Tải về Các Chuyên đề ôn tập môn Toán 9 - Đồng hành vào 10 - Tìm đáp

- Giải hệ phương trình vừa thu được Chú ý: Nếu hệ phương trình có một ẩn mà hệ số bằng 1 thì nên giải hệ này theo phương pháp thế..  *Lưu ý: Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nh[r]

1 CĐ CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 ĐS CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐỒNG HÀNH VÀO 10 MỤC LỤC A CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC  Dạng 1: Biểu thức dấu là số thực dương  Dạng 2: Áp dụng đẳng thức A2  A  Dạng 3: Biểu thức dấu đưa đẳng thức A2  A  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục thức, đẳng thức, phân tích thành nhân tử; …)  Dạng Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dấu và ý toán phụ 12  Bài tập tự luyện: 27 B CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 30  Kiến thức 30  Ví dụ minh họa 31  Bài tập 33  Bài tập tự luyện 36  Giải hệ phương trình và số ý phụ 40  Giải hệ phương trình bậc cao 47 C GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 50  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 50  PHÂN DẠNG TOÁN 51 Dạng Toán quan hệ số 51 Ví dụ minh Hải 51 Bài tập tự luyện: 53 Dạng 2: Toán chuyển động 55 Ví dụ minh Hải 56 Bài tập tự luyện: 59 Toán Hải TH&THCS Dong Khe CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Dạng 3: Toán suất – Khối lượng công việc - % 60 Ví dụ minh Hải 61 Bài tập tự luyện: 68 Dạng 4: Toán có nội dung hình học 68 Ví dụ minh Hải 69 Bài tập tự luyện: 71 Dạng Các dạng toán khác 71 Ví dụ minh Hải 71 Bài tập tự luyện: 74 D GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 75  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 75  PHÂN DẠNG TOÁN 76 Dạng Toán quan hệ số 76 Ví dụ minh Hải 76 Bài tập tự luyện: 77 Dạng 2: Toán chuyển động 77 Ví dụ minh Hải 78 Bài tập tự luyện: 83 Dạng 3: Toán suất – Khối lượng công việc - % 85 Ví dụ minh Hải 86 Bài tập tự luyện: 89 Dạng 4: Toán có nội dung hình học 90 Ví dụ minh Hải 90 Bài tập tự luyện: 92 Dạng Các dạng toán khác 92 Ví dụ minh Hải 92 Bài tập tự luyện: 94 E HÀM SỐ BẬC NHẤT 95 Toán Hải TH&THCS Dong Khe CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 95  BÀI TẬP 96  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 102 F HÀM SỐ BẬC HAI 104  KIẾN THỨC CẦN NHỚ 104  BÀI TẬP 106 Sự tương giao đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai 108  PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 119 G PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 122 Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy phương trình bậc hai 122 1.1 Giải phương trình bậc hai 122 1.2 Giải phương trình quy phương trình bậc hai 125 1.2.1 Phương trình trùng phương 125 1.2.3 Giải phương trình đưa phương trình tích 130 1.2.4 Giải phương trình chứa bậc hai 131 a) Phương trình chứa bậc hai đơn giản (quy phương trình bậc hai) 131 b) Phương trình vô tỉ 132 1.2.5 Giải phương trình chứa dấu GTTĐ 134 Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng 134 Dạng 3: Phương trình chứa tham số 139  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 170 H BẤT ĐẲNG THỨC 172  KIẾN THỨC LÍ THUYẾT 172  BÀI TẬP 173  Kỹ thuật chọn điểm rơi bài toán cực trị xảy biên 178  Kỹ thuật chọn điểm rơi bài toán cực trị đạt tâm 183  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 190 “Tài liệu tổng hợp từ nhiều nguồn: Sách, đề cương, đề thi.” Toán Hải TH&THCS Dong Khe Chủ đề CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC A CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC  CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC  A nÕu A  A2  A    A nÕu A < AB  A  B A2 B  A (Với A  0; B  ) A B A B (Với A  0; B  ) (Với B  ) B (Với A  0; B  ) A B  A B   A2 B A2 B A  B B A A B  B B (Với A  0; B  ) (Với A  0; B  ) AB (Với B  )  C AB C  A  B2 AB 10 C C  A B 11  A 3    A B (Với A  0; A  B2 )  A B A3  A Toán Hải TH&THCS Dong Khe (Với A  0; B  0; A  B ) CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A A B VÍ DỤ ĐKXĐ: A  Ví dụ: ĐKXĐ: B  Ví dụ: ĐKXĐ: x  2018 x4 x7 ĐKXĐ: x7 x  2018 A B ĐKXĐ: B  Ví dụ: x 1 x3 ĐKXĐ: x3 A B ĐKXĐ: A  0; B  Ví dụ: x x3 ĐKXĐ: x   x3  x  A B  A   B  ĐKXĐ:  A     B  ĐKXĐ:  x      x     x  2 x 1  x       x   Ví dụ: x 1 x2 Cho a > ta có: x  a Ví dụ: x    x  a x2  a    x   a  x   a Cho a > ta có: x a a x a Ví dụ: x   2  x   Dạng 1: Biểu thức dấu là số thực dương Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: M  45  245  80 N   50  18 P  125  45  20  80 A  12  27  48 B   27  300 C  (2  27  12) : Hướng dẫn giải M  45  245  42.5 N   50  18 P  5  12    32.5  72   42.5  5.2   2.3  5 3 7 54 6  10    (10   6)  Toán Hải TH&THCS Dong Khe CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 A  12  27  48 B   27  300 C  (2  27  12) :  3 4   32.3  102.3   3.3  10  (2  5.3  4.2 3) :   5 :  5  Nhận xét: Đây là dạng toán dễ Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp A2 B  A dụng kiến thức đưa thừa số ngoài dấu để giải toán B (B0 ) Tự luyện:   B  32  27   75 A  50  18  C  20  45  A2  A  Dạng 2: Áp dụng đẳng thức Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) 3  2  d) 3  3  2   2  1  2   2    2 b) e)   2    2 c)   2  1  2 f)  2  1    5 Giải mẫu:   2 2    2 2   a)  3 2  32 3 2  Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: b) 4 Kết quả:  A nÕu A  A2  A    A nÕu A  c) d) e)  Dạng 3: Biểu thức dấu đưa đẳng thức Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A     Hướng dẫn giải A   1        1   3 1   2         3 Toán Hải TH&THCS Dong Khe A2  A f) 2  CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Nhận xét: Các biểu thức  ;  có dạng m  p n đó với a  b2  m p n  2ab Những biểu thức viết dạng bình phương biểu thức Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B     Hướng dẫn giải Cách 1: B  5  52    3  3  3 2     3  3  3 2 Cách 2: B  5  52 Ta có: 5  5    10  B2      18 Vì B  nên B   2 Nhận xét: Các biểu thức  và  là hai biểu thức liên hợp Gặp biểu thức vậy, để tính B ta có thể tính B trước sau đó suy B Bài 1: Rút gọn a) A   b) B   12 c) C  19  d) D   Hướng dẫn giải a) A      1   b) B   12    c) C  19   4  3 d) D     1  1  1  1 3 Toán Hải TH&THCS Dong Khe  4  4   3  3 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 2: Rút gọn a) A   b) B   15 c) C   d) D   13   13 e) E     f) F   10  20  Hướng dẫn giải a) A    b) B   15  c) C      1   1  15  2     2   13    15  d) D   13   13     2  14  13  14  13  2 13      e) E            (  1)  (  1) |  1|  |  1|     f) F   10  20   8  5    2 5 2 5  5 2 5 3 Bài 3: Rút gọn (Bài tự luyện) a)    b)  10   10 c) d) 24    e) 17  12   f)   22  12 g)    h) 21  12  i) j) 13  30   42  42   29  12 k)  13    13  Toán Hải TH&THCS Dong Khe l)   13     13  CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục thức, đẳng thức, phân tích thành nhân tử; …) Bài 1: Rút gọn: 62 52  1 3 1 1 C     1 2 3 99  100 34 34  1 52 E   5 6 6 B A D  74 2 F 2   2 3 Hướng dẫn giải a) A  62 52 1 3    2 1 3 1 3 b) B  3    5 6 6    4 5 6   6  5 2 6 2 6 52 c) C    1 1     1 2 3 99  100   1    3        100  99  d) D  1  74   44 3   (2  3) 2 2 2  2 2 2  2  2  2 (2  3)(2  3) e) E  34 34   1 52 3  2 3    1 52 1  22  11 26  13   2  2 11 13  42 42     2 2 Toán Hải TH&THCS Dong Khe   1      2 3  52  1     10 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10         1       1    1   1  1   2 34  (2)   2  1  1  2 1      2 3 2 3 3 1 f) F       1    3    32   1    3 1   1  3   1  1  1 3 Bài 2: Rút gọn A C  74 2 B  (  2)(  2)  34 34  1 52 D 2    74 32 2   Hướng dẫn giải a) A  1  74   44 3   (2  3) 2 2 2  2 2 2  2  2  2 (2  3)(2  3) b) B  ( 5)  2  c) A  (2  3)2 32 34 34   1 52   54 3 2   (1)  32  2 3    1 1 22  11 26  13   2  2 11 13 Toán Hải TH&THCS Dong Khe    2 3  5 52 11 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 42 42     2 2    2  5   2  2  5  2  1   1     (2)   2  1  1  d) D    22 2   2 2   2 52 22  2  5     2   2  2 2 2 42 4 8 54  Bài 3: Rút gọn - Bài tập tự luyện a) c) e) 5 62    2 4 3 2    b) 2   6 3 2 5  12 d)   1 f) 2    : 5 5    13  48 6 Bài 4: Rút gọn – Bài tập tự luyện 1  5 52 1) A 3) C 5) E 7) G  62  9) I 11) K  3  3 1 3 5  3 5 15  3 2) B 1  32 32 4) D 15  12  52 2 6) F 8) H 5 3   2    10  2   1 1 10) J    2  2 2 12) L   Toán Hải TH&THCS Dong Khe    5 2   2   2   1   1   1   6   3:  1  2  12 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 13) M  2 : 3 14) N  2 2   3 1 2   6  17) Q         15) O      :   21  12  2  19) S   2  1 3 21) U  23) W=  3   1 7 2  1 1 2  18) R  74 74 16) P  20) T  15  13  1 1 22) V  2  1 63 24) Y  3  2  3 Kinh nghiệm: Đôi số bài toán rút gọn thức thực dễ dàng chúng ta trục thức rút gọn hạng tử đề toán Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực các phép tính phức tạp Vì trước làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải ngắn gọn, chính xác  Dạng Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dấu và ý toán phụ  Rút gọn Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử và mẫu cho nhân tử chung tử và mẫu Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn Bài 1: Cho biểu thức P    x  2 x 3 3 x 5   x 1 3 x x  x 3 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị P, biết x   ; c) Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x  0; x  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 13 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) x 2 x 3   x 1 x 3 P      3 x 2   3 x 5   x 1  x 3     x  1  3  x  1 x  3 x 3  x 3 x 5  x  x  x   x  x  x   x  15   x 1 x 3  x  17 x    x 1 x 3  x  15 x  x   5   x 1 x 3   x  3  x  1 x  3 x 2 x 2 x 1   1  x   ;   1     3     7 Do đó: P    1     2   b) Ta có x    c) Ta có P  P  5 x 2 x 57  x 1 x 1 x 1 Vì  nên P có giá trị nhỏ  x 1  x  nhỏ  x  lớn x 1 Khi đó P    2  x 1 x x 2 x x Bài 2: Cho biểu thức Q     :  x  x  x  x 2  x 2 a) Rút gọn Q; b) Tìm x để Q  ; Toán Hải TH&THCS Dong Khe 9 14 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 c) Tìm các giá trị x để Q có giá trị âm Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x  0; x  4; x   x 1 x x 2 x x Q      :  x x  x    x4 x 4 a)       x 1 x 2 2 x  x 2     x 2  x 2 x 2  x  x   2x  x  x   x 2  x  x  x 2 x 2    x 2 b) Q     x 2      x 2 x 3 x 2 2 x 3 x 2  x 6 Q0   x 3 x x 2   x  8  c) x 3 x   x  2    x  2 x  2 x 3  x   x   x 2  : x 3  x   x  2 x   x  64 (Thỏa mãn ĐKXĐ) x 2 0 x 3 x   (vì x   ) x   x  Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q   x  và x  Bài 3: Cho biểu thức B  a a2   với a  0; a  a 3 a 3 a 9 a) Rút gọn B b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên Hướng dẫn giải a) Với a  0; a  ta có: B a a2 a a2     = a 3 a 3 a 9 a 3 a  ( a  3)( a  3) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 15 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b)  a ( a  3) 3( a  3) a2   ( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3)  a 3 a 3 a 9a 2 11  a 9 a  3)( a  3) 11  Z  11 ( a  9)  ( a  9)  U (11) a 9 Để B  Z  U (11)  1;11; 1; 11 Khi đó ta có bảng giá trị a 9 -11 -1 11 a -2 10 20 Không thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Vậy a  8;10; 20 thì B  Z  x 3 x 2 9 x   x 9     : 1   x    x  x x  x     Bài 4: Cho biểu thức P   (với x  0; x  4; x  ) a) Rút gọn biểu thức P  3.(  1) b) Tính giá trị biểu thức P x  62  Hướng dẫn giải a) P  b)  x  9    x   9  x  : x     x 3  x  4 x   x 3  x  x  :  x9 x 3 x   1  x 3 x 3    1   5  1 x 9   1   2 Toán Hải TH&THCS Dong Khe x 2 1 1  x 16 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Nên P  2  1 Bài 5: Với x > 0, cho hai biểu thức A  2 x và B  x x 1 x   x x x a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để A  B Hướng dẫn giải a) Với x = 64 ta có A  b) B c) Với x > ta có:  64    64 ( x  1)( x  x )  (2 x  1) x x x  x   1  x (x  x ) x xx x 1 A 2 x 2 x   :   B x x 1 x 2 x 1 x 1  x  x   x  x    x  ( Do x>0) Bài 6: Cho hai biểu thức A  x 4 x 1  và B  với x  0; x  x 1 x x 3 x 3 a) Tính giá trị biểu thức A x  b) Chứng minh B  x 1 c) Tìm tất các giá trị x để A x  5 B Hướng dẫn giải a) b) Do x = thoả mãn điều kiện nên thay x = vào A ta có A  3   1 1 B x 1  x x 3 x 3  x 1  ( x  3)( x  1) x 3 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 17 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 c)  x   2( x  1) ( x  3)( x  1)  x 3  ( x  3)( x  1) A x  5  B x 1 x 4 x :  5 x 1 x 1  4( x  4)  x  20  x  x    x = thoả mãn điều kiện Vậy x = thì Bài 7: Cho biểu thức A    x 2   x 2   x  A x  5 B x2 x x 1 1 2x  x   ( Với x  0, x  ) x x 1 x x  x  x x2  x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên Hướng dẫn giải a) A x 2 x  x 1 b) Cách 1: Với x  0, x   x  x   x   Vậy  A  x 2  x  x 1 x 2  1  x 1 x 1 Vì A nguyên nên A =  x 2   x  ( Không thỏa mãn) x  x 1 Vậy không có giá trị nguyên nào x để giả trị A là số nguyên Cách 2: Dùng miền giá trị A x 2  Ax+(A-1) x  A   x  x 1 Trường hợp 1: A   x  2  x   Trường hợp 2: A     (A  1)  A( A  2)  3 A2  A    A2  A   Toán Hải TH&THCS Dong Khe 18 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  A2  A   4  (A  1)   A  1; 2 doA  Z , A  3 Với A = => x = ( loại) Với A =  x 2   x  ( loại) x  x 1  Bài 8: Cho biểu thức P  1     x 1 1 x    , (với x  và x  ) : x   x x  x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  2022  2018  2022  2018 Hướng dẫn giải a) Ta có  x 1  x x 1   x    x x x x 1 x Và  nên P  b) x 1 x  x x 1 x 1  x x 1     x  1 x 1 x  x x 1 x 1 x 1 x Có x  2022  2018  2022  2018    2018   2018     2018   2018   2018   2018   thỏa mãn điều kiện x  và x  + Vậy giá trị biểu thức P x  là: 1    ( a  1) 10  a Bài 9: Cho biểu thức B   (với a  0; a  )    a 1 a a  a  a 1  a a) Rút gọn biểu thức B b) Đặt C  B.(a  a  1) So sánh C và Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 19 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) Với a  0; a  , ta có:  10  a  ( a  1) B   a  ( a  1)( a  1)   a  b) a 4 ( a  1) 4( a  1) ( a  1)2   Vậy B  (a  1)( a  1) a ( a  1)( a  1)( a  1) a a a Với a  0; a  , ta có: C   Bài 10: Cho biểu thức A  a  a 1 ( a  1) 1   Vậy C  a a x 1 x  :  x4 x 4  x2 x x   , với x  x 2 a Rút gọn biểu thức A b Tìm tất các giá trị x để A  x Hướng dẫn giải a) Ta có: A   b) x 1 x x  x 1  :   x4 x 4  x2 x x   ( x  2) x 1 ( x  2)2  x 1 x ( x  1) x x   : :     ( x  2) x  x  x    và x ( x  2) Với x  ta có A  Khi đó A   x x  :   x 2  x ( x  2) x  x  x 2   x ( x  2) x  ; x   x  x 23  x 1  x 1 Suy ra:  x   x x x x x 3 x 1 (với x  0; x  và x  )    x  2x  x 1  x x 1 Bài 11: Cho biểu thức B   Tìm tất các giá trị x để B  Hướng dẫn giải a) Ta có A  25  4.2  9.2     Vậy A  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 20 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b)  Ta có B       x x  x 1    x   x      x 1 x  x 1    x  3 x 1 x 1  2x  x 1    x 1 x 3  x 1  x 1  x  1 x 1 x  x 1 x   x 1 x 1 x 1 Vì x  nên x   , đó B  x    x  Mà x  0; x  và x  1 nên ta kết  x  4  x 2   Bài 12: Cho biểu thức V   với x  0, x   x 2 x  x 2 a) Rút gọn biểu thức V b) Tìm giá trị x để V  Hướng dẫn giải a)  x 2  V     x 2 x  x 2 b) V  x 2 x 2  x 2  x 2  x 2  x x 2   x    x  64 ( thỏa mãn) x 2 Bài 13: Cho hai biểu thức A  x 2 và B  x 5 20  x  với x  0, x  25 x  25 x 5 1) Tính giá trị biểu thức A x  2) Chứng minh B  x 5 3) Tìm tất các giá trị x để A  B x  Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 21 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 1) Tính giá trị biểu thức A x  9  3   5 35 Khi x  ta có A  2) x 5 Chứng minh B  20  x   x  15 x 5 Với x  0, x  25 thì B   3)    x  5 x   20  x x 5   x  15  20  x  x 5  x 5   x 5  20  x  x 5  x 5 x 5  x 5  x 5    (đpcm) x 5 Tìm tất các giá trị để A  B x  Với x  0, x  25 Ta có: A  B x   x 2  x 5 x4  x 2  x4 x 5 Nếu x  4, x  25 thì (*) trở thành :  x x 6 0  Do  x   nên x 3  Do x   nên x 2 x4  x 2 0 x   x  (thỏa mãn) Nếu  x  thì (*) trở thành :  x x 2 0  (*)   x 1 x 2  4 x  x 2 0 x   x  (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x  và x  thỏa mãn yêu cầu bài toán x x  x x  x 1 , với x  0, x    x 2 x  x 2 x 1 Bài 14: Cho biểu thức : P  a) Rút gọn biểu thức P b) Cho biểu thức Q   x  27  P  x 3 Toán Hải TH&THCS Dong Khe  x 2  , với x  0, x  1, x  Chứng minh Q  22 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Hướng dẫn giải a) Ta có x x  x x  x 1   x 2 x x 2 x 1 P x    b)   x 1  x  x x     x 1   x 1 x 2 x 2   x  x  x  x x 6 x 3 x 2   x 1 x 2 x  x x  x    x 1 x 2       x  1 x 1  x  4 x 2   x 2 Với x  0, x  1, x  , ta có  x  27  P  x  27  x   36 Q x 3 x 3 x 3 x 2   x 3   36  6  x 3 Dấu “=” xẩy   x 3  36  x 3 x 3  36  6  12  (co-si) x 3 1 a   x   36  x  1 a  1  Bài 15: Cho biểu thức P       với < a < a  a   a   1 a  1 a  a Chứng minh P = –1 Hướng dẫn giải Với < a < ta có:  1 a P   1 a  1 a   1 a  1  a 1  a    Toán Hải TH&THCS Dong Khe     a    a  1 a   a   23 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  1 a    1 a  1 a 1 a     (1  a)(1  a)     a2 a 1 a     1 a   1 a       a  a  1 a 1 a       a a  a   a  a   a    a   a  a  a  (1  a)  (1  a) 2a 1 a  1 a  1 a  1 a   1 a  1 a    1 a  1 a  1 a  1 a   2a 1 a  1 a  2a 1 a 1 a 2a   1 2a 2a Bài 16: 1) Tính giá trị biểu thức : A  x 1 x = x 1  x 1  x2  2) Cho biểu thức P   với x > 0; x   x   x 1  x2 x a) Chứng minh P  x 1 x b) Tìm giá trị x để 2P = x  Hướng dẫn giải Với x = thì 2) a) Chứng minh P  x  3 A  1  2 1 x 1 x - Với x > 0; x  ta có   x 1 x2 x P     x ( x  2)  x   x ( x  2) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 24 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 P P x x 2 x 1 x ( x  2) x  x 1 x ( x  1)( x  2) x  = x ( x  2) x 1 - Vậy với x > 0; x  ta có P  b) - Với x > 0; x  ta có: P  - Để 2P = x  nên x 1 x x 1 x x 1  x 5 x - Đưa phương trình x  x    x  2 (lo¹i)  x  thỏa mãn điều kiện x > 0; x  - Tính   x1  Vậy với x  thì 2P = x  Bài 17: Cho hai biểu thức A =   và B = x x x 1  (x>0, x  1) x x 1 a) Rút gọn biểu thức A và B b) Tìm giá trị x để A  B  Hướng dẫn giải a) Ta có: A =    (  2)   B=  b)       2 (vì x x x 1   x x 1  2) x.( x  1) ( x  1).( x  1)  x x 1 x 1 x 1  x 3A + B =  6  x  với x  0, x   x   x   x  ( thỏa mãn ĐKXĐ) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 25 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Vậy với x = thì 3A + B = Bài 18: Cho biểu thức   A =  27  12 : B= (2  3)  2 a) Rút gọn biểu thức A và B b) Tìm x biết B - x  = A Hướng dẫn giải a)   A =  27  12 :   =  15  : = 5 : = -5 B (2  3)    2 2  b)         2    (2  3) 43 1 B - x  = A (ĐK: x  )  - 2x  = -  x  =  2x - =  x  5, (TMĐK) Bài 19: Cho x  15 ; A  1 2 x 2x  x với x > 0, x   x 1 x  x a) Tính giá trị x và rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức B = ( A + 1)(  ) với giá trị x tính phần a Hướng dẫn giải a) x 15(  1) 2(  2)   3(  1)  (  2)   6 1 64 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 26 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 x x (2 x  1)   x 1 x ( x  1) A x x 1  x 1 x 1 x  x  ( x  1)2   x 1 = x 1 x 1 b) B  ( x   1)(  2)  x (  2) với x = + ta có B   (  2) = (  2)2 (  2)  (  2)(  2)     x 1 Bài 20: Cho biểu thức A  x3  với x  và x  x 1 x1 b) Tính giá trị A x   2 a) Rút gọn biểu thức A Hướng dẫn giải   x 3  với x ≥ và x  x 1 x 1   x 1 x 1   x 1 A    x 3   x 1   x  3  x  1 x  1 x 1  x 1  x   x 1 x    x 1 x  3 2  +) Thay x     x 1  1  1 2    x 1   x 1 vào A 2 1 1 Toán Hải TH&THCS Dong Khe  x 1 thoả mãn x ≥ và x ≠ 1 A  x 1  x 1 27 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  11   2 (do Kết luận x   1)  2 1 thì A  2  x 2 x 2  4x  Bài 21: Cho biểu thức A    :  x  x  x    x  1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết x   Hướng dẫn giải a) ĐK: x  0; x    x 2 x 2  4x A       :  x  x  x    x  1    x   x 1   x  1 x 1 4x   x 2     x  2 x  1 x  1 x 1  x 1 với ĐKXĐ: x  0; x  x b) Với điều kiện: x  0; x  Khi x    x    x   x  Ta có A  1   Bài tập tự luyện:  x 2 x 2 4x  x  x  x4 Bài 1: Cho biểu thức P     : x   x   x 2 a) Rút gọn P; b) Tính giá trị P x     ; c) Tìm x để P   x 1 x 1  x x  2x  x    x  x  x  x  18   Bài 2: Cho biểu thức P   a) Rút gọn P; Toán Hải TH&THCS Dong Khe x    x  1  4x    28 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b) Tìm các giá trị x để P  ; c) Tìm các giá trị x để P  Bài 3: Cho biểu thức P  x2 x 1 x 1   x x  x  x  x 1 a) Rút gọn P; b) Tìm x để P  ; c) Chứng minh với giá trị x làm cho P xác định thì P   x  x    x 1 x  x      :   x  x  x  x  x  x      Bài 4: Cho biểu thức P   a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị nhỏ P x 1  2 c) Tìm x để P x  8x  x  x  Bài 5: Cho biểu thức: P   , với x > : x   x  x  x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị P x = c) Tìm x để P = 13 Bài 6: Cho biểu thức: A  x 10 x   , với x  và x  25 x  x  25 x 5 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x = c) Tìm x để A < Bài 7: Cho biểu thức: P  x x 8  3(1  x ) (x  0) x2 x 4 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên dương x để biểu thức Q  Bài 8: a) Cho biểu thức A  x 4 x 2 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 2P nhận giá trị nguyên 1 P Tính giá trị A x = 36 29 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x  x  16  b)Rút gọn: B   , với x  và x  16 : x   x   x 4 c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên x để giá trị biểu thức là số nguyên x 2 và B  x Bài 9: Cho biểu thức: A  x 1 x   ( Với x  0, x  ) x 9 x 3 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị A x  c) Cho biểu thức P  1  1 1 A Hãy tìm các giá trị m để x thỏa mãn P = m B HD câu d: d) x 3 Với điều kiện x  0, x  4, x  x P  m  (m  1) x  (1) P A  B Nếu m = thì phương trình (1) vô ghiệm Nếu m  thì từ (1)  x  m 1 Do x  0, x  4, x   x  0, x  2, x    m 1  m        m  Để có x thỏa mãn P = m    m 1   m   m 1   Vậy m  1, m  , m  ( Thỏa mãn yêu cầu bài toán) x 2 và B  x Bài 10: Cho biểu thức: A  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x   c) Tìm x để biểu thưc A  B Toán Hải TH&THCS Dong Khe x 1 x   ( Với x  0, x  ) x 9 x 3 30 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Chủ đề d) Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn A  m B CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH B CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Kiến thức ax  by  c a ' x  b ' y  c ' Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng: ( I )  Trong đó a và b a’ và b’ không đồng thời * Hệ (I) có nghiệm * Hệ (I) vô nghiệm a b  a' b' a b c   a' b' c' Toán Hải TH&THCS Dong Khe 31 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 * Hệ (I) có vô số nghiệm a b c   a' b' c'  Giải phương trình phương pháp (giả sử hệ có ẩn x và y ) - Từ phương trình hệ, biểu thị ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn - Thế biểu thức x vào phương trình còn lại thu gọn, ta tìm giá trị y - Thế giá trị y vào biểu thức x ta tìm giá trị x  Giải phương trình phương pháp cộng đại số (giả sử hệ có ẩn x và y ) - Nhân các vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho các hệ số ẩn đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình đó có phương trình ẩn - Giải hệ phương trình vừa thu Chú ý: Nếu hệ phương trình có ẩn mà hệ số 1 thì nên giải hệ này theo phương pháp  *Lưu ý: Khi hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau đó sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình  Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ a) Phương pháp giải - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) - Đặt ẩn phụ và điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt - Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ)  Ví dụ minh họa Bài 1: Giải hệ phương trình: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 32 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 1 x  y 1  b)  3    x y 3x  y  11 x  y  a)  Hướng dẫn giải a) + Giải theo phương pháp thế: 3x  y  11 3x  y  11 3 1  y   y  11 3  y  y  11     x  y  x  1 y x  1 y  x   y 3  y  11 3  11  y 8 y  8  y  1  y  1  y  1       x  1 y x  1 y x  1 y x  1 y  x   2.