Thuật toán tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân delaunay

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học Vinh nguyễn hồng quân thuật toán tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân delaunay Chuyên ngành: Hình học - tôpô MÃ số: 60.46.10 luận văn thạc sĩ toán học Cán bé h-íng dÉn khoa häc: PGS TS Phan Thµnh An Vinh - 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG I TAM GIÁC PHÂN DELAUNAY 1.1 Định nghĩa tính chất tam giác phân Delaunay 1.2 Phép tam giác phân Delaunay 1.3 Độ phức tạp thuật toán 12 CHƢƠNG II THUẬT TỐN TÌM TAM GIÁC PHÂN DELAUNAY 15 2.1 Thuật toán sử dụng bao lồi R3 để tìm tam giác phân Delaunay 15 2.3 So sánh thuật toán sử dụng bao lồi R3 để tìm tam giác phân Delaunay thuật tốn tăng dân ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay 38 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Bài toán xây dựng tam giác phân Delaunay toán hình học tính tốn sử dụng nhiều lĩnh vực thông tin địa (GIS), phần tử hữu hạn, đồ họa máy tính đa phương tiện … Năm 1934 nhà toán học người Nga B.Delaunay (1890-1980) đưa toán xây dựng tam giác phân Delaunay (xem [3]) Vì ứng dụng to lớn tam giác phân Delaunay lĩnh vực nói nên nhiều nhà tốn học nghiên cứu đưa thuật toán xây dưng tam giác phân Delaunay Điển hình cơng trình Dwyer với thuật toán chia để trị, thuật toán quét (Sweep line) Fortunne (1987) thuật toán tăng dần (Incremental) Preparata Shamos (1985)…(xem [4]) Với thuật tốn nói trên, xây dựng tam giác phân Delaunay từ tập điểm cho, độ phức tạp thời gian chúng lớn Do vậy, số nhà tốn học tìm thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên nhằm mang lại hiểu cao đáp ứng với yêu cầu sống đại xử lí vấn đề tốc độ cao số lượng lớn Cũng xuất phát từ yêu cầu luận văn tác giả trình bày lại thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay (xem [3]) va có đưa thêm thuật tốn sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay (xem [3]) để so sánh với thuật toán Luận văn gồm hai chương Chƣơng I Tam giác phân Delaunay 1.1 Định nghĩa tính chất tam giác phân Delaunay 1.2 Phép tam giác phân Delaunay 1.3 Độ phức tạp thuật toán Chƣơng II Thuật toán tìm tam giác phân Delaunay 2.1 Thuật tốn sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay 2.2 Thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay 2.3 So sánh thuật toán sử dụng bao lồi R3 để tìm tam giác phân Delaunay thuật tốn tăng dân ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2011 khoa đào tạo sau đại học khoa toán trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Phan Thành An Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người tận tình dẫn, giảng dạy chúng tơi suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, PGS.TS Phạm Ngọc Bội, TS Nguyễn Duy Bình giảng dạy, bảo vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS… khoa sau đại học khoa toán Đại học Vinh, Viện Toán Học, người tham gia quản lý, giảng dạy giúp đỡ hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả gửi lời cảm ơn tới tập thể K17 Hình Học - Tơpơ, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên tác giả q trình hồn thành luận văn CHƢƠNG I TAM GIÁC PHÂN DELAUNAY 1.1 Định nghĩa tính chất tam giác phân Delaunay 1.1.1 Định nghĩa (xem [3]) Trong mặt phẳng Oxy cho tập P gồm n điểm P = {p1, p2,…pn} Tam giác phân hệ điểm P tập hợp tam giác pipjpkP cho