Khoảng cách – góc – đường vông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn OH d 2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các khoảng cách [r]
(1)TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN I/ ĐẠI SỐ: Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c b (a 0; , R; ; S ; b 4ac) a a / f ( x ) 0, x R a 0 b / f ( x) 0, x R a c / x1 x2 af ( ) d / x1 x2 af ( ) S 0 2 e / x1 x2 af ( ) S 0 2 x1 x2 f / af ( ) x1 x2 af ( ) g / x1 x2 af ( ) af ( ) h / x1 x2 af ( ) af ( ) i / x1 x2 af ( ) x x2 j/ f ( ) f ( ) x1 x2 af ( ) k / x1 x2 af ( ) S 0 2 S 0 2 Bất đẳng thức: Các tính chất bất đẳng thức: a b * a c b c *a b a c b c c * ac bc a b c * ac bc a b a b * a c bd c d *a c b a b c a b 0 * ac bd c d 0 a b 0 * a n bn * n N *a b 0 a b *a b a b Bất đẳng thức chức giá trị tuyệt đối: a a a a R x a a x a a 0 x a x ax a a b a b a b (a, b R ) Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không aâm): a b ab * daáu “=” xaûy a = b a b c abc * daáu “=” xaûy a= b= c Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số thực): (2) *ab cd (a c )(b2 d ) Daáu “=” xaûy ad= bc *a1b1 a2b2 c3b3 a a22 a32 b12 b22 b32 a1 a2 a3 b b2 b3 Daáu “=” xaûy Caáp soá coäng: a/Ñònh nghóa: Daõy soá u1, u2…….,un,…… Goïi laø caáp soá coäng coù coâng sai laø d neáu un un d b/Số hạng thứ n: un u1 (n 1)d c/Tổng n số hạng đầu tiên: n n Sn (u1 un ) [2u1 (n )d ] 2 Caáp soá nhaân: a/Ñònh nghóa: Daõy soá u1, u2…….,un,…… Goïi laø caáp soá nhaân coù coâng boäi laø q neáu un un 1.q n b/Số hạng thứ n: un u1.q c/Tổng n số hạng đầu tiên: qn S n u1 (q 1) 1 q u q lim Sn n 1 q Neáu Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối: * A B A B B 0 * A B A B A B * A B A B * A B A2 B AB * A B A B Phương trình , bất phương trình chứa thức: ( B 0) A 0 * A B A B B 0 * A B A B A 0 * A B A B A 0 * A B B A B2 B A 0 * A B B 0 A B Phöông trình, baát phöông trình logarit: 0 a 1 *log a f ( x) log a g ( x) f ( x) ( g ( x) 0) f(x)=g(x) 0 a 1 f ( x) *log a f ( x) log a g ( x) g ( x) (a 1) f ( x) g ( x) Phöông trình , baát phöông trình muõ: 0 a 1 f ( x) g ( x) f (x) g (x) *a a a 1 / f ( x), g ( x) a *a f ( x ) a g ( x ) (a 1) f ( x ) g ( x) (3) Lũy thừa: *a a a a Cung lieân keát: Cung đối: cos( x) cos x sin( x) sin x tg ( x) tgx cot g ( x) cot gx a * a a *(a ) a * a a Cung buø: sin( x ) sin x cos( x ) cos x tg ( x) tgx cot g ( x ) tgx a a b b *a b (a.b) *a a * k * n m a k n.m a k a n.m 10 Logarit:0<N1, N2, N vaø a, b 1 ta coù: *log a N M N a M *log a a M M *a log a N N *N1log a N N log a N1 *log a ( N1 N ) log a N1 log a N N *log a log a N1 log a N N2 *log a N log a N *log a N log a N log N *log a N b log b a *log a b log b a II LƯỢNG GIÁC: A.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức bản: sin x cos x 1 sin x tgx cos x cos x cot gx sin x tgx.cot gx 1 1 tg x cos x 1 cot g x sin x Cung phuï: sin( x ) cos x cos( x) sin x tg ( x) cot gx cot g ( x ) tgx Cung hôn keùm : sin( x) sin x cos( x) cos x tg ( x) tgx cot g ( x) cot gx Cung hôn keùm sin( x) cos x cos( x) sin x tg ( x ) cot gx cot g ( x) tgx Công thức cộng: sin( x y ) sin x cos y sin y cos x cox( x y ) cos x cos y sin x sin y tgx tgy tg ( x y ) tgxtgy (4) Công thức nhân đôi: sin x 2sin x cos x cos x 2 cos x 1 2sin x cos x sin x 2tgx tg x tg x cos x cos x cos 2x sin x Công thức nhân ba: sin 3x 3sin x 4sin x cos 3x 4 cos x 3cos x 3tgx tg x 3tg x 3cos x cos x cos3 x 3sin x sin x sin x Công thức biểu diễn theo sinx, cosx x t tg theo 2t sin x 1 t2 1 t2 cos x 1 t2 2t tgx 1 t2 Công thức biến đổi: a/Tích thaønh toång: cos x.cos