(1) x  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) + Giải theo phương pháp cộng đại số: 3x  y  11 4 x  12 x  x  x       x  y   x  y  3  y  2 y  2  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) b) + Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Điều kiện: x  0; y  Đặt 1  a;  b (*) x y a  b  3a  4b  Hệ phương trình đã cho tương đương với   b   a  b  3a  3b  7b  b      Ta có:   a  b  a  b  a  b     a   b a   Toán Hải TH&THCS Dong Khe 33 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  b  Thay  vào (*) ta có a   1   y   y   (thỏa mãn)  1  x   x  7 9 Vậy nghiệm hệ phương trình là  x; y    ; 7  2  Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình 2 x  y  x  y  b)   x  y  26 5 x  y  16 e)  x  y   x  y  1 h)  a)  d)  g)  2 x  y  3 3x  y  c)  x  y  3x  y  3x  y  11 x  y  f)  3x  y  5 x  y  23 i)  2 x  y  4 x  y  2 x  y  x  y  Hướng dẫn giải a) 2 x  y  3x  x  x      x  y  x  y  x  y   y  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    2;1 b) 2 x  y  3 2 x  y  3 17 x  17 x      3x  y  15 x  y  20 2 x  y  3  y  1 Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y   1; 1 c) x  y  3x  2( x  1)  5 x  x      3x  y   y  x   y  x 1  y  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y   1;0  d)  x  y  26 5 x  35 y  130  x  y  26  x  5     5 x  y  16 5 x  y  16 38 y  114  y  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    5;3 e) 3x  y  11 4 x  12 x     x  y   x  y   y  1 Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    3; 1 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 34 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 f) 2 x  y  2 x  y  2 x  y   x      4 x  y  12 x  y  27 14 x  28 y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    2;1 g) x  y  3 y      x  y  1  x  y  1  y  3    x  (3)  1  y  3  x  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    2; 3 h) 3x  y    5 x  y  23 6 x  y  10   5 x  y  23 11x  33  3 x  y  x   y  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    3;  i) 2 x  y    x  y  x    x  y  x   y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    0;1 Nhận xét: Học sinh thành thạo phương pháp phương pháp cộng thì giải theo phương pháp đó Bài 2: Giải hệ phương trình 3( x  1)  2( x  y )  a)  4( x  1)  ( x  y )  1  x  y   c)   x   7  y   x  y  y 1   e)     1  x  y y  2  x  y  b)  1  2y   x  3x  x 1  y    d)   2x    x  y  4 x  y  f)  2 x  y  Hướng dẫn giải a) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 35 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 3( x  1)  2( x  y )  3x   x  y  5 x  y  5 x  y      4( x  1)  ( x  y)  4 x   x  y  3x  y  6 x  y  10 11x  11 x    6 x  y  10  y  1 Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y   1; 1 b) Điều kiện x  2 4 5    x  y   x  y   x  10  x  x      (thỏa mãn)  1  2y  1  2y  1  2y    y   y  1  x  x  x  x 1 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ; 1 c) Điều kiện y  Đặt t  , hệ phương trình đã cho trở thành y 1   1 x  t  t x  1  x  1 x  x  1   t   2 (thỏa mãn)         y  t   2 x  3t  2 x  3(  x)  5 x  5    2 Vậy hệ có nghiệm là  x; y    1;  d)  3x  x 1   (I )   2x   x  4 y2 ĐK x  1; y  2 5 y2  x  x   a Đặt  Khi đó hệ phương trình (I) trở thành:  b  y  3a  2b  3a  2b  7 a  14 a       2a  b  4a  2b  10 2a  b  b  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 36 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x  x   x   Khi đó ta có:     y  1  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2; 1 e)  x y       x  y 5 y 1 Điều kiện: x   y; y   1 y 1 Đặt u  1 và v  Hệ phương trình thành : x y y 1 4u  v  8u  2v  10 9u  u      u  2v  1 u  2v  1 2v  u  v  Thay vào hệ đã cho ta có :   x  y   x  y   x  1      y 1  y   1  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    1;  f) Điều kiện: x  0; y  4 x  y  4 x  y  5 y       2 x  y  4 x  y  2 x  y   y  y    (Thỏa mãn) x   x   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   1;0   Bài tập tự luyện Bài 1: Giải hệ phương trình Toán Hải TH&THCS Dong Khe 37 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 x  2y  2x  y    x  y  x  y   5 x  y  9 4 x  y  2x  y    2x  3y      4 x  y  6 x  y  10  11  1  x y 3 13  4 x  y  x y   14   x8   y  4 x   15  y  x  y  10     (  1) x  y  17  4 x  (  1) y  7 x  y  3x  y  x  y   2 x  y  4 x  y  10 x  y  3 x  y  23  4 x  y   x  y  17,5 27  0,2 x  0,1 y  0,3 3 x  y  31  3x  y  2 x  y  8 35  22  2 x  y   4 x  y  26  25  5 x  y  2 29   x  y  3x  y  5 x  y  28 33  3x  y   5 x  y  14 19  5 x  y  2 x  y  21  30  34  5 x  y  17 9 x  y  x  y   2 x  y    x  y  18  2 x  y  3 x  y  2 x  y  3x  y  14 12  16 3  x  y    x  y  5  5 x  y  x  y  20  3x  y  2 x  y  x  y   x  y  3 24  3x  y  7 3x  y  28  0,75 x  3, y  10  x  y  32  2 x  y  1 x  y  36  x  2 x  y  3 x  y   x  1,5 y  0,5 2 x  y   x  y  10 x  y  2 x  y  Phương pháp: Giải hệ phương pháp cộng đại số Bài 2: Giải hệ phương trình 4 x  y   x  y   2 x   y  1  2  x  1  15  y  1  3  x  1   y  1  5  x  y    x  y   12 3  x  y    x  y       2x  4x 1  y 1  y    x2  x4  y  y   x  y x  3y      3x  y     1   x   y  3  xy  50    x   y    xy  32  2  x   y    xy  x   y  3  xy    x 1 y  2   x 1 y  3   x  3 y 1   x  3 y  5  18  Toán Hải TH&THCS Dong Khe  x   y    xy  x   y  12   xy  38 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x 1 y  2   x 1 y  3  x  5 y  4   x  4 y 1 11  13  3  y      3  7  x     x  y  1  14 3  x  y    x  y   16  2  x  y    x  y   1 10  3  x     x  y  1  4  x  1   x  y    12  14  2  x  1   y  1  3  x  1   y  1  15   x  y  17   3x  y  18  5  x  y    x  y   99  x  y  x  y  17 2  y  1   x  1  5  y  1   x  1  (x  3)(2y  5)  (2x  7)(y 1) (4x 1)(3y  6)  (6x 1)(2y  3) 2(2x  3y)  3(2x  3y)  10 4x  3y  4(6y  2x)  20  2(x  2)  3(1  y)  2 3(x  2)  2(1  y)  3 23  24  3 5x  4y  15  26  27  19  22  5(x  2y)  3x  2x   3(x  5y)  12 25    x  y   4( x  1)  5x  3y   (x  y)  2(x  y)  3(x  y)  (x  y)  2(x  y)   2 5x  7y  18 (  2)x  y  21   x  (  2)y  3(x  1)  2y   x 5(x  y)  3x  y   x  y  2(x  1) 7x  3y  x  y  Phương pháp: Rút gọn phương trình hệ sau đó giải hệ phương pháp cộng đại số Bài 3: Giải hệ phương trình 1) 2 x    4   x 4 y2 1 y2 4)   2x  y       x  y 7)   x  2y  x  2y 1    20    x  y x  y   x 1   10)     x   1 x y 0 x y 15 1 y2 1  y  12 2)   x 1       x   1 y  1 y 5)   x 1       x  1  10 y 1  18 y 1 8)  12 x 3       x    x 1   11)     x  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 3) 1  x  y   1   4    x y  6)  3x  x 1  y      2x    x  y   63 y2 15  13 y2 9)  5  x 1       x  1 7 y 1 4 y 1   x  2y  x  2y   12)     11  x  2y x  2y  10 y 1  18 y 1 39 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x  y  x  y   13)    1  x  y x  y   x   y 1   14)    1  x  y    3x  y  x  y   15)    3  x  y x  y    x  y x  y  16)    3  x  y x  y   2x  y  2x  y   17)      x  y x  y 15 2 x  x  y   18)     1,7  x x  y   x   y 1   19)    1  x  y    x  y  x  y  2  21)     21  x  y x  y  6x  y  y 1  x    22)   4x   y   y  x    2x 1  y 1   20)     13  x  y    x  y   x  y 1   23)     1,  x  y  x  y  x x  y  y  12   25)   x  x 2  y  12 y y  5x  x   y   27  26)   2x  y   x  y  3y  2x  y 1  x 1   27)   y  5x   x  y   x  y  36 28)  2 3 x  y  37 3 x  y  29)  2  x  3y   x  y  13 30)  2  x  y  7   x  y 1  2x  y    24)      x  y  x  y  Phương pháp: Nên đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình để hệ gọn và tránh sai xót giải toán Lưu ý đặt điều kiện x; y và ẩn phụ (nếu có) Bài 3: Giải hệ phương trình 1)  x  y    4 x  y   2)  x   y     x   y   12 3)  x   y     x   y   4 4) 2 x   y    4 x   y   17 5)  x  y    x  y  18 6)  x   y    2 x   y   7) 3 x  y    x  y  4, 8)  x  y     y  x   9) 7 x   y     x   y   23 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 40 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10   x 1   10)     x  5 y 1   x7  y6   11)     21  x  y6 1 y 1  10  12x   4y    12)    1  12x  4y  Phương pháp: Nên đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình để hệ gọn và tránh sai xót giải toán Lưu ý: đặt điều kiện các biểu thức dấu So sánh nghiệm với điều kiện đó  Giải hệ phương trình và số ý phụ Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước Phương pháp: Bước 1: Thay giá trị m vào hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kết luận Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x, y  theo tham số m ; Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m ; Bước 3: Kết luận Dạng 3: Tìm mối liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x, y  theo tham số m ; Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m ; Bước 3: Kết luận Bài tập  a  1 x  y  a   x   a  1 y  Bài 1: Cho hệ phương trình:  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 1  2 ( a là tham số) 41 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) Giải hệ phương trình a  b) Giải và biện luận hệ phương trình c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên d) Tìm a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x  y đạt GTNN Hướng dẫn giải a)  x  3x  y  4 x   Khi a  hệ phương trình có dạng:    x  y  y   x y   5 3   Vậy với a  hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;  4 b) Giải và biện luận: Từ PT 1 ta có: y   a  1 x   a  1  3 vào PT  2 ta được: x   a  1  a  1 x   a  1    x   a  1 x   a  1   a x  a  TH1: a  , phương trình   có nghiệm x   4 a2  Thay vào  3 ta có: a2  a  1  a  1  a  a  1 a3  a  a   a3  a a  a2 1 y   a  1   a  1    a a2 a2 a  a2  a   ;  a   a Suy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    TH2: Nếu a  , phương trình   vô nghiệm Suy hệ phương trình đã cho vô nghiệm KL:  a2  a   a  hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    ;  a   a a  hệ phương trình đã cho vô nghiệm  a2  a   ;  a   a Với a  thì hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    Toán Hải TH&THCS Dong Khe 42 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 c)  a2 1   x    a Hệ phương trình có nghiệm nguyên:    y    a 1    a Điều kiện cần: x   a   a2  1         a   a  1 a a a Điều kiện đủ: a  1  y    (nhận) a   y    (nhận) Vậy a  1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên  a2  a   ;  a   a Với a  thì hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    d) a2 1 a 1 a2  a  2  1  Ta có x  y    a a a a a Đặt t  ta được: a     1  1 7 x  y  2t  t    t  t     t       t     2   4 8   16  Dấu "  " xảy và t   , đó a  4 Vậy a  4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x  y đạt GTNN 2 x  by  a có nghiệm x  ; y  bx  ay  Bài 2: Tìm a , b biết hệ phương trình:  Hướng dẫn giải Thay x  ; y  vào hệ ta có: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 43 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 1  b  2.1  b.3  a a  3b  3a  9b  10b  1  10      b.1  a.3  3a  b  3a  b  3a  b  a  17  10 Vậy a  1 17 ; y thì hệ phương trình có nghiệm x  ; y  10 10 x  y  m   I  ( m là tham số) 2 x  y  m Bài 3: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình  I  m  b) Tìm m để hệ  I  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y  3 Hướng dẫn giải a) Với m  , hệ phương trình  I  có dạng: x  y  2 x  y   x     2 x  y  2 x  y  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y    2;1 b) 5m   x   x  y  m   x  y  2m  x  y  m       2 x  y  m 2 x  y  m 7 y  m  y  m 6  5m  m   ;    Hệ phương trình có nghiệm  x; y    Lại có x  y  3 hay 5m  m    3  5m   m   21  6m  36  m  6 7 Vậy với m  6 thì hệ phương trình  I  có nghiệm  x, y  thỏa mãn x  y  3 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 44 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 2 x  y  5m  x  y  Bài 4: Cho hệ phương trình:  Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x  y  2 Hướng dẫn giải 2 x  y  5m   y  5m   x  y  5m   x  x  2m     x  y   x  2(5m   x )  5 x  10m  y  m 1 Thay vào ta có m  x  y  2  (2m)  2( m  1)2  2  2m  4m    Vậy m –2;0  m  2 (m  1) x  y  ( m là tham số)  mx  y  m  Bài 5: Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m  ; b) Chứng minh với giá trị m thì hệ phương trình luôn có nghiệm  x; y  thỏa mãn: x  y  Hướng dẫn giải a) Giải hệ phương trình m  x  y  x  y  x    2 x  y   x  y 1 Ta có:  Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 b) Ta có y  –  m  1 x vào phương trình còn lại ta phương trình: mx  –  m  1 x  m   x  m –1 suy y  –  m  1 với m  Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm  x; y   m  1; –  m  1 2 x  y   m  1  –  m  1  m2  4m   –  m  2  với m 2 x  ay  4 ax  y  Bài 6: Cho hệ phương trình :  a) Giải hệ phương trình với a  Toán Hải TH&THCS Dong Khe  45 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a) Với a  , ta có hệ phương trình: 2 x  y  4 6 x  y  12 7 x  7  x  1  x  1      x  y  x  3y   x  y  1  y   y  2 Vậy với a  , hệ phương trình có nghiệm là:  x; y    1; 2 b) Ta xét trường hợp:  x  4 + Nếu a  , hệ có dạng:    y   x  2  Vậy hệ có nghiệm   y   + Nếu a  , hệ có nghiệm và khi: a   a  6 (luôn đúng, a 3 vì a  với a ) Do đó, với a  , hệ luôn có nghiệm Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm với a  x  my  m  ( m là tham số) mx  y  2m Bài 7: Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m  x  y 1 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn  Hướng dẫn giải a)   x  x  y  x  y  3x  Thay m  ta có hệ phương trình     2 x  y  4 x  y  2 x  y  y   b) Xét hệ   x  my  m  mx  y  2m 1  2 Từ    y  2m  mx thay vào 1 ta x  m  2m  mx   m   2m2  m2 x  x  m  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 46 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  1  m2  x  2m2  m    m2  1 x  2m2  m   3 Hệ phương trình đã cho có nghiệm   3 có nghiệm m    m  1 * 2m    x  m  Khi đó hệ đã cho có nghiệm  y  m m 1   2m   1  m    m   x  Ta có     m    m  1 m  y 1   1 0  m   m  Kết hợp với * ta giá trị m cần tìm là m  1  1 2 x  y  mx  y  Bài 8: Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x, y  đó x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y Hướng dẫn giải a) x  y   x  y   2 x  y    y    y  Với m  ta có hệ phương trình:  x  y  x    Vậy m  hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 2) 3 y  6  y  2 b) Từ phương trình 1 ta có x  y  Thay x  y  vào phương trình   ta được: m  y    y    2m  1 y   5m  3 Hệ có nghiệm và   có nghiệm Điều này tương đương với: 2m    m  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 47 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Từ đó ta được: y  Ta có: x y  c)  5m ; 2m    5m   2m  1 Ta có: x  y  x   2y  2m  Do đó x y    5m   m   5m  2m  2m  (thỏa mãn điều kiện)  4 Từ   suy 2m    m  Với điều kiện m  ta có:  m  l     5m  Vậy m       5m      5m  3 m   mx   m  1 y   m  1 x  my  8m  Bài 9: Cho hệ phương trình:  Chứng minh hệ luôn có nghiệm  x; y  Hướng dẫn giải Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d2  :  m  1 x  my  8m   + Nếu m  thì  d1  : y   và  d  : x   suy  d1  luôn vuông góc với  d2  + Nếu m  1 thì  d1  : x   và  d  : y  11  suy  d1  luôn vuông góc với  d2  + Nếu m  0;1 thì đường thẳng  d1  ,  d  có hệ số góc là: a1   m m 1 , a2  m 1 m suy a1.a2  1 đó  d1    d2  Tóm lại với m thì hai đường thẳng  d1  luôn vuông góc với  d2  Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d2  :  m  1 x  my  8m   luôn vuông góc với nên nó cắt nhau, suy hệ có nghiệm  Giải hệ phương trình bậc cao Bài 1: Giải hệ phương trình: 8x y  27  18 y  2 4x y  6x  y Toán Hải TH&THCS Dong Khe 48 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Hướng dẫn giải Dễ thấy y  không là nghiệm phương trình  27 8 x  y  18  Chia vế phương trình (1) cho y3 , phương trình (2) cho y2 ta  4 x  x   y y2 2 x  a  Đặt  ta có hệ y b  a  b  18 a  b    2 a b  ab  ab  a; b là nghiệm phương trình X  X    3 3   3 3  ; ;  ;( x2 , y2 )        Từ đó suy hệ có nghiệm: ( x1 , y1 )    x  xy  x  y   Bài 2: Giải hệ phương trình:  2  y  x  xy  x   Hướng dẫn giải 2  x  xy  x  y   (1) 2 x  xy  x  y     2  y  x  xy  x   (2)  y  x  xy  x   Cộng vế hệ phương trình ta x  y  xy  x  y     x  y  2   y  x  Thay vào pt (1) ta x  x    x  5  21  5  21 1  21   5  21 1  21  ; ;  ,   2 2     Vậy hệ có hai nghiệm là   x + y + xy = 16 Bài 3: Giải hệ phương trình:   x + y = 10 Hướng dẫn giải  x + y + xy = 16 (I) ( Điều kiện: x; y  )   x + y = 10 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 49 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Đặt S= x y ;P= S + 4P = 16  S - 2P = 10 xy ( S  0; P  ) hệ (I) có dạng: S + 4P = 16  2S - 4P = 20 S + 4P = 16  2S + S - 36 = -9  S = S = 4(tm);S = ( loai)   P = P = Khi đó x ; y là nghiệm phương trình: t – 4t   Giải phương trình ta t1  3; t2  ( thỏa mãn )  x =  x = TH 1:   y =  y =  x = x = TH :    y =  y = ( thỏa mãn) (thỏa mãn) x = x = ; Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  y =  y =  Bài 4: Giải hệ phương trình:  x  y  11  x  xy  y   Hướng dẫn giải  S  P  11  S  P  11 - Đặt S  x  y; P  xy được:    S  P   2S  P   Cộng hai vế hệ phương trình ta phương trình: S  2S  (17  2)  - Giải phương trình S1   ; S  5  S1   P1  ; S  5  P2   Với S1   ; P1  có x, y là hai nghiệm phương trình: X  (3  ) X   Giải phương trình X  3; X  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 50 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Với S  5  P2   có x, y là hai nghiệm phương trình: X  (5  ) X    Phương trình này vô nghiệm  x3 ; y  Vậy hệ có hai nghiệm:  x    y3   x   y  x  Bài 5: Giải hệ phương trình:    x   y  x Hướng dẫn giải Điều kiện: x  3 ; y 2 Trừ vế hai phương trình hệ ta phương trình:  2y   – 2y   y  1 (t/mãn đk) Cộng vế hai phương trình hệ đã cho ta phương trình:  x  x    x  1   x  1 (thỏa mãn điều kiện) Chủ đề Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y   (1 ;  ) GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH C GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải bài toán cách lập hệ phương trình gồm ba bước: Bước Lập hệ phương trình bài toán: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 51 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 - Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo đại lượng đã biết - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng Bước Giải hệ phương trình Bước Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn, kết luận - Đối với giải bài toán cách lập hệ phương trình, học sinh phải chọn ẩn số từ đó lập hệ gồm hai phương trình - Khó khăn mà học sinh thường gặp là không biết biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và theo các đại lượng đã biết khác, tức là không thiết lập mối quan hệ các đại lượng Tùy theo dạng bài tập mà ta xác định các đại lượng bài, các công thức biểu diễn mối quan hệ các đại lượng  PHÂN DẠNG TOÁN Dạng Toán quan hệ số  Số có hai, chữ số ký hiệu là ab Giá trị số: ab  10a  b ; (Đk: 1 a  và 0 b  9, a,b N)  Số có ba, chữ số ký hiệu là abc abc = 100a +10b + c, (Đk:  a  và  b, c  9; a, b, c  N)  Tổng hai số x; y là: x  y  Tổng bình phương hai số x, y là: x  y  Bình phương tổng hai số x, y là:  x  y   Tổng nghịch đảo hai số x, y là: 1  x y Ví dụ minh Hải Bài 1: Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho thì số lớn số đã cho 18 đơn vị Tìm số đã cho Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục số cần tìm là x, điều kiện x  N, (0 < x ≤ 9) Gọi chữ số hàng đơn vị số cần tìm là y, điều kiện y  N, (0 ≤ y ≤ 9) Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị 14 nên có phương trình: x  y  14 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 52 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Số đó là: xy  10 x  y Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho thì số là: yx  10 y  x Theo bài ta số lớn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình: 10 y  x – 10 x  y   18  x  y  14  x   (thoả mãn điều kiện) y  x  y  Từ đó ta có hệ phương trình  Số cần tìm là 68 Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục là đơn vị và viết chữ số xen vào hai chữ số số đó thì ta số lớn số đó là 280 đơn vị Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục là a ( a  N ,  a  ) Gọi chữ số hàng đơn vị là b ( b  N ,  b  ) Số cần tìm là ab  10a  b Chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục là đơn vị nên ta có phương trình: b  a   a  b  1 Khi viết chữ số xen vào hai chữ số số đó thì ta số là a1b  100a  10  b Số lớn số đó là 280 đơn vị nên ta có phương trình : 100a  10  b   10a  b   280   Từ 1 và   ta có hệ phương trình a  b  a  b  a    (tm)  100a  10  b   10a  b   280 90a  270 b  Vậy số cần tìm là 38 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 53 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 3: Tìm số có hai chữ số chia số đó cho tổng hai chữ số thì ta thương là Nếu cộng tích hai chữ số với 25 ta số nghịch đảo Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y (đk : x, y  N ,  x, y  ) Nếu chia số đó cho tổng chữ số ta thương là nên có phương trình: 10 x  y 6 x y Nếu lấy tích chữ số cộng thêm 25 ta số nghịch đảo nên ta có phương trình xy  25  10 y  x 10 x  y 6 (1)  Theo bài ta có HPT:  x  y  xy  25  10 y  x (2)  Từ phương trình 1 ta có : 10 x  y  x  y  x  y  x  5y y y 5y  25  10 y  4 2  y  100  40 y  y  y  45 y  100   y  y  20  (3) Thay vào phương trình   ta có :    Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt y1  5; y2  (thỏa mãn) 5.5 (không thỏa mãn điều kiện x) 5.4 Với y2   x2   (Thỏa mãn điều kiện x) Với y1   x1  Vậy chữ số hàng chục là 5, chữ số hàng đơn vị là Số cần tìm là 54 Nhận xét: Có bài toán giải hệ phương trình, sử dụng phép từ phương trình thì phương trình thứ hai giải dạng phương trình bậc hai ẩn Bài tập tự luyện: Bài A.01: Một số phân số lớn tử số nó là đơn vị Nếu tăng tử và mẫu nó thêm đơn vị thì phân số phân số đã cho Tìm phân số đó? (Đ/S : Phân số cần tìm là ) Bài A.02: Tổng các chữ số số có hai chữ số là Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó? (Đ/S: Số cần tìm là 18) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 54 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài A.03: Tổng hai số 51 Tìm hai số đó biết số thứ thì số thứ hai (Đ/S: Số cần tìm là 15 và 36) Bài A.04: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số nó là Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục cho thì số đó giảm 45 đơn vị (Đ/S: Số cần tìm là 61) Bài A.05: Tìm số tự nhiên có hai số biết tổng các chữ số nó số đó Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì số số đã cho là 18 (Đ/S: Số cần tìm là 24 ) Bài A.06: Tìm số tự nhiên có ba chữ số cho tổng các chữ số 17, chữ số hàng chục là 4, đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho thì số đó giảm 99 đơn vị (Đ/S: Số cần tìm là 746) Bài A.07: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số nó 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho thì nó tăng thêm 27 đơn vị (Đ/S: Số cần tìm là 47) Bài A.08: Tìm số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là và đem số đó chia cho tổng các chữ số nó thì thương là và dư (Đ/S: Số cần tìm là 83) Bài A.09: Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số lên đơn vị thì phân số là nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó (Đ/S: Số cần tìm là 5 ) Bài A.10: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số nó thì số lớn số đã cho là 63 Tổng số đã cho và số tạo thành 99 Tìm số đã cho Bài A.11: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là 2, viết xen chữ số vào chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị Bài A.12: Chữ số hàng chục số có hai chữ số lớn chữ số hàng đơn vị là Nếu đổi chỗ hai chữ số cho ta số số ban đầu Tìm số ban đầu Toán Hải TH&THCS Dong Khe 55 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài A.13: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là đơn vị và tổng các bình phương hai chữ số là 80 Dạng 2: Toán chuyển động Toán chuyển động có ba đại lượng: S  v.t Quãng đường  Vận tốc  Thời gian S: quãng đường v S t Vận tốc  Quãng đường : Thời gian v: vận tốc t S v Thời gian  Quãng đường : Vận tốc t: thời gian Các đơn vị ba đại lượng phải phù hợp với Nếu quãng đường tính ki-lômét, vận tốc tính ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính + Nếu hai xe ngược chiều cùng xuất phát gặp lần đầu: Thời gian hai xe là nhau, Tổng quãng đường hai xe đã đúng khoảng cách ban đầu hai xe + Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác là A và B, xe từ A chuyển động nhanh xe từ B thì xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường xe từ A với quãng đường xe từ B quãng đường AB Chuyển động với ngoại lực tác động: (lực cản, lực đẩy); (thường áp dụng với chuyển động cùng dòng nước với các vật ca nô, tàu xuồng, thuyền): Đối với chuyển động cùng dòng nước Vận tốc nước đứng yên = vận tốc riêng Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Vận tốc dòng nước là vận tốc vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng vật đó 0) Đối với chuyển động có ngoại lực tác động lực gió ta giải tương tự bài toán chuyển động cùng dòng