INTRODUGCION A LA
INTEGRAL DE LEBESGUE EN LA REGTA por
Juan Antonio Gatica
LAM Universidad Técnica del Estado Santiago, CHILE
Department of Mathematics The University of lowa
lowa City, lowa, ESTADOS UNIDOS
Programa Reglonal de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico Departamento de Asuntos Cientificos
Secretaria General de la
Trang 3ẹCopyright 1977 by The General Secretariat of the Organization of American States Washington, D.C Derechos Reservados, 1977 Secretaria General de la Organizacién de los Estados Americanos Washington, D.C
Esta monografia ha sido preparada para su publicacion en el Departamento de Asuntos Cientificos de la Secretaria General de la Organizacion de los Estados Americanos
Editora: Eva V Chesneau
Trang 4
A à bimn
El programa de monografias cientificas es una faceta de la vasta
labor de la Organizacién de los Estados Americanos, a cargo del De-
partamento de Asuntos Cientificos de ta Secretaria General de dicha Organizacién, a cuyo financiamiento contribuye en form importante e} Programa Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico,
Concebida por les Jefes de Estado Americanos en su Reunién cele- brada en Punta del Este, Uruguay, en 1967, y cristalizado en las deliberaciones y mandatos de ta Quinta Reunién del Consejo Interame- ricano Cultural, Llevada a cabo en Maracay, Venezuela, en 1968, el Programa Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico es la ex- presiốn de las aspiraciones preconizadas por los Jefes de Estado Americanos en el sentidode poner laciencia y la tecnologia al servicio de los pueblos latinoamericanos,
Demostrando gran visién, dichos dignatarios reconocieron que la
ciencia y la tecnologia est4n transformando la estructura econémica y social de muchas naciones y que, en esta hora, por ser instrumento indispensable de progreso en América Latina, necesitan un impuiso
sin precedentes
El Programa Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico es un
bee
complemento de los esfuerzos nacionales delos paises latinoamericanos
y se orienta hacia la adopcién de medidas que permitan el fomento de la investigaciốn, la enseBanza y la đifusiốn dela cienciay ta tecnologia; la formacién y perfeccionamiento de personal cientifico; e] intercambio de informaciones, y la transferencia y adaptaciénalos paises latinoame- ticanos del conocimiento y las tecnologfas generadas en otras regionea, En el cumplimiento de estas premisas fundamentales, el programa de monograffas representa una contribucién directa a la ensefianza de las ciencias en niveles educativos que abarcan importantisimos secto- res de la poblacién y, al mismotiempo, propugna la difusién del saber cientifico,
La coleccién de monografias cientificas consta de cuatro series, en
espafiol y portugués, sobre temas de fisica, quimica, biologia y mate- rnấtica Desde sua comienzos, estas obras se destinaron a profesores y alumnos de ciencias de los primeros afios de la universidad; de estos
se tiene ya testimonio de au buena acogida
Esta introducci6n brinda al Programa Regional de Desarrollo Cien- tifico y Tecnolégico de la Secretarfa General de la Organizacién de los
Estados Americanos la ocasién de agradecer al doctor Juan Antonio Gatica, autor de esta monografia, y a quienes tengan el interés y buena
voluntad de contribuir a su divulgacién
Trang 5INDICE
A los Lectores co tenet
Introducciốn y Prerrequisitoa - - " th tet
CAPITULO PRIMERO MEDIDAS INTERIOR Y EXTERIOR, ầ CONJUNTOS MEDIBLES LEBESGUE, e- ver rcecnaveas
l.1, Medida Interior ec e eee Ỳ Ỳ + ể
12 Medida #xterior 1 ểể 1.3 Conjuntos Medibles "ốc ể 1, 4, Funciones Medibles erp reve *Ẽ+ ệ ệ r0 mm mm Ộâ "+, ề4 8n, m 8 4
CAPITULO SEGUNDO LA INTEGRAL DE LEBESGUE 2.1 Integraciốn de Funciones Positiva8 sec Ỳề
2.2 Funciones Integrables Ta `
2.3, Sucesiones de Funciones Integrables y Teorernan đe Convergencia Ề sete eee - teas
CAPITULO TERCERO, COMPARACION DE LA INTEGRAL
DE LEBESGUE CON LA INTEGRAL DE RIEMANN a
3,1, Integral de Rietaann ềề ềse eee n meanness
3.2 Existencia de la Integral de Riernann Ề- - - 3.3 Comparacién con la Integral de Lebesgue
CAPFÍfULO CUARTO DIFERENCIACIỐN ki va
4,1 Diferenciaci6n y la Integral de Riemann + 4,2 Funciones Monétonaa .-+ co tcece 4.3 Funciones de Variacién Acotada Diferenciacién de
IntegraleS ốc 4.4 Continuidad Absoluta, Integracién de Derivadas
Trang 6
INTRODUCCION Y PRERREQUISITOS
En esta monograffa daremos una breve resefia de algunos resulta- dos, ya cldsicos, sobre la integral de Lebesgue en la recta real Co- menzaremos definiendo una familia de subconjuntos del cuerpo de los reales que llamaremos medibies, y definiremos para cada uno de ellos cudi es su medida, exigiendo, entre otras cosas, que los intervalos de nameros reales sean medibles y que su medida coincida con nuestra idea intuitiva de longitud
Bien estarfa que todos los subconjuntos de la recta real fuesenme- dibles; mas por desgracia esto no ocurre, de modo que habra que con- tentarse con encontrar la familia mds extensa posible de conjuntos que
se pueden medir
Ahora se hard un resumen de los conceptos y resultados que supo-
nemos los lectores dominan Ademds, se demostraran algunos hechos
que empliearemos mds adelante y que no se suponen conocidos con an-
terioridad
También conviene advertir que, ai iguai que ocurre en todo texto de
matemấticas, la cormprensiốn de esta monografĩa exige que el lector
posea un buen grado de experiencia lógica,
Creemos reguisito indispensable para la comprensién de este texto que el lector haya seguido al menos un primer curso de Cátculo Su- pondremos, por consiguiente, que se conoce el cuerpo ordenado com- pleto de los nimeros reales
Sia y Dson ntimeros reales, por a@< 40 4>@ se indica que a es
menor que ở, y prasbo } 2a, que a es menor oa to sumo iguaia b
Se denotara por:
N el conjunto de los enteros positivos, llamados también naturales,
es decir, V= {1,2,3, }
Z elconjunto de los enteros, es decir, Z= (0,41, +2, } Q el conjunto de los nimeros racionales
el conjunto de los nameros reales
Sean X y A dos conjuntoa; se dice que 4 es un subconjunto de 4, lo
que se denota por 4 GZ, si todo elemento de A es tambiénelemento de X Se dirá que A es igual a Ỳ, A=, siA y X poseen los mismos ele-
Trang 7AC Además, si Ỳ es un conjunto, se denotará por P(Ỳ) el conjunto
de todos log subconjuntos de ầ, el] cual se denomina también conjunto
de las partes de X
Si 4 y 2 son subconjuntos de un conjunto 4, denotaremos por 4 UB
y4 0B la unién y la interseccién respectivamente de 4 y 8
Denotaremos por:
fx: P]
