Tài liệu Mặt cầu - Khối cầu (tiết theo) doc

T T ổ ổ To To á á n n – – Tin Tin Gi Gi á á o o Viên Viên : TÔ NG : TÔ NG Ọ Ọ C HUY C HUY Nêu Nêu kh kh á á i i ni ni ệ ệ m m m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u , , kh kh ố ố i i c c ầ ầ u u ? ? M M ặ ặ t t ph ph ẳ ẳ ng ng (P) (P) v v à à m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u (S) (S) c c ắ ắ t t nhau nhau theo theo giao giao tuy tuy ế ế n n g g ì ì ? ? T T ậ ậ p p h h ợ ợ p p c c á á c c đi đi ể ể m m trong trong không không gian gian c c á á ch ch đi đi ể ể m m O O c c ố ố đ đ ị ị nh nh m m ộ ộ t t kho kho ả ả ng ng R R không không đ đ ổ ổ i i g g ọ ọ i i l l à à m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u c c ó ó tâm tâm l l à à O O v v à à b b á á n n k k í í nh nh b b ằ ằ ng ng R. R. K K í í hi hi ệ ệ u u S(O; R). S(O; R). T T ậ ậ p p h h ợ ợ p p c c á á c c đi đi ể ể m m thu thu ộ ộ c c m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u S(O; R) S(O; R) c c ù ù ng ng v v ớ ớ i i c c á á c c đi đi ể ể m m n n ằ ằ m m trong trong m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u đ đ ó ó đư đư ợ ợ c c g g ọ ọ i i l l à à kh kh ố ố i i c c ầ ầ u u S(O; R) S(O; R) ho ho ặ ặ c c h h ì ì nh nh c c ầ ầ u u S(O; R). S(O; R). M M ặ ặ t t ph ph ẳ ẳ ng ng (P) (P) v v à à m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u (S) (S) c c ắ ắ t t nhau nhau theo theo giao giao tuy tuy ế ế n n l l à à m m ộ ộ t t đư đư ờ ờ ng ng tròn tròn . . . O O H H M M . . P P ) ) 1. DI 1. DI Ệ Ệ N T N T Í Í CH M CH M Ặ Ặ T C T C Ầ Ầ U V U V À À TH TH Ể Ể T T Í Í CH KH CH KH Ố Ố I C I C Ầ Ầ U U § N N Ộ Ộ I DUNG TI I DUNG TI Ế Ế T H T H Ọ Ọ C C 2. B 2. B À À I T I T Ậ Ậ P V P V Ậ Ậ N D N D Ụ Ụ NG NG 3. TR 3. TR Ắ Ắ C NGHI C NGHI Ệ Ệ M M 4. C 4. C Ủ Ủ NG C NG C Ố Ố V V À À HƯ HƯ Ớ Ớ NG D NG D Ẫ Ẫ N T N T Ự Ự H H Ọ Ọ C C 5. GI 5. GI Ớ Ớ I THI I THI Ệ Ệ U B U B À À I S I S Ắ Ắ P H P H Ọ Ọ C C 4. 4. Di Di ệ ệ n n t t í í ch ch m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u v v à à th th ể ể t t í í ch ch kh kh ố ố i i c c ầ ầ u u . . a. a. Kh Kh á á i i ni ni ệ ệ m m v v ề ề di di ệ ệ n n t t í í ch ch m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u v v à à th th ể ể t t í í ch ch kh kh ố ố i i c c ầ ầ u u . . § 1. 1. Đ Đ Ị Ị NH NGH NH NGH Ĩ Ĩ A A M M Ặ Ặ T C T C Ầ Ầ U U 2. 2. V V Ị Ị TR TR Í Í TƯƠNG TƯƠNG Đ Đ Ố Ố I GI I GI Ữ Ữ A M A M Ặ Ặ T T C C Ầ Ầ U V U V À À M M Ặ Ặ T T PH PH Ẳ Ẳ NG NG 3. 3. V V Ị Ị TR TR Í Í TƯƠNG TƯƠNG Đ Đ Ố Ố I GI I GI Ữ Ữ A M A M Ặ Ặ T T C C Ầ Ầ U V U V À À ĐƯ ĐƯ Ờ Ờ NG NG TH TH Ẳ Ẳ NG NG 4. 