nước Toán Hải TH&THCS Dong Khe 56 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Ví dụ minh Hải Bài 1: Lúc ô tô chạy từ A B Sau đó nửa giờ, xe máy chạy từ B A Ô tô gặp xe máy lúc Biết vân tốc ô tô lớn vận tốc xe máy là 10 km/h và khoảng cách AB  195 km Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải Gọi vận tốc ô tô là x  km/h  x   Gọi vận tốc xe máy là y  km/h  y   Vì vận tốc ô tô vận tốc xe máy là 10 km/h nên ta có phương trình: x  y  10 Thời gian ô tô đã lúc gặp xe máy là:   (giờ) Thời gian xe máy đã lúc gặp ô tô là:   (giờ) 2 Quãng đường ô tô chạy là x  km  Quãng đường xe máy chạy 3y là  km  2 Vì quãng đường AB dài 195 km nên ta có phương trình x  y  195 hay x  y  390  x  y  10 4 x  y  390 Do đó ta có hệ hai phương trình :  Giải hệ này ta x  60; y  50 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc ô tô là 60 km/h, vận tốc xe máy là 50 km/h Bài 2: Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 km hết thời gian thời gian chạy ngược dòng 54 km Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng km thì hết Tính vận tốc riêng tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng tàu không đổi) Hướng dẫn giải Gọi vận tốc riêng tàu thủy là x (km/h) Gọi vận tốc dòng nước là y (km/h) ( x  y  0) Suy vận tốc tàu thủy xuôi dòng là x  y (km/h) Vận tốc tàu thủy ngược dòng là x  y (km/h) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 57 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Dẫn tới hệ phương trình : 54  66  x y  x y  x  30   (thỏa mãn điều kiện)  22 y     1  x  y x  y Vậy vận tốc riêng tàu thủy là 30 km/h Vận tốc dòng nước là km/h Bài 3: Hàng ngày, Nam đạp xe học với vận tốc không đổi trên quãng đường dài 10 km Nam tính toán và thấy đạp xe với vận tốc lớn thì thời gian học rút ngắn 10 phút so với đạp xe với vận tốc ngày Tuy nhiên, thực tế sáng lại khác dự kiến Nam đạp xe với vận tốc lớn trên nửa đầu quãng đường (dài 5km), nửa quãng đường còn lại đường phố đông đúc nên Nam đã đạp xe với vận tốc hàng ngày Vì thời gian đạp xe học sáng Nam là 35 phút Hãy tính vận tốc đạp xe hàng ngày và vận tốc đạp xe lớn Nam (lấy đơn vị vận tốc là km/h) Hướng dẫn giải Gọi vận tốc đạp xe ngày Nam là x (km/h, x > 0) Vận tốc đạp xe lớn Nam là y (km/h, y > x) Thời gian hàng ngày Nam từ nhà đến trường là 10 (h) x Thời gian Nam từ nhà đến trường với vận tốc lớn là 10 (h) y Theo bài Nam tính toán và thấy đạp xe với vận tốc lớn thì thời gian học rút ngắn 10 phút ( (h) ) nên ta có pt: 10 10   x y Thời gian học thực tế Nam km đầu là ( h) y Thời gian học thực tế Nam km cuối là ( h) x Theo bài vì thời gian đạp xe học sáng Nam là 35 phút ( phương trình 5   x y 12 Toán Hải TH&THCS Dong Khe (h) )nên ta có 12 58 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 10 10 1 1 1  x  y 6  x  y  60  x  15 (tm)    x 15 Giải hệ pt:      y  20 (tm) 5   1   1   x y 12  x y 60  y 20 Vậy vận tốc đạp xe hàng ngày Nam là 15 (km/h) Vận tốc đạp xe lớn Nam là 20 (km/h) Bài 4: Một ca nô xuôi dòng quãng sông dài 12km ngược dòng quãng sông đó 30 phút Nếu quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km ngược dòng 8km thì hết 1giờ 20 phút Biết vận tốc riêng ca nô và vận tốc riêng dòng nước là không đổi, tính cận tốc riêng ca nô và vận tốc riêng dòng nước Hướng dẫn giải Gọi vận tốc riêng ca nô và vận tốc riêng dòng nước là x, y (km/h;  y  x ) Vận tốc ca nô xuôi dòng là: x  y (km/h) Vận tốc ca nô ngược dòng là: x  y (km/h) Đổi: 30 phút  giờ; 1giờ 20 phút  Vì ca nô xuôi dòng quãng sông dài 12km ngược dòng quãng sông đó 30 phút nên ta có phương trình: 12 12   x y x y (1) Vì ca nô xuôi dòng 4km ngược dòng 8km thì hết 1giờ 20 phút nên ta có phương trình:   x y x y (2) 12  12 x y  x y   Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình      x  y x  y  12a  12b   1  ;b  Đặt a  ( a  0; b  ) , ta có hệ  x y x y  4a  8b   Toán Hải TH&THCS Dong Khe  a  12 …  b1  59 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10   x  y  12  x  y  12  x  10    Suy  (thỏa mãn điều kiện)  x y 8 y2  1  x  y Vậy vận tốc riêng ca nô là 10 km/h và vận tốc riêng dòng nước là km/h Bài tập tự luyện: Bài B.01: Một ô tô từ A và dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm 1giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát ô tô A? Bài B.02: Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài km và đoạn xuống dốc dài km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút và từ B đến A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc và nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc? Bài B.03: Một ô tô quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô trên quãng đường AB ít thời gian trên quãng đường BC là 30 phút Tính thời gian ô tô trên đoạn đường Bài B.04: Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10 km thì đến nơi sớm dự định giờ, còn xe chayyj chậm lại 10 km thì đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB Bài B.05: Một ca nô chạy trên sông giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km Tính vận tốc nước chảy và vận tốc ca nô Bài B.06: Một khách du lịch trên ô tô giờ, sau đó tiếp tàu hỏa quãng đường 640 km Hỏi vận tốc tàu hỏa và ô tô, biết tàu hỏa nhanh ô tô km? Bài B.07: Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách 38 km Họ ngược chiều và gặp sau Hỏi vận tốc người, biết gặp nhau, người thứ nhiều người thứ hai là km? Bài B.08: Một ca nô xuôi dòng theo khúc sông và ngược dòng vòng giờ, 380 km Một lần khác ca nô xuôi dòng và ngược Toán Hải TH&THCS Dong Khe 60 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 dòng vòng 30 phút 85 km Hỏi tính vận tốc thật (lúc nước yên lặng) ca nô và vận tốc dòng nước (vận tốc thật ca nô và vận tốc dòng nước hai lần là nhau) Bài B.09: Một người xe máy từ A tới B Cùng lúc người khác xe máy từ B tới A với vận tốc vận tốc người thứ Sau hai người đó gặp Hỏi người quãng đường AB hết bao lâu? Bài B.10: Một ca nô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h sau đó lại xuôi từ bến B trở bến A Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều thời gian ca nô xuôi dòng từ B trở A là 40 phút Tính khoảng cách hai bến A và B Biết vận tốc dòng nước là km/h, vận tốc riêng ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng Bài B.11: Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh A và B cách 90 km, ngược chiều và gặp sau 1,2 (xe thứ khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB ít thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB là Bài B.12: Hai địa điểm A và B cách 200 km Cùng lúc có ô tô từ A và xe máy từ B Xe máy và ô tô gặp C cách A khoảng 120 km Nếu ô tô khởi hành sau xe máy thì gặp D cách C khoảng 24 km Tính vận tốc xe máy và ô tô Dạng 3: Toán suất – Khối lượng công việc - % Có ba đại lượng: - Khối lượng công việc (KLCV) - Phần việc làm (chảy) đơn vị thời gian (năng suất) (NS) - Thời gian (t) KLCV  N t NS  t KLCV t KLCV NS Khối lượng công việc = Năng suất  Thời gian KLCV: Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian NS: Năng suất Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất t: thời gian Toán Hải TH&THCS Dong Khe 61 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta xem toàn công việc là 1 (công việc) x - Nếu vòi nào chảy riêng mình đầy bể x (giờ) thì vòi đó chảy (bể) x - Nếu đội nào làm xong công việc x (ngày) thì ngày đội đó làm Ví dụ minh Hải Bài 1: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ? Hướng dẫn giải Gọi x, y là số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch ĐK: x, y nguyên dương và x < 600; y < 600 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: x  y  600 1 Số sản phẩm tăng tổ I là: 18 21 x (sp), Số sản phẩm tăng tổ II là: y (sp) 100 100 Do số sản phẩm hai tổ vượt mức 120(sp) nên ta có phương trình: 18 21 x y  120   100 100  x  y  600  Từ 1 và   ta có hệ phương trình:  18 21 100 x  100 y  120 Giải hệ ta x = 200 , y = 400 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sản phẩm giao theo kế hoạch tổ I là 200, tổ II là 400 Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước thì đầy bể Nếu vòi thứ chảy và vòi thứ chảy thì bể nước Hỏi vòi chảy mình thì bao lâu đầy bể Hướng dẫn giải Gọi thời gian vòi thứ chảy mình đầy bể là x (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy mình đầy bể là y (giờ) (Điều kiện x; y  ) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 62 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Trong giờ: vòi thứ chảy Trong hai vòi chảy 1 bể; vòi thứ hai chảy bể y x bể Vì hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì đầy bể nên ta có phương trình: 1   x y 1 Nếu vòi thứ chảy và vòi thứ chảy thì x y phương trình:   bể nên ta có  2 1 1 x  y   Từ 1 và   ta có hệ phương trình:  3    x y Giải hệ phương trình trên ta đươc x  7,5 ; y  15 (thỏa mãn điều kiện) Vậy thời gian vòi thứ chảy mình đầy bể là 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy mình đầy bể là 15 Bài 3: Hai công nhân cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì họ làm công việc Hỏi công nhân làm mình thì bao lâu làm xong công việc Hướng dẫn giải Gọi x (giờ), y(giờ) là thời gian mình công nhân I và mình công nhân II làm xong công việc ĐK: x, y > 16 Trong giờ: + Công nhân I làm được: (công việc) x + Công nhân II làm được: (công việc) y + Cả hai công nhân làm được: Toán Hải TH&THCS Dong Khe (công việc) 16 63 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Ta có phương trình: 1   x y 16 1 Trong công nhân I làm được: Trong công nhân II làm được: Ta có phương trình: (công việc) y   x y  2 Từ 1 và   ta có hệ phương trình: (2)  (1) ta : (công việc) x 3 x    3   x 3  y 16  y   y  3.16  48 ( tmđk) y 16 Thay vào (1) ta : 3 3 3 3.48        x  24 ( tmđk) x 48 16 x 16 48 48 Vậy: + Một mình công nhân I làm xong công việc hết: 24 + Một mình công nhân II làm xong công việc hết: 48 Bài 4: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất giao làm 600 sản phẩm Nhờ tăng suất lao động tổ làm vượt mức 10% và tổ hai làm vượt mức 20% so với kế hoạch tổ, nên hai tổ làm 685 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch Hướng dẫn giải Gọi số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch là x (SP, ĐK: x  * , x  600 ) Gọi số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch là y (SP, ĐK: y  * , y  600 ) Vì hai tổ sản xuất giao làm 600 sản phẩm nên ta có phương trình: x  y  600 (1) Số sản phẩm vượt mức tổ là: 10%.x (sảnphẩm) Số sản phẩm vượt mức tổ là: 20% y (sảnphẩm) Vì tăng suất tổ đã làm 685 sảnphẩm, nên ta có phương trình: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 64 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 (2) 110% x  120% y  685  x  y  600 110% x  120% y  685 Từ (1) và (2) ta có hpt   x  y  600  x  y  600  x  350    (TMĐK) 0,1 y  25  y  250  y  250 Vậy số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch là 350 sản phẩm Số sản phẩm tổ làm theo kế hoạch là 250 sản phẩm Bài 5: Hai công nhân cùng làm chung công việc thì xong Nếu người thứ làm 20 phút và người thứ hai làm 10 thì xong công việc Tính thời gian công nhân làm riêng xong công việc Hướng dẫn giải Gọi x (h) là thời gian người thứ làm mình xong công việc ( x > 6) thì 1h người thứ làm 1/x (cv) y (h) là thời gian người thứ hai làm mình xong công việc ( y > 6) 1h người thứ làm 1/y (cv) Trong 3h20' người thứ làm 10 (cv), x y Trong 10h người thứ hai làm 10 (cv) 1 1 x  y   ta có phương trình  Đặt ẩn phụ ta có hpt: 10   10    x y 1   u  v  u  10 (thỏa)   10 u  10v  v    15 Suy x = 10 ; y = 15 Kết luận Bài 6: Hai máy ủi cùng làm việc vòng 12 thì san lấp khu đất 10 Nếu máy ủi thứ làm mình 42 nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm mình 22 thì hai máy ủi san lấp 25% khu đất đó Hỏi làm mình thì máy ủi san lấp xong khu đất đã cho bao lâu ? Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 65 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Gọi x (giờ ) và y (giờ ) là thời gian làm mình máy thứ và máy thứ hai để san lấp toàn khu đất (x > ; y > 0) Nếu làm mình thì máy ủi thứ san lấp san lấp khu đất, và máy thứ x khu đất y Theo giả thiết ta có hệ phương trình : 12 12  x  y  10    42  22   x y  12u  12v   1  10 Đặt u  và v  ta hệ phương trình:  x y  42u  22v   Giải hệ phương trình tìm u  1 , Suy ra:  x ; y    300; 200  ;v 300 200 Trả lời: Để san lấp toàn khu đất thì: Máy thứ làm mình 300 giờ, máy thứ hai làm mình 200 Bài 7: Tháng đầu, hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai, cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% vả tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu, vì vậy, hai tổ đã sản xuất 1000 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ sản xuất bao nhiêu chi tiết máy ? Hướng dẫn giải Gọi số chi tiết máy tháng đầu tổ là x chi tiết ( x nguyên dương, x < 900) Gọi số chi tiết máy tháng đầu tổ là y chi tiết ( y nguyên dương, y < 900)  x  y  900  x  400  (thoả mãn) 1,1x  1,12 y  1000  y  500 Theo đề bài ta có hệ  Đáp số 400, 500 Bài 8: Trong tháng niên Đoàn trường phát động và giao tiêu chi đoàn thu gom 10kg giấy vụn làm kế hoạch nhỏ Để nâng cao tinh thần thi đua bí thư chi đoàn 10A chia các đoàn viên lớp thành hai tổ thi đua thu gom giấy vụn Cả Toán Hải TH&THCS Dong Khe 66 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 hai tổ tích cực Tổ thu gom vượt tiêu 30%, tổ hai gom vượt tiêu 20% nên tổng số giấy chi đoàn 10A thu là 12,5 kg Hỏi tổ bí thư chi đoàn giao tiêu thu gom bao nhiêu kg giấy vụn? Hướng dẫn giải Gọi số kg giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là x (kg) ( Đk : < x <10) Số kg giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là y (kg) ( Đk : < x <10 )  x  y  10 1,3x  1, y  12,5 Theo đầu bài ta có hpt:  Giải hệ trên ta : (x; y ) = (5;5) Trả lời : số giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là kg Số giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là kg Bài 9: Để chuẩn bị cho chuyến đánh bắt cá Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển số lương thực, thực phẩm lên tàu Nếu người thứ chuyển xong nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu người thứ là Nếu hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là 20 Hỏi làm riêng mình thì người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu thời gian bao lâu? Hướng dẫn giải Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I mình làm xong công việc và y (giờ) là thời gian người thứ II mình làm xong công việc (Với x, y  1 1  x  y  20 (1)      x y 20 Ta có hệ phương trình:  y  x 3  (2) y  x   2 Từ (1) và (2) ta có phương trình: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 1   x x  20 20 ) 67 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Giải phương trình x1 = 4, x2   30 Chọn x = (thoả mãn điều kiện) Vậy thời gian mình làm xong công việc người thứ I là giờ, người thứ II là 10 Bài 10: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng thì còn thừa lại tấn, còn xếp toa 16 thì có thể chở thêm Hỏi xe lửa có toa và phải chở bao nhiêu hàng Hướng dẫn giải Gọi x là số toa xe lửa và y là số hàng phải chở Điều kiện: x  N*, y > 15x = y - 16x = y + Theo bài ta có hệ phương trình:  Giải hpt ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn) Vậy xe lửa có toa và cần phải chở 125 hàng Bài 11: Tháng giêng hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy; tháng hai cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì hai tổ đã sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng giêng tổ sản xuất bao nhiêu chi tiết máy? Hướng dẫn giải Gọi x, y số chi tiết máy tổ 1, tổ sản xuất tháng giêng (x, y  N* ), ta có x + y = 900 (1) (vì tháng giêng tổ sản xuất 900 chi tiết) Do cải tiến kỹ thuật nên tháng hai tổ sản xuất được: x  15% x , tổ sản xuất được: y  10% y Cả hai tổ sản xuất được: 1,15 x  1,10 y  1010 (2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  x  y  900 1,1x  1,1y  990 0, 05 x  20    1,15 x  1,1 y  1010 1,15 x  1,1y  1010  x  y  900  x = 400 và y = 500 (thoả mãn) Vậy tháng giêng tổ sản xuất 400 chi tiết máy, tổ sản xuất 500 chi tiết máy Toán Hải TH&THCS Dong Khe 68 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài tập tự luyện: Bài C.01: Hai bạn A và B cùng làm chung công việc thì hoàn thành sau ngày Hỏi A làm mình ngày nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc thời gian bao lâu? Biết làm mình xong công việc thì B làm lâu A là ngày Bài C.02: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 48 phút bể đầy Nếu vòi I chảy giờ, vòi II chảy thì hai vòi chảy bể Tính thời gian vòi chảy mình đầy bể Bài C.03: Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì sau 55 phút đầy bể Nếu để chảy mình thì vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai là Tính thời gian vòi chảy mình mà đầy bể Bài C.04: Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội cùng làm thì 18 ngày xong công việc Nếu đội thứ làm ngày, sau đố đội thứ hai làm tiếp ngày thì 40% công việc Hỏi đội làm mình bao lâu xong công việc? Bài C.05: Hai vòi nước cùng chảy chung vào bể không có nước 12 thì đầy bể Nếu vòi thứ chảy mình khóa lại và mở tiếp vòi hai chảy mình 15 thì 75% thể tích bể Hỏi vòi chảy mình thì bao lâu đầy bể? Bài C.06: Hai công nhân làm chung thì hoàn thành công việc ngày Người thứ làm nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì toàn công việc hoàn thành ngày Hỏi người làm riêng thì hoàn thành công việc bao nhiêu ngày? Bài C.07: Để hoàn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung thì tổ II điều làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thì sau bao lâu làm xong công việc đó? Bài C.08: Hai xí nghiệp thoe kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Trên thực tế, xí nghiệp I vượt mức 12%, xí nghiệp II vượt mức 10% đó hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm Bài C.09 Trong tuần đầu hai tổ sản xuất 1500 quần áo Sang tuần thứ hai, tổ A vượt mức 25%, tổ B giảm mức 18% nên tuần này, hai tổ sản xuất 1617 Hỏi tuần đầu tổ sản xuất bao nhiêu Dạng 4: Toán có nội dung hình học - Diện tích hình chữ nhật S  x y ( x là chiều rộng; y là chiều dài) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 69 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 - Diện tích tam giác S  x y ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền: c  a  b (c là độ dài cạnh huyền; a,b là độ dài các cạnh góc vuông) - Số đường chéo đa giác n(n  3) (n là số đỉnh) Ví dụ minh Hải Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m2 Hãy tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn Hướng dẫn giải Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x(m); y(m) Điều kiện: x  y  (*) Chu vi mảnh vườn là: 2( x  y )  34 (m) Diện tích trước tăng: xy (m2) Diện tích sau tăng: ( x  3)( y  2) (m2) 2( x  y )  34 2 x  y  34 y    Theo bài ta có hệ: ( x  3)( y  2)  xy  45 2 x  y  39    x  12 x  12; y  (thỏa mãn (*) Vậy chiều dài là 12m, chiều rộng là 5m Bài 2: Một hình chữ nhật ban đầu có cho vi 2010 cm Biết nều tăng chiều dài hình chữ nhật thêm 20 cm và tăng chiều rộng thêm 10 cm thì diện tích hình chữ nhật ban đầu tăng lên 13 300 cm2 Tính chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật ban đầu Hướng dẫn giải Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm), chiều rộng là y (cm) (điều kiện x, y > 0) Chu vi hình chữ nhật ban đầu là 2010 cm ta có phương trình: 2( y  y )  2010  x  y  1005 (1) Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm thì kích thước hình chữ nhật là: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 70 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Chiều dài: x  20 (cm), chiều rộng: y  10 (cm) Khi đó diện tích hình chữ nhật là: (x  20)(y  10)  xy 13300  10 x  20 y  13100  x  y  1310 (2)  x  y  1005  x  2t  1310 Từ (1) và (2) ta có hệ:  Trừ vế hệ ta được: y = 305 (thoả mãn) Thay vào phương trình (1) ta được: x  700 Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là: 700 cm, chiều rộng là 305 cm Bài 3: Cho mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45 m Nếu giảm chiều dài lần tăng chiều rộng lên lần thì chu vi không đổi Tính diện tích mảnh đất Hướng dẫn giải Gọi chiều rộng, chiều dài ruộng tương ứng là x, y Điều kiện x > 0, y > 0; đơn vị x, y là mét Vì chiều rộng ngắn chiều dài 45 m nên y  x  45 (1) Chiều dài giảm lần, chiều rộng tăng lần ta hình chữ nhật có hai cạnh là 3x   Theo giả thiết chu vi không thay đổi nên  x  y    3x   y  x  45  y 2( x  y )  2(3 x  )  Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình   x  15 (m)  y  60 (m) Giải hệ này ta có  Vậy diện tích ruộng là S  xy  900 (m2) Toán Hải TH&THCS Dong Khe y  2 (2) y và 71 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài tập tự luyện: cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm và cạnh đáy giảm dm thì diện tích nó tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy tam giác Bài D.01 Một tam giác có chiều cao Bài D.02 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi khu vườn là 162 m Hãy tính diện tích khu vườn ban đầu Bài D.03 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng và có diện tích 1792 m2 Tính chu vi khu vườn Bài D.04 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2, tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng m thì diện tích mảnh vương không đổi Tính các kích thước mảnh vườn Bài D.05 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m Đường chéo hình chữ nhật là 10m Tính độ dài hai cạnh mảnh đất hình chữ nhật Bài D.06 Một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng m thì diện tích tăng 100 m2 Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68 m2 Tính diện tích ruộng đó Dạng Các dạng toán khác Ví dụ minh Hải Bài 1: Hai giá sách có tất 500 sách Nếu bớt giá thứ 50 và thêm vào giá thứ hai 20 thì số sách hai giá Hỏi lúc đầu giá có bao nhiêu cuốn? Hướng dẫn giải Gọi số sách lúc đầu giá thứ là x (cuốn) Gọi số sách lúc đầu giá thứ hai là y (cuốn) Điều kiện : x, y nguyên dương (x > 50) Số sách còn lại giá thứ sau bớt 50 là (x – 50) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 72 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Số sách còn lại giá thứ hai sau thêm 20 là (y + 20)  x  y  500  x  50  y  20 Theo bài ta có hệ phương trình:  Giải hệ phương trình ta : x = 285 và y = 215 (tmđk) Vậy : Số sách lúc đầu giá thứ là 285 Số sách lúc đầu giá thứ hai là 215 Bài 2: Anh Bình đến siêu thị để mua cái bàn ủi và cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là 850 ngàn đồng Tuy nhiên, thực tế trả tiền, nhờ siêu thị khuyến mãi để tri ân khách hàng nên giá bàn ủi và quạt điện đã giảm bớt 10% và 20% so với giá niêm yết Do đó, anh Bình đã trả ít 125 ngàn đồng mua hai sản phẩm trên Hỏi số tiền chênh lệch giá bán niêm yết với giá bán thực tế loại sản phẩm mà anh Bình đã mua là bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi số tiền mua cái bàn ủi với giá niêm yết là x (ngàn đồng) ( < x < 850) Số tiền mua cái quạt điện với giá niêm yết là y (ngàn đồng) ( < y < 850) Tổng số tiền mua bàn ủi và quạt điện là 850 ngàn đồng nên ta có phương trình: x  y  850 1 Số tiền thực tế để mua cái bàn ủi là: 90 x x 100 10 Số tiền thực tế để mua cái quạt điện là: Theo bài ta có phương trình: 80 y y 100 10 9x y 9x y   850  125    725 10 10 10 10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x  y  850  x  450   9 10 x  10 y  725  y  400 Số tiền thực tế mua cái bàn ủi là: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 450  405 (ngàn đồng) 10 73 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Số tiền thực tế mua cái quạt điện là: 400  320 (ngàn đồng) 10 Vậy số tiền chênh lệch giá bán niêm yết và giá bán thực tế cái bàn ủi là: 450 – 405  45 (ngàn đồng) Vậy số tiền chênh lệch giá bán niêm yên và giá bán thực tế cái quạt điện là: 400 – 320  80 (ngàn đồng) ĐS 45 và 80 (ngàn đồng) Bài 3: Số tiền mua dừa và long là 25 nghìn đồng Số tiền mua dừa và long là 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa và giá long là bao nhiêu ? Biết dừa có giá và long có giá Hướng dẫn giải Gọi x, y (nghìn) là giá dừa và long Điều kiện : < x ; y < 25  x  y  25 5x  y  120 Theo bài ta có hệ phương trình  Giải ta : x = 20, y = (thỏa mãn điều kiện bài toán) Vậy : Giá dừa 20 nghìn Giá long nghìn Bài 4: Có hai can đựng dầu, can thứ chứa 38 lít và can thứ hai chứa 22 lít Nếu rót từ can thứ sang cho đầy can thứ hai thì lượng dầu can thứ còn lại nửa thể