el conjunto de todos los elementos x que tienen la propiedad P, y por ằ ei conjunto vacio, es decir, el inico conjunto que no posee elementos (obsérvese que ằ es subconjunto de cualquier conjunto), Si 4 y Z son subconjuntos de 4, se dird que A y 8 son disjuntos sid NB= ằ,
Observemos que sỉ 4, ệ y@ son subconjuntos de un conjunto 4, se tiene:
(ANB) UCANC)
4n @uữ0)
AUENAC) (AUF) N (A UC)
Si A y 2 son subconjuntos del conjunto 4, denotaremos por 4\F el complemento de 2 relative a A, es decir, A4\# es el subconjunto de #, cuyos elementos son aquellos que pertenecen a A y noa B El conjunto
4\A recibe el nombre de complemento de A en X {o, cuando no haya lu-
gar a confusién, el complemento de 4) A continuacién se da una lista de los simbolos que usaremos, asi como ei significado que se les asigna: Ạ pertenece Y para todo a existe 3 tal que = implica c si y sốÌo si, Asi, por ejemplo, la frase: ''sig es un elemento de Q, entonces : ry existen enteros 7,7 # O, tales que g = %'', 3 se traduce en: gẠQỢn,mẠZ, n0, 3g =1
Sean à e Ỳ conjuntos Recordernos que una funciốn (o aplicaciốn) Ặ de ÃÝ en Ỳ es una regla que asocia a cada elemento de XY un único ele- mento de Ỳ (en realidad se podrĩa recordar una definicién mucho més formal, perc no jo creemos necesario), En este caso se dice que Ỳ es
el dominio de f, que Y es el codominio de f,, y se usard la notacién
Ặ :Ả = Ỳ para indicar que f es una funcién de X en Ỳ, Además, sỉ xes un elemento de Ỳ, denotaremos por f(x) el Gnico elementode Yasociado
Trang 8Sì Ỳ e ầ son conjuntos, f:4~Y es una funciốn y A C4, se define el conjunte f(A), la imagen directa {o, simplemente imagen) de 4 porf,
como el subconjunto de Y cuyos elementos son las imagenes por f de elementos de A En simbolos:
$4) = {ye V:d x ẠA dfx) = y}
El conjunto f(4) recibe el nombre de recorrido {o imagen) de Ặ Si
f(%) = ầ, diremos que f es sobreyectiva
Ahora, sif CY, se define la imagen inversade 8 por f, f8), co-
mo el subconjunto de Y cuyos elementos son aquellos cuya imagen por f pertenece a, es decir: f7B) = {a EX: f(r) Ạ } Es inmediato que si 3; y Bz son dos subconjuntos de ầ, resulta: f7(B, Be) = FR) NF") fe, U82) = FUR) u `) Ặ1ữNB) = 3/70)
Si X e ầ son conjuntos y f:4 ~ ầ es una funcidén, se dice que f es in-
yectiva si, dados dos elementos distintos en 4, sus imagenes respec-
tivas (por f) son elementos diferentes en Y Es decir, f es inyectiva 81 Xi, x2 ẠCÝ, xì Z Ư 2 Fly) x f(x) Es inmediato que f:4 ể Ỳ es inyectiva si, y sốlo si: *J,xƯ Ạ7, f@\) = fle) > 4 = &-
Si f:ầ + Yầ es una funcién, se dira que f es biyectiva siempre que f sea inyectiva y sobreyectiva
Sean J y X conjuntos Una familia de elementos de 4, con conjunto de indices J, es una funcién f:7 -% El recorrido de f es el conjunto
de elementos de la familia Por abuso de notacién, la familia f:J -ầ%
se denotaré a menudo por {f(t} ie ẹ por [ii he; donde x, = f(t) ỲÝ Ư Ạ 7
Obsérvese que todo conjunto se puede considerar como el conjunto de elementos de la familia T:4-~-42, donde I(x) = x, YxẠ#
Si X es un conjunto y {A shsey es una familia de subconjuntos de 4% (es decir, una familia de elementos de P{X)), la uniến de la familia, UA,
se define como el conjunto: "g
At = {xexX:F LETIxXEA,},
y la interseccién de esta familia, sáo se define como el conjunto:
Trang 9Điremos que una familia t4: ]:er đe subconjuntos de XY es disjunta si tJEeẠl,te# fs 4á, = g
Sim es un nimero natural, se denotard por 7({(n) elconjunto de todos los nimeros naturales menores 0 iguales a Es decir:
Tắn) = {%xẠW:E s n}
Recordemos que un conjunto Ỳ se dice finito sỉ Ỳ = 4 0 si existe una
funcién biyectiva f:4 -J{n) paraaiginnéẠN Sid = ằ, se dice que X tiene 0 elementos, y si X es finito y no vacfo, el (anico) nimero natu- ral 7 tal que existe una biyeccién de Z en J(n) recibe el nombre de nt-
mero de elementos de % Si ầ es un conjunto no finito y tai que existe
una biyeccién de X sobre JỖ, se dice que Y es enumerable Un conjunto X se dice numerable siZ es finito co enumerable Si X no es finito, se dice que % es infinito
Sean X un conjunto y {x.},-, una familia de elementos de % Dire-
mos que ésta es finita, numerable, enumerable, infinita, en caso que f sea del tipo respectivo
Si4 ca, yA # es un subconjunto finito de 7 (o una familia finita de nGmeros reales), entonces existen % y 4 ẠA tales que:
⁄eSx*<Ấxy Vo ued,
Es claro que X%) y x¡ son los únicos que poseen esta propiedad, Di- remos que xX, es ei menor elemento de 4 {o minimo de 4}, y que 4 es
et mayor elemento de 4 (o maximo de 4) Los denotaremos por:
% = min (A), 4 = mấx (4)
Recuếrdese adermás que si Ỳ es ưn conjunto Ữ {Á:Ì tẹt es una familia numerable de subconjuntos numerables de X, entonces eA es un con-
junto numerable De aqui se deduce con facilidadque @ es un conjun- to numerable
Si ầ es un conjunto, una sucesién de elementos de XY es una familia
de elementos de % con N como conjunto de indices En este caso se
escribird a menudo {x,},=, en vez de {xs }ecn- Sỉ mẠ N, se dirấ que x,
- "" Ủ a m
es el término de orden 7 de la sucesién {ay Ta Si fmho VY {ya duck
son dos sucesiones de elementos de Ỳ, diremos que {y,}"_, es una sub- sucesién de {x,}Ỏ_, en caso de que exista una funcién g: N~ N tal que:
Trang 10Ahora se hará una breve resela de ìos conocimientos imprescindi- bles sobre andlisis en la recta real
Si {x }%, es una sucesién de nimeros reales y % Ạ7, se dice que
% es el limite de la sucesión [zẤ}2=¡, o que la sưcesiốn {xạ Ìậ=y conver-
ge hacia x), 0 que ầ, tiende a x al tender n al infinito, si:
eẠR, c>O0 > EVENS Ix -ml cc FnNEN, ne,
Si x% es el limite de tuy ng, se escribe
Ộ X = lim #Ấ
nm
Es muy fAcil ver que si [x,}Ỏ, es una sucesién de nimeros reales
que converge hacia Xa, Ữ si fy, $a es cualquier subsucesiénde [3 độn,
también fy,}%, converge hacia x
Ủ ae aỘ + -
Si {x} es una sucesién de nimeros reales, y si existe xạ Ạ # tal que % = lim x, se dice que (x1 es convergente, Es casi inmedia-
Uwe
to que toda sucesiédn convergente de nimeros reales tiene un limite único
Si {x,]", es una sucesién de nimeros reales, se dice que es:
a} Mondtona creciente si: nmMEN, N2mM> x zx b) Monốtona đecreciente sỉ: "é,m Ạ N, ? >mệ Xa XS Ky
c) Monétona, simplemente, si es mondétona creciente o monétona
decreciente
d) Acotada si existe ầ EA, M20, tal que
|xẤ| <# ỲÝ nẠN
Una consecuencia de facil deduccién de la completitud de los nime-
ros reales es que toda sucesién monétona yacotada de estos es conver- gente
Dada una sucesién de nimeros reales, interesa a veces poder de-
Trang 11Recordemos ahora algunos hechos concernientes a las sucesiones
convergentes de nimeros reales Sean {x, i V (wyÌể dos de ellas,
ambas convergentes ya Ạ En tal caso: 1) La sucesién fax,}2, es convergente y
