www.elsolucionario.org William H Hayt, Jr • Jack E Kemmerly • Steven M Durbin Análisis de circuitos en ingeniería Octava edición ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA www.elsolucionario.org ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA OCTAVA EDICIĨN William H Hayt, Jr (finado) Purdue University Jack E Kemmerly (finado) California State University Steven M Durbin University at Buffalo The State University of New York Revisión técnica: Gloria Mata Hernández Universidad Nacional Autónoma de México Nathan Witemberg Wudka Universidad Iberoamericana, Ciudad de México Alejandro Vega Salinas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Querétaro MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO Director general México: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo Roig Vázquez Coordinadora editorial: Marcela I Rocha Martínez Editora de desarrollo: Ana Laura Delgado Rodríguez Supervisor de producción: Zeferino García García Traductor: Carlos Roberto Cordero Pedraza / Sergio Sarmiento Ortega ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA Octava edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor DERECHOS RESERVADOS © 2012, 2007, 2002, 1993 respecto a la octava edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A DE C.V A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P 01376, México, D F Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg Núm 736 ISBN: 978-607-15-0802-7 ISBN (edición anterior): 978-970-10-6107-7 Traducido de la octava edición en inglés de Engineering Circuit Analysis, byWilliam H Hayt, Jr; Jack E Kemmerly and Steven M Durbin © 2012 by The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved ISBN: 978-007-352957-8 1234567890 1345678902 Impreso en México Printed in Mexico Para Sean y Kristi, la mejor parte de cada día www.elsolucionario.org ACERCA DE LOS AUTORES • WILLIAM H HAYT, JR cursó su licenciatura y su maestría en la Universidad de Purdue, y su doctorado en la Universidad de Illinois Después de pasar cuatro os en la industria, el profesor Hayt ingresó a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Purdue, donde colaboró como profesor y jefe de la Escuela de Ingeniería Eléctrica y como profesor emérito luego de retirarse en 1986 Además de la obra Análisis de circuitos en ingeniería; es autor de otros tres libros, entre los que se incluyen Teoría electromagnética, ahora publicado en su octava edición por McGraw-Hill El profesor Hayt pertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, Sigma Delta Chi, miembro del IEEE, ASEE y NAEB Mientras estuvo en Purdue, recibió varios premios a la ensanza, entre los que se cuentan el premio al mejor profesor universitario También se encuentra en la lista del libro de grandes maestros de Purdue, un muro permanente que se exhibe en Purdue Memorial Union, donde quedó inscrito el 23 de abril de 1999 El libro lleva los nombres del grupo inaugural de 225 miembros de la facultad, del pasado y el presente, quienes dedicaron sus vidas a la excelencia en la enseñanza y la erudición Fueron elegidos por los estudiantes y colegas como los mejores educadores de Purdue JACK E KEMMERLY recibió su licenciatura grado Magna Cum Laude por parte de la Universidad Católica de América, su maestría por parte de la Universidad de Denver y su doctorado de la Universidad de Purdue Ensó primero en esta última universidad y desps trabajó como ingeniero en jefe en la Aeronutronic Division de Ford Motor Company Después ingresó a la Universidad Estatal de California, en