tích nó Nếu rót từ can thứ hai sang cho đầy can thứ thì lượng dầu can thứ hai còn lại phần ba thể tích nó Tính thể tích can Hướng dẫn giải Gọi thể tích can thứ và can thứ hai là x và y (lít) (x > 38, y > 22) Rót từ can sang cho đầy can 2, thì lượng rót là y – 22 (lít), nên can còn 38 –  y – 22   60 – y (lít), nửa thể tích can đó x   60 – y  ⇔ x + 2y = 120 (1) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 74 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Rót từ can sang cho đầy can 1, thì lượng rót là x – 38 (lít), nên can còn 22 –  x – 38   60 – x (lít), phần ba thể tích can đó y   60 – x  ⇔ 3x + y = 180 (2)  x  y  120 , giải hệ ta có x = 48; y = 36 (tm) 3x  y  180 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình  Vậy thể tích can thứ và can thứ hai là 48 lít và 36 lít Bài tập tự luyện: Bài E.01 Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứu hai số sách giá thứ Tính số sách trên giá Bài E.02 Hai anh An và Bình góp vốn kinh doanh Anh An góp 13 triệu đồn, anh Bình góp 15 triệu đồng Sau thời gian kinh doanh lãi triệu đồng Lãi chia theo tỉ lệ góp vốn Tính số tiền lãi mà anh hưởng Bài E.03 Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian đã định Nhưng thực tê xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù người đó đã làm thêm số sản phẩm so với dự kiến, thời gian hoàn thành công việc chậm so với dự kiến là 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm người đó, biết gờ người đó làm không quá 20 sản phẩm Bài E.04 Trên cánh đồng cấy 60 lúa giống và 40 lúa giống cũ Thu hoạch tât 460 thóc Hỏi suất loại lúa trên là bao nhiêu, biết trồng lúa thu hoạch ít trồng lúa cũ là Bài E.05 Có hai phân xưởng, phân xưởng thứ I làm 20 ngày, phân xưởng thứ II làm 15 ngày 1600 dụng cụ Biết số dụng cụ phân xưởng thứ I làm ngày số dụng cụ phân xưởng I làm ngày Tính số dụng cụ phân xưởng đã làm Bài E.06 Trong kì thi hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết hai trường đó là 338 học sinh trúng tuyển Tính thì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển Hỏi trường có bao nhiêu học sinh dự thi Bài E.07 Người ta trộn kg chất lỏng loại I với kg chất lỏng loại II thì hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg/m3 Biết khối lượng riêng chất lỏng loại I lớn khối lượng riêng chất lỏng loại II là 200 kg/m3 Tính khối lượng riêng chất Toán Hải TH&THCS Dong Khe 75 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài E.08 Trong buổi liên hoan văn nghệ, phòng họp có 320 chỗ ngồi, số người tới dự hôm đó là 420 người Do đó phải đặt thêm dãy ghế và thu xếp để dãy ghế thêm người ngồi đủ Hỏi lúc đầu phòng có bao nhiêu ghế Phần giải bài toán cách lập hệ phương trình với các bài tập phía trên giúp các em định hướng phương pháp giải Tuy nhiên đề tuyển sinh vào 10, các em có thể gặp phải dạng bài toán trên phải giải theo phương pháp lập phương trình Các em nghiên cứu tiếp “chuyên đề số 4: Giải bài toán cách lập phương trình” để thành thạo kiến thức, phương pháp giải dạng toán này nhé! Chủ đề Chúc các em học sinh học tập và ôn luyện đạt kết tốt! GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI D GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải bài toán cách lập phương trình bậc hai gồm ba bước: Bước Lập phương trình bài toán: - Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo đại lượng đã biết - Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ các đại lượng Bước Giải phương trình bậc hai vừa tìm Bước Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn, kết luận - Đối với giải bài toán cách lập phương trình bậc hai ẩn tương tự cách giải bài toán cách lập phương trình bậc ẩn Tuy nhiên có bài toán chúng ta có có kết hợp giải hệ phương trình và phương trình bậc hai mà các em đã gặp chủ đề Vì việc lựa chọn ẩn số và Toán Hải TH&THCS Dong Khe 76 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 giải toán có thể các em phân vân Vì hãy cùng nghiên cứu chủ đề 4: Giải bài toán cách lập phương trình bậc hai (hệ phương trình đưa giải theo phương trình bậc hai) từ đó hình thành kỹ giải dạng toán này nhé!  PHÂN DẠNG TOÁN Dạng Toán quan hệ số  Số có hai, chữ số ký hiệu là ab Giá trị số: ab  10a  b ; (Đk: 1 a  và 0 b  9, a,b N)  Số có ba, chữ số ký hiệu là abc abc = 100a +10b + c, (Đk:  a  và  b, c  9; a, b, c  N)  Tổng hai số x; y là: x  y  Tổng bình phương hai số x, y là: x  y  Bình phương tổng hai số x, y là:  x  y   Tổng nghịch đảo hai số x, y là: 1  x y Ví dụ minh Hải Bài 1: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương nó là 85 Hướng dẫn giải Gọi số bé là x ( x  N ) Số tự nhiên kề sau là x + Vì tổng các bình phương nó là 85 nên ta có phương trình: x   x  1  85  x  x  x   85  x  x  84   x  x  42    b  4ac  12  4.1.(42)  169     169  13 1  13  (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Phương trình có hai nghiệm: 1  13 x2   7 (lo¹i) x1  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 77 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Vậy hai số phải tìm là và Bài 2: Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số lên đơn vị thì phân số là nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Hướng dẫn giải Gọi tử số phân số phân số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần là x  11 (đk: x  Z ; x  0, x  11 ) Phân số cần tìm là x x  11 Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số x7 x  15 (Điều kiện : x  15 ) x x  15  x  11 x  5 Giải PT tìm x  5 phân số cần tìm là Theo bài ta có phương trình : Bài tập tự luyện: Bài A.01: Tìm hai số biết hai lần số thứ ba lần số thứ hai là và hiệu các bình phương chúng 119 Bài A.02: Tìm hai số biết tổng chúng là 17 và tổng lập phương chúng 1241 Bài A.03: Tích hai số tự nhiên lien tiếp lớn tổng chúng là 109 Tìm hai số đó Bài A.04: Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10 Tích hai chữ số nhỏ số đã cho là 12 Tìm số đã cho Dạng 2: Toán chuyển động Toán chuyển động có ba đại lượng: S  v.t Quãng đường  Vận tốc  Thời gian S: quãng đường v S t Vận tốc  Quãng đường : Thời gian v: vận tốc t S v Thời gian  Quãng đường : Vận tốc t: thời gian Các đơn vị ba đại lượng phải phù hợp với Nếu quãng đường tính ki-lômét, vận tốc tính ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính Toán Hải TH&THCS Dong Khe 78 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 + Nếu hai xe ngược chiều cùng xuất phát gặp lần đầu: Thời gian hai xe là nhau, Tổng quãng đường hai xe đã đúng khoảng cách ban đầu hai xe + Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác là A và B, xe từ A chuyển động nhanh xe từ B thì xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường xe từ A với quãng đường xe từ B quãng đường AB Chuyển động với ngoại lực tác động: (lực cản, lực đẩy); (thường áp dụng với chuyển động cùng dòng nước với các vật ca nô, tàu xuồng, thuyền): Đối với chuyển động cùng dòng nước Vận tốc nước đứng yên = vận tốc riêng Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Vận tốc dòng nước là vận tốc vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng vật đó 0) Đối với chuyển động có ngoại lực tác động lực gió ta giải tương tự bài toán chuyển động cùng dòng nước Ví dụ minh Hải Bài 1: Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người đó tăng vận tốc thêm km/h, vì thời gian ít thời gian là 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Hướng dẫn giải Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B là x km/h, x  Thời gian người xe đạp từ A đến B là 36 (giờ) x Vận tốc người xe đạp từ B đến A là x+3 (km/h) Thời gian người xe đạp từ B đến A là Ta có phương trình: 36 (giờ) x3 36 36 36   x x  60  x  12 Giải phương trình này hai nghiệm    x  15  loai  Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B là 12 km/h Toán Hải TH&THCS Dong Khe 79 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 2: Đi Hai người xe đạp cùng xuất phát từ A để đến B với vận tốc quãng đường, người thứ bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút và đón ô tô quay A, còn người thứ hai không dừng lại mà tiếp tục với vận tốc cũ để tới B.Biết khoảng cách từ A đến B là 60 km, vận tốc ô tô vận tốc xe đạp là 48 km/h và người thứ hai tới B thì người thứ đã A trước đó 40 phút Tính vận tốc xe đạp Hướng dẫn giải Gọi x (km/h) là vận tốc xe đạp, thì x  48 (km/h) là vận tốc ô tô Điều kiện: x>0 Hai người cùng xe đạp đoạn đường AC = AB = 40km Đoạn đường còn lại người thứ hai xe đạp để đến B là: CB  AB  AC  20 km Thời gian người thứ ô tô từ C đến A là: đến B là: 40 (giờ) và người thứ hai từ C x + 48 20 (giờ) x Theo giả thiết, ta có phương trình: 40 20 40 20 + = -  +1 = x + 48 x x + 48 x Giải phương trình trên: 40x + x  x + 48  = 20  x + 48  hay x + 68x - 960 = Giải phương trình ta hai nghiệm: x1 = -80 < (loại) và x = 12 (t/m) Vậy vận tốc xe đạp là: 12 km/h Bài 3: Khoảng cách hai bến sông A và B là 48 km Một canô từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian và là (không tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc canô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là km/h Toán Hải TH&THCS Dong Khe 80 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Hướng dẫn giải Gọi vận tốc canô nước yên lặng là x (km/h, x  4) Vận tốc canô nước xuôi dòng là x  và thời gian canô chạy nước xuôi dòng là 48 x4 Vận tốc canô nước ngược dòng là x  và thời gian canô chạy nước ngược dòng là 48 x4 Theo giả thiết ta có phương trình 48 48  5 x4 x4 pt  48( x   x  4)  5( x  16)  x  96 x  80  Giải phương trình ta x  0,8 (loại), x  20 (thỏa mãn) Vậy vận tốc canô nước yên lặng là 20 km/h Bài 4: Một xe ô tô từ A đến B cách 180km Sau giờ, ô tô dừng lại để đổ xăng và nghỉ ngơi 15 phút tiếp tục với vận tốc tăng thêm 20 km/h và đến B đúng đã định Tìm vận tốc ban đầu xe ô tô Hướng dẫn giải Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu xe ô tô ( điều kiện: x > 0) Thì vận tốc lúc sau ô tô là x + 20 (km/h) Quãng đường sau là: 2x (km) Quãng đường sau nghỉ ngơi là: 180 – 2x (km) Viết phương trình: 180 180  x  2  x x  20 Hay x  180 x –14400  Tìm x  60 (thỏa mãn) ; x  240 (loại) Vậy vận tốc ban dầu xe là 60km/h Toán Hải TH&THCS Dong Khe 81 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 5: Trên vùng biển xem phẳng và không có chướng ngại vật Vào lúc có tàu cá thẳng qua tọa độ X theo hướng Từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi Đến tàu du lịch thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến khoảng cách hai tầu là 60 km Tính vận tốc tàu Hướng dẫn giải Gọi vận tốc tàu cá là: x (km/h), điều kiện: x > Vận tốc tàu du lịch là: x  12 (km/h ) Đến thì hai tàu cách khoảng AB = 60 (km) lúc đó, thời gian tàu cá đã là: – = (giờ) thời gian tàu du lịch đã là: – = (giờ) Giả sử tàu cá đến điểm A, tàu du lịch đến điểm B Tàu cá đã đoạn XA = 2x (km) Tàu du lịch đã đoạn XB   x  12   x  12 (km) Vì XA  XB (do hai phương Bắc – Nam và Đông –Tây vuông góc nhau) Nên theo định lý Pytago, ta có: XA2  XB  AB  (2 x)  ( x  12)2  602  x  24 x  3456   x1  28,8 ( L)   x2  24 (TM ) Vậy vận tốc tàu cá và tàu du lịch là: 24 km/h và 36 km/h Bài 6: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km ; cùng lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô Hướng dẫn giải Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian ca nô thời gian bè nứa:  (h) Gọi vận tốc ca nô là x (km/h) (x>4) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 82 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Theo bài ta có: 24 24  24 16  2  2 x4 x4 x4 x4 x   x  40 x     x  20 x  loại, x  20 thỏa mãn Vậy vận tốc thực ca nô là 20 km/h Bài 7: Trên quãng đường AB, xe máy từ A đến B cùng lúc đó xe ôtô từ B đến A, sau hai xe gặp và tiếp tục thì xe ôto đến A sớm xe máy đến B là Tính thời gian xe hết quãng đường AB Hướng dẫn giải Gọi x (h) là thời gian xe máy hết quãng đường AB (đk: x>4) Gọi y (h) là thời gian ôtô hết quãng đường AB (đk: y>4 ) Trong xe máy được: (quãng đường) x Trong xe ô tô được: (quãng đường) y Trong hai xe được: 1   (1) x y Mà thời gian xe ô tô đến A sớm xe máy đến B là nên: x – y = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 1  x  14 x  24        ( điều kiện: x  ) x y  x x6   y  26 x  y   y  x   Giải phương trình x  14 x  24  được: x = 12 (thỏa mãn); x = (loại) Với x = 12, tìm y = Do đó, nghiệm hệ là (12;6) Vậy thời gian xe máy hết quãng đường AB là 12 giờ, ôtô hết quãng đường AB là Bài 8: Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km Lúc xe máy từ A để tới B Lúc 30 phút cùng ngày, ô tô từ A để tới B với Toán Hải TH&THCS Dong Khe 83 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 vận tốc lớn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng đường đã cho) Hai xe nói trên đến B cùng lúc Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải Xe máy trước ô tô thời gian là : 30 phút - = 30 phút = h Gọi vận tốc xe máy là x ( km/h ) ( x > ) Vì vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc ô tô là x + 15 (km/h) Thời gian xe máy hết quãng đường AB là : Thời gian ô tô hết quãng đường AB là : Do xe máy trước ô tô 90 ( h) x 90 ( h) x  15 và hai xe tới B cùng lúc nên ta có phương trình: 90 90   x x  15  90.2.( x  15)  x( x  15)  90.2 x  180 x  2700  x  15 x  180 x  x  15 x  2700  b Ta có :   152  4.(2700)  11025  ;   11025  105 x1  15  105  60 ( không thỏa mãn điều kiện ) x2  15  105  45 ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy vận tốc xe máy là 45 ( km/h ) , vận tốc ô tô là 45 + 15 = 60 ( km/h Bài tập tự luyện: Bài B.01: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 25km / h Lúc người đó với vận tốc 30km / h nên thời gian ít thời gian là 20 phút Tính quãng đường AB Bài B.02: Một ô tô phải qua quãng đường AB dài 60 km thời gian định Xe nửa đầu quãng đường với vận tốc dự định là 10 km/h và nửa sau Toán Hải TH&THCS Dong Khe 84 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 kém dự định km/h Biết ô tô đã đến đúng dự định Tính thời gian người đó dự định quãng đường AB Bài B.03: Lúc giờ, ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40 km/h Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hang 30 phút cho xe quay trở A với vận tốc trung bình 30 km/h Tính quãng đường AB biết ô tô đến A lúc 10 cùng ngày Bài B.04: Một ô tô chạy trên quãng đường AB Lúc ô tô chạy với vận tốc 35 km/h, lúc chạy với vận tốc 42 km/h, vì thời gian ít thời gian nửa Tính chiều dài quãng đường AB Toán chuyển động ngược chiều Bài B.05: Khoảng cách Hà Nội và Thái Bình là 110 km Một người xe máy từ Hà Nội Thái Bình với vận tốc 45 km/h Một người xe máy từ Thái Bình lên Hà Nội với vận tốc 30 km/h Hỏi sau họ gặp nhau? Bài B.06: Hai người khởi hành hai địa điểm cách 4,18 km ngược chiều để gặp Người thứ 5, km Người thứ hai 6, km xuất phát sau người thứ phút Hỏi người thứ hai bao lâu thì gặp người thứ Bài B.07: Hai người xe đạp cùng lúc, ngược chiều nhu từ hai địa điểm A và B cách 42 km và gặp sau Tính vận tốc người, biết người từ A nhanh người từ B là km Bài B.08 Hai người cùng xe đạp từ hai tỉnh A và B cách 60 km ngược chiều và gặp sau Tính vận tốc người biết người từ A nhanh người từ B là km Toán chuyển động cùng chiều Bài B.09: Hai xe máy khởi hành lúc sáng từ A để đến B Xe máy thứ chạy với vận tốc 30 km/h, xe máy thứ hai chạy với vận tốc lớn vận tốc xe máy thứ là km/h Trên đường xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút lại tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng đường AB, biết hai xe đến B cùng lúc Bài B.10: Lúc sáng người xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10 km/h Sau đó lúc 40 phút, người khác xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 30 km/h Hỏi hai người gặp lúc giờ? Toán Hải TH&THCS Dong Khe 85 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài B.11 Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh, 48 phút sau, đoàn tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ vận tốc đoàn tàu thứ km/h Hai đoàn tàu gặp ( ga nào đó) sau 48 phút kể từ đoàn tàu thứ khởi hành Tính vận tốc đoàn tàu, biết Ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh và cách Ga Hà Nội 87 km Toán chuyển động trên dòng nước Bài B.12: Một ca nô tuần tra xuôi dòng từ A đến B hết 20 phút và ngược dòng từ B A hết Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc dòng nước là km/h Bài B.13: Quãng đường ca nô xuôi dòng 2, lần quãng đường ca nô ngược dòng Hỏi vận tốc ca nô xuôi dòng Biết vận tốc ca nô nước yên tĩnh là 15 km/h Bài B.14 Lúc sáng, ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách 36 km, quay trở và đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nô xuôi dòng, biết vận tốc dòng chảy là km/h Bài B.15 Một ca nô khởi hành từ bến A đến bến B dài 120 km từ B quay A tổng cộng 11 Tính vận tốc ca nô Cho biết vận tốc dòng là km/h và vận tốc thật không đổi Dạng 3: Toán suất – Khối lượng công việc - % Có ba đại lượng: - Khối lượng công việc (KLCV) - Phần việc làm (chảy) đơn vị thời gian (năng suất) (NS) - Thời gian (t) KLCV  N t NS  t KLCV t KLCV NS Khối lượng công việc = Năng suất  Thời gian KLCV: Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian NS: Năng suất Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất t: thời gian Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta xem toàn công việc là - Nếu đội nào làm xong công việc x (ngày) thì ngày đội đó làm Toán Hải TH&THCS Dong Khe (công việc) x 86 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 - Nếu vòi nào chảy riêng mình đầy bể x (giờ) thì vòi đó chảy (bể) x Ví dụ minh Hải Bài 1: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 30 hàng Khi khởi hành thì bổ sung thêm xe nên xe chở ít 0,5 hàng Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu xe? Hướng dẫn giải Gọi số xe đoàn xe lúc đầu là x (chiếc)  x     Số xe đoàn xe bổ sung thêm là x  (chiếc) Lúc đầu, lượng hàng xe phải chở là 30 (tấn) x Lúc thêm xe, lượng hàng xe phải chở là 30 (tấn) x2 Do bổ sung thêm xe thì xe chở ít 0,5  hàng nên ta có phương trình : 30 30    x  0, xnguyên  x x2  60  x    60 x  x  x    x  x  120   '  12   120   121  ,  '  121  11 x1  1  11  10 (nhận) ; x2  1  11  12 (loại) Vậy lúc đầu đoàn xe có 10 Bài 2: Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm thời gian định Nhưng thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm dự định ngày Hỏi thực hiện, ngày tổ đã làm bao nhiêu sản phẩm? Hướng dẫn giải Gọi số sản phẩm tổ đã thực ngày là x (sản phẩm) (ĐK: x>10; x Z) Do đó: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 87 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Số sản phẩm tổ dự định làm ngày là: x  10 (sản phẩm) Thời gian tổ hoàn thành công việc thực tế là: 240 x Thời gian tổ hoàn thành công việc theo dự định là: 240 ngày x  10 (ngày) Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm dự định ngày, đó ta có phương trình: 240 240 120 120  2  1 x  10 x x  10 x  120 x  120 x  1200  x  10 x  x  40  x  10 x  1200  …    x  30 Với x = 40 thỏa mãn đk, x = -30 loại vì không thỏa mãn đk Vậy số sản phẩm tổ đã thực ngày là 40 sản phẩm Bài 3: Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau hoàn thành xong công việc Nếu làm riêng thì lớp 9A nhiều thời gian lớp 9B là hoàn thành xong công việc Hỏi làm riêng, lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc ? Hướng dẫn giải Gọi thời gian lớp 9A, 9B hoàn thành xong công việc là x; y (giờ) (ĐK : x  5; y  ) giờ, lớp 9A làm : ( công việc ) x giờ, lớp 9B làm : ( công việc ) y giờ, lớp làm : 1 1 ( công việc ).Ta có phương trình:   (1) x y Nếu làm riêng thì lớp 9A nhiều thời gian lớp 9B là hoàn thành xong công việc Ta có phương trình: x  y  (2) Từ (1), (2) , ta có hệ phương trình: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 88 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 6( y  5) y ( y  5)  6y      y ( y  5) y ( y  5) y ( y  5)  x  y5  1 1 1 1 1           x y  x y   y 5 y  x y 5  x  y5  x  y5      y  10 (tm) 6 y  y  30  y  y  y  y  30   y  10 (tm)       y  3 (l )   x  y 5  x  15 (tm)   x  y 5  x  y 5  Vậy, thời gian để lớp 9A hoàn thành mình xong công việc là 15 giờ, lớp 9B hoàn thành mình xong công việc là 10 Bài 4: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 hàng Khi khởi hành thì xe phải điều làm công việc khác, nên xe còn lại phải chở nhiều 0,5 hàng so với dự định Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng xe chở nhau) Hướng dẫn giải Gọi số xe thực tế chở hàng là x xe ( ĐK: x  N*) Thì số xe dự định chở hàng là x  ( xe ) Theo dự định xe phải chở số là: 15 ( ) x 1 Nhưng thực tế xe phải chở số là : Theo bài ta có PT : 15 ( ) x 15 15   0,5 x x 1 Giải phương trình ta : x1  6 ( loại ) ; x2  ( t/m) Vậy thực tế có xe tham gia vận chuyển hàng Bài 5: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” đội tàu dự định chở 280 hàng đảo Nhưng chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa dẫ tăng thêm so với dự định Vì đội tàu phải bổ sung thêm tàu và mối tàu chở ít dự định hàng Hỏi dự định đội tàu có bao nhiêu tàu, biết các tàu chở số hàng nhau? Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 89 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Gọi x (chiếc) số tàu dự định đội( x  N *, x  140 ) Số tàu tham gia vận chuyển là x  (chiếc) Số hàng trên theo dự định: Số hàng trên thực tế: Theo đề bài ta có pt: 280 (tấn) x 286 (tấn) x 1 280 286    280  x  1  286 x  x  x  1  x  x –140  x x 1  x  10 (t/m)  x  14 (l )  Vậy đội tàu lúc đầu là 10 Bài tập tự luyện: Bài C.01: Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm thời gian dự định Sau làm với suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý nên đã tang suất thêm sản phẩm và vì người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm dự định 36 phút Hãy tính suất dự kiến Bài C.02: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ đã làm theo đúng kế hoạch đề ra, ngày còn lại họ đã làm vượt mức ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành sớm kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm thợ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm Bài C.03: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nghiệp Khi làm tổ chức quản lí tốt nên ngày họ đã làm nhiều dự định máy, vì tổ đã hoàn thành trước thời hạn ngày Hỏi số máy dự định sản xuất ngày là bao nhiêu? Bài C.04: Một tổ may áo theo kế hoạch ngày phải may 30 áo Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn ngày, ngoài còn may thêm 20 áo Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch Bài C.05: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 thảm Trong ngày đầu họ đã thực theo đúng kế hoạch, ngày còn lại họ đã dệt vượt mức ngày 10 nên đã hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu Toán Hải TH&THCS Dong Khe 90 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài C.06: Tháng đầu hai tổ sản xuất làm 720 dụng cụ Sang tháng tổ làm vượt mức 12% , tổ vượt mức 15% nên hai tổ đã làm 819 dụng cụ Hỏi tháng tổ làm bao nhiêu dụng cụ? Toán công việc làm chung, làm riêng Bài C.07: Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành Hỏi làm riêng mình thì tổ phải hết bao nhiêu thời gian hoàn thành công việc, biết làm riêng tổ hoàn thành sớm tổ là Bài C.08: Hai công nhân làm chung thì 12 hoàn thành công việc Họ làm chung thì người thứ chuyển làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc 10 Hỏi người thứ hai làm mình thì bao lâu hoàn thành công việc Bài C.09: Hai người cùng làm chung công việc thì 15 xong Hai người làm thì người thứ hất điều làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc 21 thì xong công việc Hỏi làm mình thì người phải làm bao lâu xong công việc Bài C.10 Hai người cùng làm chung công việc 24 thì xong Năng suất người thứ suất người thứ hai Hỏi người làm công việc thì hoàn thành sau bao lâu? Dạng 4: Toán có nội dung hình học - Diện tích hình chữ nhật S  x y ( x là chiều rộng; y là chiều dài) - Diện tích tam giác S  x y ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền: c  a  b (c là độ dài cạnh huyền; a,b là độ dài các cạnh góc vuông) - Số đường chéo đa giác n(n  3) (n là số đỉnh) Ví dụ minh Hải Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 3m và diện tích 270m2 Tìm chiều dài, chiều rộng khu vườn Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 91 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Gọi x (m) là chiều rộng khu vườn (ĐK: x > 0) Chiều dài khu vườn là: x  (m) Do diện tích khu vườn là 270m2 nên ta có phương trình: x  x  3  270  x  3x  270  Giải phương trình ta được: x1  15 (thỏa mãn điều kiện), x2  18 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy chiều rộng khu vườn là 15 m, chiều dài khu vườn là 18 m Bài 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng m Tính kích thước mảnh đất, biết diện tích mảnh đất là 150 m2 Hướng dẫn giải Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m), (điều kiện: a > 0) suy chiều dài mảnh đất là a + (m) Vì diện tích là 150 m2 nên ta có phương trình: a(a  5)  150 Giải phương trình ta a  10; (thỏa mãn) và a  15 (loại vì ko thỏa mãn đk) Vậy chiều rộng là 10 m, chiều dài là 15 m Bài 3: Cạnh huyền tam giác vuông 13 cm Hai cạnh góc vuông có độ dài kém cm.Tính độ dài các cạnh góc vuông tam giác vuông đó Hướng dẫn giải Gọi x (cm) là độ dài cạnh góc vuông lớn (điều kiện :  x  13 )  độ dài cạnh góc vuông nhỏ là : x  (cm) + Vì độ dài cạnh huyền 13 cm nên ta có phương trình: x   x    132 +Thực biến đổi thu gọn ta phương trình: x  x  60  + Giải phương trình ta : x1  12 ( tmđk) x2  5 (loại) Trả lời : Vậy độ dài hai cạnh tam giác vuông là : 12cm và 7cm Toán Hải TH&THCS Dong Khe 92 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài tập tự luyện: Bài D.01 Một ruộng hình tam giác có diện tích 180 m Tính chiều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm m và chiều cao giảm m thì diện tích không đổi Bài D.02 Một ruộng hình chữ nhật, tang chiều dài thêm m và chiều rộng m thì diện tích tăng 100 m Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng m thì diện tích giảm 68 m Tính diện tích ruộng đó Bài D.03 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn( thuộc đất vườn) rộng m , diện tích còn lại là 4256 m Tính các kích thước khu vườn Bài D.04 Một tam giác vuông có chu vi là 30 m, cạnh huyền là 13 m Tính các cạnh góc vuông tam giác Bài D.05 Một tam giác vuông có chu vi 30 cm , độ dài hai cạnh góc vuông kém cm Tính độ dài các cạnh tam giác Dạng Các dạng toán khác Ví dụ minh Hải Bài 1: Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoa Hồng dự định trồng 300 cây xanh Đến ngày lao động, có bạn Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên bạn còn lại phải trồng thêm cây đảm bảo kế hoạch đặt Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh? Hướng dẫn giải Gọi x là số học sinh lớp 9A ( x > 5, nguyên) Số cây bạn dự định trồng là: 300 (cây) x Sau bạn tham gia chiến dịch ATGT thì lớp còn lại: x  (học sinh) Do đó bạn còn lại phải trồng: Theo đề ta có phương trình: 300 (cây) x5 300 300 2 x x 5 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 93 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Rút gọn ta được: x  x  750  Giải ta được: x  30 (thỏa mãn), x  25 (loại) Vậy lớp 9A có 30 học sinh Bài 2: Một phòng họp có 90 người họp xếp ngồi trên các dãy ghế Nếu ta bớt dãy ghế thì dãy ghế còn lại phải xếp thêm người đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế và dãy ghế xếp bao nhiêu người? Hướng dẫn giải Gọi số dãy ghế có lúc đầu là x (dãy) (ĐK: x nguyên dương và x > 5) Thì dãy phải xếp 90 người x Sau bớt dãy thì số dãy ghế là x - dãy Mỗi dãy phải xếp 90 người x5 Theo bài ta có pt : 90 x5 90 =3 x  x  x  150  x1  15 (thỏa mãn) ; x2  10 (loại) Vậy lúc đầu phòng họp có 15 dãy ghế và dãy có người Bài 3: Nhân ngày quốc tế thiếu nhi, 13 học sinh (nam và nữ) tham gia gói 80 phần quà cho các em thiếu nhi Biết tổng số quà mà học sinh nam gói tổng số quà mà học sinh nữ gói Số quà bạn nam gói nhiều số quà mà bạn nữ gói là phần Tính số học sinh nam và nữ Hướng dẫn giải Gọi x (HS) là số HS nam (ĐK:  x  13, x nguyên.) Số HS nữ là: 13 – x ( HS) Số phần quà mà HS Nam gói được: Số phần quà mà HS nữ gói được: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 40 ( phần) x 40 (phần) 13  x 94 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Theo bài toán ta có phương trình: 40 40  3 x 13  x  40(13  x)  40 x  x(13  x)  520  40 x  40 x  39 x  3x  3x  119 x  520  Giải phương trình ta x = (thỏa mãn).; x  104 (không thỏa mãn) Vậy số học sinh nam là 5, số học sinh nữ là Bài tập tự luyện: Bài E.01 Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại đề vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành đoàn xe giao them 14 hàng nữa, đó phải điều thêm xe cùng loại trên và xe chở them 0, hàng Tính số xe ban đầu biết số xe đội không quá 12 xe Bài E.02 Hai lớp A và B có tổng cộng 94 học sinh biết 25% số học sinh lớp 8A đạt loại giỏi, 20% số học sinh lớp 8B và tổng số học sinh giỏi hai lớp là 21 Tính số học sinh lớp Bài E.03 Một tổ máy trộn bê tong phải sản xuất 450 m bê tông cho đập thủy lợi thời gian quy định Nhờ tăng suất ngày , m nên ngày trước thời hạn quy định tổ đã sản xuất 96% công việc Hỏi thời gian quy định là bao nhiêu ngày? Bài E.04 Tìm số học sinh hai lớp 8A và 8B, biết chuyể học sinh lớp 8A sang lớp 8B thì số học sinh hai lớp nhau, chuyển học sinh từ lớp 8B sang lớp 11 8A thì số học sinh 8B số học sinh lớp 8A 19 Bài E.05 Người ta trộn gam chất lỏng này với gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0, g / cm để khối lượng riêng là 0, g / cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Toán Hải TH&THCS Dong Khe 95 Chủ đề CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN E HÀM SỐ BẬC NHẤT  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Hàm số bậc là hàm số cho công thức y  ax  b đó a; b là các số cho trước và a  Đặc biệt, b  thì hàm có dạng y  ax Tính chất Hàm số bậc y  ax  b (a  0) xác định với giá trị x   và: - Đồng biến trên  a  0; - Ngịch biến trên  a  Đồ thị Đồ thị hàm số y  ax  b (a  0) là đường thẳng: - Cắt trục tung điểm có tung độ b Toán Hải TH&THCS Dong Khe 96 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 - Song song với đường thẳng y  ax b  và trùng với đường thẳng y  ax b  Số a gọi là hệ số góc, số b gọi là tung độ gốc đường thẳng Góc tạo đồ thị hàm số bậc và trục Ox Gọi  là góc tạo đường thẳng y  ax  b (a  0) và trục Ox Nếu a  thì tan   a (góc tạo là góc nhọn) Nếu a  , ta đặt   180o   Khi đó tan   a (góc tạo là góc tù) Tính  suy   180o   Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng và parabol  d  : y  ax  b (a  0) Cho các đường thẳng Khi đó :  d  cắt  d  // (d ’)  a  a '  d  trùng và (d ’)  a  a ' và b  b ' (d ’) y  a ' x  b ' (a '  0) (d ’)  a  a ' và b  b '  d  vuông góc (d ’)  a.a '  1  BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y  f ( x)  x  3 b) Tìm giá trị x để hàm số có giá trị 10; 7 a) Tính giá trị hàm số x  2;  0,5; 0; 3; Hướng dẫn giải a) Ta có: Khi x    f  2    2  3  4   1  1  1  f          1   2  2  2 x   f    2.0   x x   f  3  2.3      3 3 3 3  f    2   +) Để hàm số y  f  x   2x + có giá trị 10  2x + 3=10 x  b)  x  10   x   x  Vậy x  7 thì hàm số có giá trị 10 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 97 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 +) Để hàm số y  f  x   2x + có giá trị 7  x   7  x  7   x  10  x   Vậy x  5 thì hàm số có giá trị 7 Bài 2: Cho các hàm số: y  2mx  m  1 và y   m  1 x    a) Xác định m để hàm số 1 đồng biến, còn hàm số   nghịch biến b) Xác định m để đồ thị hàm số song song với c) Chứng minh đồ thị  d  hàm số 1 luôn qua điểm cố định với giá trị m Hướng dẫn giải a) Hàm số 1 đồng biến và hàm số   nghịch biến:  2m  m      m  m   m 1 b) c) Đồ thị hai hàm số song song với nhau: 2m  m  m  1    m  1  m 1   m 1 Viết lại hàm số 1 dạng y  m  x  1  Ta thấy với giá trị m, x   thì y  Vậy đồ thị  d  hàm số 1 luôn qua điểm cố định là điểm   M   ;1   Bài Cho hàm số y  (m  3) x  m  (*) a) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt trục tung điểm có tung độ  b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y  2 x  c) Tìm m để đồ thị hàm số (*) vuông góc với đường thẳng y  x  Hướng dẫn giải a) Để đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  cắt trục tung điểm có tung độ –  x = 0; y = - Ta có:    m  3  m   m   3  m  5 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 98 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Vậy với m  5 thì đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ  b) Để đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  song song với đường thẳng y  2 x  m   2   m   m  2    m   m    m  ( t/m)  m  1 Vậy với m  thì đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  song song với đường thẳng y  2 x  c) Để đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  vuông góc với đường thẳng y  x   a.a’  1  m  3  1  m   1  m   m = Vậy với m = đồ thị hàm số y  (m  3) x  m  vuông góc với đường thẳng y  x  Bài 4: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y  x  m * 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua: a) A   1;3 b) B  2; 5  2) Tìm m để đồ thị hàm số * cắt đồ thị hàm số y  3x  góc phần tư thứ IV Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm số y  x  m qua: A   1;3    1  m  3  2m  m5 Vậy với m  thì đồ thị hàm số y  x  m qua: A   1;3 b) Để đồ thị hàm số y  x  m qua: B  2; 5   5  2  m  m  7 Vậy với m  7 thì đồ thị hàm y  x  m qua: B Toán Hải TH&THCS Dong Khe  2; 5  99 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 2) Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  m với đồ thị hàm số y  3x  là nghiệm hệ phương trình  y = 2x + m 3x - = 2x + m 3x - 2x = m +    y = 3x -  y = 3x -  y = 3x -    x = m + x = m +     y =  m +  -  y = 3m + -  x = m+    y = 3m +4 Vậy toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  m với đồ thị hàm số y  3x  là  m+ ; 3m +4  Để đồ thị hàm số y  x  m cắt đồ thị hàm số y  3x  góc phần tư thứ IV thì : m >-2 x  m +2>0      y  3m + < m < - Vậy với 2  m    2  m   4 thì đồ thị hàm số y  x  m cắt đồ thị hàm số y  3x  góc phần tư thứ IV Bài 5: Cho hàm số y  (2m  1) x  m  (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d) a) Tìm m để (d) qua điểm A(1; 2) b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình: y  x  c) Chứng minh m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Hướng dẫn giải a) Ta có (d) qua điểm A( 1; 2)   (2m  1)(1)  m    m   m   2m    m  m   b) Ta có (d )//( )   c) Giả sử M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định đường thẳng (d) Khi đó ta có: y0  (2m  1) x0  m  m  (2 x0  1)m  x0  y0   m  x0    x        x0  y0   y   Toán Hải TH&THCS Dong Khe 100 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  7   Vậy m thay đổi đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định M   ;  2 Bài 6: Tìm giá trị tham số k để đường thẳng d1 : y   x  cắt đường thẳng d : y  x   k điểm nằm trên trục hoành Hướng dẫn giải Ta thấy hai đường thẳng d1; d luôn cắt (vì 1  ) + Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A  2;  k 3  + Đường thẳng d cắt trục hoành điểm B  ;0    + Để hai đường thẳng d1; d cắt điểm trên trục hoành thì Bài 7: k 3   k  Cho hai đường thẳng  d1  : y  x  ;  d  : y  –4 x  cắt I Tìm m để đường thẳng  d  : y   m  1 x  2m –1 qua điểm I ? Hướng dẫn giải 2  x  y  x    Tọa độ I là nghiệm hệ    y  –4 x   y  11  11 2 Do  d  qua điểm I nên   m  1  2m –1  m  3 Vậy m  là giá trị cần tìm Bài 8: Xác định hàm số y  ax  b, biết đồ thị  d  nó qua A  2;1,5  và B  8; 3 Khi đó hãy tính: a) Vẽ đồ thị hàm số  d  vừa tìm và tính góc  tạo đường thẳng  d  và trục Ox ; b) Khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến đường thẳng  d  Hướng dẫn giải a) Vì  d  qua A  2;1,5  và B 8; 3 nên toạ độ A và B phải thoả mãn phương trình y  ax  b Toán Hải TH&THCS Dong Khe 101 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Thay x  2; y  1, lại thay x  8; y  3 vào phương trình y  ax  b ta hệ  1,5  2a  b a    phương trình:   3  8a  b  b  3 Vậy hàm số cần xác định là y   x  P b) Vẽ đồ thị hàm số H Lập bảng x y A α x y   x  0 4Q Đồ thị hàm số (d) là đường thẳng qua điểm P(0;3) và Q (4;0) Xét ΔPOQ vuông O có: tan Q1  OP   tan 36o52' OQ   36o52.' Suy Q Do đó   180  36o52'  143o8 b) Vẽ OH  PQ Tam giác OPQ vuông O, có OH  PQ nên: 1 144 1 25    2, Do đó h  hay    2 25 h 144 OH OP OQ Bài 9: Vẽ đồ thị hàm số y  3x  (1) b) Gọi A , B là giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục tung và trục hoành Tính diện tích tam giác OAB Hướng dẫn giải y a) Vẽ đồ thị hàm số y  3x  Lập bảng x y  3x  2 2 A Đồ thị hàm số là đường thẳng qua A  0,  và B x -2  2  B ,0   b) Ta có OA = và OB  2  Tam giác OAB vuông O 3 Toán Hải TH&THCS Dong Khe O 102 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 SOAB  1 2 OA.OB   2 3 Bài 10: Viết phương trình đường thẳng  d  có hệ số góc và qua điểm M  2;1 Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng  d  là y  ax  b a  a   Do đường thẳng  d  có hệ số góc và qua điểm M  2;1 ta có  1  7.2  b b  13 Vậy y  x 13  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài E01: Cho hàm số y   m   x  2m –10 a) Với giá trị nào m thì y là hàm số bậc b) Với giá trị nào m thì hàm số đồng biến c) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(2; 3) d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ e) Tìm m để đồ thị qua điểm 10 trên trục hoành f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y  x  g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn Bài E02: Cho đường thẳng y   2m –1 x  – m  d  Xác định m để: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 103 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) Đường thẳng  d  qua gốc toạ độ b) Đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  x  c) Đường thẳng  d  tạo với Ox góc nhọn d) Đường thẳng  d  tạo với Ox góc tù e) Đường thẳng  d  cắt Ox điểm có hoành độ f) Đường thẳng  d  cắt đồ thị hàm số y  x – điểm có hoành độ là g) Đường thẳng  d  cắt đồ thị hàm số y   x  điểm có tung độ y = h) Đường thẳng  d  qua giao điểm hai đường thảng x  y   và x  y   Bài E03: Cho hàm số y   2m  3 x  m  a) Vẽ đồ thị hàm số với m  b) Chứng minh họ đường thẳng luôn qua điểm cố định m thay đổi c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác vuông cân d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành góc 45o e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành góc 135o f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành góc 30o , 60o g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  3x  điểm trên 0y h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y   x  điểm trên 0x Bài E04: Cho hàm số y   m   x  m  a) Tìm điều kiện m để hàm số luôn luôn nghịch biến b) Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y   x  ; y  x – và y   m   x  m  đồng quy d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành tam giác có diện tích Bài E05: Cho (d1) : y  4mx  (m  5) ; (d2) : y   3m  1 x  m  a) Tìm m để đồ thị (d1) qua M(2;3) b) Chứng minh m thay đổi thì d1 luôn qua điểm A cố định, d2 qua B cố định c) Tính khoảng cách AB Toán Hải TH&THCS Dong Khe 104 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 d) Tìm m để d1 song song với d2 e) Tìm m để d1 cắt d2 Tìm giao điểm m   Hướng dẫn số ý phụ Dạng tìm điểm cố định đồ thị hàm số Phương pháp giải: Để tìm điểm cố định đường thẳng y  ax  b phụ thuộc tham số ta làm sau: - Gọi tọa độ điểm cố định là M ( xo ; yo ) ; - Tìm điều kiện để đẳng thức yo  ax0  b luôn đúng tham số thay đổi Dạng toán ba đường thẳng đồng quy Chủ đề Phương pháp giải: Để tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm hai ba đường thẳng và tìm điều kiện để giao điểm này thuộc đường thứ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT F HÀM SỐ BẬC HAI  KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y  ax với a  * Hàm số này có tập xác định x   * Nếu a >0 thì hàm số nghịch biến x < và đồng biến x > * Nếu a < thì hàm số nghịch biến x > và đồng biến x < * Nếu a > thì y > x ≠ Toán Hải TH&THCS Dong Khe 105 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 +) y = x = Giá trị nhỏ hàm số là y = * Nếu a < thì y < x ≠ +) y = x = Giá trị lớn hàm số là y =  Đồ thị hàm số y  ax (a  0) * Đồ thị hàm số y  ax (a  0) là đường cong qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó gọi là Parabol với đỉnh O * Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp đồ thị * Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành , O là điểm cao đồ thị  Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol Cho đường thẳng (d): y  ax  b (a  0) và parabol (P): y  kx (k  0)  Tìm số giao điểm (d) và (P) Khi đó : Xét phương trình kx2  ax  b (1) - Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc - Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) (P) và (d) chính là nghiệm phương trình kx2  ax  b  Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) - Giải phương trình (1) tìm các giá trị x Khi đó giá trị x chính là hoành độ giao điểm (d) và (P) Thay giá trị x vào công thức hàm số (d) (hoặc (P)) ta tìm tung độ giao điểm từ đó suy tọa độ giao điểm cần tìm Tọa độ giao điểm (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm phương trình (1)  Hàm số chứa tham số Tìm điều kiện tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước - Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) từ đó vận dụng biệt thức delta và hệ thức Vi-et để giải bài toán với điều kiện cho sẵn Toán Hải TH&THCS Dong Khe 106 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y  f  x   x 1) Hãy tính f  2  ; f   ; f  5;   2 f       3 ;  có thuộc đồ thị hàm số không ?  4  2) Các điểm A  2;  , B  2;3 , C  4; 24  , D  Hướng dẫn giải 3 27 f  3  32   ; 2 2  3 15 2  2 f    ; f          2 2     2) +) Thay toạ độ điểm A  2;  vào công thức hàm số y  f  x   x2 Ta có    ( thỏa mãn) Vậy điểm A  2;  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x2 +) Thay toạ độ điểm C  4; 24  vào công thức hàm số y  f  x   x2 Ta có 24   4   24  24 ( vô lí) 1) Ta có: 3 f  2    2    ; 2     Vậy điểm C  4; 24  không thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x2   +) Thay toạ độ điểm B  2;3 vào công thức xác định hàm số y  f  x   x2     32 ( thỏa mãn) Vậy điểm B   2;3 thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x Ta có   2  3 ;  vào công thức xác định hàm số y  f  x   x 2  4 +) Thay toạ độ điểm D  3  Ta có     Vậy điểm D     2  3  (thỏa mãn) 4 3 ;  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   x 2 4 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 107 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Trong hệ toạ độ Oxy, cho hàm số y  f  x    m   x Bài 2: * 1) Tìm m để đồ thị hàm số * qua các điểm : a) A  1;3 b) B   2; 1 2) Thay m = Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số * với đồ thị hàm số y  x  Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm hàm số y  f  x    m   x Ta có: * qua điểm A  1;3   m    1   m   m  Vậy với m = thì đồ thị hàm số * qua điểm A  1;3 b) Để đồ thị hàm số y  f  x    m   x * qua điểm B Ta có: 1   m    2   2; 1  1   m    2m   1  2m  5  m   5 thì đồ thị hàm số * qua điểm B 2; 1 2) +) Thay m = vào công thức hàm số y  f  x    m   x * ta có: y  f  x   x  Vậy với m    - Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x   x với đồ thị hàm số y  x  là nghiệm  y  x  y  x  y  x2     hệ phương trình:   x  x   x  x    y  x 1 - Giải phương trình   x2  x   1  2 Ta có: a + b + c = + (-1) + (-1) = nên phương trình   có nghiệm phân biệt x1  ; x2   (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích và giải phương trình tích) +) Với x1   y1  2.12   M 1;  1  1  1  y1        N   ;   2  2 Vậy với m = thì đồ thị hàm số y  x và đồ thị hàm số y  x  cắt điểm  1 phân biệt M 1;  và N   ;   2 +) Với x2   Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y  x (P) và đường thẳng y   x   d  trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy b) Tìm toạ độ giao điểm (P ) và  d  phép tính Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 108 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) Vẽ đồ thị hàm số y  x (P) Lập bảng giá trị tương ứng x và y x -3 -2 -1 yx 1 Đồ thị hàm số y  x (P) là Parabol có bề lõm quay xuống phía và qua các điểm có toạ độ O  0;  ; A 1;1 ; A '  1;1 ; B  2;  ; B '  2;  ; C  3;9  ; C '  3;9  +) Đường thẳng y   x   d  Cho x =  y =  D  0;   Oy y =  x =  E  2;   Ox  Đường thẳng y  x   d  qua điểm D (0; 2) và E (2; 0) b) Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y  x (P) và đường thẳng y   x   d  là nghiệm 1  y  x  y  x  y  x2     hệ phương trình:   x   x   y  x   x  x     - Giải phương trình: x  x     Ta có a + b + c = + + (- 2) = nên phương trình (2) có hai nghiệm x1  ; x2  2 (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích và giải phương trình tích) +) Với x1  1 y1  12   M 1; 1 +) Với x2  2  y2   2    N   2;  - Vậy đồ thị hàm số y  x (P) và đường thẳng y   x  (d) cắt điểm M 1; 1 và N   2;  Sự tương giao đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol ( P) : y  x2 và đường thẳng (d ) : y  x a) Vẽ đồ thị ( P ) b) Gọi A  x1; y1  và B  x2 ; y2  là các giao điểm P) với (d ) Tính giá trị biểu thức T  x1  x2 y1  y2 Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 109 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) HS tự vẽ x  x  3   x   y   A(2; 2) 2  x x   T  Vậy     x    y   B y1  y2 25  ;  2   8 b) Phương trình hoành độ giao điểm P) và (d ) : Bài 5: Cho Parabol ( P) : y  x2 và đường thẳng d : y  (2m  1) x  m  ( m là tham số) a) Chứng minh với m đường thẳng d luôn cắt P) hai điểm phân biệt b) Tìm các giá trị m để đường thẳng d luôn cắt P) hai điểm phân biệt A  x1; y1  B  x2 ; y2  thỏa x1 y1  x2 y2  Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm x2  (2m 1) x  m   x  (2m 1) x  m   0(*) Ta có   (2m 1)2  4.1 (m  2)  4m2  8m   4(m 1)2    Vậy Parabol luông cắt đường thẳng hai điểm phân biệt  x1  x2  2m   x1 x2  m  b) Vì là nghiệm phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có:   y1  x12 Mặt khác   y2  x2 Ta có x1 y1  x2 y2   x13  x23    x1  x2   x12  x1 x2  x22     2m   m  x1  x2      2   x1  x1 x2  x2   x1  x2   3x1 x2   4m  7m   (vn) Vậy m  Bài 6: Cho parabol ( P) : y  x2 và đường thẳng (d ) : y  2ax  4a (với a là tham số ) a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) và P) a   b) Tìm tất các giá trị a để đường thẳng (d ) cắt P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1  x2  Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 110 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) Phương trình hoành độ (d ) và P) là x  2ax  4a  Khi a   thì phương trình trở thành x  x   Có a  b  c  nên phương trình có nghiệm là x  1 ; x  b) Phương trình hoành độ (d ) và P) là x  2ax  4a  (*) để đường thẳng (d ) cắt P) hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có nghiệm a  a  phân biệt   '  a(a  4)    a   x  x  2a Với  theo Viét ta có  a   x1 x2  4a Vì x1  x2    x1  x2  2    x1  x2   x1 x2  x1 x2   4a  8a | 8a | Với a  : 4a  8a  | 8a |  4a  16a    a   a  2 Với a  : 4a  8a  | 8a |  4a    a   1  dk 3  dk 2 Vậy a   Cho hai hàm số y  x2 và y  mx  , với m là tham số Bài 7: a) Khi m  , tìm tọa độ các giao điểm hai đồ thị hàm số trên b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hai hàm số đã cho luôn cắt hai điểm phân biệt A1  x1; y1  và A2  x2 ; y2  Tìm tất các giá trị m cho  y1    y2   72 Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm y  x2 và y  mx  là x  mx   (1) Thay m  vào phương trình (1) ta có: x  3x   Ta có: a  b  c   (3)  (4)   x  1 Vậy phương trình x  3x   có hai nghiệm  x  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 111 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Với x  1  y   A(1;1) Với x   y  16  B(4;16) Vậy với m  thì hai đồ thị hàm số giao điểm A(1;1) và B(4;16) b) Ta có số giao điểm hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm phương trình (1) Phương trình (1) có:   m2   (4)  m2  16  0m  Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Vậy đồ thị hai hàm số đã cho luôn cắt hai điểm phân biệt A1  x1; y1  và A2  x2 ; y2  với m  x1  x2  m  x1  x2  4 Theo hệ thức Vi-et ta có:   y1  x12 Ta lại có:   y2  x2 Theo đề, ta có: y12  y22  2 2 2 2   x12    x22   49   x1  x2   x1 x2    x1 x2   49   m2  2.