lim {Ủxa) = @(lim x,} noo
yy
2) La sucesién {x, + y joc, eS Convergente y
lim (4 +y) = (lim x) + (lim >2) 3} La sucesién {x,y Jom es convergente y
lim (7s) = (ấn x,)(iim y)
4) Si TH 1a Z 0, existe #e Ạ N tai que zẤ 0, para todo númerona-= tural ? mayoz o igual que #, y la sucesiốn { es convergente, y sie se tiene ademas: lim x, Xã ~ 7, lãm 2 = => ạểỦ tu lim Ve uw o co Se define la serie de nimeros reales Ừ @, como el par (fa,}in, 3=1
{oa }oca), donde ÍđƯÌsey es una sucesién de ntimeros reales y {s,}2, es
la sucesién definida por:
8, = & td2at ta, VYnNEN
La sucesién fs, an recibe el nombre de sucesién de sumas parcia-
Trang 12Es facil demostrar que si , es absolutamente convergente tam- Ủ n=
biến es convergente ) dạ, Esto se consigue observando que ) đạ ẹB
n=1 n=i
convergente si, y sốlo sì, la sucesiốn de sumas parciales es de Cauchy, y recordando que aỳđ, , du Ạ #, resulta |Ủ + +aẤ[< |ay| + +
+ [os]
a
Recuérdese ahora que, si ) dụ, ) bạ son dos series convergentes
n1 s=1
de nameros reales y ằ Ạ7 se tiene:
1} Ừ (ea,) es convergente y ), {oa,} = e(), Ga) 5 1= n=1 2) ) (a, + ĐẤ) es convergente y x +h) = Ừ ay) + iy b,) pol am n=t ự8=1 Ahora pasaremos a estudiar un poco la''estructura'Ỗ de algunos sub- conjuntos de F,
Sia,bẠR yas b, se definen:
1) El intervalo abierto de extremos @ y b, denotado por (4,4), co- mo el conjunto: (a,b) = ÍxẠ?:a< x< bì 2) El intervalo cerrado de extremos a y b, denotado por [a,], como el conjunto: (a,b) = {xẠ R:a sx d}
Trang 13[a,ệ) Se dird que ặ es un intervale abierto si es de la forma (a,b) 6 {2,7} 6 (-7,a)6(-Ỏ,~) Se dirấ que # es un intervalo cerrado si puede denotarse por [a,)] 6 [a,=} 6 {-*,a] 6 {-Ừ,&),
Es f4cildemostrar que, si ặ es un subconjunto de #, entonces # es un intervalo si, y s6lo si:
@a,bẠ#, a<b = (da #
Si Y es un subconjunto de A, diremos que 7 es abierto si posee la siguiente propiedad:
x ẠU > existe un intervaio abierto 7 tal que xẠ 7C Ử,
Es inmediato que un subconjunto U de 2 es abierto si, y sdlo si:
xẠÙỮ=dec,Ạ7, ặe,>03(x-Ạ,,x+Ạ,)C 7,
Si @ es un subconjunto de , se dirá que ử es cerrado si R\C es
abierto
Es fấc¡l demostrar que sỉ 7 G # es un intervalo, resuÌta:
i} J es un intervalo abierto # J es un conjunto abierto ii) J es un intervalo cerrado ẹ J es un conjunto cerrado
Aigunas propiedades evidentes de Ics conjuntos abiertos y de los conjuntos cerrados son:
1) Si {Ug lacs es una familia de conjuntos abiertos (de #), entonces U UY es un conjunto abierto,
GA
2) Si{%, , %} es una coleccién finita de subconjuntos abiertos
de 2, entonces A Yầ, es un conjunto abierto
3) Si {Cahaga es una familia de conjuntos cerrados, entonces ae, Pa es un conjunto cerrado, 4) si {C,, ,0,} es una colecciốn finita đe subconjuntos cerrados, a éntonces VY (, es un conjunto cerrado i=]
Si P es un subconjunto de F y xy ER, se diré que x es un puntode acumulacién de B, si existe una sucesién inyectiva de elementos de đ, `
` Ủ -
digamos ẶxẤ}Ấ¡, tai que xạ = lấn xẤ Denotaremos por:
nw@
B' = {x Ạ Rix es punto de acumulacién de 3}
Trang 14(xạ-ô, xe +ô) A\Z
Pero entonces es claro que no puede haber una sucesiốn đe elemen- tos de 2 que converja hacia xạ, ya queningún elemmento de # puede estar
a una distancia de x, menor que 6 Esto contradice la suposicién x Ạ
Ạ 8
Lauego:
B cerrado = ậ' Ạ B&B
Supongamos ahora que ' G?ử Hay que demostrar que 2 es cerra-
do Supongamos que 8 no lo fuese Entonces A\B no puede ser abierto, y como consecuencia existe un % Ạ {#\B) tal que si J es cualquier in-
tervalo abierto y xạ Ạ 7, entonces J Ạ (A\B), es decir TN BF g
Luego, para todo 2 Ạ N, el conjunto (Xe - i Xo ta) NB es, necesa- riamente, infinito (la deraoatraciốn de este hecho se deja como ejerci-
cio) Ahora se puede construir inductivamente una sucesién de ele-
mentos de 8 de? siguiente modo:
Elijase 4 come un elemento de (4-1, % + 1) 1 8 Entonces se puede encontrar x, Ạ | - 3, xạ + #1] NB (ya que (xe -5; Xo +430 NB es infinito) En general, si se supone que se hanelegido 4, ,x%, Ạ Ạ B tales que: ll Ở x | 4-201 <4, t Ư,JẠ{1, ,n}, t 4 Jam ế Hy, 1 i pe Ổ
entonces, como (Xe - nF? Xo + nF) f B es infinito, se puede elegir un
elemento x4; de [ Ủ& - ah Xo +b \in, wee 2,3 | n 8
De este modo se obtiene una sucesién inyectiva fxn de elemen- tos de 8 tai que lắm xẤ= xạ Es decir, x es un punto de acumulacién
7I7* 2
de B Pero entonces % Ạ ử' ự #@\?), lo que contradice la sưposiciốn de que #' estấ contenido en Z
Luego:
Bos = # es cerrado
Un hecho importante relative a intervalos cerrados es el Principio de Encaje de Cantor, que en este contexto se enuncia delsiguiente mo~
- Ủ= `4 -
do: si (Lan, Yn) J yer es una sucesién de intervalos cerrados tal que [a,.,
ber) = [2,,5,] ầ2 Ạ Ny lim (b,-a,) = 0, entonces existe xạ Ạ # tai que
Ủ IT oa
A [a,,2,} = {x} Este resultado se demuestra facilmente por medio
1=
de sucesiones monétonas
Sean # unsubconjuntode 7, f: ZỮ ể # una funciốn y x;Ạ Z Se đice que
Trang 1510
x EL, [x-m] <6 = |7(x) -f()| <e
Otra forma de decir lo mismo es: f es continua en % si, y sdlo si, dado cualquier intervalo abierto J tal que f(m,) Ạ J, existe un intervalo abiertod tal que x, EV y:
ẶW n3) c 1
Esto muestra que f es continua en x si, y sdélo si, dado cualquier
intervalo abierto J tal que f(%) Ạ J, hay un intervalo abiertod tal que:
% &Ạ UNE) S fr)
De aqui se obtiene de inmediato que f es continua en x sỉ, y sốlo si, dado cuaiquier conjunto abierto Ƒ de # tal que f(x.) Ạ Y, hay un con- junto abierto UY de # tal que:
meE(UNZ) S FW),
Si#ỨC ệy f:#->F es una funcién, se dice que f es continua si f es continua en % para todo % Ạ# Es unejerciciosenciilo elmostrar que f:2-F es continua si, y sélo si, dado Ặ Ể đ abierto, existe J < R, también abierto, tal que:
Une s pty)
Un hecho importante relativo a los conjuntos abiertos es el siguien- te: si ỨC ? es abierto, existe una familia numerable y disjunta de in- tervalos abiertos, digamos [7q xen, tal que:
Para probarlo, definase la siguiente relacién en UY; si x,y ẠU, se
dice que x~y, si existe un intervalo abierto # tal que {x,Ữ} C/ C ữ,
Es facil demostrar que ~ es una relacién de equivalencia en Ứ Por
tante ~ particiona a Y en clases de equivalencia Para cada x Ạ U, de- nétese por Xa la clase de equivalencia gue contiene a x Demostra- remos gue ầ es un intervalo abierto V x Ạ U En efecto, sea x Ạ JY, Véase primero que ầ es un intervalo; para ello tomemos a,b Ạ Ỳ, 4< bd,
Los casos posibles son los siguientes:
bSx,a<x<b, xSa
Se tratard sdlo el caso b Ộ, ya que los otros se tratan de modo
similar Sia@<45 x, por la definicién de ~, setiene (a,x)C UW, (b,x) ẹ
& UY, y por tanto:
(a,b) & (a,x) S Ú
Luego ầ es un intervalo Para demostrar que ầ es un intervalo a-
