Tổng hợp lý thuyết môn toán 12 – nguyễn hoàng việt

Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star MỤC LỤC PHẦN I Đại số CHƯƠNG Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Sự đồng biến nghịch biến hàm số Cực trị hàm số Giá trị lớn - Giá trị nhỏ Đường tiệm cận hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tiếp tuyến Tương giao đồ thị Điểm đặc biệt họ đường cong CHƯƠNG Mũ Logarit 15 16 17 25 27 30 35 Lũy thừa hàm số lũy thừa Lôgarit Bất phương trình mũ logarit Bài toán lãi suất ngân hàng CHƯƠNG Nguyên hàm - Tích phân Ứng dụng tích phân 35 38 39 41 45 Nguyên hàm Các phương pháp tính nguyên hàm Tích phân Phương pháp tính tích phân Tích phân hàm số sơ cấp Ứng dụng tích phân 64 CHƯƠNG Số phức 45 47 51 52 54 69 Số phức 69 Phép cộng trừ, nhân chia số phức 70 Phương trình bậc hai với hệ số thực 71 MỤC LỤC i Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Tập hợp điểm biểu diễn số phức 72 Bài toán liên quan đến max, mô-đun số phức 73 PHẦN II Hình học 75 CHƯƠNG Khối đa diện Khối lăng trụ khối chóp Khái niệm hình đa diện khối đa diện Hai đa diện Phân chia lắp ghép khối đa diện Khối đa diện lồi Thể tích khối đa diện Các cơng thức hình phẳng Một số cơng thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp Các cơng thức đặc biệt thể tích tứ diện CHƯƠNG Mặt nón - mặt trụ - mặt cầu 77 77 78 80 80 83 85 87 90 93 Mặt nón trịn xoay khối nón 93 Mặt trụ tròn xoay khối trụ 95 Mặt cầu khối cầu 96 Một số dạng tốn cơng thức giải nón trụ 100 Một số dạng tốn cơng thức giải toán mặt cầu 108 Tổng hợp cơng thức đặc biệt khối trịn xoay 118 CHƯƠNG Hệ tọa độ không gian 77 123 Hệ tọa độ không gian 123 Mặt phẳng 127 Đường thẳng 133 Mặt cầu 144 Một số tốn giải nhanh cực trị khơng gian 148 ii Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star PHẦN I ĐẠI SỐ Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star CHƯƠNG BÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A ĐỊNH NGHĨA Ký hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f (x) xác định K, ta có Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) K với x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) K với x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét Hàm số f (x) đồng biến K f (x2 ) − f (x1 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ K, x1 = x2 x2 − x1 y O x Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải Hàm số f (x) nghịch biến K y f (x2 ) − f (x1 ) < 0, ∀x1 , x2 ∈ K, x1 = x2 x2 − x1 Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải O x Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ (a; b) hàm số f (x) khơng đổi khoảng (a; b) Nếu hàm số f (x) đồng biến khoảng (a; b) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến khoảng (a; b) f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Nếu thay đổi khoảng (a; b) đoạn nửa khoảng phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f (x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” B QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Cho u = u(x), v = v(x) C số Tổng, hiệu: (u ± v) = u ± v Tích: (uv) = u v + v u ⇒ (C · u) = C · u Å ã u u ·v−v ·u C C ·u Thương: = , (v = 0) ⇒ =− v v2 u u Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u) với u = u(x) yx = yu · ux C CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC Å ã ax + b ax + b ad − bc y= ⇒y = = cx + d cx + d (cx + d)2 y= ax + bx + c ⇒y = a x2 + b x + c Å ax + bx + c a x2 + b x + c ã = a b a b x2 + (a x2 a c a c x+ +bx+c) D BẢNG CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp (C) = 0, α Hàm hợp (C số) (x ) = α · xα−1 Å ã 1 = − , (x = 0) x x √ ( x) = √ , (x > 0) x (uα ) = α · uα−1 · u Å ã u = − , (u = 0) u u √ u ( u) = √ , (u > 0) u Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn b c b c Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star (sin x) = cos x (sin u) = u · cos u (cos x) = − sin x (tan x) = cos2 x (cot x) = − sin x (sinn x) = n · sinn−1 x · cos x (cos u) = −u · sin u u (tan u) = cos2 u u (cot u) = − sin u (sinn u) = n · u · sinn−1 u · cos u (cosn x) = −n · cosn−1 x · sin x (tann x) = n · tann−1 x · cos2 x (cotn x) = −n · cotn−1 x · sin2 x x x (e ) = e (cosn u) = −n · u · cosn−1 u · sin u (tann u) = n · u · tann−1 u · cos2 u (cotn u) = −n · u · cotn−1 u · sin2 u u u (e ) = u · e (ax ) = ax · ln a (ln |x|) = , (x = 0) x (loga |x|) = , (x = 0) x ln a (au ) = u · au · ln a u (ln |u|) = , (u = 0) u u (loga |u|) = , (u = 0) u · ln a E ĐẠO HÀM CẤP HAI Định nghĩa f (x) = [f (x)] Ý nghĩa học Gia tốc tức thời chuyển động s = f (t) thời điểm t0 a (t0 ) = f (t0 ) Đạo hàm cấp cao ỵ ó f (n) (x) = f (n−1) (x) , (n ∈ N, n ≥ 2) F MỘT SỐ CHÚ Ý Nếu hàm số f (x) g(x) đồng biến (nghịch biến) K hàm số f (x)+g(x) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hiệu f (x) − g(x) Nếu hàm số f (x) g(x) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số f (x) · g(x) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f (x), g(x) không hàm số dương K Sự đồng biến nghịch biến hàm số Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nhận xét Cho hàm số u = u(x) xác định với x ∈ (a; b) u(x) ∈ (c; d) Hàm số f [u(x)] xác định với x ∈ (a; b) Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∈ (a; b) f (u) đồng biến với u ∈ (c; d) Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∈ (a; b) f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d) G QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số f có đạo hàm K Nếu f (x) ≥ với x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f đồng biến K Nếu f (x) ≤ với x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f nghịch biến K Chú ý ax + b Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = , cx + d dấu đạo hàm y không xảy Å ã d x=− dấu “=” xét c Giả sử y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f (x) = 3ax2 + 2bx + c • Hàm số đồng biến R ® a>0  ∆≤0   f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a=0    b=0   c > • Hàm số nghịch biến R ® a • Bước Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài |x1 − x2 | = ⇔ (x1 + x2 ) − 4x1 x2 = ⇔ S − 4P = (∗∗) • Bước Giải (∗) giao với (∗∗) để suy giá trị m cần tìm BÀI CỰC TRỊ HÀM SỐ A ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm f xác định tập K x0 ∈ K Ta nói x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa x0 cho (a; b) ⊂ K f (x) > f (x0 ), ∀x ∈ (a; b) \ {x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa x0 cho (a; b) ⊂ K f (x) < f (x0 ), ∀x ∈ (a; b) \ {x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f Điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm (x0 ; f (x0 )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Nhận xét Cực trị hàm số Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Nếu d(I, ∆) > R ∆ khơng cắt (S); Nếu d(I, ∆) = R ∆ tiếp xúc với (S); Nếu d(I, ∆) < R ∆ cắt (S) hai điểm phân biệt M, N M N vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu Phương pháp đại số Thế (1), (2) (3) vào phương trình (S) rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t (∗) Nếu phương trình (∗) vơ nghiệm ∆ khơng cắt (S); Nếu phương trình (∗) có nghiệm ∆ khơng cắt (S); Nếu phương trình (∗) có hai nghiệm d cắt (S) hai điểm phân biệt M , N ! Để tìm tọa độ M , N , ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng ∆ C GĨC TRONG KHƠNG GIAN Góc hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α), (β) xác định phương trình: → − n = (A1 ; B1 ; C1 ) → − n = (A2 ; B2 ; C2 ) (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (α) (β), ta có cơng thức: cos ϕ = |A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 | A21 + B12 + C12 · A22 + B22 + C22 β α Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung Hình vẽ 136 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Cho đường thẳng (∆) : (∆) x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c → − u = (a; b; c) → − n = (A; B; C) mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) ta có cơng thức: sin ϕ = √ |Aa + Bb + Cc| √ A + B + C · a2 + b2 + c2 α 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ Góc hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c