(4)    4   49    (m2  8)2  81  m    m  1 (trường hợp m   9 vô nghiệm vì m2  ) 2 Vậy với m  1; m  1 thì  y1    y2   72 Bài 8: Cho hàm số y   x2 có đồ thị ( P ) a) Vẽ đồ thị ( P ) hàm số b) Cho đường thẳng y  mx  n () Tìm m, n để đường thẳng (  ) song song với đường thẳng y  2 x  (d ) và có điểm chung với đồ thị ( P ) Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số m  2 n  b)  song song với y  2 x  suy  Phương trình hoành độ giao điểm  và (P):  x2  2 x  n  x  x  2n  (*) Để  và ( P ) có điểm chung thì phương trình (*) có nghiệm thì     2n   n  (thỏa mãn) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 112 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Vậy m  2; n  Bài 9: Cho đường thẳng (d ) có phương trình y  x  và parabol ( P ) có phương trình y  x2 a) Vẽ đường thẳng (d ) và parabol ( P ) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b) Đường thẳng (d ) cắt ( P ) hai điểm A và B (với A có hoành độ âm, B có hoành độ dương) Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm A và B Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số (d) và (P) b) Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P): x2  x   x  x    ( x  2)( x  1)   x  x  1 Với x   y   B(2; 4) (vì B có hoành độ dương) Với x  1  y   A(1;1) (vì A có hoành độ âm) Vậy A(1;1) ; B (2; 4) Bài 10: Cho hai hàm số y  x2 và đồ thị hàm số ( P ) và y  x  có đồ thị (d ) a) Vẽ đồ thị ( P ) b) Gọi A, B là các giao điểm hai đồ thị ( P ) và (d ) Biết đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất các điểm M trên tia Ox cho diện tích tam giác MAB 30 cm2 Hướng dẫn giải a) Vẽ đồ thị: HS tự vẽ b) Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) là: x  x   x2  x     (1)2  (8)   Phương trình có nghiệm phân biệt: x  4; x  2 Với x  2 ta có y   A( 2; 2) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 113 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Với x  ta có y   B(4;8) Gọi M (m; 0) thuộc tia Ox(m  0) Gọi C (2;0), D(4; 0) Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có S AMB  S ABDC  S ACM  SBDM Có ABDC là hình thang, AC  2cm, BD  8cm, CD  6cm ⇒ S ABDC  (2  8)   30 cm2   Suy S AMB  30 cm2 (loại) Trường hợp 2: M thuộc tia Dx ( M  D)  m  Ta có : S AMB  S ABDC  S ACM  SBDM Có S ABCD  30cm2 , MC  m  2(cm), MD  m  4(cm) Suy 1 AC.CM  2.(m  2)  m  2(cm2 ) 2 1 SBDM  BD.DM  8.(m 4)  4(m 4)(cm2 ) 2  S AMB  30cm  S ACM  S BDM  m   4(m  4)  m  S ACM  m = (thỏa mãn) Vậy M (6;0) là điểm cần tìm Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  3x  m  và parabol ( P) : y  x2 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 là hoành độ các giao điểm (d ) và (P) Tìm m để  x1  1 x2  1  Hướng dẫn giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm (d ) và ( P ) x2  3x  m2 1  x2  3x  m2   0(*)    m    m  0m Toán Hải TH&THCS Dong Khe 114 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Suy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với m hay (d ) luôn cắt ( P ) hai điểm phân biệt với m b) Ta có:  x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x1   (**)  x1  x2   x1 x2   m  Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):  (**)  m2     m2   m  2 Vậy m  2 Bài 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( P) : y   x a) Vẽ parabol ( P ) b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B đường thẳng (d ) : y   x  và ( P ) Tìm toạ điểm M trên ( P ) cho tam giác MAB cân M Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình đường trung trực  d ' AB , tìm giao điểm  d ' và ( P ) ta tìm giao điểm M Hoành độ các giao điểm A, B đường thẳng (d ) : y   x  và (P) là nghiệm phương trình:  x   x   x  x    x  1 x  + Với x  1 , thay vào ( P ) ta có: y  (1)2  1 , ta có: A(1; 1) + Với x  , thay vào ( P ) ta có: y  (2)2  4 , ta có: B (2; 4)  5  Suy trung điểm AB là: I  ;  2  Đường thẳng  d ' vuông góc với (d) có dạng: y  x  b Vì  d ' qua I nên: 5   b  b  3 2 Vậy  d ' : y  x  Phương trình hoành độ  d ' và (P) là: x  x    x  + Với x  1  13 7  13 y 2 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 1  13 115 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 + Với x  1  13 7  13 y 2  1  13 7  13   1  13 7  13  ; ;  và   2 2     Vậy có hai điểm M cần tìm là:  Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  x  m  và parabol ( P) : y  x2 a) Tìm m để (d ) qua điểm A(0;1) b) Tìm m để đường thẳng (d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hoành độ lần 1 1    x1 x2    x1 x2  lượt là x1 x2 thỏa mãn:  Hướng dẫn giải a) Thay x  0; y  vào phương trình đường thẳng (d ) ta được: m  b) Phương trình hoành độ giao điểm (d ) và ( P ) là: x2  x  (m 1)  0(*) Để (d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt    4m    m   x1  x2   x1 x2  (m  1) Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:  1 1 x x  m2     x1 x2       x1 x2    m   x1 x2   x1.x2  Theo đề bài:   m  m   ( Điều kiện: m  )  m  3 (loại) m  (thỏa mãn) Vậy m  là giá trị cần tìm Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( P) : y   x và đường thẳng (d ) : y  3mx  (với m là tham số) a) Tìm m để đường thẳng (d ) qua điểm A(1;3) b) Xác định các giá trị m để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt cho tổng tung độ hai giao điểm đó 10 Hướng dẫn giải a) Đường thẳng (d ) qua A(1;3) nên  3m 1   m  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 116 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b) Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng (d ) và Parabol ( P ) là:  x2  3mx   x  3mx   0(*) Ta có   9m  12  , với m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Do đó, đường thẳng (d ) và Parabol ( P ) cắt hai điểm  x1; y1  và  x2 ; y2  Theo định lý Vi-ét ta có: x1  x2  3m; x1  x2  3 Theo bài ta có: y1  y2  10   x12  x22  10   x1  x2   x1 x2  10  9m   10 m Vậy m   là giá trị cần tìm Bài 15: Cho parabol ( P) : y  x2 và đường thẳng (d ) có phương trình: y  2(m  1) x  3m  a) Tìm tọa độ giao điểm ( P ) và (d ) với m  b) Chứng minh ( P ) và (d ) luôn cắt điểm phân biệt A và B với m c) Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm A và B Tìm m để x12  x22  20 Hướng dẫn giải a) Thay m  ta (d ) : y  x  Phương trình hoành độ giao điểm ( P ) và (d ) m  là x2  8x   x2  8x   Giải phương trình ta x1  1; x2  Với x1   y1  1; x2   y2  49 Tọa độ giao điểm ( P ) và (d ) là (1;1);(7; 49) b) Xét phương trình hoành độ giao điểm ( P ) và (d ) là: x2  2(m  1) x  3m   (1)  11    m  2m   3m   m  m    m     0m 2  Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m suy ( P ) và (d ) luôn cắt điểm phân biệt A, B với m c) Ta có: x1; x2 là nghiệm phương trình (1) vì   m Theo Vi-et ta có: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 117 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x1  x2  2m    x1 x2  3m  2 x12  x22  20   x1  x2   x1 x2  20  (2m  2)  2(3m  2)  20 m   2m  m    (m  2)(2m  3)    m  3  Vậy m  m  Bài 16: 3 là giá trị cần tìm Cho parabol ( P) : y  x2 và đường thẳng (d ) : y  2(m  3) x  2m  ( m là tham số) a) Với m  5 , tìm tọa độ giao điểm parabol ( P ) và đường thẳng (d ) b) Chứng minh rằng: với m parabol ( P ) và đường thẳng (d ) cắt hai điểm phân biệt Tìm m cho hai giao điểm đó có hoành độ dương c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d ) luôn qua với m Hướng dẫn giải a) Với m  5 (d ) có phương trình y  4 x  12 Hoành độ giao điểm ( P ) và (d ) là nghiệm phương trình:  x  6 x  4 x  12  x  x  12   ( x  6)( x  2)    x   x  6  y  36 x   y  Vậy với m  5 thì ( P ) và (d ) cắt hai điểm (6;36), (2; 4) b) Hoành độ giao điểm ( P ) và (d ) là nghiệm phương trình: x2  2(m  3) x  2m   x2  2(m  3) x  2m   0(1)   (m  3)2  (2m  2)  m2  4m  11  (m  2)2   0m Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt với m suy ( P ) và (d ) cắt hai điểm phân biệt x1; x2 là hai nghiệm phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có:  x1  x2  2(m  3)   x1 x2  2m  Hai giao điểm đó có hoành độ dương và  x1  x2  2(m  3)   m  3    m 1   2m   m   x1 x2  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 118 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Vậy với m  thì ( P ) và (d ) cắt hai điểm phân biệt với hoành độ dương c) Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua với m là  x0 ; y0  ta có: y0  2(m  3) x0  2m  m  m  x0    x0  y0   m 2 x   x    6 x0  y0    y0  Vậy với m thì đường thẳng (d ) luôn qua (1;8) Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  mx  tham số m và Parabol ( P) : y  x2 a) Tìm m để đường thẳng (d ) qua điểm A(1;0) b) Tìm m m để đường thẳng (d )  d  cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hoành độ là x1; x2 thỏa mãn x1  x2  Hướng dẫn giải a) Đường thẳng (d ) qua điểm A(1;0) nên có  m 1   m  b) Xét phương trình hoành độ giao điểm (d ) và ( P) : x  mx   Có   m2  12 (d ) cắt P) hai điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x2 m    m  12   m  12    m  2  x1  x2  m  x1 x2  Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có:  Theo bài ta có 2 x1  x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2   m2  4.3   m  16  m  4 Vậy m  4 là giá trị cần tìm Bài 18: Cho hàm số y  ax có đồ thị ( P ) và đường thẳng (d ) : y  mx  m  a) Tìm a để đồ thị P) qua điểm B (2; 2) Chứng minh đường thẳng (d ) luôn cắt đồ thị ( P ) hai điểm phân biệt C và D với giá trị m Toán Hải TH&THCS Dong Khe 119 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b) Gọi xC và xD là hoành độ hai điểm C và D Tìm các giá trị m cho xC2  xD2  xC xD  20  Hướng dẫn giải a) ( P ) qua điểm B (2; 2) nên ta có: 2  a.22  a  Vậy ( P ) : y  1 1 x b) Phương trình hoành độ giao điểm ( P ) và (d ) là: 1 x  mx  m   x  2mx  2m   (*)   m2  (2m  6)  m2  2m   (m  1)   m Do đó, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt C và D với giá trị m  xC  xD  2m  xC xD  2m  b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có:  Theo giả thiết xC2  xD2  xC xD  20    xC  xD   xC xD  20   (2m)2  4(2m  6)  20   4m2  8m    4(m  1)   m  Vậy với m  thỏa mãn yêu cầu bài toán  PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài F.01 Cho hàm số y  ax  a   có đồ thị parabol ( P) a) Xác định a để ( P) qua điểm A( ; 4 ) b) Với giá trị a vừa tìm trên hãy: i) Vẽ ( P) trên mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm các điểm trên ( P) có tung độ -2; iii) Tìm các điểm trên ( P) cách hai trục tọa độ Bài F.02 Cho hàm số y  ( m  1) x m  1 có đồ thị là ( P) a) Xác định m để ( P) qua điểm A( ;1) ; b) Với giá trị m vừa tìm trên, hãy: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 120 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 i) Vẽ ( P) trên mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm các điểm trên ( P) có hoành độ 1; iii) Tìm các điểm trên ( P) có tung độ gấp đôi hoành độ Cho hàm số y  ax  a   có đồ thị parabol ( P) Bài F.03 a) Tìm hệ số a biết ( P) qua điểm M(2; ) b) Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tạ độ và điểm N(2;4) c) Vẽ ( P) và d tìm các câu a) và b) trên cùng hệ trục tọa độ d) Tìm tọa độ giao điểm ( P) và d các câu a) và b) Cho ( P ) : y  x và d : y  Bài F.04 x a) Vẽ ( P) và d trên cùng hệ trục tọa độ; b) Xác định tọa độ giao điểm ( P) và d ; x Cho Parabol ( P) : y  x và đường thẳng (d ) : y  x  c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình x  Bài F.05 a) Vẽ đồ thị ( P) b) Viết phương trình đường thẳng  d1  biết  d1  song song với đường thẳng (d) và  d1  tiếp xúc ( P) Bài F.06 Cho parabol ( P) : y  x và đường thẳng d : y  x  a) Vẽ parabol P) và đường thẳng (d) trên cùng trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và qua A(1; 2) Bài F.07 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol ( P) : y  x và đường thẳng (d ) : y  x  a) Vẽ đồ thị ( P) b) Gọi A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  là các giao điểm  P  với  d  Tính giá trị biểu thức T  Bài F.08 x1  x2 y1  y2 Cho parabol ( P) : y  x và đường thẳng (d) y  2ax  4a (với a là tham số ) a) Tìm tọa độ giao điểm (d ) và ( P) a   Toán Hải TH&THCS Dong Khe 121 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b) Tìm tất các giá trị a để đường thẳng (d ) cắt ( P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Cho hai hàm số y  x và y  mx  , với m là tham số Bài F.09 a) Khi m  , tìm tọa độ các giao điểm hai đồ thị hàm số trên b) Chứng minh với giá trị m, đồ thị hai hàm số đã cho luôn cắt hai điểm phân biệt A1  x1 ; y1  và A2  x2 ; y2   y1    y2  Bài F.10 Tìm tất các giá trị m cho  72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P) có phương trình y  x và hai điểm A, B thuộc ( P)  P  có hoành độ là xA  1, xB  a) Tìm tọa độ hai điểm A, B b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) Bài F.11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P) có phương trình y  x và hai điểm A, B thuộc ( P)  P  có hoành độ là xA  1, xB  a) Tìm tọa độ hai điểm A, B b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) Bài F.12: Cho hàm số y  x có đồ thị là ( P) và hàm số y   x  có đồ thị là (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm A, B (P) và (d) ; (hoành độ A nhỏ hoành độ B) Gọi C và D là hình chiếu vuông góc A và B trên trục hoành, tính diện tích tứ giác ABC Bài F.13: Cho hàm số y   x có đồ thị (P) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Cho đường thẳng y  mx  n() Tìm m, n để đường thẳng () song song với đường thẳng y  2 x  5(d ) và có điểm chung với đồ thị ( P) Bài F.14: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( P) : y   x a) Vẽ parabol ( P) b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B đường thẳng (d ) : y   x  và ( P) Tìm toạ điểm M trên (P) cho tam giác MAB cân M Toán Hải TH&THCS Dong Khe 122 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài F.15: Cho parabol (P): y  x và đường thẳng (a) : y  2 x  a) Vẽ (P) và (a) trên cùng hệ trục toạ độ b) Xác định đường thẳng (d ) biết đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (a ) và Chủ đề cắt parabol (P) điểm có hoành độ 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG G PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy phương trình bậc hai 1.1 Giải phương trình bậc hai Đối với đề toán là giải phương trình với phương trình là phương trình bậc hai đơn giản (có dạng tổng quát ax  bx  c  ), học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa giải phương trình tích, sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) và sử dụng cách nhẩm nghiệm để giải bài toán Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn là phương trình có dạng ax  bx  c  , đó x là Toán Hải TH&THCS Dong Khe 123 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 ẩn; a, b, c là số cho trước gọi là các hệ số và a  Công thức nghiệm phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  (a  0) và biệt thức   b2  4ac :  Nếu  > thì phương trình có nghiệm phân biệt x1  b   ; x2  b   2a  Nếu  = thì phương trình có nghiệm kép x1  x2   2a b 2a  Nếu  < thì phương trình vô nghiệm Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì  > Khi đó phương trình có nghiệm phân biệt Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax  bx  c  (a  0) và b  2b ,   b2  ac :  Nếu  > thì phương trình có nghiệm phân biệt x1   b    b   ; x2  a a b a  Nếu  = thì phương trình có nghiệm kép x1  x2    Nếu  < thì phương trình vô nghiệm Bài 1: Giải phương trình: a) x  x   b) x  x   Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 3x  x    3x  x  x    3x( x  2)  ( x  2)   x 3 x     (3 x  1)( x  2)      x    x  2 Vậy tập nghiệm phương trình là S  2;   3 Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai Toán Hải TH&THCS Dong Khe 124 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Ta có a  3; b = 5; c = -2 ;   b2  4ac  52  4.3.(2)  25  24  49  Vậy phương trình đã cho có nghiệm phân biệt: x1  b   5  49 5      2a 2.3 6 x2  b   5  49 5  12     2 2a 2.3 6 Vậy tập nghiệm phương trình là S  2;   3 b) Phương pháp 1: Đưa giải phương trình tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: x  x    x  x  x    x( x  1)  ( x  1)   x 5 x     (5 x  1)( x  1)       x 1  x  1 Vậy tập nghiệm phương trình là S  1;   5 Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn ( công thức nghiệm tổng quát) để giải: Ta có a  5; b =   b' = b 6 = = -3; c = 2  '  b2  ac  (3)  5.1     Vậy phương trình đã cho có nghiệm phân biệt: x1  b '  ' (3)      1; a 5 x2  b '  ' (3)      a 5 Phương pháp 3: Giải cách nhẩm nghiệm Ta có a  5; b =  6; c = và a  b  c   (6)   Vậy phương trình đã cho có c a nghiệm phân biệt là x1  và x2   Toán Hải TH&THCS Dong Khe 125 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 1.2 Giải phương trình quy phương trình bậc hai 1.2.1 Phương trình trùng phương Cho phương trình: ax  bx  c  ( a  ) (1) Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ: Đặt t  x (t  0) Ta phương trình: at  bt  c  (2) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có nghiệm dương thì phương trình trùng phương có nghiệm Nếu phương trình trung gian có nghiệm dương, nghiệm âm có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có nghiệm Nếu phương trình trung gian có nghiệm âm vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm Cụ thể: Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm dương phân    biệt   P  S   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có nghiệm dương và    nghiệm   P  S   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có một nghiệm kép        S     S  dương có hai nghiệm trái dấu      a.c     P  Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm kép có nghiệm không và nghiệm còn lại âm Toán Hải TH&THCS Dong Khe 126 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10     S    P      P     S  Phương trình (1) có vô nghiệm  phương trình (2) vô nghiệm có hai nghiệm âm        P     S  Nếu phương trình có nghiệm thì tổng các nghiệm luôn và tích các nghiệm luôn c a Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương cách đưa giải phương trình tích: A  B  Biến đổi đưa dạng phương trình tích : A.B    Giải phương trình: x  13 x  36  (1) Bài 1: Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt t  x ( điều kiện: t  ) phương trình (1) có dạng : t  13t  36  Ta có a  1; b  13; c  36   b  4ac  (13)2  4.1.36  25      t1  t2  b   (13)    (thỏa mãn điều kiện t  ) 2a b   (13)    (thỏa mãn điều kiện t  ) 2a Với t1   x   x    x  3 Với t2   x2   x    x  2 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 127 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1  2 ; x2  3; x3  2; x4  Cách 2: x  13 x  36  (1)  ( x  12 x  36)  x   ( x  6)2  x   ( x   x)( x   x)   x2   x   x   x  Giải phương trình: x – x –  ta nghiệm: x1  2; x2  Giải phương trình: x  x –  ta nghiệm: x3  2; x4  3 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1  3; x2  2; x3  2; x4  Giải phương trình: x  x –  (1) Bài 2: Hướng dẫn giải Đặt t  x ( điều kiện: t  ) phương trình (1) có dạng : 5t  3t   Ta có a  5; b  3; c  2   b  4ac  (3)2  4.5.(2)  49      t1  t2  b   3    (thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.5 b   3    1 (không thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.5 Với t1  2  x2   x   5 Với t2  1 (loại) Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1  Bài 3: 2 ; x2   5 Giải phương trình: x  x   (1) Hướng dẫn giải Đặt t  x (điều kiện: t  ) phương trình (1) có dạng : Toán Hải TH&THCS Dong Khe 128 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 t  5t   Ta có a  1; b  5; c    b  ac   4.1.6       t1  t2  b   5    2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.1 b   5    3 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t  ) 2a 2.1 Vậy phương trình (1) vô nghiệm 1.2.2 Giải phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải: Thực các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Trong các giá trị tìm ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm phương trình đã cho Giải phương trình: Bài 1: 2x x2  x   b x  (x  1)(x  4) 14 a   x 9 3 x Hướng dẫn giải a 14  1 x 9 3 x ĐKXĐ : x  3  14  1 ( x  3)( x  3) x 3  14 ( x  3)( x  3)  ( x  3)  ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)  14   x – 3 x  3   x  3  x –  x  – 14   x  x – 20  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 129 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Ta có: a  1; b  1; c  20   b – ac  – 4.1  –20   81     81   Phương trình có nghiệm có nghiệm phân biệt : x1  b   1    (thỏa mãn điều kiện) 2a 2.1 x2  b   1    5 (thỏa mãn điều kiện) 2.a 2.1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x1  ; x2  –5 2x x2  x   b x  (x  1)(x  4) ĐKXĐ: x  –1 và x  2x x2  x   x  (x  1)(x  4)  x( x  4) x2  x   ( x  1)( x  4) ( x  1)( x  4)  x  x – 4  x2 – x   2x2 – 8x – x2  x –   x2 – x –  Ta có: a  1; b  7; c  8 a – b  c  1–  –7    –8   Phương trình có nghiệm : x1  –1 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ) x2  c  (thỏa mãn ĐKXĐ) a Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 130 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 1.2.3 Giải phương trình đưa phương trình tích Phương pháp: Biến đổi phương trình ban đầu dạng phương trình tích sau đó giải các phương trình A  B  Tổng quát: A.B    Giải phương trình Bài 1: a) ( x  3)( x  3x  1)  b) x  x – x   c)  x  3 –10 x3 –15x  d) x  13 x  36  Hướng dẫn giải a) ( x  3)( x  3x  4)   x   x  x   +) x    x1  +) x  x   (1) Ta có a  1; b  3, c  4 và a  b  c    ( 4)  Phương trình (1) có hai nghiệm: x2  1; x3  c  4 a Kết luận: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x1  3; x  1; x3  4 b) x  x – x –   x  x  3 –  x  3    x  3  x –    x   x –  +) x    x1  3 +) x –   x   x2  x3   Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x1  3 ; x2  2; x3   2 c  x  3 –10 x3 –15x  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 131 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10   x2  3 – 5x  x  3   2x  3 x  – x   2x2   x – x   +) x    x  –3  x  1,5 (vô nghiệm) +) x – x   Có a  2; b  5; c  và a  b  c  –   Phương trình có nghiệm: x1  ; x2  c  a Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x1  ; x2  d) x  13 x  36  (1)  ( x  12 x  36)  x   ( x  6)2  x   ( x   x)( x   x)   x2  x    x  x   Giải phương trình: x – x –  ta nghiệm: x1  2; x2  Giải phương trình: x  x –  ta nghiệm: x3  2; x4  3 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1  3; x2  2; x3  2; x4  1.2.4 Giải phương trình chứa bậc hai a) Phương trình chứa bậc hai đơn giản (quy phương trình bậc hai) Phương pháp: Đặt ẩn phụ và biến đổi phương trình ban đầu trở thành phương trình có dạng ax2  bx  c  Bài 1: Giải phương trình: a) x  29 x  52  b) x  x    Hướng dẫn giải a) x  29 x  52  Điều kiện x  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 132 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Đặt x  t (điều kiện: t  ), Khi đó phương trình đã cho trở thành: 4t  29t  52  (1) có a  4; b  29; c  52 và   b2  4ac   29   4.4.52   ;   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: t1  b   29    (thỏa mãn điều kiện t  ); 2a 2.4 t2  b   29  13   (thỏa mãn điều kiện t  ); 2a 2.4 Với t1   x   x  16 (t/m) Với t2  13 13 169  x  x (t/m) 4 16 KL: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1  16 ; x2  169 16 b) x  x    Điều kiện: x    x  1 x  x      x  1  x    Đặt t  x  , điều kiện: t  Phương trình đã cho trở thành: t  2t   (1) có a  1; b  2; c  8 ;  '  b '2  ac     ;  '  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: (thỏa mãn điều kiện t  ) t2  b '     2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t  ) a Với t   x    x   16  x  15 (t/m) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  15 b) Phương trình vô tỉ Phương pháp chung là bình phương hai vế để khử dấu Cần thử lại để loại trừ nghiệm ngoại lai (ngoài có thể dùng cách đặt ẩn phụ đưa phương trình không có dấu giống phần a – dạng ý b bài toán 1) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 133 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Đặc biệt phương trình: B( x )  A( x )  B( x )    A( x )   B( x ) Ta có thể đem bình phương hai vế để giải bài toán tương đương hai vế cùng dương Bài 1: Giải phương trình: a) x  x   c) 25  x  x  b)  x  x  x  d) x    x   x Hướng dẫn giải x  x   2 x   x x  2x   a) x  x    x   x   x    x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x   x  1 hoÆc x  b)  x  x  x  x   x  x    x 3    2  x  hoÆc x  4  x  x  ( x  2)  x  3x  c) 25  x  x  x 1  x  x      x4 2  x  hoÆc x  3 25  x  ( x  1) 2 x  x  24  d) x    x   x  x    2x   x 1    4  x   4  x  2    x    x  (1  x)(1  x )   x  (1  x)(1  x)  x    Toán Hải TH&THCS Dong Khe 134 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  4  x     x    2  x     x0  x   x   (1  x)(1  x)  x  x     1.2.5 Giải phương trình chứa dấu GTTĐ - Ta thường xét dấu các biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên khoảng Giải phương trình trên khoảng đó - Có