hai tam giác P khơng có chung điểm có chung cạnh chung đỉnh Ví dụ: mặt phẳng Oxy cho bốn điểm p1, p2, p3, p4 tứ giác có hai cách cho tam giác phân {p1p2p3; p1p3p4} {p1p2p4; p2p3p4} 1.1.2 Định nghĩa (xem [3]) Trong mặt phẳng Oxy cho tập P gồm n điểm P = {p1, p2,…pn} Phép tam giác phân tập P cho phần hình trịn qua ba đỉnh tam giác khơng chứa điểm khác P, gọi phép tam giác phân Delaunay Kí hiệu D(P) Mỗi tam giác phân D(P) gọi tam giác Delaunay, cạnh tam giác Delaunay gọi cạnh Delaunay Hình Tam giác phân Delaunay 1.1.3 Định nghĩa (xem[4] - trang 75) Một cạnh Delaunay gọi cạnh cạnh chung hai tam giác Delaunay Một cạnh Delaunay gọi cạnh biên cạnh tam giác Delaunay Tập cạnh biên gọi biên D(P) 1.1.4 Tính chất (xem [4] - trang 89) Biên D(P) biên bao lồi tập điểm P 1.1.5 Tính chất (xem [4] - trang 102) Nếu P có k đỉnh nằm biên bao lồi D(P) có 2n - - k tam giác 3n - - k cạnh Chứng minh Gọi n, nv, ne số đỉnh, số tam giác số cạnh D(P) Theo giải thiết, P có k đỉnh nằm biên bao lồi nên D(P) có k cạnh biên Vì cạnh biên cạnh tam giác cạnh cạnh chung hai tam giác nên số cạnh D(P) là: ne  3nv  k  k  (3nv  k ) 2 (1) mặt khác, theo hệ thức Euter ta có: n - ne + (nv + 1) = (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 1.1.6 Tính chất (xem [5] - trang 186) D(P) hình trịn qua ba đỉnh P khơng chứa điểm khác P 1.1.7 Tính chất (xem [5] - trang 186) (mối quan hệ tam giác phân Delaunay mặt phẳng bao lồi tập hữu hạn điểm không gian ba chiều) Gọi P' = { p1' ,p'2 , ,p'n } tập hình chiếu tập điểm P = {p1, p2,…,pn} mặt phẳng Oxy lên parabollid z = x2 + y2 Khi D(P) kết phép chiếu bao lồi LF(P') lên mặt phẳng Oxy 1.1.8 Định nghĩa biểu đồ Voronoi (xem [2]) Cho P = {p1, p2,…pn} tập n điểm phân biệt E3 gọi chúng vị trí Biểu đồ Voronoi phân hoạch phẳng P thành n miền Mỗi miền ứng với điểm P cho điểm p thuộc miền ứng với pi   V ( pi )  x \ pi  x  p j  x , j  i ký hiệu V(P) 1.1.9 Các tính chất tam giác phân Delaunay biểu đồ Voronoi - Biên D(P) bao lồi vị trí V(P) - Phần mặt (các tam giác) D(P) không chứa vị trí V(P) - Mỗi miền V(Pi) lồi - V(Pi) không bị chặn Pi nằm bao lồi vị trí P (tức Pi) đỉnh cực biên bao lồi - Nếu đỉnh Voronoi V chung V(P1), V(P2), V(P3) V tâm hình trịn C(V) xác đỉnh p1, p2, p3 (xem hình 1) - Phần hình trịn khơng chứa vị trí V(P) - Nếu pi vị trí kề với pj pi p j cạnh D(P) Hình (tam giác phân Delaunay biểu diễn nét đứt đoạn biểu đồ Voronoi biểu diễn nét liền) 1.1.10 Tính chất (xem [1]) ab  V(P) có hình trịn rỗng qua a b Chứng minh a) Nếu ab  V(P) V(a), V(b) có chung cạnh c V(P) Lấy x thuộc phần C(x) hình trịn C(x) bán kính x  a  x  b C(x) rỗng b) Nếu có hình trịn C(x) qua a b bán kính C(x) x  a  x  b x thuộc miền Voronoi a b chừng khơng có điểm khác gây chở ngại đến tính "lân cận gần nhất" Nhưng chẳng có điểm gây chở ngại C(x) hình trịn rỗng nên x  V(a)  V(b) Vì khơng có vị trí thuộc biên C(x) (trừ a b) nên ta di chuyển x phần dương đường trung trực đoạn ab mà giữ tính rỗng C(x) Như x phần dương đường trung trực cạnh Voronoi chung V(a) V(b) Do ab  V(P) 1.1.11 Định nghĩa (xem [3]) Cho P đa giác đơn +) Với a-, a, a+ ba đỉnh liên tiếp đa giác đơn, b đỉnh khác đa giác đơn ta gọi ab đường thẳng lân cận a ab góc a aa  +) Với hai điểm a, b ta viết ab đường thẳng có hướng từ a đến b, viết ba đường thẳng có hướng từ b đến a 1.1.12 Tính chất (xem [3]) Mọi đa giác đơn P tam giác phân Một đa giác đơn có n - đường chéo n - tam giác tạo thành 1.1.13 Định nghĩa (xem [1]) Xét vị trí tương đối điểm với đường thẳng định hướng cho a, b, c  R2 a(a0, a1), b(b0, b1), c(c0, c1) Xét giá trị S = (b0 - a0)(c1 - a1) - (b1 - a1)(c0 - a0) (*) - Nếu S > c bên trái ab - Nếu S < c bên phải ab - Nếu S = c ab 1.1.14.