www.facebook.com/hocthemtoan
www.facebook.com/hocthemtoan Thy Huy: 0968 64 65 97 THI TH I HC MễN TON S 61 NM HC 2013 - 2014 Thi gian lm bi: 180 phỳt I. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im) Cõu I(2 im Cho hàm số : 3 1 2 x y x (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0; -11), cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB gấp 2 lần diện tích tam giác OMB. Cõu II(2 im). 1.Gii phng trỡnh: 4sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2) 3 1 1 2cos x x x x x 2.Gii h phng trỡnh: 3 7 1 2 1 2 4 5 x x y y y x y x y Cõu III(1 im). Tớnh tớch phõn: I= 2 1 ln ln( . ) ln 1 e x x x e dx x x . . Cõu IV(1 im). Cho hình chóp SABCD.Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CDvà SB. Cõu V(1 im). Cho , ,x y z l cỏc s thc dng tho món: 2 1xy xz . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 3 4 5yz zx xy P x y z II. PHN T CHN (3 im): Thớ sinh ch c chn mt trong hai phn 1.Theo chng trỡnh chun: Cõu VIa (2 im). 1. Trong mặt phẳng Oxy, Cho ABC có trọng tâm 1 1 ( ; ) 3 3 G , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2 ;-1), 1 : 2 0A d x y , trung điểm M của BC nằm trên d 2 : x+y+3=0. Tìm toạ độ A, B, C. 2. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối S.ABC bằng 36. Cõu VIIa(1 im). Tìm phần thực của số phức (1 ) n z i , bit rng: 4 5 log 3 log 6 4 n n ( * n ). 2.Theo chng trỡnh nõng cao: Cõu VIb (2 im). 1. Trong mt phng ta Oxy, cho hai ng trũn (C 1 ): 2 2 x 1 y 2 5 v (C 2 ): 2 2 x 1 y 3 9 Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc (C 1 ) v ct (C 2 ) ti hai im A, B tha món AB = 4. 2. Trong khụng gian ta Oxyz, cho ng thng x 1 y 2 z d : 2 1 1 v mt phng (P) cú phng trỡnh: x + 2y z 3 = 0. Vit phng trỡnh ng thng thuc (P), vuụng gúc vi d v cú khong cỏch gia d v bng 2 . Cõu VIIb (1 im). Trong các số phức z thỏa mãn 3 1z i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất. .Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. P N THI TH I HC S 61 Cõu 1: 2, Cho hàm số : 3 1 2 x y x (C). ng thng cú h s gúc m i qua M cú pt: y = mx - 11 Xét phương trình: 3 1 11 2 x mx x 2 2( 7) 21 0( 2 )mx m x do x KTM Điều kiện tồn tại A, B phân biệt là: 2 0 0 ' 7 49 0 m m m m .Gọi 1 1 2 2 ( ; 11); ( ; 11)A x mx B x mx . Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 14 2 21 ; . m x x x x m m 1 2 ( , ). ( , ). 2 2 OAB OBM S S d O AB AB d O BM BM AB BM (M, A, B thẳng hàng) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 (1 ) 4 (1 ) 0 x x x x m x m x x .Vi 1 2 3x x . Kết hợp định lí Viet ta có: 2 2 1 7 3(7 ) ; 14 49 0 7 2 2 m m x x m m m m m . Vậy m=- 7 thoả đề. Vi 1 2 0x x , tng t cú m = 7. cú hai ng thng tha món . Cõu 2: 1, Gii phng trỡnh: 4sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2) 3 1 1 2cos x x x x x Đk: 2 3 x k 2 1 2.cos(2 ) 5( 3sin cos ) 5 0 4.sin ( ) 10sin( ) 4 0 3 6 6 sin( ) 1/ 2 2 6 3 2 sin( ) 2 ( ) 6 PT x x x x x x x k x k x VN (L) Vậy 2S k Cõu 2: 2, Gii h phng trỡnh: 3 7 1 2 1 1 2 4 5 2 x x y y y x y x y iu kin: 2 0 4 0 x y x y (1) 3 7 1 2 1x x y y y 2 2 3 1 3 3 7 1 2 2 0 3 1 2 0 2 4 y x x y x y y x y x y x y Thay (3) vo (2) ta c: 7 2 7 1 5x x iu kin: 1 7 x 2 11 11 7 0 17 76 7 49 21 2 11 7 d 175 119 17 25 25 25 x x x x x x y tm k x x Thay (4) vo (2) ta c: 4 9 5 1y y y =>x=2(tmdk) Vy h phng trỡnh cú nghim: (x;y) 17 76 2;1 , ; 25 25 Cõu 3: Tớnh tớch phõn: I= 2 1 ln ln( . ) ln 1 e x x x e dx x x . 