thể đặt ẩn phụ Giải phương trình Bài 1: a) x  x   b) x   x  x  Hướng dẫn giải a) x  x    x 1   x2 1  x   1  x  1  x  x        x    x    x  hoÆc x    x   x   (1  x )    x  hoÆc x  2 x     x     Vậy phương trình có nghiệm: x1  1; x2  b) x   x  x   x   x  5x   x  x  15  x      x  2   x    x  5x   x  4x   Vậy phương trình có nghiệm: x1  1; x2  Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng a) Nếu x1; x2 là hai nghiệm phương trình ax  bx  c   a   thì x1  x2  x1.x2  c a Toán Hải TH&THCS Dong Khe b và a 135 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b) Muốn tìm hai số u và v , biết u  v  S; uv  P , ta giải phương trình: x  Sx  P  (Điều kiện để có u và v là S  P  ) c) Nếu a  b  c  thì phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1; x2  c a Nếu a  b  c  thì phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1; x2  c a Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất tổng và tích các nghiệm từ đó tính giá trị biểu thức Các hệ thức thường gặp: x12  x2   x12  x1.x2  x2   x1.x2   x1  x2   x1.x2  S  P x1  x2    x1  x2   x1 x2   S  P x2  x1    x1  x2   x1 x2   S  P x12  x2   x1  x2  x1  x2     x1  x2   x1  x2   x1 x2   S S  P x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2    x1  x2   x1  x2   3x1.x2   S  S  3P    2 2 x14  x2   x12    x2    x12  x2   x12 x2   x1  x2   x1 x2   x12 x22     S  2P   2P2 1 x1  x2 S    x1 x2 x1 x2 P 1 x2  x1    x1 x2 x1 x2  x1  x2   x1 x2 x1 x2 S  4P  P  x1  x2  x1 x2 x12  x2  x1  x2  x1  x2      x2 x1 x1 x2 x1 x2  x1  x2   x1 x2 x1 x2 x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2    x1  x2   x1  x2   x1.x2    Toán Hải TH&THCS Dong Khe  S S  4P P 136 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10     x1  x2    x1 x2  x1  x2   x1.x2        S  P  S  P   x14  x2   x12    x2    x12  x2  x12  x2     S  P  S S  4P  … Bài 1: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình: x2  x    Không giải phương trình, tính các giá trị các biểu thức sau: A 1  ; x1 x2 C  x1  x2 ; B  x12  x2 ; D  x13  x23 Hướng dẫn giải Ta có a  1; c      Và a.c  nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt  b   S  x1  x2  a  1 Theo Vi-et có:   c  P  x1 x2   2    a   A x  x1 1 1    x1 x2 x1 x2 2    B  x12  x2   x1  x2   x1 x2   2    C  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2    1 2     2   2 1   2  2 1  2 1  D  x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   1  2   7  Bài 2: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình: x  3x   Không giải phương trình a) Tính các giá trị các biểu thức sau: A 1 B  x12  x2  x1  x2  C  x1  x2 D  x13  x23 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 137 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 F  3x1  x2 3x2  x1  E  x14  x2 b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 và x1  x2  Hướng dẫn giải a) Ta có a  1; c  7 Và a.c  nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt  b   S  x1  x2  3   a Theo hệ thức Vi-et ta có:   c  P  x1 x2   7   a   A x2  x1  1    x1  x2  x1 x2   x1  x 2  9 B  x12  x2   x1  x2   x1 x2  23 C  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  37 2 D  x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   72 E  x14  x2   S  P  P  527 F  3x1  x2 3x2  x1   10 x1 x2  3 x12  x22   1  x2  x1  1   S      x1  x2 1 x1 x2   x1  x 2  9 b) Ta có:   1  P     x1 1 x2 1 9   Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 1 và là: X  X   9 x1  x2  Bài 3: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình: x  x   Không giải phương trình, tính các giá trị các biểu thức sau: A  3x1  x2 3x2  x1  Toán Hải TH&THCS Dong Khe B x2 x  x1 1 x2 1 138 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 D C  x1  x2 x1  x2   x1 x2 Hướng dẫn giải Ta có a  3; c  6 Và a.c  nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt  b 5   S  x1  x2     a Theo Vi-et có:   c  P  x1 x2   2   a   A  3x1  x2 3x2  x1   13x1 x2   x12  x22   13P   S  P  200  x2  x1   x1 x2   x2  x1   38 x x B    x1  x2  x1 x2   x1  x 2  C  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  D 97 x1  x2  2 x1 x2   x1  x2  11    x1 x2 x1 x2 Bài 4: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình: x  x   Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn: y1  x1  x2 và y2  x2  x1 Hướng dẫn giải Xét phương trình x  x   có a.c  3.(6)  nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  b 5    x1  x2  a  Theo Vi-et ta có:   c  x1 x2   2   a    5   S  y1  y2  x1  x2  x2  x1  x1  x2     212  P  y1 y2  2 x1  x2 2 x2  x1   x1 x2   x1  x2   x1 x2          Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 là : Y  Y  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 212 0 139 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình: x  3x 1  Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn:   x12  y    x2  b)   x2   y2   x1     y  x  a)  1    y2  x2  Hướng dẫn giải Xét phương trình x  3x 1  có a.c  3.(6)  nên phương trình đã cho có hai nghiệm  b    x1  x2  a  phân biệt Theo hệ thức Vi-et ta có:   c 1  x1 x2     a    11   S  y1  y2  a) Ta có:   13  P  y1 y2      11 Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 là : Y  Y  13 0    S  y1  y2  b) Ta có:   1  P  y1 y2      Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 là : Y  Y   Dạng 3: Phương trình chứa tham số Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: a) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax  bx  c   a   có: Có nghiệm (có hai nghiệm)    Vô nghiệm    Toán Hải TH&THCS Dong Khe 140 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)    thì b  ) (Nếu a  Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)    Hai nghiệm cùng dấu    và P  Hai nghiệm trái dấu    và P  (hoặc a.c  ) Hai nghiệm dương (lớn 0)    ; S  và P  Hai nghiệm âm (nhỏ 0)    ; S  và P  Hai nghiệm đối    và S  10 Hai nghiệm nghịch đảo    và P  11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c  và S 0 12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn  a.c  và S 0 b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho x1  px2  3 (với p là số thực) 1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2- Áp dụng định lý Vi – ét tìm: x1  x2  b c (1) và x1.x2  (2) a a b   x1  x2  3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:  a  x1 ; x2  x1  px2 4- Thay x1 và x2 vào (2)  Tìm giá trị tham số c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: x1  x2  k  k  R  2 - Bình phương trình hai vế:  x1  x2   k    x1  x2   x1 x2  k - Áp dụng định lý Vi-ét tính x1  x2 và x1 x2 thay vào biểu thức  kết luận d) Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m ; - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt Toán Hải TH&THCS Dong Khe 141 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 - Áp dụng định lý Vi-ét tìm x1  x2  b c (1) và x1.x2  (2) a a - Biến đổi kết không chứa tham số 4) So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số bất kỳ: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (   ) Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1  x2 và x1 x2 (*) +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm    x1      x2       x1     x2     Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm    x1      x2       x1     x2     Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm, đó có nghiệm x1   , nghiệm x2     x1     x2     Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m Bài 1: Cho phương trình x   2m  1 x  m2   ( x là ẩn số) a) Tìm điều kiện m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình đã cho thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 Hướng dẫn giải a)    2m  12   m  1   4m Phương trình có hai nghiệm phân biệt     4m   m  b) Phương trình có hai nghiệm  m   x1  x2  2m  (*) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  Theo đề bài:  x1  x2   x1  3x2 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 142 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10   x1  x2   x1 x2  x1  3x2   2m  1   m  1  x1  x2  x1  3x2   4m (**) m 1  x1   x  x  m    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:    x1  x2   4m  x  3(m  1)  2 Mặt khác ta có: x1 x2  m   m  3(m  1)   m2  2   m2  1   m  1  m    m  1 Kết hợp với điều kiện m   m  1 (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm Vậy với m  m  1 thì phương trình đã cho có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:  x1  x2   x1  3x2 Phân tích: Đối với yêu cầu đề toán, sau ta từ hệ thức Vi-et ta phương trình liên hệ x1, x2 thì ta lập hệ phương trình từ đó giải hệ phương trình c a với ẩn x1; x2 ta tìm x1; và x2 Thay vào phương trình x1.x2  ta giải tham số cần tìm Bài 2: Tìm m để phương trình x  x  3m   ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  3x1 x2  75 Hướng dẫn giải   52  4.1  3m  1  29  12m Để phương trình có hai nghiệm     29  12m  m  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 29 12 143 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x1  x2  5  x1 x2  3m  Áp dụng hệ thức Vi-ét  Ta có: x13  x23  3x1 x2  75     x1  x2   x1  x2   x1 x2  3x1 x2  75   x1  x2  25  x1 x2   3x1 x2  75   x1  x2   75  3x1 x2  25  x1 x2    x1  x2   78  9m 75  3(3m  1)   x1  x2   26  3m  25  (3m  1)   x1  x2   3(26  3m)  x1  x2  26  3m Kết hợp x1  x2  5 suy x1  1; x2  4 Thay vào x1x2  3m  suy m  m (thỏa mãn 29 ) 12 Vậy m  Bài 3: là giá trị cần tìm Cho phương trình x  10mx  9m  ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m  b) Tìm các giá trị tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1  x2  Hướng dẫn giải a) Với m  phương trình đã cho trở thành x  10 x   x 1 Ta có a  b  c  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là   x2  b)  '   5m   1.9m  25m2  9m Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là  '   25m2  9m  (*) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 144 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1  x2  10m (*)  (**)  x1 x2  9m  x1  x2  10m 10 x2  10m  x2  m    x1  x2   x1  x2  x1  9m từ (*) và giả thiết x1  x2  ta có hệ phương trình:  m  m  Thay vào phương trình (**) ta có: x1x2  9m 9m2  9m  9m(m  1)    Với m  ta có  '  25m  9m  không thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt Với m  ta có  '  25m  9m  16  thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt Kết luận: Vậy với m  thì phương trình đã cho có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa điều kiện x1  x2  Bài 4: Cho phương trình x2  2(m  1) x  m2  m 1  ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m  1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện   x1 Hướng dẫn giải a) Với m  , phương trình đã cho trở thành: x  x    '  ; x1,2   Vậy với m  thì nghiệm phương trình đã cho là x1,2   b)  '  m  Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt     m    m  2  x1  x2  2( m  1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m  m  Do đó: Toán Hải TH&THCS Dong Khe x2 145 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 x x 1 2( m  1)  4 4 4 x1 x2 x1 x2 m  m 1 m  m  m   m  m      m   m   2(m  m  1) 2m  m    Kết hợp với điều kiện  m  1;   là các giá trị cần tìm 2  Bài 5: Cho phương trình x  mx  m2  4m   ( m là tham số) 2 a) Giải phương trình đã cho với m  1 1 b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn   x1  x2 x1 x2 Hướng dẫn giải a) Với m  1 phương trình trở thành x  x    x2  x   2  '  10  Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt x1  1  10; x2  1  10 b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì   1     m    m  4m  1   8m    m  2  Để phương trình có nghiệm khác  m2  4m    m1  4    m2  4   x1  x2  2m Áp dụng hệ thức Vi-et ta có   x1 x2  m  8m  Theo bài có  x1  x2  1   x1  x2   x1  x2  x1 x2  1    x1 x2  x1 x2   m   2m     m  4  19 m  8m    m  4  19 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 146 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Kết hợp với điều kiện m  ; m1  4  2; m2  4  ta m  0; m  4  19 Vậy m  0; m  4  19 là các giá trị cần tìm Cho phương trình x2  2(m 1) x  m2   ( m là tham số) Bài 6: a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cho nghiệm này ba lần nghiệm Hướng dẫn giải a) Phương trình đã cho có nghiệm và  '      m  1    m2  3   2 m   m2 Vậy m  thì phương trình đã cho có nghiệm b) Với m  thì phương trình đã cho có hai nghiệm Gọi nghiệm phương trình đã cho là a thì nghiệm là 3a Theo hệ thức Vi-ét, a  3a  2m  (1)  a.3a  m  (2) ta có:  m 1 Từ phương trình (1)  a  vào phương trình (2) ta có 2  m 1  3   m 3    m  6m  15  có  '  24  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: m2  3  6; m2  3  (thỏa mãn điều kiện m  ) Vậy m  3  là các giá trị cần tìm Bài 7: Cho phương trình x  x  m   ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Tính tổng và tích hai nghiệm phương trình trên theo m c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1  3x2 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 147 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Hướng dẫn giải a) Ta có  '  12   m  1   m   m   , với m Vì  '  , với m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Với m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2  S  x  x    2  a   P  x x  c  m   m2  1  a c) Ta có x1  x2  2 (do trên) và x1  3x2 nên ta có hệ phương trình sau:  x  x  2  x  x  2  x1  x2  2      x1  x2   x1  x2   x1  3 x2  x   2  x  3  x  x  2     x2  2 x2  2  x2   * Thay * vào biểu thức x1 x2  m  ta được:  3  m2   m2   m   Vậy m   là các giá trị cần tìm Bài 8: Cho phương trình x2  2(m 1) x  m   ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị nhỏ P  x12  x22 (với x1 , x2 là nghiệm phương trình đã cho) Hướng dẫn giải a)      m  1    m  3  m  3m    m     , m 2  ' 2 Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt  x1  x2  2(m  1)  x1  x2  2m    x1 x2  m  2 x1 x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 148 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x1  x2  x1 x2   không phụ thuộc vào m 2 c) P  x12  x22   x1  x2   x1 x2   m  1   m  3  4m  8m   2m   15 15   4m  10m  10   2m     , m 2 4  Do đó Pmin  Vậy Pmin  Bài 9: 15 5 và dấu "  " xảy 2m    m  4 15 với m  4 Cho phương trình x   2m   x  2m  ( m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Hướng dẫn giải Phương trình x   2m   x  2m   x   m  1 x  2m  Điều kiện PT có nghiệm không âm x1 , x2 là m    '     x1  x2   2(m  1)   m  x x   2m     x  x   m  1 Theo hệ thức Vi-ét:   x1 x2  2m Ta có x1  x2   x1  x2  x1 x2   2m   2m   m  (thoả mãn) Vậy m  là giá trị cần tìm Bài 10: Cho phương trình x   m  1 x  2m   ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 149 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) Ta có    2  m  1   4.1  2m  5  4m2  12m  22 2   2m   2.2m.3   13   2m  3  13  , m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m  x1  x2  2m  (I)  x1 x2  2m  b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có   x1     x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2    (II) x    Theo giả thiết x1   x2   Thay (I) vào (II) ta có:  2m  5   2m      0.m   , đúng với m Vậy với m thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 Cho phương trình x  mx   (1) ( m là tham số) Bài 11: a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm phương trình (1): Tính giá trị biểu thức: P  x12  x1  x22  x2   x1 x2 Hướng dẫn giải a) Ta có a.c   1  1  , với m nên phương trình (1) luôn có nghiệm trái dấu với m b) Ta có x1; x2 là nghiệm phương trình (1) nên ta có: x12  mx1   và x22  mx2    x  mx1  hay  12  x2  mx2  x12  x1  x22  x2  mx1   x1  mx2   x2     Do đó P  x1 x2 x1 x2  x1  m  1 x1  x2  m  1 x2   m  1   m  1  vì x1 , x2  Vậy P  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 150 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 12: Xác định giá trị m phương trình x  x  m  để  là nghiệm phương trình Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn nghiệm Tìm nghiệm còn lại Hướng dẫn giải Do  là nghiệm phương trình nên thỏa mãn phương trình: 4  3   8 4  m   m  13   m  13 Thay m  13 vào phương trình ta phương trình: x  x  13  *  '   4   1.13   x1   Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là:   x2   Vậy x   là giá trị cần tìm Bài 13: Cho phương trình x  x  m   ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  1 Tính nghiệm còn lại b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x13  x23  Hướng dẫn giải a) Vì phương trình x  x  m   có nghiệm x  1 nên ta có: (1)2  2.(1)  m    m    m  6 Ta có phương trình: x2  2x  (6)    x2  2x   Ta có a  b  c  nên phương trình có hai nghiệm: x1  1 ; x2  Vậy m  và nghiệm còn lại là x  b)  '  12  1. m  3  m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '   m  2  x1  x2   x1 x2  m  Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Toán Hải TH&THCS Dong Khe c 3 a 151 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Ta có x13  x23   ( x1  x2 )3  x1 x2 ( x1  x2 )   23  3.(m  3).2   6(m  3)   m3  m  3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m  3 là giá trị cần tìm Cho phương trình x  2mx  m2   ( m là tham số) Bài 14: a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền Hướng dẫn giải 1 a)  '    m 2   m     , m  2 Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m   x1  m  b) Hai nghiệm phương trình là    x2  m   Theo đề bài ta có m  2 2 2 1  m  m  m   m  m   2m   m  2 2 c) Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1; x2 Theo đề bài đó là số đo cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền nên ta có x12  x22  32  Vậy ta có: 2  m  2  2 2  m     m     2m    m         m  2  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 152 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 m  Vậy  là các giá trị cần tìm  m  2 Cho phương trình x  x  m   ( m là tham số) Bài 15: a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Tính tổng và tích hai nghiệm phương trình trên theo m c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1  3x2 Hướng dẫn giải a) Ta có  '  12   m  1   m   m   , với m Vì  '  , với m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Với m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2   S  x1  x2  a   2   P  x x  c  m   m2  1  a c) Ta có x1  x2  2 (do trên) và x1  3x2 nên ta có hệ phương trình sau:  x1  x2  2  x  x  2  x  x  2     x1  x2    x1  x2   x1  3 x2  x  x  2  x   2  x  3     x2   x2  2 x2  2  * Thay * vào biểu thức x1 x2  m  ta được:  3  m2   m2   m   Vậy m   là các giá trị cần tìm Bài 16: Tìm tất các số tự nhiên m để phương trình x  m x  m   ( m là tham số) có nghiệm nguyên Hướng dẫn giải    m2   4.1  m  1  m4  4m  Phương trình có nghiệm nguyên   m  4m  là số chính phương Toán Hải TH&THCS Dong Khe 153 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 m  Nếu  thì   (loại) m  Nếu m  thì    22 (nhận) Nếu m  thì 2m  m     2m2  4m       2m  4m        4m   m  2m     m   m2  1     m2   không là số chính phương Vậy m  là giá trị cần tìm Cho phương trình: x   m   x  m   Bài 17: a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tính theo m biểu thức A  1 tìm m   để A  x1 x2 Hướng dẫn giải a) Ta có:  '     m      m    '   m  4  m   '  m  8m  16  m   '  m2  9m  22 9   '   m     0, m 2  Do  '  0, m nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b  x  x     2  m      m    2m   a   x x  c  m   a Toán Hải TH&THCS Dong Khe 154 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Có: A   1 x1  x2 2m   m    12      x1 x2 x1.x2 m6 m6  m  6   m  6 4    2 m6 m6 m6 m6 Để A thì   suy 4  m   hay m   Ư(4)= 4; 2; 1;1; 2; 4 m6 Lập bảng: m6 4 2 1 m 10 Vậy m 2; 4;5;7;8;10 thì A Bài 18: Cho phương trình: x   m   x  2m  1 với x là ẩn số a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm phân biệt x1, x2 b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức x2  x1  x12 Hướng dẫn giải 2 a) Ta có:  '    m     2m    m    2m  m  4m   2m  m2  2m    m  1   0, m Do  '  0, m nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a    2  m      m    2m    P  x x  c  2m  a Có x1 là nghiệm phương trình nên ta có x12   m   x1  2m   x12   m   x1  2m Theo đề toán: x2  x1  x12  x2  x1   m   x1  2m  2m   x1  x1   m   x1  2m  4  x1   2m   x1 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 155 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x1   x1   2m 1 m Thay x1   1  m  2    vào 1 ,ta được:    m  2     2m  1 m 1 m  1 m    m  1  m  1  m   2m 1  m  1  m  2 0     m  3m    2m 1  2m  m     4m2  12m   2m  4m  2m3   2m3  8m2  14m  12   m3  m  m     m    m  2m  3   m  Vậy m  là giá trị cần tìm Bài 19: Cho phương trình: x  x  2m  1 với x là ẩn số a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức x12  x22 Hướng dẫn giải a) Ta có:  '   12   2m    2m  0,  m Do  '  0, m nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a    2     P  x x  c  2 m    a  x1  x2  x1  2 x2 Có: x12  x22   Toán Hải TH&THCS Dong Khe 156 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  x1   x  x   TH1:  thay vào   Ta được:   2m2 (vô lý)  3  x1  x2  x  2   x1  2 x2  x1   thay vào   Ta được:  2   2m2  m2   m  2 x  x  x     TH2:  Vậy m  2 là giá trị cần tìm Bài 20: Cho phương trình: x – x  m  1 ( m là tham số) a) Giải phương trình trên m  b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  Hướng dẫn giải a) Với m  phương trình 1 trở thành x – x   *   25 – 4.6   Suy phương trình có hai nghiệm: x1  3; x2  b) Ta có:   25  4m Để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 thì    m  25 Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :  x1  x2    x1 x2  m   x1  x2  1   Giải hệ 1 ,  3 :  3   x1  x2   x1  x2   x1  x2    x  x  x1  x2     x1  x2   x1   3  x2    x  5   3   x2  5  4 Từ   và   suy ra: m  Thử lại thì thoả mãn Vậy m  là giá trị cần tìm Bài 21: Cho phương trình x4  (m2  4m) x2  7m   Định m để phương trình có nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất các nghiệm 10 Hướng dẫn giải Đặt X  x  X   Phương trình trở thành X  (m2  4m) X  7m 1  (1) Phương trình có nghiệm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt dương Toán Hải TH&THCS Dong Khe 157 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10     S  P   (m  4m)  4(7m  1)     m  4m  (I) 7 m    Với điều kiện (I), (1) có nghiệm phân biệt dương X1 , X  Phương trình đã cho có nghiệm x1,2   X ; x3,4   X  x12  x22  x32  x42  2( X  X )  2(m  4m) m   m  5 Vậy ta có 2(m2  4m)  10  m2  4m     Với m  , (I) thỏa mãn Với m  5 , (I) không thỏa mãn Vậy m  là giá trị cần tìm Bài 22: Cho phương trình: x   2m  1  m2  m   * a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm âm c) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  50 Hướng dẫn giải a)    2m  12   m  m    25   25  với giá trị m Vậy phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với m  x1 x2  m  m   x1  x2  2m  b) Theo Vi-et ta có:  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 158 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Để phương trình  * có hai nghiệm âm  x1.x2   x1  x2  thì:  m  m    2m   m  3 hoÆc m    m  3  m   Vậy với m  3 thì phương trình * luôn có hai nghiệm âm c) Với   25 suy x1  m  2; x2  m  3 Theo giả thiết, ta có: x13  x23  50   m     m  3  50   3m2  3m    50  1   m1   m2  m      1   m2   Cho phương trình: 2x   2m  1 x  m   Bài 23: a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn 3x1  4x  11 c) Tìm đẳng thức liên hệ x1; x không phụ thuộc vào m d) Với giá trị nào m thì x1; x cùng dương Hướng dẫn giải a) Với m  phương trình trở thành x  3x   Ta có a  b  c     Vậy phương trình có nghiệm x1  1; x2  c 1  a Vậy phương trình có tập nghiệm S  1;    2 b) Ta có   b2  4ac   2m  1  4.2  m  1  4m  12m    m   2 Vì  m  3  với m nên   với m Toán Hải TH&THCS Dong Khe 159 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Suy phương trình luôn có hai nghiệm x1; x với m Theo hệ thức Vi-et ta có :  2m   x1  x   x x  m   2 1 2 Kết hợp 3x1  4x  11 và (1) ta có hệ 13  4m 13  4m    2m x1  x1      x1  x  4 x1  x  1  m    7     3x1  x  11 3x1  x  11  x  x   2m  x  19  6m 2   14 Thay x1; x vào pt (2) ta có x1.x   m 1 13  4m 19  6m m   14  24 m  51m  198   8m  17m  66   m  2 33    TM  Vậy m   2;   33 m  8   c) Theo Vi-et ta có:  2m   x1  x  2  x1  x    2m 2  x1  x    2m    2 x1x  m   x1x  2m  x x  m   2   x1  x   x1x  1 Vậy hệ thức liên hệ  x1  x   4x1x  1 có giá trị không phụ thuộc vào m d) Theo câu b phương trình luôn có nghiệm với m Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì Toán Hải TH&THCS Dong Khe 160 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 1  m    x  x   1  2m  m      m   m    x1 x   m 1  m   Vậy không có giá trị nào m để phương trình có hai nghiệm dương Cho phương trình bậc hai: x  2(m  1) x  (m  1)  1 Bài 24: a) Tìm giá trị m để phương trình 1 có nghiệm lớn và nghiệm nhỏ b) Tìm giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm nhỏ Hướng dẫn giải a) Ta có:  '  (m 1)2  m   (m  )   0, m Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi- ét ta có  x1  x2  2  m  1   x1 x2    m  1 Để phương trình (1) có nghiệm lớn hơn1 , nghiệm nhỏ thì  x1  1 x2  1   x1x   x1  x2       m  1   m  1   m2 Cách 2: Đặt y  x   x  y  thì phương trình (1) trở thành:  y + 1  2(m  1)  y + 1  (m  1)   y  2m y + m   (2) Để phương trình (1) có nghiệm x1 lớn hơn1 , nghiệm x2 nhỏ thì phương trình (2) có hai nghiệm y1; y2 trái dấu  m    m  b) Để phương trình có hai nghiệm   x1   x    x1x2   x1  x    m    m    x1   x   x1  x  m  1 Toán Hải TH&THCS Dong Khe nhỏ thì 161 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Cho phương trình x2  (2m  3) x  m2  3m   Bài 25: a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm còn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 3  x1  x2  d) Xác định m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Hướng dẫn giải a) Ta có:   (2m  3)2  4.1.