Định nghĩa Trong R cho mặt phẳng  có phương trình ax + by + cz + d = Và điểm M( x0 ; y0 ; z ) Gọi M'( x0 ; y0 ; m ) điểm thuộc mặt phẳng  Khi ta nói -Điểm M thuộc mặt phẳng  z = m - Điểm M nằm phía mặt phẳng  z > m - Điểm M nằm phía mặt phẳng  z < m 1.1.15 Nhận xét Gọi n (a, b, c) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng  c < Khi M( x0 ; y0 ; z ) nằm phía (hoặc thuộc) mặt phẳng  n M ' M  Chứng minh Ta có: M ' M (0;0; z  m)  n M ' M  c( z  m) Do ta có: n M ' M   c( z  m)   z  m Vậy, theo định nghĩa 1.1.14 ta có điều phải chứng minh 1.2 Phép tam giác phân Delaunay 1.2.1 Tính chất (xem [3]) Nếu (C) hình trịn l giao với (C) đoạn thẳng điểm a b, p, q, r s điểm nằm phía l Giả sử p q nằm (C) mà r nằm bên (C), S nằm phía ngồi (C) arb  apb  aqb  asb (xem hình 4) pl pl ' ' 2 pi 3 5 l 4 pj 6 S pk q p Hình 3a ' pi  ' l ' ' pk Hình 3b r l b C a Hình Bây xét xem cạnh e = pi p j tứ giác H Nếu hai tam giác tạo thành từ tứ giác có tứ giác H' cách gỡ bỏ pi p j H chèn pk pl thay Ta gọi thay cạnh Sự khác biệt góc H H' sáu góc 1,…,6 (H) thay 1' , 6' (H') Gọi cạnh e = pi p j i  i ' (xem 1 i 6 1 i 6 hình 2a 2b) 1.2.2 Bổ đề (xem [3] - trang 195) Cho bốn điểm pi, pj, pk, pl hình tứ giác lồi khơng nằm hình trịn chung Giả sử (C) hình trịn qua pi, pj, pk Cạnh pi p j bất hợp pháp điểm pl nằm hình trịn (C) (xem hình 5) pj 26 Hình 10 2.2 Thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay (xem [3] – trang 200) 2.2.1 Mơ tả thuật tốn Đầu tiên ta bắt đầu với tam giác lớn chứa tập hợp điểm P Thêm hai điểm p-1 p-2 với điểm có tung độ cao p0 P, tạo thành tam giác chứa tất điểm P Điều có nghĩa tính tốn tập hợp điểm P{p-1; p-2} thay cho tập hợp điểm P Sau muốn có tam giác phân Delaunay P cách loại bỏ p -1 p-2 với tất cạnh nối đến hai đỉnh p-1 p-2 Để làm việc phải chọn p-1 p-2 đủ xa để khơng phá hủy hình tam giác Delaunay P Đặc biệt phải đảm bảo chúng không nằm hình trịn xác định ba điểm P 27 2.2.2 Thuật toán Alogrithm Delaunay Triangulation (P) Input Một tập hợp P n + điểm mặt phẳng Output Một tam giác phân Delaunay P Giả sử p0 điểm có tung độ cao P, là, ngồi bên phải số điểm y với tọa độ lớn Giả sử p-1 p-2 hai điểm R2 đủ xa mà P chứa tam giác p0p-1p-2 Ban đầu T tam giác phân bao gồm điểm nhìn p0 p 1 p-2 Tính tốn hốn vị ngẫu nhiên p1,p2,…, pn P\{p0} for r  to n (*Chèn pr vào T: *) Tìm thấy tam giác pipjpk  T chứa pr if pr nằm phần tam giác pipjpk then Thêm vào cạnh từ pr đến ba đỉnh pipjpk tách pipjpk thành ba tam giác 10 LEGALIZEEDGE (pr pi p j ,T) 11 LEGALIZEEDGE (pr, p j p k ,T) 12 LEGALIZEEDGE (pr p k pi ,T) 13 14 else (*pr nằm cạnh pipjpk, cạnh pi p j *) Thêm vào cạnh từ pr đến pk đến đỉnh thứ ba pl tam giác từ pi p j , tách hai tam giác từ pi p j thành bốn hình tam giác 15 LEGALIZEEDGE (pr, pi pl ,T) 16 LEGALIZEEDGE (pr, pl p j ,T) 28 17 LEGALIZEEDGE (pr, p j p k ,T) 18 LEGALIZEEDGE (pr, p k pi ,T) 19 Hủy p-1 p-2 với tất cạnh nối đến hai đỉnh từ T 20 return T 2.2.3 Tính độ phức tạp thuật tốn +)Độ phức tạp vòng lặp for O(n) +)Trong toán tử if thực n lần để kiểm tra n điểm nên có độ phức tạp O(n) Trong tốn tử then thực lần nên có độ phức tạp O(1) Trong toán tử else thực 12 lần nên có độ phức tạp O(1) Từ dịng đến 18 có độ phức tạp max(O(n), O(1), O(1)) = O(n) Vòng lặp if, then, else lồng vịng lặp for Vậy theo tính chất 1.3.4 độ phức tạp thuật toán là: O(n.n) = O(n2) 2.2.4 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho điểm (-2;-2), (-2;1), (2,1) (1;8), (1;0) Hãy dùng thuật toán tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay Giải Giả sử P = {p0(1;8),p1(-2;-2),p2(1;0),p3(-2;1),p4(2;1)} Giả sử lấy p-1 (-5;-4), p-2(7;-3) R2 đủ xa mà P chứa p0p-1p-2 Ban đầu T tam giác phân bao gồm điểm nhìn p0p-1p-2 Tính tốn hốn vị ngẫu nhiên {p1; p2; p3; p4}\{p0} Xét điểm {p1;p2; p3; p4} (n = 4, r = 1,4 ) +) Chèn p1(-2;-2) vào T ta thấy S = (-5-1)(-2-8) - (-4-8)(-2-1) = 24 >  p1 nằm bên trái p0 p1 S = (7+5)(-2+4) - (-3+4)(-2+5) = 21 >  p1 nằm bên trái p1 p2 S = (1-7)(-2+3) - (8 + 3)(-2-7) = 93 >  p1 nằm bên trái p2 p0 p1 nằm  p0p-1p-2 thuộc T Thêm vào p1 đến ba đỉnh p0p-1p-2 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ 29 +) Ta kiểm tra cạnh  p0p1p-2 ( i= 0, j =1, k = -2, r = 1) LEGALIZEEDGE (p1, p0 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p2 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh  p0p1p-1 ( i= 0, j =1, k = -1, r = 1) LEGALIZEEDGE (p1, p0 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p 1 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh  p1p-1p-2 ( i= 1, j =-1, k = -2, r = 1) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p2 p1 ,T) +) Chèn P2(1;0) vào T ta thấy S = (-2-1)(0-8) - (-2-8)(1-1) = 24  p2 nằm bên trái p0 p1 S = (7+2)(0+2) - (-3+2)(1+2) = 21  p2 nằm bên trái p1 p2 S = (1-7)(0+3) - (8+3)(1-7) = 48  p2 nằm bên trái p2 p0  p2 nằm p0p1p-2 thuộc T Thêm vào p2 đến ba đỉnh p0p1p-2 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh p0p2p-2 (i =0, j = 2, k=-2, r = 2) LEGALIZEEDGE (p2, p0 p ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh  P0P1P2 ( i= 0, j =1, k = 2, r = 2) LEGALIZEEDGE (p2, p0 p1 ,T) 30 LEGALIZEEDGE (p2, p1 p ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh P1P2P-2 (i =1, j = 2, k=-2, r = 2) LEGALIZEEDGE (p2, p1 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p1 ,T) +) Chèn p3(-2;1) vào T ta thấy S = (-5-1)(1-8) - (-4-8)(-2-1) = >  p3 nằm bên trái p0 p1 S = (-2+5) (1+4) - (-2+4)(-2+5) = >  p3 nằm bên trái p1 p1 S = (1+2) (1+2) - (8+2)(-2+2) = >0  p3 nằm bên trái p1 p0  p3 nằm p0p-1p1 thuộc T Thêm vào p3 đến ba đỉnh p0p-1p1 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh p0p-1p3 (i =0, j = -1, k=3, r = 3) LEGALIZEEDGE (p3, p0 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p 1 p3 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p3 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p3p-1p1 (i =3, j = -1, k=1, r = 3) LEGALIZEEDGE (p3, p1 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p1 p3 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p3 p 1 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p0p3p1 (i =0, j = 3, k=1, r = 3) LEGALIZEEDGE (p3, p0 p3 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p3 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p1 p0 ,T) 31 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp p0p3p1 Ta có 2 I( ;  ), Ip1 = 2,91; Ip2 = 0,71 ta thấy Ip1 > Ip2 nên p2 nằm hình trịn qua ba điểm p0, p3, p1 