y cos( x y ) cos( x y ) sin x sin y cos( x y) cos( x y ) sin x cos y sin( x y) sin( x y ) b/Toång thaønh tích: tg x x y x y cos 2 x y x y cos x cos y 2sin sin 2 x y x y sin x sin y 2sin cos 2 x y x y sin x sin y 2 cos sin 2 sin( x y ) tgx tgy cos x cos y sin( x y ) tgx tgy cos x cos y sin( x y ) cot gx cot gy sin x sin y sin( x y ) cot gx cot gy sin x sin y cos x cos y 2 cos Ñaëc bieät: sin x cos x sin( x ) cos( x ) 4 sin x cos x sin( x ) cos( x ) 4 sin x (sin x cos x) II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: Phöông trình cô baûn: x u k 2 a / sin x sin u x x k 2 k Z sin x 1 x k 2 sin x x k 2 sin x 0 x k x u k 2 b / cos x cos u (k Z) x u k 2 cos x 1 x k 2 cos x x k 2 cos x 0 x k c / tgx tgu x u k (k Z ) d / cot gx cot gu x u k (k Z ) Phöông trình baäc n theo moät haøm soá lượng giác: Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta chuyeån veà phöông trình: (5) ant n an 1t n a0 0 Chú ý: đặt t = sinx cosx thí chú yù ñieàu kieän t 1 Phöông trình baäc nhaát theo sinx vaø cosx: a sin x b cos x c 2 Điều kiện để có nghiệm: a b c 2 Caùch giaûi: Chia hai veá cho a b vaø sau đó đưa phương trình lượng giác baûn Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx vaø cosx: a sin x b sin x cos x c cos x d 0 Caùch giaûi: cos x 0 x k *Xeùt coù laø nghieämkhoâng? *Xeùt cos x 0 chia veá chia cho cos2x vaø ñaët t= tgx Chuù yù: d d (1 tg x) cos x Phöông trình daïng: a.(sin x cos x) b sin x.cos x c 0 Caùch giaûi: Ñaët t sin x cos x sin( x ) t t 1 1 t2 sin x.cos x (sin x.cos x ) 2 vaø giaûi phöông trình baäc hai theo t III Hệ thức lượng tam giác: Ñònh lyù cosin: a b c 2bc cos A b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C b2 c2 a 2bc a c2 b2 cos B 2ac a b2 c2 cos C 2ab Ñònh lyù haøm soá sin: a b c 2 R sin A sin B sin C cos A Công thức tính độ dài đường trung tuyến: b2 c a ma2 2 a c b2 mb2 2 a b c2 mc 4 Công thức độ dài đường phân giác trong: A 2bc cos la b c B 2ac cos lb a c C 2ab cos lc a b Công thức tính diện tích tam giác: 1 S a.ha b.hb c.hc 2 1 S bc.sin A ab.sin C ac.sin B 2 abc S p.r 4R S p ( p a )( p b)( p c) III ĐẠO HAØM VAØ TÍCH PHÂN: Đạo hàm các hàm số thường gặp: 1/( x ) ' x 1 /( x ) ' x 1 / ' x x /(sin x) ' cos x /(cos x) ' sin x /(tgx) ' cos x /(cot gx) ' sin x /(e x ) ' e x 12 /(u ) ' u 1.u ' u' 13 /( u ) ' u u' 1 14 / ' u u 15 /(sin u ) ' u '.cos u 16 /(cos u ) ' u '.sin u u' 17 /(tgu ) ' cos u u' 18 /(cot gu ) ' sin u 19 /(eu ) ' u ' eu /(a x ) ' a x ln a 10 /(ln x) ' x 20 /( a u ) ' u ' a u ln a u' 21/(ln u ) ' u u' 22 /(log a u ) ' u.ln a 11/(log a x) ' x.ln a (6) Nguyên hàm các hàm số thường gặp: dx x C x 1 x dx C ( 1) 1 dx x ln x C dx x2 x C x a dx ax C ln a cos xdx sin x C sin xdx cos x C dx cos x dx sin x x e dx e C x tgx C cot gx C f (ax b)dx a F (ax b) C Chuù yù: Dieän tích hình phaúng- Theå tích vaät theå troøn xoay: -Viết phương trình các đường giới hạn hình phaúng -Chọn công thức tính diện tích: a S f ( x) g ( x) dx b a S f ( y ) g ( y ) dy b -Chọn công thức tính thể tích: *Hình phaúng quay quanh truïc Ox: a V f ( x) g ( x) dx b *Hình phaúng quay quanh truïc Oy: a V f ( y ) g ( y ) dy b -Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao ñieåm Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao ñieåm IV HÌNH HOÏC: PHÉP DỜI HÌNH Pheùp bieán hình: Pheùp bieán hình ( maët phẳng) là quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm nhaát M’ thuoäc maët phaúng aáy Ñieåm M’ goïi laø aûnh cuûa ñieåm M qua pheùp bieán hình đó PHÉP TỊNH TIẾN VAØ PHÉP DỜI HÌNH Ñònh nghóa pheùp tònh tieán: Pheùp tònh