Fullerton, donde se desempó como profesor, director de la Facultad de Ingeniería Eléctrica, director de la División de Ingeniería y profesor emérito El profesor Kemmerly pertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, ASEE e IEEE (miembro senior) Sus intereses fuera de la academia incluyen ser oficial de la Little Ligue y jefe de grupo de los Boy Scouts STEVEN M DURBIN recibió los grados de licenciatura (B.S.), maestría (M.S.) y doctorado (Ph.D.) en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Purdue, en West Lafayette, Indiana Posteriormente trabajó el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad del Estado de Florida y en la Universidad A&M de Florida, antes de ingresar a la Universidad de Canterbury, en Nueva Zelanda, en 2000 Desde agosto de 2010, trabajado en el Campus Buffalo de la Universidad Estatal de Nueva York, donde tiene una titularidad conjunta entre los departamentos de Ingeniería Eléctrica y Física Sus intereses académicos incluyen circuitos, electrónica, electromagnetismo, electrónica de estado sólido y nanotecnología Sus intereses de investigación se enfocan principalmente en el desarrollo de nuevos materiales semiconductores —en especial los basados en compuestos de óxidos y nitruros— así como en nuevas estructuras de dispositivos optoelectrónicos Es investigador fundador del Instituto MacDiarmid para Materiales Avanzados y Nanotecnología, un centro nacional de excelencia en investigación de Nueva Zelanda, y es coautor de más de 100 publicaciones técnicas Es miembro numerario de IEEE y miembro de Eta Kappa Nu, Electron Devices Society, la AVS (American Vacuum Society), American Physical Society y Royal Society of New Zealand vii • CONTENIDO BREVE PREFACIO xiii ● INTRODUCCIĨN ● COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS ● LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE ● ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS ● TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ● EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL ● CAPACITORES E INDUCTORES ● CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS ● CIRCUITO RLC 10 ● ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE 11 ● ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA 12 ● CIRCUITOS POLIFÁSICOS 13 ● CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE 14 ● FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE 15 ● ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s 16 ● RESPUESTA EN FRECUENCIA 17 ● REDES DE DOS PUERTOS 18 ● ANÁLSIS DE CIRCUITOS POR FOURIER 39 79 123 175 217 261 321 371 421 457 493 571 619 687 733 Apéndice INTRODUCCIĨN A LA TOPOLOGÍA DE REDES 791 Apéndice SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS 803 Apéndice UNA PRUEBA DEL TEOREMA DE THÉVENIN 811 Apéndice TUTORIAL DE PSpice® 533 813 Apéndice NÚMEROS COMPLEJOS 817 Apéndice UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB® 827 Apéndice TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ÍNDICE ANALÍTICO 839 ALGUNAS TABLAS DE UTILIDAD viii 851 837 www.elsolucionario.org CONTENIDO CAPÍTULO INTRODUCCIĨN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Panorama general del texto Relación del análisis de circuitos la ingeniería Análisis y diseño Análisis asistido por computadora Estrategias exitosas para la resolución de problemas LECTURAS ADICIONALES CAPÍTULO COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS 2.1 2.2 2.3 2.4 Unidades y escalas Carga, corriente, tensión (voltaje) y potencia 11 Fuentes de tensión y de corriente 17 Ley