theo bổ đề 1.2.3 p0 p1 không hợp lệ Bỏ p0 p1 từ T thêm vào p p3 thay +) Chèn p4(2; 1) vào T ta thấy S = (1-1)(1-8) - (0-8)(2-1) = 8>  p4 nằm bên trái p0 p S = (7-1)(1-0) - (-3-0)(2-1) = >  p4 nằm bên trái p2 p2 S = (1-7)(1+3) - (8+3)(2-7) = 31 >0  p4 nằm bên trái p2 p0  p4 nằm p0p2p-2 thuộc T Thêm vào p4 đến ba đỉnh p0p2p-2 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh p2p4p-2 (i =2, j = 4, k=-2, r = 4) LEGALIZEEDGE (p4, p2 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p2 p4 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p p ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p0p4p-2 (i =0, j = 4, k=-2, r = 4) LEGALIZEEDGE (p4, p0 p ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p4 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p2 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p0p4p2 (i =0, j = 4, k= 2, r = 4) LEGALIZEEDGE (p4, p p ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p p0 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p0 p ,T) Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp p0p2p4 Ta có 32 I (2; 4) ; Ip2 = 5; Ip3 = ta thấy Ip2 > Ip3 nên p3 nằm hình trịn qua ba điểm p0, p2, p4 theo bổ đề 1.2.3 p0 p không hợp lệ Bỏ p0 p từ T thêm vào p3 p thay Hủy p-1 p-2 với tất cạnh nối đến hai điểm ta tìm tam giác phân Delaunay D(P) = {p1p2p3; p2p3p4; p0p3p4} (xem hình 11) Hình 11 2.2.5 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho điểm (-2;-2), (-2;1), (2,1) (1;8), (1;0); (2;4) Hãy dùng thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay Giải Giả sử P = {p0(1;8),p1(-2;-2),p2(1;0),p3(-2;1),p4(2;1),p5(2;4)} Giả sử lấy p-1 (-5;-4), p-2(7;-3) R2 đủ xa mà P chứa p0p-1p-2 Ban đầu T tam giác phân bao gồm điểm nhìn p0p-1p-2 Tính tốn hoán vị ngẫu nhiên {p1; p2; p3; p4; p5}\{p0} 33 Xét điểm {p1;p2; p3; p4; p5} (n = 5, r = 1,5 ) +) Chèn p1(-2;-2) vào T ta thấy S = (-5-1)(-2-8) - (-4-8)(-2-1) = 24 >  p1 nằm bên trái p0 p1 S = (7+5)(-2+4) - (-3+4)(-2+5) = 21 >  p1 nằm bên trái p1 p2 S = (1-7)(-2+3) - (8 + 3)(-2-7) = 93 >  p1 nằm bên trái p2 p0 p1 nằm  p0p-1p-2 thuộc T Thêm vào p1 đến ba đỉnh p0p-1p-2 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh  p0p1p-2 ( i= 0, j =1, k = -2, r = 1) LEGALIZEEDGE (p1, p0 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p2 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh  p0p1p-1 ( i= 0, j =1, k = -1, r = 1) LEGALIZEEDGE (p1, p0 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p 1 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh  p1p-1p-2 ( i= 1, j =-1, k = -2, r = 1) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p1 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p1, p2 p1 ,T) +) Chèn P2(1;0) vào T ta thấy S = (-2-1)(0-8) - (-2-8)(1-1) = 24  p2 nằm bên trái p0 p1 S = (7+2)(0+2) - (-3+2)(1+2) = 21  p2 nằm bên trái p1 p2 S = (1-7)(0+3) - (8+3)(1-7) = 48  p2 nằm bên trái p2 p0 34  p2 nằm p0p1p-2 thuộc T Thêm vào p2 đến ba đỉnh p0p1p-2 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh p0p2p-2 (i =0, j = 2, k=-2, r = 2) LEGALIZEEDGE (p2, p0 p ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh  P0P1P2 ( i= 0, j =1, k = 2, r = 2) LEGALIZEEDGE (p2, p0 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p1 p ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh P1P2P-2 (i =1, j = 2, k=-2, r = 2) LEGALIZEEDGE (p2, p1 