tieán theo vectô u laø moät pheùp bieán hình bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ cho MM ' u u Phép tịnh tiến theo vectơ thường ký T hiệu là T u Vectơ u gọi là vectô tònh tieán Tính chaát cuûa pheùp tònh tieán: Ñònh lyù 1: Neáu pheùp tònh tieán bieán hai ñieåm M và N thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’ = MN Ñònh lyù 2: Pheùp tònh tieán bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng làm thay đổi thứ tự ba điểm đó Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, bieán đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, bieán goùc thaønh goùc baèng noù Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép u tònh tieán theo vectô u Biết tọa độ là (a,b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta coù: x ' x a y ' y b Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép biến hình không là thay đổi khoảng cách hai điểm bất kì Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, bieán đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính , bieán goùc thaønh goùc baèng noù PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép phép biến hình điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a (7) Định lý: Phép đối xứng trục là phép dời hình Biểu thức tọa độ: Biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Ox bieán ñieåm M(x; y) thaønh M’( x’; y’) ta coù: x ' x y ' y Biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Oy bieán ñieåm M(x; y) thaønh M’( x’; y’) ta coù: x ' x y ' y Trục đối xứng hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng hình H phép đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H PHÉP QUAY VAØ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Ñònh nghóa pheùp quay: Trong maët phaúng cho điểm O cố định và góc lượng giác không đổi Phép biến hình biến điểm O thaønh ñieåm O, bieán moãi ñieåm M khaùc O thaønh ñieåm M’ cho OM = OM’ vaø (OM , OM ') gọi là phép quay tâm O goùc quay Định lý: Phép quay là phép dời hình Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua ñieåm O laø moät pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieå đối xứng với M qua m M’ O, coù nghóa laø OM OM ' 0 Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a;b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta coù: x ' 2a x y ' 2b y Tâm đối xứng hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức laø Ño (H) = H HAI HÌNH BAÈNG NHAU: Ñònh lyù:Neáu ABC vaø A’B’C’ laø hai tam giaùc thì có phép dời hình biến tam giaùc ABC thaønh tam giaùc A’B’C’ Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác và có phép dời hình bieán tam giaùc naøy thaønh tam giaùc HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH: I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHAÚNG: 1/Tọa độ vectơ: Các công thức cần nhớ AB ( xB xA , yB y A ) * MA k *Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: MB ( k 1 ) Tọa độ điểm M xác định bởi: x A kxB xM k M y y A ky B M 1 k *Ñieåm I laø trung ñieåm cuûa AB: Tọa độ điểm I xác định bởi: x A xB xI I y y A yB I *Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC: Tọa độ điểm G xác định bởi: x A xB xC xG G y y A yB yC G *Cho tam giaù c ABC coù AB ( a1 ; a2 ), AC (b1 ; b2 ) S ABC a1b2 a2b1 2/ Đường thẳng: a/Phương trình đường thẳng : -Phöông trình toång quaùt: Ax By C 0 n A2 B 0 Vectô phaùp tuyeán ( A; B ); (8) x x0 at tR y y0 bt -Phöông trình tham soá: u Vectô chæ phöông (a; b) vaø qua ñieåm M(x0; y0) x x0 y y0 b -Phöông trình chính taéc: a x y 1 -Phương trình đoạn chắn: a b qua A( a; 0) ; B(0; b) b/ Góc tạo hai đường thẳng: Ax By C 0 A ' x B ' y C ' 0 A A ' B.B ' Cos A2 B A '2 B '2 c/Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thaúng: dM / Ax0 By C A2 B d/Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng: AX By C A' x B ' y C ' 2 A B A '2 B '2 e/Xác định phương trình đường phân giác và phân giác ngoài Hai ñieåm M(x1; y1) vaø M’(x2; y2) naèm cuøng phía so với t1.t2 Hai ñieåm M(x1; y1) vaø M’(x2; y2) naèm khaùc phía so với t1.t2 (t1 Ax1 By1 C A2 B ; t2 A ' x2 B ' y2 C ' A '2 B '2 ) 3/Đường tròn: Phương trình đường tròn: -Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và baùn kính R 2 x a y b R -Daïng 2: Phöông trình coù daïng x y 2ax 2by c 0 2 Với điều kiện a b c là phương trình đường 2 troøn (C) coù taâm I(a; b) vaø baùn kính R a b c -Phương tích điểm M0 (x0 ; y0) đường tròn: PM /(C ) x02 y02 2ax0 2by0 c 4/Elip: x2 y 1 b -Phöông trình chinh taéc Elip (E) a (a b); c a b -Tieâu ñieåm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) -Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0) -Ñænh truïc nhoû: B1(0; -b) , B2(0; b) c e 1 a -Taâm sai : a x e -Phương trình đường chuẩn: -Baùn kính qua tieâu: MF1 a exM MF2 a exM -Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) taïi M0( x0; y0) (E) x0 x y0 y 1 a2 b -Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa x2 y 1 b (E): a vaø : Ax By C 0 laø: A2 a B 2b C 5/Hypebol: x2 y 1 a/ Phöông trình chinh taéc Elip (E) a b c a b -Tieâu ñieåm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) -Ñænh: A1(-a; 0) , A2(a; 0) c e 1 a -Taâm sai : a x e -Phương trình đường chuẩn: b y x a -Phöông trình tieäm caän: -Baùn kính qua tieâu: MF1 exM a MF2 exM a -Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) taïi M0( x0; y0) (E) x0 x y0 y 1 a2 b -Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa (9) x2 y 1 (E): a b vaø : Ax By C 0 laø: A2 a B 2b C 6/ Parabol: -Phöông trình chính taéc cuûa Parabol: ( P) : y 2 px p F ( ;0) -Tieâu ñieåm: p x -Phương trình đường chuẩn: -Phương trình tiếp tuyến với (P) M(x0 ; y0) ( P ) : y0 y p ( x0 x) -Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa (P) vaø 2AC B p : Ax By C 0 II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 1/ Tích có hướng hai vectơ: a/Ñònh nghóa: cho hai vectô u ( x; y; z ) v ( x '; y '; z ') y z z x x y u , v ; ; y' z ' z' x' x' y' Các ứng dụng: u , v 0 - u, v cuøng phöông u , v w 0 - u, v, w đồng phẳng S ABC AB, AC AB, AC AD m 0 -ABCD là tứ diện VABCD m b/ Maët phaúng: -Phöông trình toång quaùt maët phaúng: Daïng 1: Ax By Cz D 0 n ( A; B; C ) ( A2 B C 0) Daïng 2: A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 n ( A, B, C ), M ( x0 ; y0 ; z0 ) -Phöông trình maët phaúng chaén: x y z 1 a b c (( ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c)) -Phöông trình maët phaúng qua giao tuyeán cuûa maët phaúng khaùc: ( ) : Ax By Cz D 0 ( ) : A ' x B ' y C ' z D ' 0 laø ( Ax By Cz D) ( A ' x B ' y C ' z D ') 0 2 Trong đó 0 -Vị trí tương đối hai mặt phẳng: cho hai mặt phaúng: : Ax By Cz D 0 : A ' x B ' y C ' z D 0 a / d A : B : C A ' : B ' : C ' A B C D A' B ' B ' D ' A B C D c / // A' B ' C ' D ' 3/Phương trình đường thẳng: a/Phöông trình toång quaùt: Ax By Cz D 0 A ' x B ' y C ' z D ' 0 b / b/ Phöông trình tham soá: x x0 at y y0 bt z z ct Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ phương là u ( a; b; c) c/ Phương trình chính tắc đường thẳng: x x0 y y0 z z0 a b c 2 (a b c 0) 4/ Vị trí tương đối hai đường thẳng khoâng gian: Giả sử đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ u phương là (a; b; c) và đường thẳng d’ qua M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) vaø coù vectô chæ phöông laø u ' ( a '; b '; c ') (10) a / d , d ' u.u ' M M '0 0 u.u ' M M '0 0 b / d d ' I a : b : c a : b ' : c ' c / d d ' a : b : c a ' : b ' : c ' x x0 : y y0 : z z0 d : u (a; b; c) d ' : u ' (a ', b ', c ') u.u ' aa ' bb ' cc ' cos u u' a b c a '2 b '2 c '2 d / d d ' a : b : c a ' : b ' : c ' x x0 : y y0 : z z0 e / d , d ' u.u ' M M '0 0 - Góc đường thẳng và mặt phẳng: Gọi là góc đường thẳng và mặt phẳng: d : u (a; b; c) : n ( A; B; C ) 5/ Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng khoâng gian: khoâng gian cho : x x0 y y0 z z0 d: a b c : Ax By Cz D 0 a / d I aA bB cC 0 aA bB cC 0 b / d Ax0 By0 Cz0 D 0 aA bB cC 0 c / d Ax0 By0 Cz0 D 0 6/ Các công hức tính khoảng cách: -Khoảng cácg từ điểm đến mặt phẳng: M ( x0 ; y0 ; z0 ) : Ax By Cz D 0 d(M / ) Ax0 By0 Cz0 D A2 B C -Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong khoâng gian cho ñieåm M ( x1 ; y1 ; z1 ) x x0 y y0 z z0 a b c M M u dM / d u d: -Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: x x0 y y0 z z0 : a b c x x '0 y y '0 z z '0 ': a' b' c' u.u ' M M '0 d / ' u.u ' 7/ Goùc : - Góc hai đường thẳng: Gọi là góc hai đường thẳng d và d’ ta có: 00 900 sin Aa Bb Cc A2 B C a b c - Góc hai mặt phẳng: : AX By Cz D 0 : A ' x B ' y C ' z D ' 0 cos AA ' BB ' CC ' A2 B C A '2 B '2 C '2 8/Phöông trình maët caàu: Daïng 1: Coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R 2 x a y b z c R 2 2 Daïng 2: x y z 2ax 2by 2cz d 0 Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính R a2 b2 c2 d III/ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN -Đường thẳng và mặt phẳng: Các tiên đề: Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có đường thaúng vaø chæ moät maø thoâi Tiên đề 2: Qua điểm không thẳng hàng có maët phaúng vaø chæ moät maø thoâi Tiên đề 3: Một đường thẳng có điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì đường thẳng thuộc mặt phaúng Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì có chung đường thẳng qua điểm chung aáy Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng : 1/ Một điểm xác định đường thẳng cắt A a b (11) 2/ Một mặt phẳng xác định các ñieàu kieän sau: a/ Ba ñieåm khoâng thaúng haøng ( ) ( ABC ) b/ Một đường thẳng và điểm ngoài đường thaúng ( ) (a, A) c/ Hai đường thẳng cắt ( ) (a, b) d/ Hai đường thẳng song song : a//a’ ( ) (a, a ') Quan heä song song : 1/ Hai đường thẳng song song chúng cùng nằm moät maët phaúng vaø khoâng coù ñieåm chung 2/ Nếu đường thẳng d song song với đường thaúng d’ baát kyø thuoäc maët phaúng thì d song song với mặt phẳng 3/ Nếu d// , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và cắt theo giao tuyến thì giao tuyến đó song song với d 4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d vaø caét thì giao tuyeán cuûa chuùng cuõng song song với d 5/ Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song d vaø d’ thì giao tuyeán cuûa chuùng (neáu coù) song song với d và d’ 6/ Có đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào song song với đường thẳng này thì song song chứa đường thẳng 7/ Nếu mặt phẳng song song với giao tuyến maët phaúng vaø caét maët phaúng naøy thì giao tuyeán song song 8/ Nếu // thì song song với đường thẳng naèm 9/ Nếu chứa hai đường thẳng cắt cùng song với thì // 10/ Coù hai maët phaúng song song, maët phaúng naøo caét mặt phẳng thứ thì cắt mặt phẳng thứ hai vaø hai giao tuyeán song song Quan heä vuoâng goùc: 