x − x0 y − y0 z − z0 (∆2 ) : = = a b c ; b; c) −a = (a → (∆1 ) : Gọi ϕ góc hai đường thẳng (∆1 ) (∆2 ) ta có cơng thức: cos ϕ = √ |aa + bb + cc | √ a + b2 + c2 · a + b + c ∆1 ∆2 → − a2 = (a ; b ; c) 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦ D KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Đường thẳng 137 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) tính bởi: d [M, (α)] = M (x0 ; y0 ; z0 ) |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C H α Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung Cho đường thẳng (∆) qua điểm − M0 (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP → u = (a; b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) tính cơng thức: ỵ−−−−→ ó − M0 M1 ; → u d(M1 , ∆) = → − |u| Hình vẽ M1 → − u M0 (x0 ; y0 ; z0 ) H Khoảng cách hai đường thẳng chéo Nội dung Trong không gian (Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau: − (∆1 ) có VTCP → u = (a; b; c) qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) → − (∆2 ) có VTCP u = (a ; b ; c ) qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) Khi khoảng cách (∆1 ) (∆2 ) tính cơng thức d(∆1 , ∆2 ) = Hình vẽ M0 ∆1 ∆2 M −u → → − u → − −−−−→ → − u , u · M0 M0 → − → − u,u 138 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn (∆) Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star E LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng   x = x0 + a1 t → − d qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) d : y = y0 + a2 t (t ∈ R)   z = z0 + a t Dạng −−→ d qua hai điểm A, B: d có VTCP AB Dạng d qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d VTCP ∆ VTCP d ∆ nên Dạng d qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với mặt phẳng (P ) cho trước Vì d ⊥ (P ) nên VTPT (P ) VTCP d Dạng d giao tuyến hai mặt phẳng (P ), (Q): Cách 1: Tìm điểm VTCP ® Tìm tọa độ điểm A ∈ d cách giải hệ phương trình (P ) (Q) (với việc chọn giá trị cho ẩn) − − − Tìm VTCP d: → a = [→ nP,→ n Q ] Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng d qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 : − − − Vì d ⊥ d1 , d ⊥ d2 nên VTCP d → a = [→ a d1 , → a d2 ] Đường thẳng 139 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Dạng d qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ), vng góc cắt đường thẳng ∆ Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng ∆ H∈∆ Ta có −−−→ → Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0 , H M0 H ⊥ − u∆ Cách 2: Gọi (P ) mặt phẳng qua A vng góc với d; Q mặt phẳng qua A chứa d Khi d = (P ) ∩ (Q) Dạng d qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 : Cách 1: Gọi M1 ∈ d1 , M2 ∈ d2 Từ điều kiện M , M1 , M2 thẳng hàng ta tìm M1 , M2 Từ suy phương trình đường thẳng d Cách 2: Gọi (P ) = (M0 , d1 ), (Q) = (M0 , d2 ) Khi d = (P ) ∩ (Q) Do − − − VTCP d chọn → a = [→ nP,→ n Q ] Dạng d nằm mặt phẳng (P ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 : Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P ), B = d2 ∩ (P ) Khi d đường thẳng AB 10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa ∆ d1 , mặt phẳng (Q) chứa ∆ d2 Khi d = (P ) ∩ (Q) 11 Dạng 11 d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 , d2 chéo Cách 1: ® Gọi M1 ∈ d1 , M2 ∈ d2 Từ điều kiện M N ⊥ d1 M N ⊥ d2 ta tìm M, N Khi d đường thẳng M N Cách 2: 140 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star − − − Vì d ⊥ d1 d ⊥ nên véc-tơ phương d → a = [→ a d1 ; → a d2 ] Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa d d1 cách • Lấy điểm A d1 − − − • Một véc-tơ phương (P ) → n P = [→ a ,→ a d1 ] Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d = (P ) ∩ (Q) 12 Dạng 12 d qua điểm M , vng góc với d1 cắt d2 Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện M N ⊥ d1 , ta tìm N Khi đó, d đường thẳng M N Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M vng góc với d1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2 Khi d = (P ) ∩ (Q) 13 Dạng 13 d qua M , vng góc với d1 cắt d2 Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện M N ⊥ d1 ta tìm N Khi đó, d đường thẳng M N Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M vng góc với d1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2 Khi d = (P ) ∩ (Q) Đường thẳng 141 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star F VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dụa vào mối quan hệ véc-tơ phương điểm thuộc đường thẳng Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ véc-tơ phuwpwng đường thẳng véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng G KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Cách 1: − Cho đường thẳng d qua M0 có véc-tơ phương → a ỵ−−−→ ó − M0 M , → a d (M, d) = → − |a| Cách 2: Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d d (M, d) = M H Cách 3: 142 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Gọi N (x; y; z) ∈ d Tính M N theo t (t tham số đường thẳng d) Tìm t để M N nhỏ Khi N ≡ H, d (M, d) = M H Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có véc-tơ − − phương → a , d2 qua điểm M2 có véc-tơ phương → a −−−−→ − − [→ a 1, → a ] · M1 M2 d (d1 , d2 ) = − − |[→ a ,→ a ]| • Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d2 khoảng cách d1 mà mặt phẳng (α) chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mà mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt (α) song song với khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng (α) H GĨC Góc hai đường thẳng − − Cho hai đường thẳng d1 , d2 có véc-tơ phương → a 1, → a Gọi α góc d1 , d2 d1 , d2 , ta có − − |→ a1·→ a 2| − − cos α = |cos (→ a 1, → a )| = → − − | a | · |→ a 2| Góc đường thẳng mặt phẳng − Cho đường thẳng d có véc-tơ phương → a = (a1 ; a2 ; a3 ) mặt phẳng (α) có → − véc-tơ pháp tuyến n = (A; B; C) Đường thẳng 143 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) góc d hình chiếu vng góc d (α) Ta có ’ sin d, (α) = √ BÀI |Aa1 + Ba2 + Ca3 | A2 + B + C · a21 + a22 + a23 MẶT CẦU A PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình tắc Phương trình mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R 2 (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 (1) Phương trình (1) gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt : Khi I ≡ O (S) : x2 + y + z = R2 Phương trình tổng quát Phương trình : x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c2 − d√> phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d B GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt phẳng (α) mặt cầu (S) có phương trình : (α) : Ax + By + Cz + D = 2 (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 Gọi d (I; (α)) khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) Cho mặt cầu S (I; R) mặt phẳng (P ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên (P ) ⇒ d = IH = d (I, (P )) d>R d=R d (S) có tâm I (−a; − b; − c) bán kính R = a2 + b2 + c2 − d Đặc biệt : Cho hai mặt cầu S1 (I1 ; R1 ) S2 (I2 ; R2 ) I1 I2 < |R1 − R2 | ⇔ (S1 ) , (S2 ) I1 I2 > R1 + R2 ⇔ (S1 ) , (S2 ) I1 I2 = |R1 − R2 | ⇔ (S1 ) , (S2 ) tiếp xúc I1 I2 = R1 + R2 ⇔ (S1 ) , (S2 ) tiếp xúc |R − − R2 | < I1 I2 < R1 + R2 ⇔ (S1 ) , (S2 ) cắt theo đường tròn (đường tròn giao tuyến) Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho trước bán kính mặt cầu R = d (I; (P )) Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), cắt mặt phẳng (P ) cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện Đường trịn cho trước (bán kính diện tích chu vi) từ cơng thức diện tích đường trịn S = πr2 chu vi đường tròn P = 2πr ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r 146 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Tính d = d (I, (P )) Tính bán kính mặt cầu R = √ d2 + r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng ∆ cho trước có tâm I (a; b; c) cho trước đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ta có R = d (I, ∆) 10 Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tiếp điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) thuộc ∆ có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước ta làm