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p2, p2 p1 ,T) +) Chèn p3(-2;1) vào T ta thấy S = (-5-1)(1-8) - (-4-8)(-2-1) = >  p3 nằm bên trái p0 p1 S = (-2+5) (1+4) - (-2+4)(-2+5) = >  p3 nằm bên trái p1 p1 S = (1+2) (1+2) - (8+2)(-2+2) = >0  p3 nằm bên trái p1 p0  p3 nằm p0p-1p1 thuộc T Thêm vào p3 đến ba đỉnh p0p-1p1 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh p0p-1p3 (i =0, j = -1, k=3, r = 3) LEGALIZEEDGE (p3, p0 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p 1 p3 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p3 p0 ,T) 35 +) Ta kiểm tra cạnh p3p-1p1 (i =3, j = -1, k=1, r = 3) LEGALIZEEDGE (p3, p1 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p1 p3 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p3 p 1 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p0p3p1 (i =0, j = 3, k=1, r = 3) LEGALIZEEDGE (p3, p0 p3 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p3 p1 ,T) LEGALIZEEDGE (p3, p1 p0 ,T) Gọi I tâm hình trịn ngoại tiếp p0p3p1 Ta có 2 I( ;  ), Ip1 = 2,91, Ip2 = 0,71 ta thấy Ip1 > Ip2 nên p2 nằm hình trịn qua ba điểm p0, p3, p1 theo bổ đề 1.2.3 p0 p1 không hợp lệ Bỏ p0 p1 từ T thêm vào p p3 thay +) Chèn p4(2; 1) vào T ta thấy S = (1-1)(1-8) - (0-8)(2-1) = 8>  p4 nằm bên trái p0 p S = (7-1)(1-0) - (-3-0)(2-1) = >  p4 nằm bên trái p2 p2 S = (1-7)(1+3) - (8+3)(2-7) = 31 >0  p4 nằm bên trái p2 p0  p4 nằm p0p2p-2 thuộc T Thêm vào p4 đến ba đỉnh p0p2p-2 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh p2p4p-2 (i =2, j = 4, k=-2, r = 4) LEGALIZEEDGE (p4, p2 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p2 p4 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p p ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p0p4p-2 (i =0, j = 4, k=-2, r = 4) LEGALIZEEDGE (p4, p0 p ,T) 36 LEGALIZEEDGE (p4, p4 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p2 p0 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p0p4p2 (i =0, j = 4, k= 2, r = 4) LEGALIZEEDGE (p4, p p ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p p0 ,T) LEGALIZEEDGE (p4, p0 p ,T) Gọi I tâm hình trịn ngoại tiếp p0p2p4 Ta có I (2; 4) ; Ip2 = 5; Ip3 = ta thấy Ip2 > Ip3 nên p3 nằm hình trịn qua ba điểm p0, p2, p4 theo bổ đề 1.2.3 p0 p không hợp lệ Bỏ p0 p từ T thêm vào p3 p thay +) Chèn p5(2; 4) vào T ta thấy S = (2-1)(4-8) - (1-9)(2-1) = 4>  p5 nằm bên trái p0 p S = (7-2)(4-1) - (-3-1)(2-2) = >  p5 nằm bên trái p4 p2 S = (1-7)(4+3) - (8+3)(2-7) = 13 >  p5 nằm bên trái p2 p0  p5 nằm p0p4p-2 thuộc T Thêm vào p5 đến ba đỉnh p0p4p-2 nên xuất cạnh không hợp lệ ta phải kiểm tra thay cạnh hợp lệ +) Ta kiểm tra cạnh p5p4p-2 (i =5, j = 4, k=-2, r = 5) LEGALIZEEDGE (p5, p5 p ,T) LEGALIZEEDGE (p5, p4 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p5, p2 p5 ,T) +) Ta kiểm tra cạnh p0p5p-2 (i =0, j = 5, k=-2, r = 5) LEGALIZEEDGE (p5, p0 p5 ,T) LEGALIZEEDGE (p5, p5 p2 ,T) LEGALIZEEDGE (p5, p2 p0 ,T) 37 +) Ta kiểm tra cạnh p0p4p5 (i =0, j = 4, k=5, r = 5) LEGALIZEEDGE (p5, p p5 ,T) LEGALIZEEDGE (p5, p5 p0 ,T) LEGALIZEEDGE (p5, p0 p ,T) Gọi I tâm hình trịn ngoại tiếp p0p4p5 ta có I ( 25 ; ) ; Ip4 = 14,57; Ip3 = 10,60 ta thấy Ip4 > Ip3 nên p3 nằm hình trịn 2 qua ba điểm p0, p4, p5 theo bổ đề 1.2.3 p0 p không hợp lệ bỏ p0 p từ T thêm vào p3 p5 thay Hủy p-1 p-2 với tất cạnh nối đến hai điểm ta tìm tam giác phân Delaunay D(P) = {p1p2p3; p2p3p4; p3p4p5; p0p3p5} (xem hình 