b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC.. Tính độ dài đoạn thẳng MN.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2015 - 2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (1,5 điểm) a) Tìm x, biết: - (x + 84) + 213 = -16 b) Tìm x,biết: x 1 1 4 Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho p và p + là các số nguyên tố ( p > 3) Chứng minh p + là hợp số b) Chứng minh rằng: (d + 2c + 4b) 8 thì abcd 8 n 1 nZ Câu 3: (1,5 điểm) Cho phân số A = n a) Tìm các giá trị n để A là phân số b) Tìm n để A có giá trị nguyên Câu 4: (2,0 điểm) a) So sánh: 31111 và 17139 b) Tìm số tự nhiên nhỏ biết số đó chia cho dư 3, chia cho dư Câu 5: (2,0 điểm) Trên đoạn thẳng AC có độ dài 12cm, lấy điểm B cho AB = 5cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BC b) Gọi M, N là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC Tính độ dài đoạn thẳng MN c) Lấy điểm D thuộc tia đối tia CA cho CD = 7cm Chứng tỏ điểm C là trung điểm đoạn thẳng BD Câu 6: (1,0 điểm) Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 - HẾT Chú ý: - Học sinh không sử dụng máy tính - Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN NĂM HỌC 2015 – 2016 - o0o Câu Đáp án a) Tìm x, biết: - (x + 84) + 213 = -16 - (x + 84) + 213 = -16 - x – 84 + 213 = - 16 - x = - 16 + 84 – 213 - x = - 145 x = 145 x 1 14 12 34 b) x 1 1 => x - = x – = - x–1=1 x=2 ; x – = -1 x = Vậy x = x = a)Vì p là số nguyên tố lớn nên p có dạng p = 3k + p = 3k + kN * Câu (1,5 điểm) Câu (2,0 điểm) Nếu p = 3k + thì p + = 3k + + = 3k + = 3(k + 2) Suy p + là hợp số, trái với đề bài Vậy p = 3k + Với p = 3k + thì p + = 3k + + = 3k + = 3(k + 3) Vậy p + là hợp số Vậy với p và p + là các số nguyên tố (p > 3) thì p + là hợp số b)Ta có: abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 1000a + 96b + 4b + 8c + 2c + d = 1000a + 96b + 8c + (d + 2c + 4b) Vì 10008 nên 1000a8; 968 nên 96b8; 8c8 và d + 2c + 4b 8 (theo bài ra) Vậy 1000a + 96b + 8c + (d + 2c + 4b) 8 Suy abcd 8 Vậy (d + 2c + 4b) 8 thì abcd 8 n 1 n 1 n n Ta có: n Để A có giá trị nguyên thì (n – 3) hay (n – 3) Ư(4) Hay (n – 3) {-1; 1; -2; 2; -4; 4) n - = -1 n = (TM) n – = n = (TM) n – = -2 n = (TM) n – = n = (TM) n – = -4 n = -1 (TM) n – = n = (TM) Vậy n {-1; 1; 2; 4; 5; 7} a) So sánh: 31111 và 17139 Ta có: 31111 < 32111 = (25)111 = 2555 17139 > 16139 = (24)139 = 2556 Vì 555 < 556 nên 2555 < 2556 Vậy 31111 < 17139 Tìm số tự nhiên nhỏ biết số đó chia cho dư 3, chia cho dư (3) Gọi N là số cần tìm Vì n chia dư nên ta có: n – n – + 20 n + 175 (1) Vì n chia dư nên ta có: n – n – + 21 7 n + 177 (2) Từ (1) và (2) và n là số nhỏ nên n + 17 = BCNN(5; 7) BCNN(5; 7) = 35 Suy ra: n + 17 = 35 n = 35 – 17 = 18 Vậy số cần tìm là 18 Trên đoạn thẳng AC có độ dài 12cm, lấy điểm B cho AB = 5cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BC A Câu (2,0 điểm) M B N C D Vì B nằm trên đoạn thẳng AC nên AB + BC = AC Thay AB = 5cm, AC = 12cm, ta có: BC = AC – AB = 12 – = 7cm b) Gọi M, N là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC Tính độ dài đoạn thẳng MN Ta có B nằm hai điểm A và C, mà M là trung điểm AB, N là trung điểm BC nên B nằm hai điểm M và N Suy ra: MN = MB + BN AB MB N là trung điểm Mặt khác vì M là trung điểm AB nên ta có: BC BC nên BN = 1 1 AB BC AB BC AC 6cm 2 Suy ra: MN=MB + BN = c) Lấy điểm D thuộc tia đối tia CA cho CD = 7cm Chứng tỏ điểm C là trung điểm đoạn thẳng BD Vì B thuộc tia CA, D nằm trên tia đối tia CA nên C nằm hai điểm B và D Vì C nằm hai điểm B và D và CB = CD = 7cm nên C là trung điểm đoạn thẳng BD Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 Ta có: Câu (1,0 điểm) 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + + 99.100.(101 – 98) = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 99.100.101 -98.99.100 = 99.100.101 99.100.101 333300 S= (4)