Trang 16
sulta que hay un intervato abierto J, tal que {x,y} Jy & U, y es inme-
diate que, en este caso, J, S ầ Por tanto, ầ es un abierto
Se tiene pues que ầ es un intervalo abierto
Ahora bien, se sabe que todo intervaloabierto no vacio contiene né-
meros racionales, ycomo @ es enumerable, se sigue que [ầ:% Ạ UV} tam- bién es numerable
Como ademas, six,y ẠU, entoncesoxNV=ằ6xX=F, se tiene que
Y es la unién de una familia numerable y disjunta de intervalos abier-
tos,
No es dificil mostrar que si {Zglac, y {Zg]}ae, son dos familias dis-
juntas y numerables de intervalos abiertos no vacios tales que:
TO gear = gee 7h
entonces [J,:a Ạ4} = {7g:B Ạ PB}
De aqui en adelante se adoptara la siguiente convencién: si Ya Ff es oe
un abierto no vacio, se escribiraé Y= YU J, donde (73, es una su-
n=1
cesién disjunta de intervalos abiertos Se entiende que si Yes la unién
de una familia finita de intervalos abiertos, entonces existe 7p Ạ N tal que /, = @ para todo nimero natural mayor que 7%) 0 iguala ếl Como,
? n eos er
wo
abiertos tal que 75 U s5; entonces debe verificarse {Tin ẠN}= ĐC
aỎ
nẠN}, se dird que Y= Ủ Ta es la Única expresiốn de Y como unién nu- ax
merable y disjunta de intervales abiertos {aun cuando, como sucesio-
nes, {Ia}ier y {0 }iny no tienen porqué ser iguales}
Sean ahora # un subconjunto de # y {Ug lacs una familia de abiertos Diremos que {U},ằ, es un cubrimiento abierto de # si:
# 6 Uử%
Gea
Si {Ug]ae, es un cubrimiento abiertode #Ỳ y sỉ BC A es tai que ty }aep es también un cubrimiento abierto de 4, diremos que (Ug does es un sub- cubrimiento de { ỦgÌae
SeaC CGR Diremos que 0 es compacto si tiene la siguiente propie-
dad: {Yalacs cubrimiento abierto de 0 > existe un subcubrimiento {Ualeee de (Uglega tal que 8 es finite
Ahora se caracterizaran a todos ios subconjuntos cornpactos đe Ff
Para ello se requiere la siguiente nocién: se dice que & ằ Pf es acotado
sỉ existe Ạ7, M20, talque [x] <sW Y xẠZ
Teorama (Heine-Borel-Lebesgue) Seal SR Entonces 0 es com- pacto et, y adlo si, C ee cerrado y acotado
Trang 17là
Demostracién, Supongamos primero que ( es compacto
Gomo {(-7, 7) }ia, es un cubrimiento abierto de Ở, se tiene que exis- te un 7; Ạ Ỳ ta! que Ỳ G (=ne,nọ) Por consiguiente, C tiene que seraco-
tado
Veamos que Cescerrado Para ello demostraremos que A\C es abierto
Sea xo ẠJ\Ể, En tal caso, para todo x ẠC, se elige ",= $| xe - x[ >
>0, Se tiene entonces que {(x-r,,x + PD) eee es un cubrimiento abierto
@eC Por ser C compacto hay wn subconjunto finito de (C, digamos t1,.- vyt, tal que n CS LY, (x, eye Xị +72) Sea "9 = min {r,,, , 7%} Entonces 79 > Oy es fdcilverificar que Tt (% -?", Xo + To) 1 L, (X4 - 7Ừ,; Xị re.) | = ằ
Por lo tanto, (2% - 7, % + 7%) S A\C Como x Ạ {A\C) es arbitrario,
se tiene que A\C es abierto y por lo tanto C es cerrado
Supéngase ahora que ( es cerrado y acotado Se debe demostrar
que 0 es compacto,
Obsérvese que por ser ẹ acotado, existena,b EF, a< bd, tales que
CS [a,b] Por tanto, basta demostrar que {a, b] es compacto (ya que si (Va sace es un cubrimiento abierto de C, al agregar F\C a esta familia se obtiene un cubrimiento abierto de [a@, b))
Demostraremos, por lo tanto, que si a,b Ạ #, a < b, entonces (a, b] es compacto
Supongamos, pues, que [a,b] no es compacto
Si (2, b} no es compacto, entonces existe un cubrimiento abierto {Yaloge de (a, b] que no posee un subcubrimiento finito Puesto que loa subintervalos [a, Ộ2| ; |2, >| dividen a [a,b] endos partes iguales
y (a, 2) = [e, a+b] U [242 bị, se deduce que no pueden existir subcu- brimientos finitos de {Uglaes para ambos subintervalos Supongamos, sin pérdida de generalidad, que no hay un subcubrimiento finito para
La, # 5 2 Entonces el mismo argumento nos dice que no pueden exis - tir subcubrimientos finitos de tứ sa para L4, oat *}, l2 be ase):
subintervalos que dividen a [ằ, a5?) en dos partes iguales Suponga-
Trang 18Siguiendo este proceso se encuentra una sucesién de subintervalos ce-
rrados de [ằ, 2], digamos f{[a,, 2 si], tai que
i) No hay un subcubrimiento finito de {Ug]ge, para la,, 4), ầ rn Ạ N ii) Coun, Mur] S [a,,o,) Vn EN,
ili) lim (},-@,) = 0 7%
Por el Principio de Encaje de Cantor, existe % Ạ [a,5] tal que
A (a,,2,]= {x} Ahora bien, como x Ạ[a,d] y (Uglag, es unm cubri-
miento abierto de [a,b], debe existir a, Ạ A tal que Ừ Ạ%, Pero co-
mo Ta, es un abierto, existe un p > 0 tal que (4-9, m+) S Ya, -
Como lim, (b, -a,) = 0, existe ầ Ạ N tal que d,-a,<p Ahora dedu-
cimos de los datos % Ạ [ay,2,J, dy-ay <P, que [ay, 2] & Wo - P, m+
+p) 5 ồ lo que implica una contradicciốn a la propiedad ¡) de [ấw, by,
ya que {Vag } es un subcubrimiento finito de {Ua hae para [ay, dy]
Esto concluye la demostraci6n
Los subconjuntos compactos de # poseen propiedades muy impor-
tantes en relaciốn con las funciones continuas Una de ellas es ta si-
guiente: sif or es compacto y f:X~ Fes continua, entonces f(i)} es compacta, Este es un hecho de demostracién muy simple que se deja
como ejercicio De aqui deducimos de inmediato que el conjunto ima-
gen de cualquier compacto por cualquier funcién continua es, necesa-
riamente, un conjunto cerrado y acotado
Ademas, siC ẹ Res compacto y no vacfo, entonces, como C es
acotado, se tiene que existen inf (C), sup (C)
Se observa que inf (C} ẠC y sup (C) ẠC, lo que es inmediato sỉ es
finito y resulta del hecho que ( contiene a todos sus puntos de acumula-
cién (por ser cerrado) si@ noes finito Una econsecuencia de esto es
el siguiente hecho: si X es un subconjunto compacto y no vacio de F y
si f:4 + es continua, entonces existen % y 4 Ạ X tales que Fino) = fix} s
S f(4) ầx EHX Para demostrarlo, basta observarque f{K) es compac-
to y que por io tanto sup (f(K)) Ạ fC), inf (f (K)} Ạ Fi}
Se definird ahora lo que se entiende por ta recta real completada 5
Consideremos los simbolos -*, +Ợ (que no son nimeros reales) Ữ
definase el conjunto # como:
R= Ru{-~, +},
Si x,2 ẠR, diremos que x es menor que 2, x <2, si se verifica uno de los siguientes casos:
Trang 191) x,2 ẠF y x es menor que 2 en el sentido de los nữmeros reales, 2) x= -m, 2 ER, 3) WER, z= +Ợ, 4) x= -%, z= +e, Ademds se postularaé que: (+2) + (#2) = +m (-=) + (-%} = ẹ Xt ($2) = (+ồ) +x = + V x ER X+({->) = (em) + y = -= VY X EP # _- * Ấ == R70 Vue R x(-*} = (-Ỏ)x = -ẹ si x ER, x > 0 x(==}) = ( )y = +> si YER, x< 0 14 x(+*) = (+=)x += si xẠ?,x>0 x(+=) = (+=)Òx II ' 8 si xẠ?,x<Qẹ (-=){-=) = +o (+e)(+e) = +0, Nétese que no se han definido las siguientes expresiones: {+} +(-=), (-ệ) + (Ẩm), Ô- (+m), (+e)Ề 0, 0- (=ệ), (-~)- 0
Por supuesto que si xe yẠ A, se entenderd x+y y xy en elsentido usual de los nimeros reales