12) Hình 12 38 2.3 So sánh thuật toán sử dụng bao lồi dƣới R3 để tìm tam giác phân Delaunay thuật tốn tăng dân ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay Để so sánh hai thuật tốn so sánh theo số tính chất sau 2.3.1 Một so sánh độ phức tạp hai thuật toán ta thấy độ phức tạp thuật toán sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay O(nlogn) (xem [5]) Còn độ phức tạp thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay O(n2) Do độ phức tạp thuật tốn sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay tốt 2.3.2 Hai tăng thêm số điểm thuật tốn sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay gần phải tính lại tồn Cịn thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay phải tính thêm điểm đưa vào làm giảm bớt bước tính tốn thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay 2.3.3 Ba thuật toán sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay số phép tốn thực nhiều so với số phép toán thực thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay sai số 2.3.4 Ví dụ: Trong ví dụ mục 2.1.3 ta tăng thêm điểm ta ví dụ mục 2.1.4 ví dụ mục 2.1.4 gần ta phải tinh lại tồn Trong ví dụ mục 2.2.4 ta tăng thêm điểm ta ví dụ mục 2.2.5 ví dụ ta phải tính thêm điểm đưa vào Vậy từ nhận xét độ phức tạp thuật toán tăng dần ngẫu nhiên lớn thuật tốn cho phép tìm tam giác phân Delaunay điểm bổ sung từ điểm cũ 39 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tam giác phân Delaunay đạt số kết quả, qua đề xuất số hướng nghiên cứu thời gian tới 1) Kết đạt - Trình bày phép tam giác phân Delaunay: Định nghĩa, số tính chất mối quan hệ tam giác phân Delaunay (trong mặt phẳng) bao lồi tập hữu hạn điểm khơng gian ba chiều - Trình bày thuật tốn sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay - Trình bày thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay - So sánh hai thuật tốn sử dung bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay thuật toán tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay 2) Những vấn đề tiếp tục nghiên cứu - Tiếp tục nghiên cứu để chạy hai thuật tốn máy tính để so sánh thực nghiệm - Tiếp tục nghiên cứu tính số phép toán hai thuật toán 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Thành An, Bài giảng hình học tính toán, Viện Toán học, 2007 [2] Nguyễn Hữu Điển, Một số vấn đề thuật toán, NXB Giáo Dục, 2005 [3] B Delaunay, Sur la sphère vide, Izvestia Akademii Nauk SSSR, Otdelenie Matemticheskikh i Estestvennykh Nauk, 7:793-800, 1934 [4] A Okabe, B Boots, and K Sugihara, Spatial Tessellations: Concepts and Applications of voronoi Diagrams, First, John Winley and Sons Ltd, 1992 [5] J O'Rourke, Computational Geometry in C, Cambridge University Press, Second Edition, 1998 ... tìm tam giác phân Delaunay 2.2 Thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay 2.3 So sánh thuật toán sử dụng bao lồi R3 để tìm tam giác phân Delaunay thuật tốn tăng dân ngẫu nhiên tìm. .. tốn thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay 2.3.3 Ba thuật toán sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay số phép toán thực nhiều so với số phép toán thực thuật toán tăng dần. .. bày thuật tốn sử dụng bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay - Trình bày thuật tốn tăng dần ngẫu nhiên tìm tam giác phân Delaunay - So sánh hai thuật toán sử dung bao lồi R3 tìm tam giác phân Delaunay