 3 1 ++ −− i Bài 10: Giài các hệ phương trình : a) −=+ +=+ izz izz 25 4 2 2 2 1 21 ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i) b) +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i) Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a) i.322 +− ĐS: 3 2 π b) 4 – 4i ĐS: 4 3 π c) 1 - i.3 ĐS: 3 π − d) 4 sin. 4 cos ππ i − ĐS: 4 π − e) 8 cos. 8 sin ππ i −− ĐS: 8 5 π − f) )1)(3.1( ii +− ĐS: 12 π − Bài 12: Thực hiện phép tính : a) 3(cos20 o + isin20 o )(cos25 o + isin25 o ) ĐS: 2 23 . 2 23 i + b) 5 ) 4 sin. 4 (cos3). 6 sin. 6 (cos ππππ ii ++ ĐS: 15(cos ) 12 5 sin. 12 5 ππ i + c) )15sin.15(cos3 )45sin.45(cos2 00 00 i i + + ĐS: 6 6 . 2 2 i + d) ) 2 sin. 2 (cos2 ) 3 2 sin. 3 2 (cos2 ππ ππ i i + + ĐS: 4 2 . 4 6 i + Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 31 i − ĐS: − + − 3 sin. 3 [cos2 ππ i ] 4 b) 1 + i ÑS: + 4 sin. 4 cos.2 ππ i c) )1)(31( ii +− ÑS: )] 12 sin(.) 12 [cos(22 ππ −+− i d) i i + − 1 31 ÑS: )] 12 7 sin(.) 12 7 [cos(2 ππ −+− i e) )3.(.2 ii − ÑS: ) 3 sin. 3 (cos4 ππ i + f) i22 1 + ÑS: )] 4 sin() 4 [cos( 4 2 ππ −+− i g) z = ϕϕ cos.sin i + ÑS: −+ − ϕ π ϕ π 2 sin 2 cos i Baøi 14: Tính : a) (cos12 o + isin12 o ) 5 ÑS: 2 3 2 1 i + b) [ 00 30sin30(cos2 i + )] 7 ÑS: 24.64 i −− c) 6 )3( i − ÑS: -2 6 d) (1 + i) 16 ÑS: 2 8 e) 12 2 3 2 1 + i ÑS: 1 f) 2008 1 + i i ÑS: 1004 2 1 − g) 21 321 335 − + i i ÑS: 2 21 5