de Ohm 22 RESUMEN Y REPASO 28 LECTURAS ADICIONALES 29 EJERCICIOS 29 4.5 4.6 • Comparación entre el análisis nodal y el de malla 101 Análisis de circuitos asistido por computadora 103 RESUMEN Y REPASO 107 LECTURAS ADICIONALES 109 EJERCICIOS 109 CAPÍTULO TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 123 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Linealidad y superposición 123 Transformaciones de fuentes 133 Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton 141 Transferencia de potencia máxima 152 Conversión delta-estrella 154 Selección de un procedimiento: comparación de diversas técnicas 157 RESUMEN Y REPASO 158 LECTURAS ADICIONALES 159 EJERCICIOS 159 CAPÍTULO CAPÍTULO EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 175 LEYES DE TENSIĨN Y DE CORRIENTE 39 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Nodos, trayectorias, lazos y ramas 39 Ley de corrientes de Kirchhoff 40 Ley de tensión de Kirchhoff 42 El circuito de un solo lazo 46 El circuito de un par de nodos 49 Fuentes conectadas en serie y en paralelo 51 Resistencias en serie y en paralelo 55 División de tensión y de corriente 61 RESUMEN Y REPASO 66 LECTURAS ADICIONALES 67 EJERCICIOS 67 CAPÍTULO ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 79 4.1 4.2 4.3 4.4 Análisis nodal 80 El supernodo 89 Análisis de malla 92 La supermalla 98 Antecedentes 175 El amp op ideal: una introducción amable 176 Etapas en cascada 184 Circuitos de fuentes de tensión y de corriente 188 Consideraciones prácticas 192 Los comparadores y el amplificador de instrumentación 203 RESUMEN Y REPASO 206 LECTURAS ADICIONALES 207 EJERCICIOS 208 CAPÍTULO CAPACITORES E INDUCTORES 217 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 El capacitor 217 El inductor 225 Combinación de inductancia y capacitancia 235 Consecuencias de la linealidad 238 Circuitos de amp op simples capacitores 240 Dualidad 242 ix EJERCICIOS ❑ ❑ buscarse en tablas de transformadas (como la tabla 14.1) (Ejemplos 14.4, 14.5, 14.6, 14.10) Los teoremas de diferenciación e integración permiten convertir ecuaciones integrodiferenciales en el dominio del tiempo en simples ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia (Ejemplos 14.7, 14.8, 14.9) Los teoremas del valor inicial y del valor final son útiles cuando sólo se desean los valores específicos f (t = 0+) o f(t → ∞) (Ejemplo 14.11) LECTURAS ADICIONALES Un desarrollo de fácil lectura acerca de la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades clave se puede encontrar en el capítulo de A Pinkus y S Zafrany, Fourier Series and Integral Transforms, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, 1997 Un tratamiento mucho más detallado de las transformadas integrales y su aplicación a los problemas de ciencia e ingeniería puede encontrarse en B Davies, Integral Transforms and Their Applications, 3a ed., Nueva York: SpringerVerlag, 2002 La estabilidad y la prueba de Routh se estudian en el capítulo de K Ogata, Modern Control Engineering, 4a ed., Englewood Cliffs, N.J.: PrenticeHall, 2002 EJERCICIOS 14.1 Frecuencia compleja Determine el conjugado complejo de cada una de las siguientes expresiones: (a) − j; (b) 8e−9t; (c) 22.5; (d) 4e j9; (e) j2e−j11 Calcule el conjugado complejo de cada una de las siguientes expresiones: (a) −1; −j (b) ; (c) 5e−j5 + 2ej3; (d) (2 + j)(8/30°)e j2t 5/20◦ Se escriben varias tensiones reales en una hoja de papel, pero se derrama café a lo largo de la mitad de cada uno Complete las expresiones de tensión si la parte legible es (a) 5e−j50t; (b) (2 + j)e j 9t; (c) (1 − j)e j 78t; (d) − je −5t Suponga que las unidades de cada tensión son volts (V) Exprese la frecuencia compleja o las frecuencias complejas correspondientes a cada función: (a) f (t) sen 100t; (b) f (t) 10; (c) g(t) 5e−7t cos 80t; (d) f (t) 5e8t; (e) g(t) (4e−2t − e−t) cos(4t − 95°) Para cada una de las siguientes funciones, determine tanto la frecuencia compleja s como s*: (a) 7e−9t sen(100t + 9°); (b) cos 9t; (c) sen 45t; (d) e7t cos 7t Use constantes reales A, B, θ, φ, etc para construir la forma general de una función real del tiempo caracterizada por los siguientes componentes de frecuencia: (a) 10 − j3 s−1; (b) 0.25 s−1; (c) 0, 1, −j, + j (todas s−1) Las siguientes fuentes de tensión AeBt cos(Ct + θ) se conectan (una cada vez) a una resistencia de 280 Calcule la corriente que resulta en t = 0, 0.1 y 0.5 s, observando la convención del signo pasivo: (a) A = V, B = 0.2 Hz, C = 0, θ = 45°; (b) A = 285 mV, B = −1 Hz, C = rad/s, θ = −45° El teléfono móvil de su vecino interfiere el sistema de bocinas de la laptop de usted cada vez que el teléfono se está conectando a la red local Al conectar un osciloscopio a la clavija de su computadora, usted observa una forma de tensión que se puede describir por una frecuencia compleja s = −1 + j200π s−1 (a) ¿Qué puede usted deducir acerca de los movimientos de su vecino? (b) La parte imaginaria de la frecuencia compleja comienza a disminuir repentinamente Modifique su deducción según corresponda 565 www.elsolucionario.org 566 CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE Calcule la parte real de cada una de las siguientes funciones complejas: (a) v(t) = 9e−j 4t V; (b) v(t) = 12 − j9 V; (c) cos 100t − j43 sen 100t V; (d) (2 + j)e j3t V 10 Su nuevo asistente medido la señal que proviene de un equipo de prueba y escrito v(t) = Vxe(−2+j60)t, donde Vx = − j100 V (a) Hay un término faltante ¿Cuál es y cómo puede usted saber que está faltando? (b) ¿Cuál es la frecuencia compleja de la señal? (c) ¿Cuál es la importancia del hecho de que Im{Vx}>Re{Vx}? (d) ¿Cuál es la importancia de que |Re{s}| 22 Utilice la integral de la transformada de Laplace unilateral (incluyendo explícitamente los pasos intermedios) para calcular las expresiones en el dominio de s que correspondan a las siguientes expresiones: (a) 5u(t − 6); (b) 2e−tu(t); (c) 2e−tu(t − 1); (d) e−2t sen 5t u(t) 23 Con la ayuda de la ecuación [14], y mostrando los pasos intermedios adecuados, calcule la transformada de Laplace unilateral de las siguientes expresiones: (a) (t − 1)u(t − 1); (b) t2u(t); (c) sen 2tu(t); (d) cos 100t u(t) d 24 La transformada de Laplace de tf(t) considerando ᏸ{ f(t)} F(s), está dada por − F(s) ds Pruebe esto comparando el resultado predicho el hallado usando directamente la ecuación [14] para (a) tu(t); (b) t2u(t); (c) t3u(t); (d) te−tu(t) 14.4 Transformadas de Laplace de funciones de tiempo simples 25 Para las siguientes funciones, especifique el rango de σ0 para el que existe la transformada de Laplace unilateral: (a) t + 4; (b) (t + 1) (t − 2); (c) e−t/2u(t); (d) sen 10t u(t + 1) 26 Demuestre, ayuda de la ecuación [14], que ᏸ{f(t) + g(t) + h(t)} ᏸ{ g(t)} + ᏸ{h(t)} ᏸ{f(t)} + 27 Determine F(s) si f(t) es igual a (a) 3u(t − 2); (b) 3e−2tu(t) + 5u(t); (c) δ(t) + u(t) − tu(t); (d) 5δ(t) 28 Obtenga una expresión para G(s) si g(t) está dada por (a) [5u(t)]2 − u(t); (b) 2u(t) − 2u(t − 2); (c) tu(2t); (d) 2e−tu(t) + 3u(t) 29 Sin recurrir a la ecuación [15], obtenga una expresión para f(t) si F(s) está dada por 5 ; (d) + + (Dé una breve explicación de su proceso (a) ; (b) 1.55 − ; (c) s s s + 1.5 s s de solución.) 