4. DI DI Ệ Ệ N T N T Í Í CH M CH M Ặ Ặ T T C C Ầ Ầ U V U V À À TH TH Ể Ể T T Í Í CH CH KH KH Ố Ố I C I C Ầ Ầ U U A A B B . . M M ỗ ỗ i i t t ứ ứ gi gi á á c c c c ầ ầ u u , tam , tam gi gi á á c c c c ầ ầ u u còn còn g g ọ ọ i i l l à à c c á á c c ” ” x x ấ ấ p p x x ỉ ỉ ph ph ẳ ẳ ng ng ” ” . . T T ậ ậ p p h h ợ ợ p p c c á á c c ” ” x x ấ ấ p p x x ỉ ỉ ph ph ẳ ẳ ng ng ” ” c c ủ ủ a a t t ứ ứ gi gi á á c c c c ầ ầ u u v v à à tam tam gi gi á á c c c c ầ ầ u u l l à à m m th th à à nh nh m m ộ ộ t t h h ì ì nh nh đa đa di di ệ ệ n n đa đa di di ệ ệ n n D D n n ộ ộ i i ti ti ế ế p p m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u . . H H ì ì nh nh đa đa di di ệ ệ n n D D g g ọ ọ i i l l à à đa đa di di ệ ệ n n x x ấ ấ p p x x ỉ ỉ c c ủ ủ a a m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u . . C C á á c c đư đư ờ ờ ng ng kinh kinh tuy tuy ế ế n n v v à à v v ĩ ĩ tuy tuy ế ế n n chia chia m m ặ ặ t t c c ầ ầ u u th th à à nh nh nhi nhi ề ề u u m m ả ả nh nh c c ó ó th th ể ể g g ọ ọ i i l l à à ” ” t t ứ ứ gi gi á á c c c c ầ ầ u u ” ” , , c c ó ó th th ể ể l l à à ” ” tam tam gi gi á á c c c c ầ ầ u u ” ” . . B B ố ố n n đ đ ỉ ỉ nh nh c c ủ ủ a a m m ộ ộ t t ’ ’ t t ứ ứ gi gi á á c c c c ầ ầ u u ” ” n n ằ ằ m m trên trên m m ộ ộ t t m m ặ ặ t t ph ph ẳ ẳ ng ng v v à à c c ũ ũ ng ng l l à à b b ố ố n n đ đ ỉ ỉ nh nh c c ủ ủ a a m m ộ ộ t t t t ứ ứ gi gi á á c c ph ph ẳ ẳ ng ng . . § A A B B . . Th Th ừ ừ a nh a nh ậ ậ n k n k ế ế t qu t qu ả ả : : 1.Khi 1.Khi đ đ ộ ộ d d à à i c i c á á c c c c ạ ạ nh c nh c ủ ủ a D ti a D ti ế ế n t n t ớ ớ i 0 th i 0 th ì ì di di ệ ệ n t n t í í ch c ch c ủ ủ a h a h ì ì nh nh đa di đa di ệ ệ n D ti n D ti ế ế n t n t ớ ớ i m i m ộ ộ t gi t gi ớ ớ i h i h ạ ạ n x n x á á c đ c đ ị ị nh. Gi nh. Gi ớ ớ i h i h ạ ạ n đ n đ ó ó đư đư ợ ợ c g c g ọ ọ i l i l à à di di ệ ệ n t n t í í ch m ch m ặ ặ t c t c ầ ầ u. u. 2. 2. Khi đ Khi đ ộ ộ d d à à i c i c á á c c c c ạ ạ nh c nh c ủ ủ a D ti a D ti ế ế n t n t ớ ớ i 0 th i 0 th ì ì th th ể ể t t í í ch c ch c ủ ủ a kh a kh ố ố i i đa di đa di ệ ệ n D ti n D ti ế ế n t n t ớ ớ i m i m ộ ộ t gi t gi ớ ớ i h i h ạ ạ n x n x á á c đ c đ ị ị nh. Gi nh. Gi ớ ớ i h i h ạ ạ n đ n đ ó ó đư đư ợ ợ c g c g ọ ọ i l i l à à th th ể ể t t í í ch c ch c ủ ủ a kh a kh ố ố i c i c ầ ầ u. u. b. b. C C á á c công th c công th ứ ứ c: c: M M ặ ặ t c t c ầ ầ u b u b á á n k n k í í nh R c nh R c ó ó di di ệ ệ n t n t í í ch l ch l à à Kh Kh ố ố i c i c ầ ầ u b u b á á n k n k í í nh R c nh R c ó ó th th ể ể t t í í ch l ch l à à : : 3 4 3 R V π = 2 4SR π = c. c. Ch Ch ứ ứ ng minh m ng minh m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p h p h ì ì nh ch nh ch ó ó p, p, h h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ : : Mu Mu ố ố n ch n ch ứ ứ ng minh m ng minh m ộ ộ t m t m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p m p m ộ ộ t h t h ì ì nh nh ch ch ó ó p ho p ho ặ ặ c m c m ộ ộ t h t h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ , ta c , ta c ầ ầ n ch n ch ứ ứ ng minh m ng minh m ặ ặ t c t c ầ ầ u u đ đ ó ó đi qua t đi qua t ấ ấ t c t c ả ả c c á á c đ c đ ỉ ỉ nh c nh c ủ ủ a h a h ì ì nh ch nh ch ó ó p ho p ho ặ ặ c c c c ủ ủ a h a h ì ì nh nh lăng tr lăng tr ụ ụ . S . S au đ au đ ó ó c c ầ ầ n x n x á á c đ c đ ị ị nh tâm v nh tâm v à à b b á á n k n k í í nh c nh c ủ ủ a m a m ặ ặ t t c c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p. p. Đi Đi ề ề u ki u ki ệ ệ n c n c ầ ầ n v n v à à đ đ ủ ủ đ đ ể ể m m ộ ộ t h t h ì ì nh ch nh ch ó ó p c p c ó ó m m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i i ti ti ế ế p l p l à à đ đ á á y c y c ủ ủ a h a h ì ì nh ch nh ch ó ó p đ p đ ó ó c c ó ó đư đư ờ ờ ng tròn ngo ng tròn ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p. p. Đi Đi ề ề u ki u ki ệ ệ n c n c ầ ầ n v n v à à đ đ ủ ủ đ đ ể ể m m ộ ộ t lăng tr t lăng tr ụ ụ c c ó ó m m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p p l l à à h h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đ đ ó ó ph ph ả ả i l i l à à m m ộ ộ t h t h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đ đ ứ ứ ng v ng v à à c c ó ó đ đ á á y l y l à à m m ộ ộ t đa gi t đa gi á á c c c c ó ó đư đư ờ ờ ng tròn ngo ng tròn ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p. p. § § Bài 1: (NH (NH Ó Ó M 1, 2) M 1, 2) Cho t Cho t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u ABCD c u ABCD c ó ó c c ạ ạ nh b nh b ằ ằ ng a. X ng a. X á á c đ c đ ị ị nh tâm, t nh tâm, t í í nh nh b b á á n k n k í í nh c nh c ủ ủ a m a m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u. Suy ra di u. Suy ra di ệ ệ n n t t í í ch m ch m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u v u v à à th th ể ể t t í í ch kh ch kh ố ố i c i c ầ ầ u u ngo ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u? u? Bài 2: (NH (NH Ó Ó M 3 , 4) M 3 , 4) Cho h Cho h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đ đ ứ ứ ng tam gi ng tam gi á á c đ c đ ề ề u ABC.A u ABC.A ’ ’ B B ’ ’ C C ’ ’ c c ó ó 9 c 9 c ạ ạ nh nh đ đ ề ề u b u b ằ ằ ng a. X ng a. X á á c đ c đ ị ị nh tâm v nh tâm v à à t t í í nh b nh b á á n k n k í í nh c nh c ủ ủ a m a m ặ ặ t c t c ầ ầ u u ngo ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p h p h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đã cho đã cho . T . T í í nh di nh di ệ ệ n t n t í í ch m ch m ặ ặ t c t c ầ ầ u u ngo ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p v p v à à t t í í nh th nh th ể ể t t í í ch c ch c ủ ủ a kh a kh ố ố i c i c ầ ầ u đư u đư ợ ợ c t c t ạ ạ o nên o nên m m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p đ p đ ó ó ? ? HO HO Ạ Ạ T Đ T Đ Ộ Ộ NG NH NG NH Ó Ó M M A A B B D D C C A A C C ’ ’ B B ’ ’ A A ’ ’ B B C C Bài 1: Cho t Cho t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u ABCD c u ABCD c ó ó c c ạ ạ nh b nh b ằ ằ ng a. X ng a. X á á c đ c đ ị ị nh tâm, nh tâm, t t í í nh b nh b á á n k n k í í nh c nh c ủ ủ a m a m ặ ặ t c t c ầ ầ u u ngo ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u. Suy ra u. Suy ra di di ệ ệ n t n t í í ch m ch