# con estas convenciones no es un cuerpo
a Ộ > :
Si {Xala=t es una sucesién de elementos de #, se dird que:
Trang 20Si {x, Jin, ằ8 una sucesién de elementos de 7, se dird que es moné- tona creciente si XẤ Ấ XuƯi Ỳ ử3 ẠỲ, y se dirấ que es monótona decre- ciente sỉ XẤ.¡ ẾSxẤ Ỳ nẠỲ, - ` * ` Se dirá que { 2m} gest es monétona si es, o bien mondétona creciente, + 3 ẹ monétona decreciente ệ +
Finalmente obsérvese que si {v,},_, es una sucesién mondtona de
elementos de #?, entonces converge hacia un elemento de f
lỗ
Trang 21
MEDIDAS INTERIOR Y EXTERIOR, Y CONJUNTOS MEDIBLES LEBESGUE
k.i, MEDIDA INTERIOR
En esta seccién se definirá una funciốn mẤ : P(Ể) - [0, + =), que Ha- Tnaremos ''medida interior!', E2sta no es laznedida que se busca según
lo explicado en la introducciốn, sắno un paso para poder llegar a su definicién,
Đefiniciến t,],1 SiZ es un intervalo finito, de extremos @ y b,
as b, la longitud de J, 2(Z}, se define por: i(q} = ồ-ể 6g
El paso préximo seré ampliar esta nocién de longitud
Definicién 1,1,2 SiG es un subconjunto de ? abierto, no vacĩo y
acotado, se define la longitud de G, 1(G) por:
co 17
i(@} = Ừ 1a)
n=1
donde ở = Uv es la {inica) descomposicién de G como unién de una colec- as ciéna io sumo numerable y disjunta de intervalos abiertos, tal como se ha explicado en la introduccién,
Observacicnes
1) La longitud del conjunto vacio es 0 (ya que, si@ẠR, = (2,@)) 2} La longitud de un conjunto abierto acotado está bien definida,
3) SiG es un conjunto abierto acotado, resulta 1(G) <ề= (Véanse
los ejercicios ] y 2 de este capitulo),
4} SiG, y G, son dos conjuntos abiertos acotados, y G, Ạ Gg, se tiene
IG) $ 1G)
5) SiG es un conjunto abierto acotado y ầ EA, se sigue queG + % es un conjunto abierto acotado, y 1(G + xa) =2)
Trang 2218
En tal caso:
lim J(@ nạ) = lĩm 2@ ngỢ)
hao ho
Demostracién, Puesto que LGN) 5 1G Ns) YnEN, se tiene
que existe lim /7(Ể ự J} como nimero real extendido Del mismo
yw
modo se concluye que existe un lim J( n Tý) ( en el misrmao sentido)
ỞẮỞỦ
Ahora bien, seanẠN Entonces, Gf J, esun conjunto abierto aco- tado y, por lo tanto, existe # Ạ N tal que:
GNd, SEGAL
De aqui se sigue que@ NJ, CGAL VeEN, 2K Por lo tanto: HR ENDS LGN) < LENT) VYREN, 42K Por consigvuiente; IG@nd,) ặ iim, 4( ng) Como m ẠN era arbitrario, se concluye que: lim 1(@d,) $< lim NGM) mẤ,ểỦ awe De iguai modo se demuestra que lim, 1ự 2.) $ lim, IG Nd) io que da el resultado deseado
Definici6n 1.1.4, Sean G ằ ử un conjunto abiertono acotado y [7 Ìs=¡ una sucesión de intervalos abiertos acotados ta] que 7, G7ƯƯ; ỲÝằẠNy
Ủ
ay i, =F Se define entonces la longitud de G, 1(ằ), por: iG) = lên, +(@ n7)
Observaciones
1) La longitud de un conjunto abierto no acotado no depende de la
sucesién {7,}5_, de intervalos abiertos adoptadaen su definicién Esta
es una consecuencia del lema !, 1, 3,
2) SiG, y Gz son dos conjuntos abiertos no acotados y ổ¡ Cớa, seve- rifica
+J(@\) < 1G)
Trang 23x2 (por ejemplo, si G = U {n - LL nm + +), entonces /(Ể} = 1 < ah areỖ 2n ow 1 ee <0), 4} SiG es um subconjunto abierto de y x ẠF, se tiene queG + %, es un conjunto abierto y 1G@ + x;) = 1Ể
Lama 1.1.5 SiG ằ ự es un conjunto abierto e J unintervalo abier- to acotado, resulta que:
LG@UI) = 2() +20)
Demostraci6n, Supéngase primero que @ es un conjunto abierto aco- tado y eacribase G = Ju, (Q,, 2), J = (a, dB}
SiGnNnI=ằ, entoncesG UT = [ 0 (đạ; h)] U 7, que es una uniốn đỉs- a= junta, a lo sumo numerable, de intervalos abiertos yes acotada; luego, por definicién: co i@uT) = y (lạ -a,)+(b- a) = 2G) +2) n=} Si ẶỂỂ 6đ G 7, la desigualdad es inrmediata en virtud de las ob- servaciones, 19
Supéngase, pues, GNI #ằ, IEG yGE_TI Entonces existe nọ Ạ N tai que (đye, 2Ư) ự Ƒ# ó, y además 7 ặ (đaa, Ủạạ)
Hay tres casos posibles; 1} đu Ý 4a * bạ < b, Ì) @ < đụ < a s bò,
ii) @< a) s bs}
Se demostrard solamente el caso i), pues los demas se demuestran
Trang 24lo que constituye una unién a lo sumo numerable y disjunta Luego, por definición: 1ỂU7) = ) (-a)tb-a, < n=1 n Hạ SÀN cay) + =4) +, cá) 8 tên s ỳ (A -a} + b-a@ = 1(G) + 17) n=1
Sỉ B # ằ, péngase ử = sup (Đy:mẠđ}U Íb}) En tal caso, al deno- tar B, =BU {nr}, se tiene:
GUI = (o (đa; b,) | U (đ,Ấ.; ẹ), AAP lo que, nuevamente, constituye una unién disjunta y a lo sumo numera- ble Por lo tanto: IG@GuUT) = y (Dạ - đạ) + = Gy nal nei De nuevo es facil ver que, en efecto 4@U7) s 1G) +1)
Finalmente, el caso G no acotado se sigue de lo recién demostrado
y de la definicién de longitud en este caso
Por induccién se obtiene de inmediato el siguiente corolario
Corolario 1.1.6, Sean nẠWN e (J, }2., una familia finita de interva-
los abiertos y acotados, Entonces:
n bì
TU, dy) 3S y 4y) k=1
Ahora se generalizara este resultado,
Teorema 1,1,7, Seam {G,},_, una sucestdn de conjuntos abtertos de
FR Entoncea:
Trang 25
Demostraci6n, Para evitar casos triviales supondremos que todos los G, son no vacios Sea:
Astimase primero que @ es un conjunto acotado
a
En este caso, se tiene G = yu Je, donde {.7,}5_, es una sucesién dis- n= =
junta de intervalos abiertos acotados, Como i(đ} < *, se sigue que Ủ ) i(7,) es una serie convergente de nimeros no negativos, n=! Ủ@ Para cađa nẠN, escribamos G, = Ws Ty, donde {Ia es la suce- " =
si6n disjunta de intervalos abiertos acotados, cuya unién es G, Seae > 0, Entonces existe un ầ Ạ N tal que Ủ ) ở) <$ nM+1 En tal caso M 1@) < ) 1y) tệ ack Ahora, paracadanẠ[{I, , #} , sea X, un intervalo abierto tal que Ẩ, G9, y 1) < 1K,) + sy" Entonces: N HG) < > 1(K,) +6 n=ì NỞ Además, la uniốn U X; es un conjunto cerrado y acotado y por lo n=1
tanto es compacto Como este conjunto compacto est4 contenido en G, se sigue que existe un ndmero finito de los I? que lo cubren, digarmos
m ty he I! Fr," Ẩntonces;:
Na ny ng
we, &n GJ U UZỖ
Como cada #, est4 contenido en.J, y los J, son diajuntos de @ pares,
se tiene que los X, son disjuntos deq@ pares Luego:
N 8
) 20,) < J029U U77) < ) 107)
4=1 é=1
Trang 2622 y +J(,) 5 y iG,) n=1 n=1 Por consiguiente: 1G) s ) 1G,)+e, t= y, como Ạ > 0 es arbitrario, se tiene de inmediato que: oO ifG) s y 2G) o=1 En el caso en que G no es acotado, se deja la demostracién como ejercicio Teorema 1,1,8, Sean G, y&% dos subconjuntoes abiertos de R, Em tal caso:
L(Gy) + J (0a) = L(y U Ga} + L(G, ựn Go)
Demostraci6én Supéngase primero que & y G,s0n conjuntos abier-
tos acotados, expresados como unién de un némero finito de intervalos
abiertos, En este caso se empleard el método de inducci6n matemiatica, Primero supondremos que @, es un intervalo abierto (acotado}, di- gamos Ớ; = 7 = (a,b), Sea ahora; S = {n Ạ N: LI U Gs) + 2IT NGe) =