(m2  3m  2)  4m2  12m   4m  12m  1 Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Vì phương trình có nghiệm nên ta thay x  vào phương trình có: 22  (2m  3)2  m2  3m     4m   m2  3m    m2  m   m(m  1)  m   m   x1  x2  2m  Theo hệ thức Vi-et ta có:   x1 x2  m  3m    x2  2m  thay x1  :   2.x2  m  3m    x2   x2   2.x2  Với m  thay vào ta có:  2  x2   x2  2.x2  Với m  thay vào ta có:   x1  x2  2m  c) Theo trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa:   x1 x2  m  3m  Vì 3  x1  x2 0  x1   x2    x1  x2   x1   x2   3  x1  x2  nên  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 162 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 ( x1  3)  ( x2  3)   x1  x2   ( x  3)( x  3)   x x  3.( x  x )     2   ( x1  6)  ( x2  6)   x1  x2  12  ( x1  6)( x2  6)   x1.x2  6( x1  x2 )  36  9  m   2m    2m      m  3m   3(2m  3)   m  9m  20  (m  4)(m  5)     2m   12  2m   m  m2  3m   6(2m  3)  36  m  9m  20     (m  4)(m  5)   9  m      m  5   m  4    4  m  m    m4    m  Vậy 4  m  Cách 2: Ta tính     Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : 2m    m2 2m   x1   m 1 x2  Vì 3  x1  x2  nên 3  m   m   m   3 m  4    4  m  m   m  d) Phương trình có nghiệm bình phương nghiệm : Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : x1  2m   2m    m  ; x2   m2 2 Theo yêu cầu đề toán : nghiệm này bình phương nghiệm : Toán Hải TH&THCS Dong Khe 163 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Trường hợp 1: x2  x1  m   (m  1)2  m   m  2m   m2  m   m 1  Trường hợp : x1  x2 2  m  1   m   (*)  m  4m   m    m  3m      Phương trình (*) vô nghiệm Kết luận: m  Bài 26: 1  là giá trị cần tìm Cho phương trình mx2  2(m  2) x  m   a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c) Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x12  x22 Hướng dẫn giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m  và a.c   m(m  3)   m   m    m   m     0m3  m   m     m    m  b) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn thì Toán Hải TH&THCS Dong Khe 164 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 m  m  m   m    m  2 4(m  2)  4m(m  3)    m  4m   m  3m     2(m  2)     m  m     0 S  m m    m    P  m   0 0  m   0  m   m 2  m  c) Để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 thì m  và    m  và m  2(m  2) 12    2  3( x1  x2 )  6   x1  x2    m m m Khi đó theo Vi-ét ta có:    x x  m    4 x x   12   m m m  3( x1  x2 )  x1 x2  2 Đây là hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc vào m d) Với m  và m  thì phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2(m  2)   x1  x2  m   x x  m   m Ta có: A  x12  x22  ( x1  x2 )2  x1 x2 m3  2( m  2)     m m    4(m2  4m  4) 2m   m2 m 4m2  16m  16  2m2  6m  m2  2m2  10m  16 m2  2 10 16   25        m m m 16 16 m Toán Hải TH&THCS Dong Khe 165 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 7  5       m  16 16 Amin  16 Dấu “=” xảy   m  (tm) 16 m Vậy GTNN x12  x22 là Bài 27: 16 xảy m  16 Cho phương trình bậc hai mx  (5m  2) x  6m   a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Hướng dẫn giải a) Xét phương trình mx   5m   x  6m   Để để phương trình có hai nghiệm đối thì:  m  a       5m    4.m  6m      x  x   5m    0  m m     m   (luôn đúng với m )  m  (thỏa mãn) 5m    Vậy m  thì phương trình có hai nghiệm đối b) Xét phương trình mx   5m   x  6m   Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo thì:  m  a        5m    4.m  6m     x x   6m    1  m Toán Hải TH&THCS Dong Khe 166 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 m     m   (luôn đúng với m )  m  (thỏa mãn) 6 m   m  Vậy m  thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Bài 28: Tỉm giá trị m để phương trình: a) x  mx  m   có nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương b) x2  2(m 1) x  m   có nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối Hướng dẫn giải a) Xét phương trình x  mx  m   để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: a.c   2.(m  3)   m  1 Với m  , áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: b m    x1  x2  a  x1  x2     x x  c  x x  m  2 a   Có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương suy : x1  x2 đó x1  ; x2  nên  x1  x2  x1  x2   m   m  2 Từ 1 và   suy  m  Vậy  m  thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương Chú ý: Đề bài có nghĩa tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm âm b) x2  2(m 1) x  m   có hai nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối Xét phương trình: x2  2(m 1) x  m   (2) có: ( a  1; b  2(m  1); c  m  ) PT (2) có nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối Toán Hải TH&THCS Dong Khe 167 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10    1  a  a     m   m     P   a.c   1.(m  3)      m 1 m   m  S   b  2(m  1)   0  0  a Vậy với m = thì pt đã cho có hai nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối Bài 29: Cho phương trình: x   m  1 x  m2  3m  (1) a) Giải phương trình m  1 b) Tìm m để pt (1) có nghiệm 1 c) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn   1 x1 x2 Hướng dẫn giải a) Thay m  1 vào (1) ta có: x  x     x     x  2 Vậy với m  1 thì phương trình có nghiệm x  2 b) Ta có:  '  m  Để pt (1) có nghiệm thì  '   m    m  1 Vậy với m  1 thì pt (1) có nghiệm c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: x1  x2   m  1 ; x1 x2  m2  3m 1   1 x1 x2  x1  x2  x1 x2 0  2m   m2  3m   m2  m  0  2 Ta có: a  b  c    1   Phương trình (2) có hai nghiệm m1  1;m2  1 Vậy với m  {  1; 2} thì pt (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn   1 x1 Bài 30: Cho phương trình x   m  1 x  4m  Toán Hải TH&THCS Dong Khe x2 168 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a) Xác đinh m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại c) Với điều kiện nào m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) d) Với điều kiện nào cửa m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm) e) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm này gấp đôi nghiệm f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  2 g) Định m để PT có hai nghiệm x1; x2 cho A  x12  x2  x1 x2 nhận giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a)  '   m  1  1.4m  m  2m    m  1 Để PT có nghiệm kép   '   m    m  b) x  là nghiệm phương trình nên ta có  42   m  1  4m   4 m    m  Với m  phương trình trở thành x2  x     x   x    x   x    x   x  Vậy nghiệm còn lại phương trình là x  c)  '   m  1  m Phương trình có hai nghiệm x1; x2 Áp dụng đinh lý Vi-et: x1  x2  2m  x1.x2  4m - Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu  4m   m  - Để phương trình có hai nghiệm trái dấu  4m   m  d) với m  PT có hai nghiệm cùng dấu Toán Hải TH&THCS Dong Khe 169 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 TH1: x1; x2 cùng dấu dương  m    m  1 Kết hợp m  1 với điều kiện m   m  TH2: x1; x2 cùng dấu âm  2m    m  1 m  1 với điều kiện m  Vậy không có giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm e) Áp dụng đinh lý Vi-et: x1  x2  2m  (*) x1.x2  4m (**) Không tính tổng quát ta giả sử: x1  2x2  x1  2x2  2m   2m  x2     x  x  2m  x   Kết hợp với (*) ta có hệ phương trình:    x  x  m 4   x1  x2 x   Thay vào phương trình (**) ta có x1.x2  4m  2(m  1).4(m 1)  4m  2(m  1)2  9m  2m  5m   m1  2; m2  Thỏa mãn Vậy với m1  2; m2  thì phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn nghiệm này hai lần nghiệm f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  2 (1) 2 x1  x2  2   x1  x2  2m  (2)  x x  4m (3)  Toán Hải TH&THCS Dong Khe 170 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình 2m  x1   3 x1  2m     x2  x1   x  4m   Thay vào phương trình (3) ta có: 2m 4m   4m 3  m2  3m  m   m  m  3    (thỏa mãn) m  Vậy với m = m  thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  x2  2 g) A  x12  x2  x1 x2   x12  x22   x1 x2   x1  x2   x1 x2   2m    5.4m  8m  m   15 15    m     m 4 2   Amin  15 Dấu "  " xảy  m  (tm) Vậy m  để A đạt giá trị nhỏ  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình: a)  x  x  1 x  x    40 ;  b)  x  x  Bài 2: 1     2 x     x   Cho phương trình: x   m  5 x   m    1 a) Chứng minh phương trình 1 luôn có nghiệm x1  với giá trị m ; Toán Hải TH&THCS Dong Khe 171 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 b) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm kép; c) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm x2   Bài 3: Không giải phương trình, hãy tính tổng các bình phương và hiệu các bình phương các nghiệm phương trình: a) x  x   ; b) x  x   Bài 4: a) Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm phương trình sau: 1   x  7x    ; b) x  x   ; c) x  2 x   Bài 5: Cho phương trình  m   x   m  3 x   1 a) Chứng minh phương trình 1 luôn có nghiệm với m ; b) Tìm m để phương trình có nghiệm là Khi đó tìm nghiệm thứ hai phương trình Bài 6: Cho phương trình x   m  1 x  2m  1 a) Chứng tỏ phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị m ; b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc vào m , từ đó hãy biểu thị x2 theo x1 ; c) Tính giá trị nhỏ biểu thức A  x12  x22 Bài 7: Cho phương trình mx   2m  5 x  m   1 a) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm; b) Xác định m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho  x1  1 x2  1  2 Bài 8: Cho phương trình x  10 x  m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho: a) x1  x2 ; b) x13  x23  370 Bài 9: Cho phương trình x  2mx  2m   Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  3x2  14 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 172 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 10: Cho phương trình x   m  1 x  m2  4m  13  1 a) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm; Chủ đề b) Xác định m để phương trình 1 có nghiệm âm BẤT ĐẲNG THỨC Kỹ thuật chọn điểm rơi bài toán bất đẳng thức H BẤT ĐẲNG THỨC  KIẾN THỨC LÍ THUYẾT Định nghĩa bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a  b (hay a  b; a  b; a  b) là bất đẳng thức Tính chất bất đẳng thức a  b  b  a a  b; b  c  a  c a  b  a  c  b  c a  b  a.c  b.c  c   a  b  a.c  b.c  c    Cộng vế hai bất đẳng thức cùng chiều bất đẳng thức cùng chiều  Trừ vế hai bất đẳng thức khác chiều bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức thứ  Nhân vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm, ta bất đẳng thức cùng chiều Đặc biệt: a  b   a  b2 ; a  b  a 2n  b2n a  b  a n1  b n1  8.Nếu a  b  thì 1  a b Một số bất đẳng thức hay dùng  Nếu a và b là hai số cùng dấu thì  Nếu a, b  thì a b   (dấu = xảy  a  b ) b a 1   (dấu  xảy  a  b ) a b ab Toán Hải TH&THCS Dong Khe 173 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  a  b  a  b (dấu  xảy a.b  )  a  b  a  b (dấu  xảy a  b  a  b  )  Bất đẳng thức Cô-si Với a, b  thì ab  ab hay a  b  ab (dấu  xảy a  b ) Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si  ( a, b  0) ) ab a  b 2  a b  2    ab;  a  b   4ab; a  b  2ab   2  ab a b ab       Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức: Muốn chứng minh a  b , ta chứng minh a  b  Muốn chứng minh a  b, ta chứng minh a  b  Phương pháp biến đổi tương đương: A  B  A1  B2  A2  B2    C  D Nếu bất đẳng thức cuối đúng thì bất đẳng thức đầu đúng Phương pháp vận dụng tính chất bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức quen thuộc: Từ các bất đẳng thức đã biết ta dùng các tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Phương pháp phản chứng: Muốn chứng minh A  B, ta giả sử A  B suy điều vô lí (mâu thuẫn với điều đã cho đã biết), từ đó suy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng  BÀI TẬP Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b b  c c  a   8abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a  b b  c c  a   ab bc ac  8abc (đpcm) Toán Hải TH&THCS Dong Khe 174 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac  bd  a  b c  d  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ac  bd a  b c  d     ac  bd  a c  a  b  c  d  b d a  b  c  d  1 a c  1 b d  1ab cd           1 2ab cd  2ab cd  2ab cd  a  b c  d  (đpcm) a  c b  c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa  Chứng minh c a  c   cb  c   ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ca  c   cb  c  ab  c a  c  c b  c   b a a b  1c ac 1c bc       2b a  2a b   1c c 1c c  1    1   2b a 2a b  c a  c   cb  c   ab (đpcm) a  Chứng minh rằng: a b   b a   ab b  Bài 4: Cho số thực dương a, b thỏa  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b   a ab  a  Tương tự: b a   a  ab  a   ab (1) 2 ab (2) Cộng theo vế (1) và (2), ta được: a b   b a   ab (đpcm) Bài 5: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16aba  b 2  a  b 4 Hướng dẫn giải Toán Hải TH&THCS Dong Khe 175 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: 2 16aba  b   4.4ab a  b  2  4ab  a  b 2   a  b 2   4.   4.   a  b  (đpcm)     Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab  a b   a  b 1 b a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ab  a b  ab a   ab b   a b          b a  2b   2a   2b 2a  2 ab a ab b a b 2 2  a  b 1 2b 2a 2b 2a (đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng: a b   , a,b  b a Hướng dẫn giải Vì a,b  nên a b  0, 0 b a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b    (đpcm) b a b a Bài 8: Chứng minh rằng: a   , a  a 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 1  a 1   a  1     (đpcm) a 1 a 1 a 1 Bài 9: Chứng minh rằng: a2  a2 1  , a  R Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a2  a2 1  a2 11 a2 1  a2 1  a2 1 Toán Hải TH&THCS Dong Khe 2 a2 1 a2 1  (đpcm) 176 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Bài 10: Chứng minh rằng: 3a  , a   9a Hướng dẫn giải Với a  , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a 1 1     (đpcm) 4 1 9a  9a  3a 2 3a 2  2 3a 3a 3a 3a 2  a2    , a  1 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  1    a 1  Hướng dẫn giải  a  2a    A  a  1   a     a  12  1  a  1     a 1  2    a  1   a    a 1  2  2a  1  Cauchy a  1 2  2a  1 a  12 Dấu “=” xảy và 2a  12  22 22 24 hay a  a  12 Vậy GTNN A  2  Bài 12: Chứng minh rằng: a   , a  b  b( a  b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 1  b  a  b    33 b.a  b  3 ba  b  ba  b  ba  b  Bài 13: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Toán Hải TH&THCS Dong Khe bc ca ab    abc a b c 177 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc    abc a b b c c a Bài 14: Cho ba số thực abc  CMR: a2 b2 c2 b c a      b2 c2 a2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a2 b2 c2  a2 b2      b c a 2  b c    b2 c2     a  2c   c2 a2     b  2a    a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a b c a         2 2 a b c a b c b c c a a b Bài 15: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc  CMR bc ca ab    a  b  c 3 a b c Hướng dẫn giải  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab            b c  a b c a b c  a  bc ca   ca ab   ab bc              b   b c   c a   a bc ca 2 a b 2 2  ca ab 2 b c   a b c  ab bc c a   a b c  a b c   a  b  c  33 a b c  a  b  c  Vậy bc ca ab    a  b  c 3 a b c Bài 16: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Toán Hải TH&THCS Dong Khe bc ca ab   6 a b c 178 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab  bc  ca  ab    1    1    1  3 a b c a   b   c   abc bca cab    3 a b c 1 1  a  b  c         a b c  Kỹ thuật chọn điểm rơi bài toán cực trị xảy biên Xét các bài toán sau: Bài 1: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A  a  Sai lầm thường gặp là: A  a  a 1  a  Vậy GTNN A là a a Nguyên nhân sai lầm: GTNN A là  a   a  vô lý vì theo giả thuyết thì a a  Lời giải đúng: A  a  a 3a a 3a 3.2    2   1  a a 4 a 4 Dấu “=” xảy  a  hay a  a Vậy GTNN A là Vì chúng ta lại biết phân tích lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN a  Khi đó ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi a  ” Ta không thể áp dụng bất Toán Hải TH&THCS Dong Khe 179 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 đẳng thức AM - GM cho hai số a và tách a vì không thỏa quy tắc dấu “=” Vì ta phải a để áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử a  a 1 ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số  ,  cho “Điểm rơi a  ” thì  a  a     , ta có sơ đồ sau: a         a  1   a a Khi đó: A  a  a 3a    và ta có lời giải trên a 4 a  a 1 Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số  ,  ta có thể chọn các các cặp số sau:  a  1       a,   a,   a,  a   a  a  Bài 2: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ A  a  a2 Sơ đồ điểm rơi: a    a 2    8  1 1  a Sai lầm thường gặp là: A  a 7a a 7a   2   a 8 a Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A là Toán Hải TH&THCS Dong Khe 7a   2a 7.2   2.2 180 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là là đáp số đúng cách giải trên mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a    2a Lời giải đúng: A  là sai” 2.2 a a 6a a a 6a 6.2     3.3     8 a 8 a 8 Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A là Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  ab  Phân tích: Ta có: ab ab       Sơ đồ điểm rơi:  ab   1  4 ab      4  4 16 1 4  ab Giải: Ta có: ab ab        ab   A  16ab  1 17  15ab  16ab  15ab   15  ab ab 4 Toán Hải TH&THCS Dong Khe ab 181 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Dấu “=” xảy  ab  Vậy GTNN A là 1 ab 17 Bài 2: Cho số thực a  Tìm GTNN A  a  18 a Phân tích: Ta có : A  a  18 9  a2   a a a Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN a  Ta có sơ đồ  a 36   36     24 điểm rơi: a        9    a Giải: Ta có: A a 9 23a a 9 23a 23.36     33     39 24 a a 24 24 a a 24 24 Dấu “=” xảy  a2  a6 24 a Vậy GTNN A là 39 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  2b  3c  20 Tìm GTNN A  a  b  c    a 2b c Phân tích: Dự đoán GTNN A đạt a  2b  3c  20 ,tại điểm rơi a  2, b  3, c  Sơ đồ điểm rơi: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 182 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 a    a 2      3   a b     3 b 3     2  9 3  2b c     c4  1    4   c Giải:  3a   b   c A       a   2b   c  a b 3c     4 3a b c a  2b  3c 2 2  a 2b c      13 2 Dấu “=” xảy  a  2, b  3, c  Vậy GTNN A là 13 ab  12 bc  Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa  1  121       ab bc ca  abc 12 Chứng minh rằng: a  b  c   2 Phân tích: ab  12 , điểm rơi a  3, b  4, c  bc  Dự đoán GTNN A đạt  Giải: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 183 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b    33  18 24 ab 18 24 ab a c a c    33 1 ca ca b c b c    33  16 bc 16 bc a c b a c b     44  12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13  2 2 12  18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13  2 2  48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1  121      ab bc ca  abc 12 a  b  c   2 (đpcm)  Kỹ thuật chọn điểm rơi bài toán cực trị đạt tâm Xét bài toán sau: Bài toán: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  a  b  Sai lầm thường gặp là: A  a  b  1 1   4 a.b  Vậy GTNN A là a b a b Nguyên nhân sai lầm: GTNN A là  a  b  trái giả thuyết Toán Hải TH&THCS Dong Khe 1  a b 1   a  b  Khi đó a  b   a b 184 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b  a b   1  Sơ đồ điểm rơi: a  b     2   2  2 1    a b   Lời giải đúng: A   4a  4b  Dấu “=” xảy  a  b  Bài 1: 1 1    3a  3b  44 4a 4b  3a  b     a b a b Vậy GTNN A là Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm GTNN A  a  b  c  1   a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc Sơ đồ điểm rơi: a b c     1    2 abc    2  2 1     a b c Giải: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 185 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 1 1  A   4a  4b  4c      3a  3b  3c a b c  1  66 4a.4b.4c  3a  b  c  a b c 13  12   2 Dấu “=” xảy  a  b  c  Bài 2: 13 Vậy GTNN A là 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm GTNN A  a  b  c  1   a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc  a  b2  c2   1  Sơ đồ điểm rơi: a  b  c       8  1    a b c  Giải: 1 1 1 3  A  a2  b2  c2          8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c  1 1 1 31 1      8a 8b 8c 8a 8b 8c  a b c  9 9 27        4 abc 4 a  b  c 4  99 a b c Toán Hải TH&THCS Dong Khe 186 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Dấu “=” xảy  a  b  c  Vậy GTNN A là Bài 3: 27 Cho số thực dương a, b Tìm GTNN A  ab ab  ab ab Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b Sơ đồ điểm rơi: 2a  ab  ab  a    ab       ab  a   a  b 2a Giải:  ab ab  3a  b  ab ab 3.2 ab  A    2   1   2 ab a  b ab  ab a  b  ab Dấu “=” xảy  a  b Vậy GTNN A là Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN A  a b c bc ca ab      bc ca ab a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b  c Toán Hải TH&THCS Dong Khe 187 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 Sơ đồ điểm rơi: b c  a     b  c c  a a  b 2 abc      b  c  c  a  a  b   a b c  Giải: b c bc ca a b 3bc c a a b  a A           4a 4b 4c   a b c  bc c  a ab  66 a b c bc ca ab 3b c c a a b         b  c c  a a  b 4a 4b 4c 4a a b b c c b c c a a b 15   6.6    a a b b c c 2 Dấu “=” xảy  a  b  c Vậy GTNN A là Bài 5: 15 Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN : A  1  2ab a b Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    a  b  Sơ đồ điểm rơi: a  b     2        2  2ab Giải: Toán Hải TH&THCS Dong Khe 188 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10 A 1  2 2ab a b 1  2  4 2 a  b 2ab a  b  2ab a  b 2   a  b  2ab Dấu “=” xảy   a  b  ab Vậy GTNN A là Bài 6: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  1 a  b  2ab Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    2  2    3 Sơ đồ điểm rơi: a  b   1  a  b     2ab  Giải: A 1 a  b 2   2  1  6ab 3ab 1   a  b 6ab 3ab   1    2  a  b  6ab 3ab a  b    4ab 3ab 2 a  b 2   4 a  b      ab 3    4  2 2a  b   3a  b  Toán Hải TH&THCS Dong Khe   Do ab   a  b          189 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10  4   2.1  3.1 1  a  b  6ab  ab Dấu “=” xảy  a  b a  b   Vậy GTNN A là Bài 7: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  1   4ab a b ab Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt a  b    a  b   2   Sơ đồ điểm rơi: a  b       ab  4ab  1  ab  1         ab  Giải: 1 1   4ab   2ab 4ab 4ab a b 1 2  4ab  2 4ab 4ab a  b 2ab A    2 a  b  2ab 2  2 4ab a  b  4ab Toán Hải TH&THCS Dong Khe 190 CÁC ĐỀvào TOÁN Các chuyên đề Toán –CHUYÊN Đồng hành 10   Do ab   a  b       2 2 a  b ab 4      a  b 2     2 27 a  b  2ab  4ab  1 Dấu “=” xảy   ab 4ab a  b  a  b  Vậy GTNN A là  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho x  , chứng minh rằng: a) x  x1 1 ; b) x5 x4 2 Bài 2: Cho a , b, c  , chứng minh rằng: a)  a  b  b  c  c  a   8abc ; b) a 2b  3c  1 2b  3c 4a Bài 3: Chứng minh rằng: 200      10  2 200 Bài 4: Chứng minh rằng: S  1  3  5   79  80 4 Bài 5: Cho a  , b  Chứng minh rằng: a b   b a   ab Bài 6: Cho a , b, c  thỏa mãn điều kiện a  c ; b  c Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab Toán Hải TH&THCS Dong Khe HẾT