TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN c Ta viết lại phương trình đã cho.. Bài tập vận dụng Bài 8.[r]
(1)NGUYỄN MẠNH CƯỜNG (Giáo viên chuyên luyện thi THPTQG) PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN (2) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN I MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT I.1 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax bx c a (1) Phương pháp giải Đặt t x t thì phương trình trở thành at bt c (1) Ta giải (1) phương trình bậc hai Ví dụ minh họa Bài Giải các phương trình sau a) x x c) x 3x b) x x Hướng dẫn giải a) Ta đặt t x t , lúc này phương trình đã cho trở thành t tm t 2t t 1 t t l Với t thì ta có x x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 1 b) Ta đặt t x t , lúc này phương trình đã cho trở thành 17 t 2t 5t tm 17 t + Với t + Với t 17 17 thì ta có x thì ta có x 17 17 17 x 17 x 17 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x ; 17 c) Ta đặt t x t , lúc này phương trình đã cho trở thành 3 t 3.t t (1) 4 Ta thấy VT (1) 0, t (1) vô nghiệm ⇒ phương trình đã cho vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (3) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Bài tập vận dụng Bài Giải các phương trình a) 5x4 8x2 c) x x b ) x x 40 d ) x4 3x2 Hướng dẫn giải & Đáp số 31 a) Đặt t x thì PT trở thành 5t 8t , đáp số: x b) Đặt t x thì PT trở thành t 6t 40 , đáp số: x c) Đặt t x thì PT trở thành 2t 5t , đáp số: x d) Đặt t x thì PT trở thành t 3t , đáp số: x ; 1 13 I.2 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG TỊNH TIẾN x a x b c (2) 4 Phương pháp giải Đặt x t ab thì phương trình đã cho trở dạng phương trình trùng phương và có cách giải mục ⚠ Chú ý: a b a 4a 3b 6a 2b 4ab b a b a b a 6a 2b b 4 Ví dụ minh họa Bài Giải các phương trình sau a ) x x 82 b ) x x 272 4 c ) x 1 x 90 4 Hướng dẫn giải a) Ta đặt x t thì phương trình đã cho trở thành t 1 t 1 t tm 82 t 6t 40 t 10 l t x Với t t 2 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 2; 6 b) Ta đặt x t thì phương trình trở thành t 3 t 3 t tm 272 t 54t 55 t 55 l THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (4) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN t x 4 Với t t 1 x 6 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 4; 6 c) Ta đặt t x thì phương trình trở thành t 2 t 2 t 12 173 tm 90 t 24t 29 t 12 173 l t 173 12 x 173 12 Với t 173 12 t 173 12 x 173 12 173 12 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Bài tập vận dụng Bài Giải các phương trình a ) x 10 x 5392 b) x c ) x x 1522 x 3 2 4 98 d) x x 3 3 4 896 Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt x t thì PT trở thành t t 5392 , đáp số: x 4; 2 b) Đặt x t 2 thì PT trở thành t t 4 98 , đáp số: x 2 c) Đặt x t thì PT trở thành t t 1522 , đáp số: x d) Đặt x t thì PT trở thành t t 4 896 , đáp số: x I.