Từ M vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F.. Hdc đề thi HSG Trờng Môn Toán 8.[r]
(1)ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU – THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2015-2016 M«n To¸n thêi gian 90 phót Bài 1: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a Phân tích biểu thức A thành nhân tử b Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh tam giác thì A < Bài 2: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2– 2xy + 2y2 - 4y + 2015 b Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b TÝnh: P= ab 2 a −b Bài 3:Cho M = [ x + + x − x − x x +2 ] ( : x − 2+ 10− x x +2 ) a T×m §KX§ cña M b Rút gọn M c.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn Bµi : Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy M bất kì cho BM CM Từ M vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E và song song với AB cắt AC F Gọi N là điểm đối xứng M qua E F a) Tø gi¸c AEMF lµ h×nh g×? v× sao? b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n? c) M vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi? Vì sao? d) TÝnh : ANB + ACB = ? Hdc đề thi HSG Trờng Môn Toán (2) Bài 1: (5đ) a) A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) (b c) a (b c)2 a = = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) (3đ) b) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT tam giác) T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0 Vậy A< Bài 2: (4đ) a) A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + + 2011 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2011 (2đ) 2011 Dấu ''='' x¶y ⇔ x – y = và y – = ⇔ x = y = Vậy GTNN A là 2011 t¹i x = y =2 (3đ) (1®) b) Tõ 4a2 + b2 = 5ab ta cã (a-b)(4a-b) = v× 2a b => 4a>b>0 => a=b => P = Bài 3: (4đ) a) ĐKXĐ: x 0, x 2; x -2 (1đ) −6 x +2 x 10− x + + : x − 2+ = (x − 2)( x +2) = − x (2đ) x +2 x − x − x x +2 c) Nếu x thì M nên M không đạt GTLN Vậy x 2, đó M có Tử và Mẫu là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 – x) ph¶i lµ GTNN, Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d¬ng – x = x = b) M = [ ] ( ) Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên x là: Bµi : (7®) a) Tứ giác AEMF là hình bình hành vì có các cạnh đối song song (2®) b) Gäi EF c¾t MA vµ MN t¹i O vµ K=> OK//AN (®tb Δ ) MÆt kh¸c AE=NF (cïng b»ng MF) => AFEN lµ h×nh thang c©n (2®) c) Tứ giác AEMF đã là hình bình hành, nó trở thành hình thoi có AM là phân giác góc BAC=> đó M lµ giao ph©n gi¸c gãc BAC víi c¹nh BC (HS cã thÓ t×m M lµ trung ®iÓm BC v× Δ ABC c©n) (2®) d) Ta cã EN=EB (cïng b»ng EM) => ∠ ENB = ∠ EBN Mµ ∠ ENA+ ∠ C = ∠ NAC+ ∠ ABC (T/c tam gi¸c c©n vµ h×nh thang c©n) (1®) A F O N E K B M C Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên => tứ giác ANBC tổng hai góc đối này tổng hai góc đối nªn : ∠ ANB + ∠ ACB = 1800 (1®) (3)