= 1T} *+41(Ư), Ge= U +T⁄, {7,]L, uma familia de intervalos, abiertos,
kỘt
acotados y disjuntos}
Es inmediato que 1ằẠS,
atl sf +
Supongamos pues nẠS' y que G3 = ws J, (union disjunta de intervalos
Trang 27
Ahora bien, gi 7 ứ T;# ớ, se sigue que 7U 7¡ eụ un intervalo abier-
to acotado, y luego, por la hipốtesis de inducciốn, se tiene: 4Ể) + 1Ể) + 22) 47 U77) *ệJ n1) + 2) n 17U74U8) + 1(7U27I) nđa) + 17 n7) n 1 UđG;}+7(đƯ ự 7) + TIT N24) Pero, por definici6n, 1(ằ; 1 7) + 1A Ti) = 1(0a A 7), ya que đạ ự 7 = 1 = *U (I NI,), unién disjunta de intervalos abiertos Luego: im1 J7) +10) + 22) 4Ể Uđaz) t2 n6), Ữ por consiguiente;
+) +(02) i LIU Ga) + 1 NGe)
Sil M7, =ằ, nuevamente por la hipdétesis de inducciốn y observan- đo que 7ựđƯ =7 ựa:
1} + 1(4) + 10) J4ẶUđƯ) + 27 0ự) + 2Ể} 17 U01) + 1Ư/U + 1 Ga)
23
ZiT U GSU Ty) + LUT NG) (7 UGe) + LIT NGe) y de nuevo obtenemos el resultado deseado
Por consiguiente, S = N, es decir, si G, es un intervalo abierto y acotado y Gz ea una uni6n finita y disjunta de intervalos abiertos y aco-
tados, entonces
1Gy) + 1G) = 2G, U Gy) + 1G, Ge)
Trang 28Lema 1.1.9 Sean đ; y đƯ dos subconjuntos abiertos acotados de ?,
y#CGự cerrado tai que C2, f6 đạ Entonces resulta: 1G.) - Lie, \ F3 1(@5) - 1G2\ F) Demostracién, Se sabe que: 1@.)+1G6,\ F) = 1G, u Ge \ F)) + 2G, A Ge \ F) Pero, como FC, GU (G2 \F) = U Gp y@,N Ge\ PF) = GG \F, se tiene:
IG} +1(Ge\ F) = 1G, U Ge) + 1UQ NG_)\ F) Del mismo modo:
1G) + 1G,\ F) = 1G, U Ge} + 1G, NG2)\ F)
Por ser G, y Gz conjuntos abiertos y acotados, la igualdad sigue de inmediato
Definici6n 1,1,10 a)Sea FP GF, donde F es cerrado y acotado, Se
define la longitud de ?, J{?), por:
iF) = 1@)-1ằ\F),
25
donde @ es cualquier conjunto abierto acotado que contiene a F,
b) SeaF & FR, donde F es cerrado (y no necesariamente acotado)
Se define la longitud de F, 1{F7}, por:
1(F) = lima, (lu? A Len, nn)
Observaci6n, De acuerdo conel lema 1 1,9, la longitud de un con-
junto cerrado est4 bien definida en e1 caso a}; y en el caso b), se sigue de que {l(F 7 [-m,m 3) 1=: ẹs una sucesiốn monótona creciente de nú-
meros reales Ademds es claro que siF,y F, sondos subconjuntos ce-
rrados y Fy SF,, resulta 1(F,} = 1(F5}
Ahora se est4 en condiciones de definirla medida interior de cual-
quier subconjunto de 7 Para ello se recurrea lanoci6én de ''supremo' de cualquier subconjunto de ff en el sentido de que si este subconjunto
es acotado superiormente, entonces el''supremo'' es la menor de las
Trang 2926 Observacién, Es claro de esta definicién que: i) EOR, Eacotado= m,.(Z) < Ừ, li) By, Hy ẠP(R), B,C By 2 mà(f) S my(a) iii) # Ạ P(P), # cerrado 2 mx() = 1(ặ)
iv) Si EPR) y x EF, resulta m(F + x) = my(Z)
Veamos ahora algunas propiedades de esta medida interior, Proposiciốn l,1,12, Si #; y ặ, Ạ F(R), entonces:
mự(Ếy) + my(Ea) S my{#y UH) + my(Z, 9 Ee) Demostraciốn, Si mự(Z;) = ệ 6 m,(ặ,) =~, todo es trivial
1uego supondremos m,(Ỳy) < ệ y mự(E2) < ẹ
Seae >0 Entonces existen subconjuntos cerrados #: y #Ấtales que fọẠZ\ va Ể Fạ y A My (Ea) - F< TF) S$ my(Z), Ty (Eo) - F< 1(Fg) < my (Ep) Asi pues se tiene: mự () + mự(5ạ) Ýe < TỰ N) + 1Ể) = 1U #s) +1, a Fo) (Véase el ejercicio no 5) Por lo tanto: MnlBy) + mye(Bg) < LP, UF3) + FL A Fa) te < wv Mx(Z, U ặ5) + mx(Z, Ny) + Como eằ > 0 es arbitrario, la proposicién queda demostrada
Trang 30n=1 Demostracién, Sea W ằẠN De acuerdo con el corolario 1.1 13, 1 mx.) < TQ, Ey) N 1 Pero de U E,S U2, ầN EN, Be sigue que 1Z1 a= UE) s m0 &) k2 ` Tụ vw ể Por lo tanto: N ) mmữA) < m(Ũ &) VN EN i= 1,2, MEDIDA EXTERIOR
Ahora definiremos una funcién m*: Pi?) +=[O0,ồệ], Mamada "medida exterior y, mds ain, estudiaremos algunas de sus propiedades Nue-
vamente, ésta no es la medida buscada, pero juntamente con la medida 27 interior definida en la seccién anterior, permitird definir cudles serdn
los conjuntos medibles y cual ser4 su medida
Definici6n 1.2.1, Sea Ữ Ạ P(?) La rmedida exterior de Ữ, m*(Ỳ), se define por el nốmero real extendido:
me(B) = inf {1(G):G GF es abierto y EcG} La funcién m* asi definida recibe el nombre de medida exterior en P Observacionea
1) Es inrmediato que, si # Ạ P(Ỳ) es acotado, entonces m*(#) < ệ
2) Si 4 y Za Ạ P(P) y Zự\ Ể ZƯ, entonces m*(Z,} s m*(ặQ) 3) Si ặ Ạ P(Ể) es abierto, entoncea ?#+(Ọ} = 2(E) 4} 5i # Ạ P(Ể} y xa ẠỲ, entonces m*(% + Xa) = m*(E) Proposicién 1.2.2 Sỉ #y y Zạ Ạ P(P), se tiene
m*(E,) + m(a) > m#(ự U Z2) + m*(đự\ ự Ọa)
Trang 31m>() tổ > 1G), t = 1,2
Entonces, por el teorema 1, 1.8, se tiene:
m*(ự+) + m#(Eạ) +e > 1G) +2(G2) = IG, UG,) + 1G, NG) Pero:
2, UE SG, UGs, BNR SG, NG Por consiguiente:
m*%(E;) + m#*(5Ư) + > mt#(ửy U BA) + m*(2, 1 ử2}
Como Ạ > 0 es arbitrario, se obtiene Ja desiguaidad deseada
Teorema 1,2,3, Sea {ặ,}"_, una sucestdn de subconjuntos de PR En-
tonees:
Ủ
m*({Ú EL) < y me (Ey
n= n=}
Demostraciốn, Si, para algiin n Ạ N, m*(Z,)=ồ, todoestrivial Por
tanto se supondrd que m*{F,)<@, YnéẠN Bajoeste supuesto se puede 28 afirmar que, dado ằ > 0, para cada nẠWN existe un conjunto abierto ằ,
de # tal que FP, OG, y m#(E,) < 1(G,) -
Ahora, por el teorema I, 1.7, se tiene Ũ E,G Ù ứạ, y esta đltima n=1 a=! unién es un conjunto abierto, por tanto: m(G Ey) $ 10 G) = À 1) < n=} h=t s=1 9 < ỳ (n>(#,) + 5) = )_ mx(,)+ K5 n Kol L u=1 2 = ý meh) +e n=1
Comoe > 0 es arbitrario, se tiene la desigualdad que buscdbamos Ahora es natural preguntarse cual es ita relacién entre la medida interior y la medida exterior
Proposici6én 1.2,4, Si Ữ Ạ P(P), resulta mẤ(#) < m%(#)
Trang 32FCEcCG
Entonces J(F) s 1(G) (véase el ejercicio no, 8)
Luego, sỉ Ạ[1(P):ƑG#, Ƒ cerrado}ys Ạ{1():EG0đ,0 abierto}, se tiene ý ềse Por consiguiente, sis Ạ [1(ằ):2 9G, đ abierto}, se
tiene mu(Z) = sup Í1(P):Ƒ' G7, # cerrado} <Se De aqui es inmediato my (6) & m* (EZ),
Proposici6n 1,2,5, Sia, DER, a<b, T=fa,bly EoT, resulta:
mE) +m (I \ BE) = b- a,
Demostracién, Primero obsérvese que, en virtud del problema 9, basta suponer FC (a,b), Sea, pues, G ẹ (4,5) un conjunto abierto tal que #OG Entonces J \ G es un conjunto cerrado y es facil ver que:
L@)+1I\G) = b-a
{(véanse ios problemas 7 y 8),
Pero, comoặG&@, se tiene (7 \G)& (7 \ Z) Como consecuencia: J1(ì +m.(TN 8ử) = 1G@)+li0\@) = b- a De aqui, tomando el infimo sobre todos los conjuntos abiertos ằ ta- 29 m%() + mẤ( Nữ) > b-o Ahora bien, si? ằ J \ Fes cualquier conjunto cerrado, se obtiene: m%(#) + 1P) < me(T\ PP) + li) s m*{(a, b)\ F) + IF) (véase el problema 9) = It lia, D\ FP) +l@) = b-a, y del mismo modo se obtiene que:
m%(E) + mự(TNE) Ss b-a, 1o que corapleta la dernostración,
1.3, CONJUNTOS MEDIBLES
Por fin estamos en condiciones de definir cudles son los conjuntos
medibles, cudl es su medida y qué propiedades tienen