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ax bx cx kbx k a k 0, a (3) Phương pháp giải Do a nên x không phải là nghiệm phương trình đã cho, nên ta chia hai vế phương trình cho x ta phương trình là ax bx c kb t x Đặt t x k x k x x k a k2 k a x b x c * x x x t 2k x t x2 k2 x2 k2 x2 t 2 k t THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (5) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương trình (*) trở thành a t 2 bt c (**) Ta giải (**) phương trình bậc hai Ví dụ minh họa Bài Giải các phương trình sau a ) x x 16 x x c ) x x 36 x x b) x 13 x 46 x 39 x Hướng dẫn giải a) Dễ thấy x không phải là nghiệm phương trình đã cho, ta chia hai vế phương trình 1 cho x và x x 16 x x 16 x x x x t 4 Đặt t x x t t thì t 3t 16 t x x 1 Với t x x 2 4 x x x 2 x Với t x x x x x 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3; ; b) Nghiệm x không phải là nghiệm phương trình đã cho, ta chia hai vế phương trình cho x và x 13 x 46 Đặt t x x 39 x x2 Với t x Với t x x x 3 x 13 x 46 x x x t t t thì t 13t 46 x t x x x 15 x2 5x x 21 21 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 15; THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (6) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN c) Nghiệm x không phải là nghiệm phương trình đã cho, ta chia hai vế phương trình 1 cho x và x x 36 x x 36 x x x x t Đặt t x x 12 t thì t t 36 x x t x Với t x x x x x 3 x 3 Với t x x x x x 3 8 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3; ; ; Bài tập vận dụng Bài Giải các phương trình a ) x x 16 x x 81 c ) 16 x x 230 x 15 x 400 b ) x x 82 x x d ) x 3x3 x 3x Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt t x b) Đặt t x x x x2 81 x2 x2 x t 18 t thì PT t t , đáp số: x t2 t 2 thì PT 2t 3t 90 , đáp số: 15 193 x 3 7; c) Đặt t x d) Đặt t x x x 35 705 t 10 thì PT 16t 3t 70 , đáp số: x 1 6; x 32 x2 25 x2 x2 t2 t 2 thì PT t 3t , đáp số: x I.4 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG THEO HỆ SỐ PHÉP CỘNG (4) x a x b x c x d e với a c b d m , ac n , bd p Phương pháp giải Ta viết lại phương trình thành THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (7) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN x a x c x b x d e x a c x ac x b d x bd e x mx n x mx p e Đặt t x mx n t x mx p thì phương trình đã cho trở phương trình bậc hai và ta giải nó phương trình bậc hai 2 Ví dụ minh họa Bài Giải các phương trình sau a ) x x x x 144 c) x 3 x 1 x 1 b ) x 1 x x Hướng dẫn giải a) Ta viết lại phương trình đã cho x x 14 x x 24 144 t 18 Đặt t x x 14 x x 24 t 10 thì t t 10 144 t 8 Với t 18 x x 32 x 17 x Với t x x x 1 17 ; 1; Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x b) Ta viết lại phương trình đã cho x 1 x x 1 x x x x x t Đặt t x x x x t thì t t t 7 Với t x x x 29 2 3 Với t x x vô nghiệm x x x 0, x 2 2 29 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (8) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN c) Ta viết lại phương trình đã cho 16 x 24 x x x 1 16 x 24 x 16 x 24 x 56 t Đặt t 16 x 24 x 16 x 24 x t thì t t 1 56 t 8 Với t 16 x 24 x x 3 2 Với t 16 x 24 x 16 x x vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 3 2 Bài tập vận dụng Bài Giải các phương trình a ) x x x x 40 c ) x 1 x x x 33 b ) x x x 1 35 d ) x 1 x x x Hướng dẫn giải & Đáp số a) Viết lại PT thành x 14 x 45 x 14 x 48 40 , đặt t x 14 x 45 thì PT trở thành t 3t 40 , đáp số: x 10; 4 b) Viết lại PT thành 36 x 60 x 25 36 x 60 x 24 420 , đặt t 36 x 60 x 24 thì PT trở thành t t 420 , đáp số: x c) Viết lại PT