sau Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm M vng góc với đường thẳng ∆ Toạ độ tâm I = (P ) ∪ ∆ nghiệm phương trình Bán kính mặt cầu R = IM = d (I, ∆) Kết luận phương trình mặt cầu (S) 11 Dạng 11 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) cắt đường thẳng ∆ hai điểm A, B thoả mãn điều kiện Độ dài AB số Tam giác IAB tam giác vuông Tam giác IAB tam giác Thì ta xác định d (I, ∆) = IH, IAB cân I nên HB = AB bán kính mặt cầu R tính sau √ R = IH + HB R= IH sin 45◦ R= IH sin 60◦ Mặt cầu 147 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star 12 Dạng 12 Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P ) Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M 2 (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 x2 + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có) 13 Dạng 13 Tìm tập hợp tâm mặt cầu   x = f (t) Tìm toạ độ tâm I, chẳng hạn : y = g (t)   z = h (t) (*) Khử t (*) ta có phương trình tập hợp điểm Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có) BÀI MỘT SỐ BÀI TỐN GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN A DẠNG Cho mặt phẳng (P ) hai điểm A, B Tìm M ∈ (P ) để (M A + M B)min • Phương pháp Nếu A B nằm khác phía so với (P ) ⇒M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ) Nếu A B nằm phía so với (P ) ⇒ B điểm đối xứng với B qua (P ) B DẠNG Cho mặt phẳng (P ) hai điểm A, B Tìm M ∈ (P ) để |M A − M B|max • Phương pháp Nếu A B nằm khác phía so với (P ) ⇒ M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ) Nếu A B nằm phía so với (P ) ⇒ B điểm đối xứng với B qua (P ) ⇒ |M A − M B | = AB 148 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star C DẠNG Cho điểm M (xM ; yM ; zM ) không thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho VO.ABC nhỏ • Phương pháp (P ) : y z x + + = 3xM 3yM 3zM D DẠNG Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, cho khoảng cách từ điểm M∈ / d đến (P ) lớn • Phương pháp (P ) : Qua A ∈ d ỵỵ −−→ó − ó → − − nP = → u d ; AM ; → ud E DẠNG Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A cách M khoảng lớn • Phương pháp (P ) : Qua A −−→ → − n P = AM F DẠNG Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, cho (P ) tạo với ∆ góc lớn nhất(∆ khơng song song với đường thẳng d ) ã Phng phỏp đ (P ) : Qua A ∈ d → − − − − n P = [[→ u d, → u ∆] , → u d] G DẠNG Cho ∆ (P ) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P ) song song với ∆ cách ∆ khoảng nhỏ • Phương pháp Một số toán giải nhanh cực trị không gian 149 Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star ® Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A hình chiếu vng góc A lên (P ) d : Qua A → − − ud =→ u ∆ H DẠNG Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A ∈ (P ) cho trước nằm mặt phẳng (P ) cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d lớn (AM khơng vng góc với (P )) • Phương pháp Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A hình chiếu vng góc A lên (P ) (d) : Qua A ∈ d ỵ −−→ó → − − ud = → n P , AM I DẠNG Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A ∈ (P ) cho trước nằm mặt phẳng (P ) cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d nhỏ (AM khơng vng góc với (P )) • Phương pháp d: Qua A ∈ d ỵỵ −−→ó − ó − → − n P , AM , → nP ud = → J DẠNG 10 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A ∈ (P ) cho trước, cho d nằm (P ) tạo với đường thẳng ∆ góc nhỏ (∆ cắt khơng vng góc với (P )) • Phương pháp d: Qua A ∈ d ỵỵ −−→ó − ó → − − ud = → n P , AM , → nP 150 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn ... 148 ii Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star PHẦN I ĐẠI SỐ Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688... khoảng (0; +∞) Trong trường hợp tổng quát, khảo sát hàm số y = xα (0; +∞) 36 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star y = xα , α > y =... phân biệt Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 12 Th.s Nguyễn Hoàng Việt - 0905193688 - Luyenthitracnghiem.vn Trung tâm luyện thi Quốc Gia Việt Star Å g(x) = 2c 2b2 − 9a ã x+d− bc y ·y g(x)