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ( ln 1) ln 1 (ln 1) ln 1 ln 1 ln 1 1 ln ln 1 1 ln( 1) e e e e e e x x x x d x x I dx dx dx x d x x x dx x x x x x x e x x e e Cõu 4 : Gọi H = AC BD => SH (ABCD) & BH = 3 1 BD Kẻ HE AB => AB (SHE) => g((SAB);(ABCD)) = 0 60SHE . Mà HE = 3 1 AD = 3 2a => SH = 3 32a => V SABCD = 3 1 .SH.S ABCD = 3 3 3 a Gọi O là trung điểm AD=>ABCO là hv cạnh a =>ACD có trung tuyến CO = 2 1 AD CD AC => CD (SAC) và BO // CD hay CD // (SBO) & BO (SAC). d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)). Tính chất trọng tâm tam giác BCO => IH = 3 1 IC = 6 2a => IS = 6 25 22 a HSIH kẻ CK SI mà CK BO => CK (SBO) => d(C;(SBO)) = CK Trong tam giác SIC có : S SIC = 2 1 SH.IC = 2 1 SI.CK => CK = 5 32. a SI ICSH . Vậy d(CD;SB) = 5 32a Cõu 5: Cho , ,x y z l cỏc s thc dng tho món: 2 1xy xz . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 3 4 5yz zx xy P x y z . Ta có 3 4 5 2 3 yz zx xy yz zx yz xy zx xy P x y z x y x z y z 2 . 2.2 . 3.2 . 2 4 6 yz zx yz xy zx xy P z y x x y x z y z 4 2 4.2 2.2 4 2 4 P x y x z xy xz xy xz Dấu đẳng thức xảy ra khi : 1 3 2 1 x y z x y z xy xz . Vậy min 1 4 3 P khi x y z Cõu 6a : 1, Trong mặt phẳng Oxy, Cho ABC có trọng tâm 1 1 ( ; ) 3 3 G , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2 ;-1), 1 : 2 0A d x y , trung điểm M của BC nằm trên d 2 : x+y+3=0. Tìm toạ độ A, B, C. Gọi 2 ( ; 3) ( 2 1;2 7)M a a d A a a . Do : 1 3/ 2A d a => A(2 ;4), 3 3 ( ; ) 2 2 M . Phương trình BC qua M và vuông góc với IM=> BC : 7x+y+12=0 Gọi B(b ; -7b-12)=> C(-3-b ; 7b+9). Ta có : IA=IB 1 ( 1; 5); ( 2;2) 2 ( 2;2); ( 1; 5) b B C b B C Vậy A(2 ;4) ; B(-1 ;-5) ; C(-2 ;2) hoặc A(2 ;4) ; B(-2 ;2) ; C(-1;-5) Cõu 6a: 2, Trong không gian Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối S.ABC bằng 36. Phương trình (ABC): x+y+z-3=0. ABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3 2 => S ABC = 9 3 / 2 . Do hình chóp S.ABC đều nên PT SG qua G và vuông góc với (ABC) => : 1 ; 1 ; 1 (1 ;1 ;1 )SG x t y t z t S t t t I H A D B C S O E K Ta có : V S.ABC =36= 1 SG. 3 S ABC 8, 8t t Vậy: S(9;9;9) ; S(-7;-7;-7) Cõu 7a :Xét pt : 4 5 log 3 log 6 4, * n n n . Hàm số f(x) = 4 5 log 3 log 6x x là hàm số đồng biến trên (3; +) và f(19) = 4. Do đó phương trình 4 5 log 3 log 6 4n n có nghiệm duy nhất 19n . z = 19 2 9 9 9 (1 ) [(1 ) ] (1 ) (2 ) (1 ) 512 (1 )i i i i i i i 512 (1 ) 512 512i i i Vy z có phần thực là a = -512 Cõu 6b: 1, 1 ( )C cú tõm 1 (1; 2)I v bỏn kớnh 1 5;R 2 ( )C cú tõm 2 ( 1; 3)I v bỏn kớnh 2 3.R Ta cú: 1 ( ; ) 5 (1).d I Gi 2 ( ; ),h d I ta cú: 2 2 2 2 5 (2).AB R h h T (1) v (2) suy ra song song vi 1 2 I I hoc i qua trung im 5 (0; ) 2 M ca 1 2 I I . Vỡ M nm trong 1 ( )C nờn khụng xy ra kh nng qua M, do ú 1 2 / / ,I I suy ra phng trỡnh cú dng 2 0,x y m khi ú: 1 5 ( ; ) 5 5 0 10. 5 m d I m m Cõu 6b: 2, (2;1;1); d u ( ) (1;2; 1), P n do ú cú vect ch phng l ( ) 1 , (1; 1; 1). 3 P d u n u Gi (Q) l mt phng cha v song song vi d, ta cú: ( ) 1 , (0;1; 1). 3 Q d n u u Phng trỡnh (Q): 0.y z m Chn (1; 2;0) ,A d ta cú: ( ,( )) 2 0 4.d A Q m m Vi 0,m vỡ ( ) ( )P Q nờn i qua (3;0;0),B phng trỡnh 3 : . 1 1 1 x y z Vi 4,m vỡ ( ) ( )P Q nờn i qua (7;0;4),C phng trỡnh 7 4 : . 1 1 1 x y z Cõu 7b : Đặt z = x + iy, ,x y R, ta có 2 2 3 1 ( 3) 1z i x y Từ 2 2 ( 3) 1x y ta có 2 ( 3) 1 2 4y y Do đó 2 2 2 2 ( 3) 6 9 6 8 4 2 z x y x y y y Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 đạt khi z = 2i . www.facebook.com/hocthemtoan Thy Huy: 0968 64 65 97 THI TH I HC MễN TON S 61 NM HC 2013 - 2014 Thi gian lm bi: 180 phỳt I. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH. .Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. P N THI TH I HC S 61 Cõu 1: 2, Cho hàm số : 3 1 2 x y x (C). ng thng