thành x 21 x x x 35 33 , đặt t x x thì PT trở thành t 32t 33 , đáp số: x 3;1 37 d) Viết lại PT thành x t 2t , đáp số: x x x x , đặt t 36 x 60 x 24 thì PT trở thành 13 I.5 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG THEO HỆ SỐ PHÉP NHÂN (5) x a x b x c x d ex với ac bd m , a c n , b d p Phương pháp giải Ta viết lại phương trình thành x a c x ac x b d x bd ex x nx m x px m ex THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (9) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TH1: Xét x là nghiệm phương trình hay không TH2: Xét x , ta chia hai vế phương trình cho x ta m m x n x p e x x Đặt t x m t m , phương trình trở thành x t n t p e t n p t np e Ta giải phương trình trên phương trình bậc hai Ví dụ minh họa Bài Giải các phương trình sau a ) x x x x 12 x c ) x x x 10 x 12 x b ) x x x x 12 25 x Hướng dẫn giải a) Ta viết lại phương trình đã cho thành x 18 x 72 x 17 x 72 x Dễ thấy x không phải là nghiệm phương trình, ta chia hai vế phương trình cho x ta 72 72 18 x 17 x x x Đặt t x 72 x t 16 l t 12 thì t 18 t 17 t 19 x t 19(tm ) 72 x 19 x 19 x 72 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 19 73 19 73 b) Ta viết lại phương trình đã cho thành x 10 x 24 x 14 x 24 25 x Dễ thấy x không phải là nghiệm phương trình, ta chia hai vế phương trình cho x ta 24 24 10 x 14 25 x x x Đặt t x t 15 t thì t 10 t 14 25 x t 11 24 Với t 15 x 24 x 15 x 15 x 24 x 15 129 THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (10) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Với t 11 x x 3 11 x 11x 24 x x 8 24 15 129 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 8; 3; c) Ta viết lại phương trình đã cho thành x 17 x 60 x 16 x 60 x Dễ thấy x không phải là nghiệm phương trình, ta chia hai vế phương trình cho x ta 60 60 17 x 16 x x x 31 t 60 t 15 10 thì t 17 t 16 Đặt t x x t 35 15 x Với t x x 31x 120 x x 31 Với t 35 60 x 60 x 31 35 2 x 35 x 120 x 35 265 15 35 265 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 8; ; Bài tập vận dụng Bài 10 Giải các phương trình a ) x x x x 40 c ) x 1 x x x 33 b ) x x x 1 35 d ) x 1 x x x Hướng dẫn giải & Đáp số 2 2 x x x a) Ta viết lại PT thành 10 x 30 10 x 33 1720 , đặt x thì PT trở thành 10t 63t 73 , đáp số: x b) Ta viết lại PT thành x t t 2 73 4529 20 6 x 168 , đặt t x t , thì PT trở thành x x x 19 337 t 12t 133 , đáp số: x 1; 6; THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC (11) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN c) Ta viết lại PT thành x 12 7 x 30 , đặt t x t , thì PT trở thành x x x 12 t 15t 26 , đáp số: x 12; 1 d) Ta viết lại PT thành x 15 15 , thì PT trở thành t 12t 32 2 x 14 , đặt t x x x x 15 đáp số: x 17 41 17 ;3 17 41 17 I.6 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT BẬC BA ax bx cx d (6) Phương pháp giải A( x ) B ( x ) Ta đưa dạng A x B x cách chèn số m A( x ) B ( x ) phương trình 2 và a x mx m amx am bx cx d a x m am b x cx am d (*) Ta tìm m cho VP(*) là biểu thức bình phương hay phương trình VT (*) có nghiệm kép Do đó ta phải có c am b am d 8a m ab.m 8ad m 4bd c Ta giải phương trình bậc ba ẩn m phương trình bậc ba Ví dụ minh họa Bài 11 Giải các phương trình sau a ) x 19 x 10 x b) x x 10 x c) x x Hướng dẫn giải a) Bước đầu ta liệt kê các hệ số a 1, b 19, c 10, d , ta thay các hệ số đó vào a m ab.m ad m 4bd c và m 76 m 64 m 708 Giải ta nghiệm có nghiệm m là thỏa mãn nên phương trình đã cho trở thành x x (1) 2 x x 25 x 10 x x x 1 x x (2) (1) x x x 17 x 1 (2) x x x 4 17 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 4; 1; b) Tương tự trên ta tìm m là thỏa mãn nên phương trình đã cho trở thành THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 10 (12) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN x x x 10 x x (1) 2 2x2 5x 2 x 5x x x (1) x x (2) 10 11 2 x x 2 (2) 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x x 10 11 2 c) Tương tự trên ta tìm m thỏa mãn nên phương trình đã cho trở thành x x x x x 1 x 2 (1) x x 2 x x x (1) x x (2) 2 2 (2) x x 2 x 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x x Bài tập vận dụng Bài 12 Giải các phương trình a ) x x 16 x c ) 16 x 32 x 48 x b) x x d ) x4 x2 6x Hướng dẫn giải & Đáp số a) Tìm m , PT đã cho trở thành x 1 x 1 , đáp số x 2 b) Tìm m , PT đã cho trở thành x 1 x 1 , đáp số x 2 1 2 c) Tìm m , PT đã cho trở thành 16 x 1 x , đáp số x d) Tìm m , PT đã cho trở thành x x 1 , đáp số x 2 5 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TỔNG QUÁT ax bx cx dx e a (5) II.1 KHI NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM HỮU TỶ x x0 Phương pháp giải THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 11 (13) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương trình (5) trở thành x x0 ax b ax0 x c bx0 ax0 x d cx0 bx0 ax0 x x0 2 ax b ax0 x c bx0 ax x d cx bx ax 0(*) Ta giải (*) phương trình bậc ba b x x x x a x x x x x x x x x x x x c 3 4 1 a Ngoài giải theo cách nhẩm nghiệm (định lý Vi-ét) x x x x x x x x x x x x d 4 a e x1 x2 x3 x4 a x y z t x y y z z.t t x x.z y t Tồn số x , y , z , t R và thỏa mãn thì phương trình bậc bốn là x y z x y.t x z.t y z.t x y z.t X X X X nhận x , y , z , t làm nghiệm Ví dụ minh họa Bài 13 Giải các phương trình sau a ) x 25 x 28 x x 10 c) x 16 x x 13 x b) x x 12 x 192 Hướng dẫn giải a) Chúng ta nhẩm nghiệm x nên ta sử dụng lược đồ hoocne chức CALC máy để phân tích nhân tử (sẽ nghiên cứu bài sau) và phương trình x 1 x 19 x x 10 x 1 x x x x 1 x x 1 x x ;1; ; Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x ;1; ; x b) Ta nhẩm nghiệm x nên PT x x 12 x 48 x 12 x 48(*) THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 12 (14) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Đặt x 4t , thay vào phương trình đã cho ta 64.t 48.t 48 t 3t (**) Đặt 1 3 a a 2 Chọn a 2 2 2 a a Khi đó a a a 13 a a a 2 2 Do đó t 3 2 32 là nghiệm (**) Ta chứng minh nghiệm t là nghiệm (**), 4t 3t 4t 3t t t 4t 4t t 4t t t 2t t t 1 0, t ⇒t1 3 2 32 là nghiệm phương trình (**) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 4; 3 2 3 2 x 2 c) Ta nhẩm nghiệm x nên PT x x x 1 x x (*) Xét hàm số f ( x ) x x có f '( x ) 12 x 0, x ⇒ Phương trình f ( x ) có nhiều nghiệm Ta chứng minh (1) có nghiệm Đặt 1 a a 2 a 1 Chọn a 1 a 1 1 1 1 Khi đó a a a a a a Do đó x 1 là nghiệm (*) 2 2 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 2; 2 2 Bài tập vận dụng THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 13 (15) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Bài 14 Giải các phương trình a ) x 12 x x x 33 c) x x3 3x x b ) x 14 x x d ) x x3 x x Hướng dẫn giải & Đáp số a) Ta nhẩm nghiệm x , PT trở thành x x x 11 , đáp số: x 3; 11 30 11 30 b) Ta nhẩm nghiệm x , PT trở thành x 1 x x 13 x , đáp số: 13 x 4;1; c) Ta nhẩm nghiệm x , PT trở thành x 1 x x , đáp số: x 1; 2 2 d) Ta nhẩm nghiệm x , PT trở thành x 1 x x 1 , đáp số: 5 7 x 1; cos ; cos ; cos 9 II.2 DÙNG ĐỊNG LÝ VI-ÉT ĐẢO Phương pháp giải Khi nhẩm nghiệm, nghiệm mà các cặp nghiệm áp dụng định lý Vi-et đảo hay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm là số hữu tỷ a b S Ta nhẩm hai nghiệm a , b mà nghiệm đó thỏa mãn a.b P nghiệm phương trình x S x P x S S SP thì hai nghiệm a , b là Ví dụ minh họa Bài 15 Giải các phương trình sau a) x 3x3 x x c) 15 x 17 x x x b) x x 11x 13 x Hướng dẫn giải a) Dùng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm là A 0, 6180339887, B 1, 618033989 và hai nghiệm này tạo thỏa mãn hệ thức Vi-et A B 1; A.B Do đó, A, B là nghiệm phương trình THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 14 (16) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN X X Ta dùng chức CALC thực phép chia đa thức để tìm thương và số dư hay phân tích nhân tử x x 1 x x x 1 x x x 1 0, x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x b) Ta tìm A 4,192582404; B 1,192582404; C 1, 366025404; D 0, 3660254038 và các A B nghiệm thỏa mãn hệ thức Vi-et đảo theo cặp là A.B Do đó, A, B là nghiệm phương C D trình X X và đó C và D là hai nghiệm phương trình X X C D 2 Phương trình trở thành 29 x 3x x x x x x 1 1 2 x x x 29 ; Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 13 x 2 c) Tương tự phần trên ta có x x 1 x x 14 x 1 13 14 ; Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x Bài tập vận dụng Bài 16 Giải các phương trình a ) x 16 x 66 x 16 x 55 c ) x 13 x 32 x 13 x b ) x x 20 x 12 x d ) x 5x3 x Đáp số 15 229 1 a ) x 14; 14 ; b) x 2; ; c) x 1 2; ; d) x 2; 2 II.3 ĐƯA VỀ DẠNG ax bx cx d THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 15 (17) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Phương pháp giải Đặt x t b 4a thì phương trình trở thành b b b b at bt ct d t e 4a 4a 4a 4a 3b bc b 3b b c bd at c t2 d t e (*) 16 a 4a 8a a 8a 256 a Ta giải (*) mục trên Ví dụ minh họa Bài 17 Giải các phương trình sau a ) x x x 12 x 16 c) x x 24 x 16 x 220 b) x x 20 x 12 x Hướng dẫn giải a) Đặt x t , thay vào phương trình đã cho ta t 1 t 1 t 1 12 t 1 16 t 8t t t l t x t 3 x 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 2; 4 b) Đặt x t , thay vào phương trình đã cho ta t 2 t 20 t 12 t t t t t t 1 1 t 2 t 2t 1 t 2t 1 t 1 x t 1 x t 2t t x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 2;1 2; c) Đặt x t , thay vào phương trình đã cho ta t 2 t 24 t 16 t 220 t 48 y 140 * Ta giải (*) dạng dạng ax bx cx d Tìm m , đó PT (*) trở thành THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 16 (18) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN t 2t 12 t 2t 12 1 t 2t 12 t 11 x 11 1 t 2t 10 t 11 x 11 t 2t 14 t 1 13 x VT 0, x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 1 11 Bài tập vận dụng Bài 18 Giải các phương trình a) x x3 3x x b) x x 19 x 48 x 45 Hướng dẫn giải & Đáp số a) Đặt x t thì PT trở thành t 3t , đáp số: x 1;3 b) Đặt x t thì PT trở thành t 13 y 18 y 13 , đáp số: x II.4 CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT Phương pháp giải A( x ) B ( x ) Ta đưa phương trình (1) dạng A( x ) B ( x ) A( x ) B ( x ) 2 Phương trình (1) trở thành b a x x cx dx e a 2 bx bx bx a x x cx dx e a a a b a x2 2a b2 x c x dx e 4a Ta chèn số m để biến phương trình (2) dạng A( x ) B ( x ) Khi đó, phương trình 2 (2) trở thành b a x 2a b x x 2a b x m m a m x 2a b x a m c x dx e a b b2 a x2 x m a.m c x b.m d x a m e 2a 4a b2 VP(3) a.m c x b.m d x a.m e là biểu thức bình phương thì phương trình 4a bậc hai VP(3) phải có nghiệm kép Khi đó, ta phải có: THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 17 (19) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN b2 VP( ) b.m d a.m c a.m e 4a a m a c.m a bd ae m ace ad b e Việc ta bây là tìm m Sau tìm m với m là nghiệm phương trình (4) rồi, ta việc thay vào phương trình (3) và giải Tóm lại các bạn cần nhớ hai phương trình (4) 8a m a c.m a bd ae m ace ad b e b b2 (3) a x x m a.m c x b.m d x a.m e 2a 4a 2 b ⚠ Chú ý: Phương trình f ( x ) ax bx c a x b ac Phương trình có 2a 4a nghiệm kép , đó phương trình trở thành f ( x ) a x b b 0 x 2a 2a Ví dụ minh họa Bài 19 Giải các phương trình sau a ) x 32 x 127 x 38 x 243 c) x x x 11x 10 b) x 14 x 54 x 38 x 11 Hướng dẫn giải a) Đây dạng bài khá khó không có cách giải tổng quát này, lẽ nó không nhẩm nghiệm đẹp áp dụng định lý Vi-et cách thuận lợi nhất, chính vì ta phải có cách nhìn trực quan Bước đầu ta xác định các hệ số a 2, b 32, c 127, d 38, e 243 Tiếp theo các bạn thay các giá trị đó vào phương trình 8a m a c.m a bd 4ae m 4ace ad b 2e 64m 2032m 2912 m 944 Giải phương trình đó ta tìm nghiệm có m là thỏa mãn Bâygiờ chúng ta thay giá trị m vừa tìm vào phương trình b b2 a x2 x m a.m c x b.m d x a.m e 2a 4a x x 1 x 70 x 245 x x 1 x 2 x x 1 x (1) x x 1 x (2) THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 18 (20) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN (1) (2) 133 12 10 133 12 10 x x x 2 x x x 2 133 12 10 133 12 10 ; 2 2 Phương trình có nghiệm là x b) Tương tự trên ta tìm m là thỏa mãn, thay giá m vừa tìm vào phương trình b b2 a x2 x m a.m c x b.m d x a.m e 2a 4a x x x 18 x 27 x2 x x 3 2 x x x 3(1) x x x 3(2) 36 36 (1) x x 3 x (2) x x 3 x 2 36 36 ; 2 Như vậy, phương trình có nghiệm là x 2 x2 x c) Hoàn toàn tương tự ta có phương trình x x x 12 2 x 3x Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 17 Bài tập vận dụng Bài 20 Giải các phương trình a ) x 30 x 174 x 420 x 196 c ) x x 35 x 26 x b) x x x x d ) x x 82 x 64 x Hướng dẫn giải & Đáp số a) Tìm m 39 , PT trở thành x 15 x 39 53 x 53 , đáp số: x 15 53 546 70 53 THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 19 (21) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN b) Tìm m , PT trở thành x x 1 x , đáp số: 2 133 12 10 133 12 10 x ; 2 2 c) Tìm m , PT trở thành x x 1 x 1 , đáp số: 2 77 16 77 16 x ; 3 d) Tìm m , PT trở thành x x x , đáp số: 2 84 84 x ; 4 III CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÔ NGHIỆM Phương pháp giải Xét hàm số bậc bốn f ( x ) ax bx cx dx e a Ta tách dạng f ( x ) A x B ( x ) với B ( x ) là tam thức bậc hai luôn dương Nhắc lại kiến thức: a Tam thức bậc hai g ( x ) ax bx c , x A( x ) 2 , x f ( x ) A( x ) B ( x ) 0, x B ( x ) Cách làm sau: b f ( x ) a x x cx dx e a b2 b b2 a x x x x2 x cx dx e 2a 4a 4a b a x2 2a b2 b x c x dx e a x 4a 2a 2 x B(x) TH1: Phương trình B ( x ) vô nghiệm hay B( x) ac b ad a. f ( x ) 0, x x 4a ac b ac b TH2: Phương trình B ( x ) có nghiệm hay THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 20 (22) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN chưa biết dấu B ( x ) để đưa f ( x ) dạng f ( x ) A x B ( x ) ban đầu cách Ta chèn số m b f ( x ) a x 2a b x x 2a b x m m am x 2a b2 x am c x dx e 4a b b2 b a x2 x m c am x d bm x e am a x x m B(x) 2a 4a 2a 2 Lúc này B ( x ) c b am x d bm x e am và để B ( x ) 0, x thì ta phải có hệ điều 4a b am c 4a kiện d bm c b am e am 4a Do a nên dấu khoảng ngoài cùng (**) luôn dương Các bạn giải (**) và kết hợp với điều kiện (*) thì khoảng m thỏa mãn Ta lấy m nằm khoảng nghiệm đó thay m vào f ( x ) để tách thành f ( x ) A x B ( x ) ac b m m Tóm lại ta cần nhớ ( ) 8a 8 a m ac.m a bd ae m ace ad b e Ví dụ minh họa Bài 21 Giải các phương trình sau a) x x3 3x x c) x x x x b) x x x x 10 Hướng dẫn giải Kiểm tra SOLVE ta thấy máy trả kết vô nghiệm.Tiếp theo, ta liệt kê các hệ số a 1, b 1, c 3, d 1, e Bây giờ, ta tách f ( x ) để xem B ( x ) nằm trường hợp nào x 13 13 f ( x) x x x , ta thấy biểu thức B ( x ) x x có nghiệm Vậy nằm trường 2 hợp hai Tiếp theo ta thay vào hệ (I) tối giản để tìm khoảng nghiệm m, ta có hệ 13 m m 1, 796338193 ta chọn m 1, 8 m 12 m 42 m 66 Tiếp theo ta thay m vào f ( x ) cùng với các hệ số và sau THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 21 (23) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN x 44 x 81 0 x x x x 2 25 20 25 2 x 9 8 228 x2 0 x 5 20 175 2 x 9 8 228 Ta thấy B ( x ) x x 0, x phương trình vô nghiệm 5 20 175 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) Kiểm tra SOLVE ta thấy máy trả kết vô nghiệm Tiếp theo, ta liệt kê các hệ số a 1, b 2, c 2, d 6, e 10 Bây giờ, ta tách f ( x ) để xem B ( x ) nằm trường hợp nào: f ( x ) x x x x 10 , ta thấy biểu thức B ( x ) x x 10 vô nghiệm Vậy nằm trường hợp Ta tách phương trình sau f ( x) x x x 3 2 Ta thấy f ( x ) x x x 0, x phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm c) Kiểm tra SOLVE ta thấy máy trả kết vô nghiệm Tiếp theo, ta liệt kê các hệ số a 1, b 3, c 6, d 5, e Bây giờ, ta tách f ( x ) để xem B ( x ) nằm trường hợp nào 15 x 15 x x vô nghiệm Vậy nằm f ( x) x x x , ta thấy biểu thức B ( x ) trường hợp Hoàn toàn tương tự ta có 2 15 2 f ( x ) x x x 0, x phương trình vô nghiệm 3 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài tập vận dụng Bài 22 Giải các phương trình a ) x x 19 x 48 x 45 c ) 16 x 32 x 56 x 136 x 241 b ) x x 19 x 30 x 51 d ) x 11x 39 x 56 x 88 Bạn đọc tự chứng minh ⚠ Chú ý: Ta có thể dùng các chức MTCT để chứng minh phương trình bậc bốn cách nhanh chóng cách sau Xét hàm số bậc bốn f ( x ) ax bx cx dx e (chuyển hệ số a ) THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 22 (24) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Ta đưa hàm số dạng f ( x ) a x Với g ( x ) x x và m x m g ( x ) 0, x g ( x ) 0, x 2a b , ta tìm m để g(x)>0 sau Bước 1: giải phương trình f '( x ) x xCT Bước 2: tìm m cho m xCT xCT lấy giá trị nguyên gần 2a b Bước 3: tìm các hệ số , , sau b CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x ) x x m 10 x 2a CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x ) x x m x 10 x 2a b b CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x ) x x m x2 x 2a b CALC với X=1000 cho biểu thức f ( x ) x x m x x kết và a CALC với X thì kết là đúng Như vậy, ta g ( x ) x x Sau đã tìm g ( x ) x x mà đó phương trình g ( x ) vô nghiệm, nên ta viết 4 g ( x) x 0, x Mà để làm việc này nhanh thì ta dùng chức tính cực 2 4 trị hàm số parabol cách bấm SHIFT 6 máy vinacal và bấm MODE máy casio fx-570VN (không áp dụng cho máy casio fx-570ES) nhập các hệ số và thu kết xmin 2 g ( x ) 0, x f ( x ) 0, x f ( x ) y 4 min 4 Ta nghiên cứu ví dụ sau đây: Giải phương trình sau x x 19 x 48 x 45 Xét hàm số f ( x ) x x 19 x 48 x 45 Dùng SOLVE ta thu kết Can’t solve tức là phương trình đã cho vô nghiệm, ta chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm Trước tiên tìm m đã nhé! Ta giải phương trình f '( x ) THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 23 (25) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Xét f '( x ) x 12 x 38 x 48 f '( x ) xCT 1, 65 Do đó lấy nguyên m xCT xCT ta m 2a b Bây ta tìm hệ số , , cách hướng dẫn trên ta 23 88 g ( x ) 13 x 44 x 44 13 x 0, x 13 13 Do đó ta có f ( x ) x x 1 13 x 22 88 0, x 13 13 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm IV TỔNG KẾT ❶ Để giải phương trình bậc bốn ax bx cx dx e a thì ta cần thực các bước sau: B1 Xác định các hệ số a, b, c, d, e b2 b x c x dx e B2 Biến đổi phương trình a x 2a 4a B3 Chèn số m để biến phương trình (2) dạng A( x ) B ( x ) và phương trình thành 2 b b2 a x2 x m a.m c x b.m d x a.m e (*) 2a 4a B4 Tạo (*) thành bình phương tức là phương trình VP (*) có nghiệm kép đó ta phải có VP (*) 8a m a c.m a bd ae m ace ad b e (**) B5 Giải (**) để tìm m hữu tỷ từ đó thay vào (*) để giải tiếp ❷ Để chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm thì ta cần làm các bước sau B1 Xác định các hệ số a, b, c, d, e b B2 Biến đổi phương trình dạng a x 2a b2 x c x dx e (*) 4a b2 B3 Kiểm tra xem phương trình c x dx e ** có nghiệm hay không 4a TH1 Nếu (**) vô nghiệm thì Khi (**) VT (**) ac b ad a. f ( x ) 0, x x 4a ac b ac b THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 24 (26) TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ - DÙNG CHO KHÓA CHINH PHỤC PT – BPT - HPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TH2 Nếu (**) có nghiệm thì ta chèn tham số m vào (*) để VT (**) b2 b x m c am x d bm x e am (***) B3.1 (*) a x 2a 4a B3.2 Ta tìm m cho c am x d bm x e am đó ta phải có 4a b2 ac b m ta chọn mhữu tỷ từ nghiệm 8a 3 2 8 a m ac.m a bd ae m ace ad b e hệ đó thay vào (***) để tiếp tục giải THẦY CƯỜNG – 0911060820 – FACE: NMC22297 NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC 25 (27)