Definiclốn 1.3.1, Sea Z Ạ P(P) Se dice que # es medible Lebesgue (o, simplemente, medible}, si
Trang 33
Denotaremos por el conjunto de todos los # Ạ P{#) que son tmmedi- bles, Si ẠM, se define la medida de By mE), por mL) = m*(E) = mx(Z)
La funcién m: ầ ~[0,ồ] recibe el nombre de medida de Lebesgue en ự
Observacién, Es claro que ằ, FR ẠM y que m(g) = 0, m{F7) =, Ade- mag es evidente que, si F Ạ P{R) es tal que mx{F} = ệ, entonces F es me- dible y m(Z) =Ỏ, Adem&s, si ặ Ạ P(R), entonces # EM si, y s6lo si,
mx(Z) z m*(Z}, También es claro que ai F Ạ P(R) es tal que m*{Z) = 9,
entonces Ọ#' es medible y m(#) = 0, y en este caso, todo subconjunto đe # es medible y tiene medida cero, Obsérvese ademas que, si f ằ Res medible y 6i % Ạ Ff, entonces # + % es medible y m(F + x) = m(#)
Veamos ahora algunas condiciones que nos permitan asegurar cudn-
do un subconjunto de ? es medible
Proposicién 1,3,2 Seana,bằẠR, a< by FC [a,b] = Entonces # es medible si, y sélo si,
m*{(E) + m+w(7\ E) s b- da,
Demostraci6n, Sabemos por la proposicién I 2.5 que:
mạ(#) + m+(7 Nữ) #= b-a
Si se supone que # es medible, se tiene ms{ặ) = m*(#), de donde:
me(E) +me(I\ FE) = b- a Por }o tanto, la condicién es necesaria
Supé6ngase ahora que:
m*(#) +me{T \ BY s bể da
Entonces, de m,.(Z) + m*(J \ Z) = b- a, se obtiene ahora que: m%*(Ọ) - mự(E) < 0,
y por lo tanto, m*(Z} S mz(EZ), lo que completa la demostraci6n
Corolario 1.3,3, Si a,b Ạ F, a< b, entonces [a,b], (a, d), (a, d),
(a, >) son conjuntos medibles,
Teorema 1.3.4, Seana,bẠR,a<by ES(a,b) Entonces EF es me-
dible et,y sdlo si, dado e > 0 exiaten conjuntos abtertos G, ầ Gz talea
que
Z#Ạ@, ((a,b)\ ặ)SG, y 1G, NG) <e
Demostraci6n, Supéngase primero que # es medible, Entonces, dado ằ > 0, existen conjuntos abiertos G, y Gz tales que ZOG,, ((a, Dd) \
Trang 34Sin pếrdida de generalidad se puede suponer que G, y Gz son subcon-
juntos de (a,b) Entonces, en virtud del teorema 1.1, 8, se tiene: IG, Ge) = Gy) + 1tG2) - 1G, UG)
Por lo tanto:
1G, NGa) < mB) + mea, db) \ BE) +e - 1G, U Ge)
Pero G; U G3 = (a, b) y, por lo tanto:
1G, Ge) < m*(Z) + m*((a, bd) \ BE) - (b- a) te Pera;
m*(Z) = m,{2),
de donde:
m*(E) + m*((a,by\ ặ) = mx(Z) + m*({a,b)\ BE) Ss
w mựụ(E) + m#([a, bìN ụ < bo Por lo tanto;
1G, MGs) < e 31
Se concluye que la condicién es necesaria
Ahora supốngase que F Ạ {a,b) es tal que, dado ằ > 0, existen con- juntos abiertos G, y G, tales que FOG,, ((e,b)\ Z)S Gey 1G, NGa) <6, Gy y Gz contenidos en (a, d} Entonces, parae > 0, se tiene: m(Z) + mầtia, db) \ F) = LG) + 2(G2) = = 1(G, UGa) + 1G,9G,) < bB-ate Como ề > 0 es arbitrario, se tiene que: m*(E) + m{{a,d)\ ặ) Ss b- a Por la proposici6n 1 3.2 (y usando el ejerciciono 10) se concluye que ặ es medible
Corolario 1.3.5, Sia,bER, a< by FO (a, d) esun conjunto medi-
ble, se sigue que (a, b) \ ầ es medible y
m(a,b)\ EZ} = (b - a) - m2)
Demostracién, El hecho de ser medible (a,b) \ # es claro, ya que la condicién del teorema 1.3.4 es simétrica con respecto a # y (a,b) \
Trang 35La igualdad que se desea mostrar resulta đe que: mx(#Ỳ) = m(Ỹ) y mẤ((ụ, bì N8) = m((ụ, b) \ ặ)
Teorema 1,3.6, Sean a,bẠR, a<b Entonees ai G es un aubcon-
junto abterto de Rk,GS (a,b), G es medible, Ademde si F ee un cerrado
de FR, PF ằ (a,b), entonces F es medtible
Demostraci6n, SiG Ạ (a, b) es abierto, entonces ms(7)= 1G) Aho- ra bien G = nea f,, donde esta Ultima es una unién disjunta de intervalos abiertos, Dadoe > 0, existe un WEN tal que ) i(J,) < ằ; entonces,
n=N+}
paran=1, ,ầ, elegimos unintervalo abierto ầ, tal que , Cư, y
LiJ,)< 1K,) + 7 Estas condiciones implican que Ù, Ỳ, es cerrado y az que m*(G) < TU K,) + 2e Luego:
mF) < mẤ(7) + 2e,
Comoe > 0 es arbitrario, se sigue que m*(@) <= my(G), lo que demuestra
que G es medible,
Ahora bien, si Ff es un subconjunto cerrado de F y F Ạ (a,b), enton- ces (a,b) \ # es un conjunto abierto contenido en (a,b), y como conse- cuencia es medible, Pero entonces (a, 6} \ [(a,b)\ FJ] =F es medible también,
Proposicién 1.3,7, Si, y #, son subconjuntos medibles y acotados de #, resulta que 2, UE, 1 & son también medibles y:
m(#y) + m(Zy) = m(Z, U ặ2) + m(ặ, M Za)
Demostracién, Por hipdétesis, m*(Z,)=m,(2;)= m{Z,), t= 1,2 Lue- go, 4 partir de la proposicién 1 1 12 se obtiene:
m(ễny) + ma) < mx( U 5a) + mự(ấy Í Bà) y de la proposicién 1, 2.2:
mE) + m(5ạ) > m+#(E U Eạ) + mt(E¡ n Z-) Por lo tanto:
mE, U Ea) + m*(E, 1 5a} = ma (By U 5g) + m, (2 0 Đà)
Como #, y ặ3 son acotados, todos los términos de esta igualdad son fi-
nitos Luego:
[m* (Ey U Ea) - mM (Ey YU Z2) Ì + [m*( Fy N ặ3) - Maye (By n Z2)] = 0,
Trang 36Corolario 1.3.8, Si Z, y Z son dos conjuntos medibles y acotados, y gi) C Zạ, entonces Z2 N ấy ca medible y
mBa \ #,) = mE) - m(Ey)
Demostracién, Como #, y Zz son acotados, hay a,dẠ RF, a< db, ta~
les que #, ẹ (a, d} y ặ, & (a, d)
Ahora bien por el corolario 1.3.5 {a,b) \ #, es medible y en virtud de ja proposicién 1.3.7,
Fo\ By = Fa (fa, d)\ Ay) es medible
Ahora bien, Z2 = (Z2 N\NZy)U ử y ự¡ ự (Ư NÊ) =0 Por consiguiente
y de nuevo por Ìa proposiciốn | 3.7, se tiene:
mB.) = m(B, \ Ey) + m(Ey)
y como todas estas cantidades son finitas,
mE \ ÂN) = m(Rặ) - m(E)
Teorema 1.3.9 Si{E,}-, es una sucesién disjunta de conduntoa medibles, entoncese @ &, ee medible y: =} co m(U B) = y mE } a= ĐÓ Ở n=1 " 33
Demostraci6n Puesto que cada ZẤ es medible, se tiene; Mx(E,) = mx*({E.) = mE) YneN
Luego, por ios teoremas 1 l 14 y 1.2.3, se tiene:
2 mE.) $s ma( U EL) s mr 20, #,) < py my),
de donde la conclusi6én es inmediata
Corolario 1.3.10, Si TT es una sucesiốn de conjuntos medibles tal que ặ, es acotado y F,C fy, YneN, entonces ai #, es medibie y
& ~~
m0, Z4) = Mim, milly)
Demostraci6n, Escribase F, = 2, y Fan 2 Fao \E, ần EN, Entonces, por el corolario 1.3.8, se tiene que #, es medible YneE Ny
mM(NH) = mE) - mh) YnẠN,
Ademé4s, por ser {F,}*_, una aucesiốn disjunta de conjuntos medibles, se obtiene del teorema 1.3.9 que:
Ủ
Trang 3734 es medible y que: mE) = m( OF) =) miry) = m@iy+ ) (mB) ~ mead) = n= = lim m(Z,) nẤểỦ
Corolario 1.3,11, Sắ {ZẤÌ Ở¡ es una sucesión de subconjuntos aco-
tados y rmaedibles de # tai que Zy., CF, YneEN, resulta que NM & es
nz1
raedible y m( Ey) = lima m(,) =L nể
Demoatraci6n Definase, para n Ạ N, 7, =7 \#, En tal caso F, es medible VneẠ Ny mF.) = m(\) - m2) Ademds, F, SFP, YneNy
UF, = oth (By \ ặ,)
n1 Ất \ (A ặ,)
wo
Luego, por el corolario 1.3.10, % \ (MM ặ,) es medible y: , > 2 n= 2 ầ mE, \ fi BE) = iim, mF) n= iim (m2) - m(B,)1
Pero ahora se puede afirmar que J, \ (F, \ A E,)= ự ựy ằ8 medi-
nol n1
ble y, como ụ(/ ) < Ủ, se infiere de inmiediato el resultado buscada, ?