30 Obtenga una expresión para g(t) sin emplear la integral inversa de la transformada de a 1.5 − a, a > Laplace, si se sabe que G(s) es (a) ; (b) − 0; (c) π; (d) (s + 1) (s + 9) s (Dé una breve explicación de su proceso de solución para cada expresión.) 31 Evalúe lo siguiente: (a) δ(t) en t = 1; (b) 5δ (t + 1) + u (t + 1) en t = 0; (c) ∫−1δ(t) dt; (d) − ∫−1 2δ(t) dt 32 Evalúe lo siguiente: (a) [δ(2t)]2 en t = 1; (b) 2δ(t − 1) + u(−t + 1) en t = 0; (c) 0.003 −0.001 δ(t) dt ; (d) δ (t − 1) dt| 33 Evalúe las siguientes expresiones en t = 0: (a) (d) +∞ −∞ 2δ (t +∞ −∞ δ (t +∞ −∞ δ (t +∞ −∞ δ (t − 1) dt; (b) u (t + 1) − 1) dt + 1) dt ; (c) +∞ −∞ δ (t − 2) dt [u(1 − t) ]3 − u (t + 2) ; + 1) dt 34 Evalúe lo siguiente: (a) (d) +∞ −100 δ −∞ e +∞ −∞ (4 +∞ −∞ (4 t− dt ; (b) − t) δ (t − 1) dt − t) δ (t + 1) dt +∞ −∞ 4tδ (t − 2) dt ; (c) +∞ −∞ 4t δ (t − 1.5) dt ; 567 568 CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE 14.5 Técnicas de la transformada inversa 35 Determine la transformada inversa de F(s) igual a (a) + 5 − ; s2 (s + 1) − 3; (c) − + + + + 2; (0.1s + 4) (0.5s) (s + 5) (s + 5) s 2s + + (d) (s + 5) (s + 5) s+1 s+3 (s + 1) 2s + − 36 Obtenga una expresión para g(t) si G(s) está dada por (a) ; (s + 1) (s + 2) s 18 10 + (b) − ; (c) 19 − (s + 3) (s + 3) s + 6s + s ; (b) 1; 37 Reconstruya la función en el dominio del tiempo si su transformada es (a) (s s + 2) s s+2 ; (d) (c) (s + 2s + 4) 2s + s2 + + 1; 38 Determine la transformada inversa de V(s) igual a (a) s 2 s+8 2s − s+1 s + 4s + + + ; (c) (b) ; (d) s (s + 2) s2 s s s (b) 39 Obtenga la expresión en el dominio del tiempo que corresponda a cada una de las s + 1s 3s + 12 − ; (b) ; s2 + 3s s2 + 3s + 14 s+2 ; (d) ; (e) 2 (s + 4) (s + 5) + 1) + 1) + 1) (s (s (s + 4s + siguientes funciones en el dominio de s: (a) (c) + + s2 s s 40 Encuentre la transformada inversa de Laplace de lo siguiente: (a) ; s + 9s + 20 1 + ; (c) (0.25) ; (b) s s + 18s2 + 17s s + 1.75s + 2.5 (d) (e) Verifique sus respuestas MATLAB s (s + 1) (s + 4) (s + 5) (ss + 2) 41 Determine la transformada inversa de Laplace de cada una de las siguientes expresiones en s el dominio de s: (a) ; (b) ; (c) (s + 2) (s + 1) (s + 4s + 4) (s + 2) s + 8s2 + 21s + 18 (d) Verifique sus respuestas MATLAB 42 Dadas las siguientes expresiones en el dominio de s, determine las funciones 1 − + − 1; correspondientes en el dominio del tiempo: (a) 3s 2s + s3 + 8s2 + 16s 2s + (b) ; (c) (s + a) 3s + s3 /8 + 0.25s2 3s ; (s/2 + 2) (s + 2) s s + ; (d) ᏸ {tu (2t) } (b) − ; (c) − s + 100 s2 + 100 (2s + 24s + 70) (s + 5) 43 Calcule ᏸ−1 {G(s)} si G(s) está dada por (a) 44 Obtenga la expresión en el dominio del tiempo que corresponda a las siguientes funciones s 2s2 ; (b) ; (c) + − en el dominio de s: (a) 3 (s + 2) (s + 1) (s + 1) s s (s + 4) (s + 6) (d) Verifique sus soluciones MATLAB 14.6 Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace 45 Efectúe la transformada de Laplace de las siguientes ecuaciones: (a) di/dt − d i/dt + 9i 4; (b) m d 2p dp + μf + kp(t) dt dt 0, la ecuación que describe la respuesta “sin fuerza” de un sistema absorbedor de choques simple; www.elsolucionario.org 569 EJERCICIOS d np np − + G L , τ = constante, la cual describe la tasa de recombinación dt τ de electrones en exceso ( np) en silicio tipo p, bajo iluminación óptica (GL es una constante proporcional a la intensidad de la luz) (c) 46 Respecto al circuito representado en la figura 14.15, la tensión inicial entre las terminales del capacitor