m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u v u v à à th th ể ể t t í í ch kh ch kh ố ố i c i c ầ ầ u u ngo ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u? u? NH NH Ó Ó M 1, 2 M 1, 2 Bài 2: Cho h Cho h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đ đ ứ ứ ng tam gi ng tam gi á á c c đ đ ề ề u ABC.A u ABC.A ’ ’ B B ’ ’ C C ’ ’ c c ó ó 9 c 9 c ạ ạ nh đ nh đ ề ề u b u b ằ ằ ng ng a. X a. X á á c đ c đ ị ị nh tâm v nh tâm v à à t t í í nh b nh b á á n k n k í í nh c nh c ủ ủ a a m m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p h p h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đã đã cho. T cho. T í í nh di nh di ệ ệ n t n t í í ch m ch m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i i ti ti ế ế p v p v à à t t í í nh th nh th ể ể t t í í ch c ch c ủ ủ a kh a kh ố ố i c i c ầ ầ u u đư đư ợ ợ c t c t ạ ạ o nên m o nên m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p đ p đ ó ó ? ? NH NH Ó Ó M 3, 4 M 3, 4 HO HO Ạ Ạ T Đ T Đ Ộ Ộ NG NH NG NH Ó Ó M M CH CH À À O M O M Ừ Ừ NG NG NG NG À À Y NH Y NH À À GI GI Á Á O VI O VI Ệ Ệ T NAM 20 T NAM 20 - - 11 11 - - 2008 2008 K K Í Í NH CH NH CH Ú Ú C TH C TH Ầ Ầ Y, CÔ S Y, CÔ S Ứ Ứ C KH C KH Ỏ Ỏ E V E V À À TH TH À À NH CÔNG. NH CÔNG. § A A B B D D C C H H . N N . . . I I M M Bài 1: Cho t Cho t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u ABCD c u ABCD c ó ó c c ạ ạ nh nh b b ằ ằ ng a. X ng a. X á á c đ c đ ị ị nh tâm, t nh tâm, t í í nh b nh b á á n k n k í í nh nh c c ủ ủ a m a m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u. u. Suy ra di Suy ra di ệ ệ n t n t í í ch m ch m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u v u v à à th th ể ể t t í í ch kh ch kh ố ố i c i c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i i ti ti ế ế p t p t ứ ứ di di ệ ệ n đ n đ ề ề u? u? Hướng dẫn Bài 1: Gọi H là trọng tâm tam giác đều BCD. Khi đóAH làtrục của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD. Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh AB đi qua trung điểm M của AB cắt AH tại I. Ta có: IA = IB. Tương tự với các cạnh AC, AD. Ta có: IA = IB = IC = ID. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 2 2 2 22 2 2 23 23 236 ; AH = AB 2333 6346 ; 4 ; V 4238 AB a a IA BH AB BN a AH aaa RIA S R R ππ ππ ⎛⎞ ⎛⎞ =−=−=−= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ == ⇒= = = = . § Bài 2: Cho h Cho h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đ đ ứ ứ ng tam gi ng tam gi á á c đ c đ ề ề u u ABC.A ABC.A ’ ’ B B ’ ’ C C ’ ’ c c ó ó 9 c 9 c ạ ạ nh đ nh đ ề ề u b u b ằ ằ ng a. X ng a. X á á c c đ đ ị ị nh tâm v nh tâm v à à t t í í nh b nh b á á n k n k í í nh c nh c ủ ủ a m a m ặ ặ t c t c ầ ầ u u ngo ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p h p h ì ì nh lăng tr nh lăng tr ụ ụ đã cho đã cho . T . T í í nh nh di di ệ ệ n t n t í í ch m ch m ặ ặ t c t c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p