Corolario 1,3,12, Si {1= es cualquier sucesi6nde subconjuntos medibles de ?, entonces ậ ặ, e8 medible ym( Ũ đu) > mE) Ade-
n=l a=}
a=1
mds, 6 ặ, ằ8 medible también,
n=
Demoatracién Definase #\ z= Zy Y Puy =F, \ CŨ, Ey} YnẠN En-
tonces {Z,]Ở; es una sucesién disjunta de conjuntos medibles y, por lo
tanto, U F,= ậ ặ, ằ3 también medible Ademdas: n=l n=1 mi #ặ,) = m O F,) = Ừ m(F,) s ) m(R) = 5 n=L Que By #, Ạ8 medible se concluye de que: BR = \ Lễ Ể \)]):
Una pregunta que ahora surge de manera natural es la de si hay o no un subconjunto de # que no sea medible Lebesgue, El siguiente ejem- plo da una respuesta afirmativa,
Trang 38en Ê y, por lo tanto, origina Ưna particiến de 7 en clases de equivalen- cia
Kn primer lugar, obsérvese que si xẠF, hay un s Ạ (0,1) tal que x~s
Ahora se elige un subconjunto # de (0, 1) que contenga exactamente un elemento de cada clase de equivalencia (la existencia de tal # se ba-
sa en el Axioma de Selecci6n)
Se afirma que # noes medible Para justificar esta afirmacién es necesario observar antes lo siguiente:
4} Six eẠ(0,1), existe un racional 7 en (-1,1) tal quexẠ(F +7)
Esto es consecuencia de la existenciade uny Ạ Z tai que xX~ y, y por lo tanto, haciendo r= x - y, se tiene que x Ạ (F + 7)
2} Sir,s ẠQ@, r #8, entonces (Z + r) n ( +a)= 9
En efecto, si suponemos x Ạ (# + ?) ự (# + s), enfonces existen ⁄,z Ạ Ạ # tales que X = ý ty x= 2# *+e, de donde 1 - # = s - r# 0, y por lo tanto, Z# contendrá đos elementos diferentes de una mmisma cÌase de
equivalencia, lo que es una contradiccién,
Supongamos ahora que # es medible Lebesgue Entonces # + Ợ es
medible Lebesgue ầréQn(-1, 1) đồ
Como @ f) (-1, 1) es enumerable, se sigue que: S = U(Ể+?, réQni(-l, 1)
es medible, ya que es la unién de una familia numerable y disjunta de subconjuntos medibles Como:
mE) = mE +r) YnẠ@Nn(-1,1),
y como 5'C{-1,2), se debe tener que mz(# +?) = 0 YreQn(-i, 1) tya que m(S')< =}, y por lo tanto, m(S) = 0
Pero, por l) se sabe que (0,1) SS, concluyendo que m{S) 2 1
Esta contradiccién nacié de suponer que Fes medible Luego, F no es medible Lebesgue
1,4, FUNCIONES MEDIBLES
Definiciốn 1,4,1, Sean 4 CF un conjunto medible y f:4 ~ Runa funciédn Se dice que f es medible si:
ỦẠ? 5 ÍxẠA:Ặf(xy)>aỦ} = Ặ? ((%, ệ)) eụs tan conjunto medible, Ahora ae dar*á una serie de condiciones equivalentes que establecen
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Proposicié6én 1.4,2 Sean 4 < FP un conjunto medible y f:4-F una
funci6n En tal caso los siguientes asertog son equivaientes; a) f es medible b) ỦẠZ 2 ẶẼ([Ủ, ệ)) es medible, cì ỦẠ*# = ẶỢ ((-e, ơ)) es medible, d) a ẠF# =ệ Ặ ` ((x=,Ủ]) es medible Demostracién, a} 2 b), Sea(ỦẠ?, Entonces: ặ*([a,=) = f21(Á (@Ủ- J,Ừ) = A pt n=ì ? n=l - 4, %)) ? v
Como f es medible, se sigue que fỎ({a, ồ)) es la interseccién de una familia numerable de conjuntos medibles y por tanto es un conjunto
medible
b) z c) Seaqa Ạ?# Entonces:
(-*,a) = #\ [a, >)
Luego:
f2((-@,a})) = ftw\ fa, 2)) = 4\ f(a, @)}
Y como 4 y ẶỢ({Ủ, ệ)) son conjuntos medibles, se tiene que Ặ*((=ệ,Ủ)) también lo es,
Las implicaciones restantes se demuestrande manera similar De esta proposicién se deducen los siguientes corolarios cuya demostracién es muy sencilla y se deja como ejercicio:
Corolario 1.4.3, Sean 4 ằF un conjunto medibley f:4 -Auna fun- cién, Entonces f es medible si, y sélo si, la imagen inversa por f de
cualquier intervalo es un conjunto medibie
Corolario 1,4,4 Sean 4 ằ 7 un conjunto medibley f:4-~F una fun- ciến Entonces f es medible si, y sélo si, la imagen inversa por f de cualquier subconjunto abierto de 2 es un conjunto medible
Una consecuencia inmediata del corolario 1 4.4 es que toda funciốn real continua definida en un conjunto medible es una funcién medible
Definicién 1.4.5 Sean A SF un conjunto medible y f,g:4 +A dos
funciones Dirermos que f es igual a g casien todas partes (c,t.p.), lo
que denotaremos por f =gic.t.p.), gi{x ẠA: Ặ(x)# g(x)} es un conjun-
to medible cuya medida es cero,
Proposici6én 1.4.6 Sean 4 CF un conjunto medible, f:A 7 Z2 una
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Demostracién, Seak ={xẠA: f(x) ầ# glx)} Entonces # es medible
y m(Z) = 0 Luego todo subconjuntode ặ es medible {y tiene medida ce-
ro)
Sea ahoraa Ạ Ff Entonces:
g(a, ồ)) = {x EA: gin) >a} =
II ({xẠA: Ặ(x) >ơÌN#)U{xẠ#:ụ(x)> af
Como cada uno de los conjuntoe đe] đltimo raiembro de estas igual-
dades es medible, se tiene que gt ((a, *)) es un conjunto medible
Definicién.i.4.7 Sean 4 un subconjunto de #, f,2: A4 ể PF funciones ye ẠR Se definen las funciones f +c, cf, ft+g, fg: ad ~F, respecti- vamente, por: (f tex) = f(x) te YxẠA (cẶ){x) = e(Ặ(%)) Y xẠA (Ặ/ +ợl\(\x) = f(xz)+g(x) ỲÝ xẠA (Ặử)\(x) = Ặ(x)ụ(x) Y xẠA Notaciốn, Si 4 es un subconjunto de 8y Ặ: 4 ~ 7ự es una funciốn, de- 31 notaremos f f nor f 7 + + 7
Teorema 1.4.8, Sean 4 OF un conjunto medible, f:A-7F una fun-
ciốn medible yo Ạ RP Entonces las functones f +a, ef :A~R son fun- ectones medtbles
Demostracién, Veamos primero que f +ces medible Para ello t6émese a Ạ 7 y obsérvese que:
(Ặ te} *((Ủ, ệ)) {xẠA:(Ặ +c)(x)> ad} = [xẠA:Ặf(z) te >a} =
n {x ẠA:fix)>a-ec} = fẼ ((Ủ - ụ, ệ))
Luego, como f es medible, (Ặ + ey (a, ệ)) esun subconjunto rmmedi-
ble de4 VaẠ?, Por tanto f +ằ es medible,
Considérese ahoracf Se distinguen tres casos, a saber ằ = 0
c>0yec<0, ?
Sic = 0, cf es una funciénidénticamente nula Luego, sia Ạ FR, se
tiene: