Chuong IV 1 So phuc

Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu y.. diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: b/..[r]

Chuyên đề Tổ Toán – Tin Trường THPT Thanh Bình Thực Chương IV I Số phức II Cộng, trừ, nhân và chia số phức III Phương trình bậc hai với hệ số thực IV Phương trình bậc hai với hệ số phức V Bài tập số phức TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN Chuyên đề I SỐ PHỨC Phương trình: ax² + bx + c = ∆ = b² – 4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 (a ≠ 0) (1) Kết luận ─ – b ± ∆ (1) có nghiệm phân biệt: x = ¹’² 2a (1) có nghiệm: x = – b 2a (1) vô nghiệm Với mong muốn mở rộng tập các số thực để phương trình bậc n có nghiệm, người ta đưa số Số i coi là nghiệm phương trình : Định nghĩa số phức: - Mỗi biểu thức dạng: a + bi, đó a,b  R; i2 = -1 gọi là số phức - Với số phức z = a + bi: a là phần thực số phức b là phần ảo số phức - Tập hợp các số phức, kí hiệu: C và: NZQR C Quan hệ các tập hợp số: N  Z  Q  R  C C R Q Z N Biểu đồ VEN Ví dụ Xác định phần thực, phần ảo số phức sau: Số ảo -5 Số thực -2 Số phức nhau: Hai số phức phần thực và phần ảo chúng tương ứng a + bi = c + di  a = c và b = d Ví dụ Tìm các số thực x; y, biết: (3x – ) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i Giải 3x   x   3x     y 1 i  x 1   y   i   y   y    x  2 x 3     y 4 3 y 4   Số phức nhau: Ví dụ Tìm các số thực x; y, biết: 2) (1 – 2x ) + i3 = 5 + (1 – 3y)i  1 1  x  x   1 2x   i   1 y  i      y   1  y  3) (2x + y ) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i 2 x  y x  y  x  y 3     y  x  y  x   3x  y   x 0   y 1 Số i: Định nghĩa số phức: Số phức nhau: Chú ý:  Mỗi số thực a coi là số phức với phần ảo Ta viết: z = a + 0i Như vậy, số thực là số phức  Số phức: z = + bi gọi là số ảo  Số i gọi là đơn vị ảo Biểu diễn hình học số phức:  Trong hệ tọa độ vuông góc y b (x’ox; y’oy), điểm M(a;b) gọi là điểm biểu diễn số M phức z = a + bi x x' O a  Một số phức z = a + bi hoàn toàn xác định cặp y' số thực (a; b) Biểu diễn hình học số phức: Ví dụ  Điểm A( 2; 3) là điểm biểu y diễn số phức z1 = + 3i A B x'  Điểm B( -3; 2) là điểm biểu x -1 O -3 -4 E y' diễn số phức z2 = -3 + 2i  Điểm E( -1; - 4) là điểm biểu diễn số phức z3 = -1 - 4i Biểu diễn hình học số phức:  Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức: z4 = và z5 = -3i y x' Các điểm biểu diễn số thực, số ảo nằm đâu trên mặt phẳng tọa độ?  Điểm H( 2; 0) là điểm biểu O H diễn số phức z4 = + 0i, điểm H nằm trên trục hoành K -3 z4 = là số thực  Điểm K( 0; -3) là điểm biểu z5 =của -3i là diễn sốsố phức z5 =ảo0 - 3i, y' nằm tung Mặt phẳng biểu diễn sốđiểm phứcKgọi làtrên mặt trục phẳng phức x Biểu diễn hình học số phức: Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: d y a/ Phần thực z –2 x' Giải x -2 O -1 y' Số phức z = -2 + bi (b  R) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: x = –2 Biểu diễn hình học số phức: Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu y diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: b/ Phần ảo z d x x' O Giải y' Số phức z = a + 3i (a  R) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: y = Môđun số phức: y  Độ dài vectơ OM gọi là môđun số phức z .M b x x' a O  Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ  Ký hiệu: z= a + bi  Công thức: z= a2 +b2 y' Ví dụ Tính môđun số phức sau: z= 3+2i = 32 + 22 = 13 z= -5+4i = (-5)2 + 42 = 41 z= -3+4i = (-3)2 + 42 = Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp số phức z và kí hiệu: z = a - bi  Điểm M1( a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi y  Điểm M2( a; -b) là điểm biểu M1 b diễn số phức z = a - bi x x' O -b y'  Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm a biểu diễn z và z đối xứng M2 qua trục Ox  Chú ý: z = z ; z= z Số phức liên hợp: Ví dụ Hãy điền vào các chỗ còn trống với các kết thích hợp: Câu Số phức z Z = + 4i Z = - 5i Z = + 3i Z = - 9i lzl Số phức ¯z ¯ = – 4i Z z= 32 + (4)2 = ¯ = + 5i Z 22 +(-5)2 = ¯ = - 3i Z 10 ¯ = 9i Z z= 29 z= z= TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN Chuyên đề II CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức: z = a + bi, z = c + di Cộng hai số phức ¹ ² z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ¹ ² Trừ hai số phức z – z = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i ¹ ² Nhân hai số phức z z = (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ¹ ² Chia hai số phức z ¹ = a + bi = (a + bi).(c – di) = ac + bd + (bc – bd)i z c + di (c + di).(c – di) c² + d² c² + d² ² Ví dụ Thực các phép tính sau: Câu Kết Đề bài (3 – 5i) + (2 + 4i) (–2 – 3i) + (–1 – 7i) (4 + 3i) – (5 – 7i) (2 – 3i) – (5 – 4i) (3 – 2i) + (2 + 4i) + (–1 + i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = – i = (– –1) + (– – 7)i = –3 – 10i = (4 –5) + (3 + 7)i = –1 + 10i = ( –5) + (– +4)i = –3 +i = + 3i Chú ý 1: Phép cộng, phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức Chú ý 2: Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 = -1 kết nhận (a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi = (ac – bd) + (ad + bc)i Ví dụ Thực các phép tính sau: 1/ (2 – 3i).(3 – 2i) = – 4i – 9i + 6i2 = – 13i 2/ (–1 + i).(3 + 7i) = –3 – 7i + 3i + 7i2 = –10 – 4i 3/ 5(4 + 3i) = 20 + 15i 4/ (– – 5i).4i = –8i – 20i2 = 20 – 8i Chú ý : i =i  i2 = –  i3 = i2.i = – i  i4 = i3.i = – i2 =  i5 = i4.i = i  i6 = i5.i = i2 = –  i7 = i6.i = – i  i8 = i7.i = – i2 =  i9 = i8.i = i  i10 = i9.i = i2 = –  i11 = i10.i = – i  i12 = i11.i = – i2 =  i13 = i12.i = i  i14 = i13.i = i2 = –  i15 = i14.i = – i  i16 = i15.i = – i2 = Tổng quát: Nếu: n  4q  r,  r  thì:  in = i4qr = ir 15 = i4.33 = i2 = i–3 = i –i  i5 = i4.11 i=2014 i = ?i10 = i4.22 = i2 = –i2014 =ii4.5032 Cho số phức z = a + bi, đó a,b  R Số phức liên hợp z: ¯z = a + bi Tổng và tích hai số phức liên hợp: z + ¯z = 2a z.¯ z = a² + b² = lzl² Tổng và tích hai số phức liên hợp là số thực Nghịch đảo số phức: z̄ a bi ─= = – z lzl² a² + b² a² + b² Chú ý: (1+ i)² = 2i, (1– i)² = – 2i Ví dụ 3: Thực các phép tính sau: + i – 2i (2 + i).(3 + 2i) + 7i 7i = = + (3 – 2i).(3 + 2i) 13 13 13 + i 2̄ = (1 + i 2̄ ) (2 – i 3̄) = +  6̄ + (2 2̄ –  3̄ )i 7 + i 3̄ (2 + i 3̄) (2 – i 3̄ ) = 5i – 3i 5i (2 + 3i) = = – 15 + 10i (2 – 3i).(2 + 3i) 13 13 – 2i (1 + 2i) = = + 4i (1 – 2i).(1 + 2i) 5 (2 + 3i)²+i³ = (– + 11i).2i = – 11 – 5i 2 (1 – i)² ( – 2i).2i TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN Chuyên đề III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Căn bậc hai số thực dương ─ ─ Căn bậc hai số thực dương a là ± a , vì (± a )² = a Căn bậc hai số thực âm Căn bậc hai số thực âm a là ± ilal Ví dụ ─ ─ Căn bậc hai –2 là ±i2 , vì (± i2)² = 2i² = –2 ─ ─ Căn bậc hai –5 là ± i5 , vì (± i5)² = 5i² = –5 ─ Căn bậc hai –9 là ± i9 = ± 3i , vì (± 3i)² = 9i² = –9 Phương trình: ax² + bx + c = ∆ = b² – 4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 (a ≠ 0) (1) Kết luận ─ – b ± ∆ x¹ ² = 2a ’ (1) có nghiệm thực: x=–b 2a (1) có nghiệm thực phân biệt: (1) có nghiệm phức: x¹ ² = ’ – b ± il∆l 2a Trên tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (không thiết phân biệt) Ví dụ Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) 2z² – 5z + = (1) 2) 7z² + 3z + = (2) Giải ∆ = 25 – 32 = –7 = 7i² Giải ∆ = – 56 = – 47 = 47i² Nghiệm phương