Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại lần lượt tại M, N.. Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên ?..[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN : ĐỀ THI CÁ NHÂN
I- PHẦN GHI KẾT QUẢ(Thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm số a, b sơ đồ sau
Câu 2: Trong hộp có 45 viên bi màu, gồm 20 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh 10 bi màu vàng Cần lấy viên bi (mà khơng cần nhìn vào hộp) để chắn có viên bi:
a) Màu đỏ b) Cùng màu Câu 3: Gí trị biểu
thức (16166161+161616616161+1616161661616161):1661(16166161+16161
6616161+1616161661616161):1661 ?
Câu 4: Gọi a nghiệm âm phương trình x2−x−1=0x2−x−1=0 Giá trị biểu thức A=√2−a+3√5+8aA=2−a+5+8a3 ?
Câu 5: Tìm số nguyên n biết n2−4n+7n2−4n+7 số phương
Câu 6: Tìm nghiệm phương trình 4x2+6x+1=4√6x+44x2+6x+1=46x+4 Câu 7: Tìm nghiệm hệ phương
trình {4x2−y=3y2−4xy+2x=−1{4x2−y=3y2−4xy+2x=−1
Câu 8: Cho a1a1 an+1=annan+1an+1=annan+1 với n nguyên dương Tìm a64a64 Câu 9: Giá trị nhỏ P=a+1a+a(a+1)2P=a+1a+a(a+1)2 với a > ? Câu 10: Cho ABC biết độ dài ba cạnh AB, BC, CA 7, 6, Đường phân giác góc A B cắt O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh cịn lại M, N Tìm chu vi MNC
II- PHẦN TỰ LUẬN(Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H ˆBAC=600BAC^=600 Gọi M, N, P chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC I trung điểm BC
a) Chứng minh tam giác INP
b) Giả sử IA phân giác ˆNIPNIP^ Tính số đo ˆBCPBCP^
(2)Đáp án :
Câu 1 : a=11,b=13 Câu 2: a,28 b,7
Câu 3:3 Câu 4:2
Câu 5:1
Câu 6:Phương trình có nghiệm :x=√13+1413+14 Câu 2:
a) Cần bốc 28 viên bi giả sử 28 viên bi có hai viên bi đỏ tổng số bi xanh vàng phải từ 26 trở lên, mà tổng số bi xanh vàng 25 ( vô lý)
Nếu bốc 27 viên bi có khả bốc phải hai viên bi đỏ Ví dụ ta bốc phải 15 viên bi xanh, 10 viên bi vàng viên bi đỏ
b) Trường hợp dễ Ta cần chọn viên bi theo nguyên lý dirichlet có ba viên màu Cịn giả sử bốc sáu viên có hai viên đỏ, hai xanh, hai vàng
Câu 7 : Cộng 22 vế phương trình cho ta (2x−y)2+2x−y=2(2x−y)2+2x−y=2 Đặt t=2x−yt=2x−y suy t=1t=1 t=−2t=−2
t=1t=1 suy 2x=y+12x=y+1 suy (x,y)=(1,1),(−12,−2)(x,y)=(1,1),(−12,−2) t=−2t=−2 suy 2x=y−22x=y−2 suy (x,y)= (x,y)= nghiệm lẻ
Câu 9: 9494 Câu 10: 13
Câu 12 : Nhận thấy tổng số sau bước không đổi 15 SnSnlà tổng bình phương
số sau thực bước ngiảm xuống
(Do Sn−Sn+1=a2+b2−(a−1)2−(b+1)2≥2Sn−Sn+1=a2+b2−(a−1)2−(b+1)2≥2 với n
Do trình trình dừng lại bước thứ k, với k số bước tối đa thực Ở bước cuối cùng, lại x số p - x số p + 1với 0≤x≤50≤x≤5
Ta có xp+(5−x)(p+1)=15xp+(5−x)(p+1)=15 nên 5|x5|x, suy bước sau số hạng
Do Sk=45Sk=45.Ta có S0−Sk≥2k⇒k≤12+22+ +52−452=5S0−Sk≥2k⇒k≤12+22+ +52−452=5