es v(0−) = 1.5 V, y la fuente de corriente es Is = 700 u (t) mA (a) Escriba la ecuación diferencial que resulta de la LCK, en términos de la tensión de nodo v(t) (b) Tome la transformada de Laplace de la ecuación diferencial (c) Determine la representación en el dominio de la frecuencia de la tensión de nodo (d) Despeje la tensión en el dominio del tiempo v(t) 47 Para el circuito de la figura 14.15, si Is mA, (a) escriba la ecuación de nodo en el s+1 dominio del tiempo en términos de v(t); (b) despeje V(s); (c) determine la tensión en el dominio del tiempo v(t) + v is 500 mF – ■ FIGURA 14.15 48 La fuente de tensión en el circuito de la figura 14.4 se reemplaza por la fuente cuyo equivalente en el dominio de s es − V La condición inicial no cambia s s+1 (a) Escriba la ecuación LVK en el dominio de s en términos de I(s) (b) Despeje i(t) 49 Para el circuito de la figura 14.16, vs(t) = 2u(t) V y el capacitor inicialmente almacena energía cero Escriba la ecuación en el dominio del tiempo del lazo en términos de la corriente i(t) (b) Obtenga la representación en el dominio de s de esta ecuación integral (c) Despeje i(t) 50 La representación en el dominio de s de la fuente de tensión en la figura 14.16 es Vs (s) V La tensión inicial entre las terminales del capacitor, definido usando la s+1 convención del signo pasivo en términos de la corriente i, es de 4.5 V (a) Escriba la ecuación integral en el dominio del tiempo que resulta de la aplicación de la LVK (b) Despejando primero I(s), determine la corriente en el dominio del tiempo i(t) 51 Si la fuente de corriente de la figura 14.17 está dada por 450 u(t) mA e ix(0) = 150 mA, trabaje inicialmente en el dominio de s para obtener una expresión para v(t) que sea válida para t > 200 mF i (t) + vs + – – ■ FIGURA 14.16 52 Obtenga, de manera formal, una expresión en el dominio de s que corresponda a la forma de onda graficada en la figura 14.18 53 Aplique la prueba de Routh a las funciones de sistema siguientes y establezca si el sistema es estable o inestable: s − 500 s − 500 ; (b) H (s) (a) H (s) s3 + 13s2 + 47s + 35 s3 + 13s2 + s + 35 54 Aplique la prueba de Routh a las funciones de sistema siguientes y establezca si el sistema es estable o inestable, después factorice cada denominador para identificar los polos de H(s) y verifique la exactitud de la prueba de Routh de estas funciones: V− V E + V D + V V + V + V + V + 14.7 Teoremas del valor inicial y del valor final 55 Utilice el teorema del valor inicial para determinar el valor inicial de cada una de las siguientes funciones en el dominio del tiempo: (a) 2u(t); (b) 2e−t u(t); (c) u(t − 6); (d) cos 5t u(t) 56 Utilice el teorema del valor inicial para determinar el valor inicial de cada una de las siguientes funciones en el dominio del tiempo: (a) u(t − 3); (b) 2e−(t−2)u(t − 2); X W − + >X W @ F G VHQ W H−W X W 57 Use el teorema del valor final (si es adecuado) para determinar f(∞) para V − E + F ... hacia adentro de la terminal de tensión positiva (Ejemplo 2.1) ❑ Existen seis fuentes: la fuente de tensión independiente, la fuente de corriente independiente, la fuente de corriente dependiente... circuito de la fuente de corriente independiente Fuentes dependientes Los dos tipos de fuentes ideales que se han explicado hasta ahora se denominan fuentes independientes, debido a que el valor de. .. por corriente, la fuente de corriente dependiente controlada por tensión, la fuente de tensión dependiente controlada por tensión y la fuente de tensión dependiente controlada por corriente (Ejemplo