trình (1) Nghiệm phương trình (2) ─ ─ – i7 = – i7 ─ z = ¹ 4 ─ ─ i7 + i7 ─ z² = = +4 z = ¹ z² = -3 – i47 – i47 – = 14 14 14 -3 + i47 i47 + =– 14 14 14 Sử dụng máy tính để kiểm tra kết Phương trình: ax² + bx + c = ∆’ = b’² – ac ∆’ > ∆’= ∆’ < (a ≠ 0) (1) Kết luận ─ – b’ ± ∆’ x¹ ² = a ’ (1) có nghiệm thực: x = – b’ a (1) có nghiệm thực phân biệt: (1) có nghiệm phức: x¹ ² = ’ – b’ ± il∆’l a Trên tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (không thiết phân biệt) Ví dụ Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 3) z² – 4z + = (3) Giải ∆’ = – = –3 = 3i² 4) 8z² + 4z + = (4) Giải ∆’ = – = – = 4i² Nghiệm phương trình (3) Nghiệm phương trình (4) z = – 3i ¹ z ² = + 3i – i z = –─ ─ ¹ 4 i z² = – ─ + ─ 4 Sử dụng máy tính để kiểm tra kết Ví dụ Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) z4 + z² – = (1) Giải Đặt: t = z² (t  C) Phương trình (1) thành: t= t² + t – =  - t = –3 ─  t =  z² =  z = –─2 - z = 2 ─ i3  t = –  z² = 3i² z = – ─ - z = i3 ─ ─ Phương trình (1) có nghiệm: z = –2 , z = 2 , ─ ─ z = i3, z = – i3 Ví dụ Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 2) z4 + 6z² + 25 = (2) Giải Đặt: t = z² Phương trình (1) thành: (t  C) t² + 6t + 25 = (*) ∆’ = – 25 = –16 = 16i² Nghiệm phương trình (*): t = – 4i , t = + 4i  t = – 4i  z² = – 4i = (4 – 4i + i²) = (2 – i)²  z = ± (2 – i)  t = + 4i  z² = + 4i = (4 + 4i + i²) = (2 + i)²  z = ± (2 + i) Phương trình (2) có nghiệm: z=–2+i,z= 2–i, z = –2 – i, z = + i TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN Chuyên đề IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC Căn bậc hai số phức: Bài toán Tìm bậc hai các số phức sau: a) z = – 4i Giải  Giả sử: x + yi (x,yR) là bậc hai số phức z, ta có: (x + yi)² = – 4i  { – y = ─ x - x² = – (vn) - x² = x = –2 {y=1 x =2 { y = –1  (x² – y²) + 2xyi = – 4i   { x² – y² = 2xy = – y =–─ x {x – 3x² – = Vậy bậc hai z là: – i và – + i  – 4i = (2 – i)²  + 4i = (2 + i)² Căn bậc hai số phức: Bài toán Tìm bậc hai các số phức sau: b) z = + 12i Giải Giả sử: x + yi (x,yR) là bậc hai số phức z, ta có: (x + yi)² = + 12i  (x² – y²) + 2xyi = + 12i   { { x² – y² = 2xy = 12 – x x – 5x² – 36 =   { y = ─ x - x² = – (vn) - x² = x = –3 x =3 { y = – { y = Vậy bậc hai z là: + 2i và – – 2i y =  – 12i = (3 – 2i)²  + 12i = (3 + 2i)² Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ví dụ Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a) (1+i)z² – 2(1– i)z +1 – 3i = (1) ∆’ = (1– i)² – (1+i).(1– 3i = – = 4i² Nghiệm phương trình (1) (1 – 3i).(1 – i) – i – 2i z = = = – – 2i ¹ (1 + i).(1 – i) 1+i – i + 2i =1 z² = 1+i Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ví dụ Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức b) (1 – i)z² – 2z +1 – (11 + 3i) = (2) ∆’ = + (1 – i).(11 + 3i = 15 – 8i = 16 – 8i + i² = (4 – i)² Nghiệm phương trình (2) (– + i).(1 + i) – + i z = = = –2–i ¹ (1 – i).(1 + i) 1–i (5 – i).(1 + i) 1+4–i = = + 2i z² = (1 – i).(1 + i) 1–i TRƯỜNG THPT THANH BÌNH TỔ TOÁN – TIN Chuyên đề V BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Bài Gọi z¹ , z² là hai nghiệm phức phương trình: z² + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức: A = lz¹ l² + lz l² ² Bài Tìm số phức z thỏa mãn : z² + 2z + 10 = lz – (2 + i)l = 10 và z.z ¯ = 25 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : lz – (3 – 4i)l = Bài Tìm phần thực, phần ảo số phức z thỏa mãn điều kiện : (2 – 3i)z + (4 + i)z ¯ = – ( 1+ 3i)² Bài Tìm số phức z thỏa mãn : ¯ và z² là số ảo |z| = 2  - ─ i3  t = –  z² = 3i²  z = – ─ - z = i3 –2i ¹ ² z Tính = –giá 3i trị biểu thức: A 10 = lz l² + lz l² ¹ z ² = + 3i ¹ ² ¹ z = –2 , z = 2 , z = i3, z = – i3 z= ²