1/ Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với đường thẳng nằm mắt phaúng 2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì vuông góc với mặt phẳng (P) 3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ thì vuông góc với đường thẳng thứ hai 4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt cheùo 5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song 7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thaúng caét thuoäc maët phaúng (P) thì d vuoâng goùc với (P) 8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ thì vuông góc với mặt phẳng thứ hai 9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thì song song 10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với moät maët phaúng thì song song 11/ Một đường thẳng và mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng khaùc thì song song 12/ Có đường thẳng và mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với mặt phẳng 13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng 14/ Hai mặt phẳng cắt và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba 15/ Coù hai maët phaúng song song, maët phaúng naøo caét mặt phẳng thứ thì cắt mặt phẳng thứ hai vaø hai giao tuyeán song song 16/ Định lý ba đường vuông góc OH OA là đường xiên A d naèm Giả sử Ta coù OA D HA D O d H A (12) Khoảng cách – góc – đường vông góc chung hai đường thẳng chéo 1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn OH d 2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn so với các khoảng cách từ O đến điểm d 3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng là độ dài đoạn OH 4/ Khoảng cách từ O đến là ngắn so với các khoảng cách từ O đến điểm trên 5/ Khoảng cách d // là khoảng cách từ điểm trên d đến 6/Khoảng cách // là khoảng cách từ điểm trên đến 7/ Khoảng cáh đường thẳng chéo là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng 8/ Góc đường thẳng d và mặt phẳng là góc nhọn tạo d và hình chiếu d’ nó xuống 9/ Góc hai đường thẳng chéo là góc nhọn tạo hai đường thẳng song song với hai đường thẳng vẽ từ điểm 10/ Góc hai mặt phẳng là góc nhọn tạo hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng aáy 11/ Góc phẳng nhị diện là góc tạo đường thaúng naèm hai maët phaúng cuûa nhò dieän cuøng vông góc với giao tuyến 12/ Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng cheùo d1 vaø d2: - Dựng mặt phẳng chứa d2 và song song với d1 - Tìm hình chieáu d’ cuûa d1 leân , d’ caét d2 taïi N - Từ N vẽ đường vuông góc với cắt d1 M - Suy MN là đoạn vuông góc chung d1 và d2 Hình choùp- Hình laêng truï- Hình laäp phöông 1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy h 2/ Theå tích choùp cuït: B,B' là diện tích đáy B B ' B.B ' h h laø chieàu cao hình choùp 3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c 4/ Dieän tích xung quanh hình truï: Sxq 2 Rh V= 5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp Sxq Sđáy 6/ Theå tích hình truï: V= R h 7/ Dieän tích xung quanh hình noùn: Sxq Ra 8/Theå tích hình noùn V= R h 9/ Dieän tích xung quanh hình noùn cuït:Sxq R R ' a 2 R R '2 RR ' h 11/ Dieän tích xung quanh maët caàu: Sxq 4 R 10/ Theå tích hình noùn cuït: V= 12 / Theå tích maët caàu: V= R3 V/ GIẢI TÍCH TỔ HỢP -Hoán vị: Pn n ! n(n 1)(n 2) 3.2.1 -Chỉnh hợp: Ank Cnk n! n k! k n n! n k !k ! -Tổ hợp: -Các hệ thức cần nhớ: n ! n 1 !n Cnk Cnn k k n Cnk Cnk Cnk11 k n -Nhị thức Newton: (a b) n Cn0 a nb Cn1 a n 1b Cnk a n k b k Cnnb n k 0 Cnk a n k b k n -Các công thức cần nhớ: Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n Cn0 Cn1 Cn2 ( 1) k Cnk ( 1) n Cnn 0 (13) (14)