v p v à à t t í í nh th nh th ể ể t t í í ch c ch c ủ ủ a kh a kh ố ố i c i c ầ ầ u đư u đư ợ ợ c t c t ạ ạ o nên m o nên m ặ ặ t t c c ầ ầ u ngo u ngo ạ ạ i ti i ti ế ế p đ p đ ó ó ? ? Hướng dẫn Bài 2: I, I’ lần lượt là trọng tâm hai tam giác đáy lăng trụ. I, I’ đồng thời cũng là tâm của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ấy và nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng II’. Suy ra trung điểm O của đoạn II’ chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 6 đỉnh của lăng trụ đã cho. Mặt cầu có bán kính R = OA = OB = OC = OA’ = OB’ =OC’ Ta có: 22 2 222 2 2 3 3 7 3412 721 7 ; 4 63 23 4721 354 aa a OA AI IO aa a ROA S R a VR π π π π =+=+= ⇒= = = ⇒= = ⇒= = . A A C C ’ ’ B B ’ ’ A A ’ ’ B B C C . . . . I I ’ ’ I I O O . . [...]... mệnh đề nào đúng? 1 Hình chóp có đáy là tứ giác bất kỳ có mặt cầu ngoại tiếp 2 Hình chóp có đáy là hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp 3 Mọi khối hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp SAI RỒI 1; 2 SAI RỒI 2; 3 1; 3 SAI RỒI Cả 3 đều đúng 4π Một khối cầu có thể tích 3 ngoại tiếp hình lập phương Trong số các số sau đây, số nào là thể tích của khối lập phương? 8 3 9 A B D 8 3 SAI RỒI 1 SAI RỒI C 2 3 •... tiếp hình chóp và hình lăng trụ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp một hình chóp hoặc lăng trụ Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB⊥ BC; BC ⊥ CD; CD ⊥ AB Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D Tính bán kính của mặt cầu đó nếu AB = a; BC = b; CD = c 1 2 2 2 Đáp số:Bài 1 R = a +b +c 2 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có 3 cạnh... kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương a là cạnh hình lập phương A D a B a C 4 4 Ta có π R 3 = π 3 3 Suy ra R = 1 Theo giả thiết: ⎛2 3⎞ 8 3 V =a =⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟ 9 ⎝ ⎠ 3 O A’ 2 Vậy thể tích khối lập 3 phương là: • a 2 3 3a = 4 R ⇒ a = 3 2 3 B’ a 2 D’ a C’ Công thức tính diện tích mặt cầu S = 4π R2 Công thức tính thể tích khối cầu V = 4 3 πR 3 Các dạng toán thường gặp về xác định tâm và bán kính của mặt cầu. .. và chiều cao bằng h 2 2 Đáp số: Bài 7a V = π ( a + 3h ) 162h3 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a; SB = b; SC = c và 3 cạnh SA; SB; SC đôi một vuông góc Chứng minh rằng điểm S, trọng tâm và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thẳng hàng ( Đáp số: Bài 9 S =π a2 +b2 +c2 ) Các ví dụ về mặt tròn xoay Mặt tròn xoay là gì? Có các dạng gì? Cách tính diện tích, thể tích ra sao? Tiết . rằng có mặtcầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Tính bán kính củamặtcầu đónếu AB = a; BC = b; CD = c. 222 1 2 R abc= ++ Đáp số:Bài 1 Tính thể tích khốicầu ngoạitiếp. mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng II’. Suy ra trung điểm O của đoạn II’ chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 6 đỉnh của lăng trụ đã cho. Mặt