Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được ¼ công việc.. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?[r]
(1)Phan Hòa Đại SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017 BÌNH ĐỊNH Đề chính thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Môn thi: Toán ( ĐỀ CHUNG ) Bài 1: (1,5 đ) Cho biểu thức: T Rút gọn T Tìm các giá trị x để Ngày thi: 06/6/2016 Thời gian làm bài: 120’ x 1 x 1 x x x ( Với x > ; x ≠ 1) x 1 x x T x 13 Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Bài 3: (2 đ) Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì hoàn thành ¼ công việc Hỏi làm riêng thì người hoàn thành công việc bao lâu? Bài 4: (4 đ) Cho đường tròn tâm O và dây AB không phải là đường kính Vẽ đường kính CD vuông góc với AB K ( D thuộc cung nhỏ AB).M là điểm thuộc cung nhỏ BC ( M không trùng với B và C) DM cắt AB F a) CM tứ giác CKFM nội tiếp b) Chứng minh: DF.DM=AD2 c) Tia CM cắt đường thẳng AB E Chứng tỏ tiếp tuyến M (O) qua trung điểm EF d) Chứng minh: FB KF EB KA x 2016 x 2017 x 1 x 1 -* HƯỚNG DẪN GIẢI x 1 x 1 x x x ( Với x > ; x ≠ 1) x 1 x x Bài 5: (1 đ) : Tìm GTLN biểu thức: A Bài 1: ( đ) Cho biểu thức: T a)Rút gọn T:Với x > ; x ≠ x 1 x 1 x T x x x 1 x x x 1 x 1 .x x 1 x x x x x 1 4x x 1 T x 13 2x x 13 2x x 13 Đặt x t , ta 1 3 (TM § K) t1 1 3 28 14 3 2 pt: 2t -2t-13=0 x x (TM § K) 1 3 (Lo¹i) t b)Với x > ; x ≠ 1, ta có Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1) *Cách 1:2 Dựa vào điều 2kiện nghiệm pt bậc hai: 2 2 (1) 2y x x y x 2y xy x xy 2y x x 2y y x x(2y y 1) 2y y § Æt 2y y a x x(a 1) (a 1) 0(*) Xem (*) là pt bậc ẩn x, đk cần pt(1) có nghiệm x nguyên : là số chính phương k ( k N) (a 1)2 4(a 1) k a 2a k (a 1)2 k 4 (a k)(a k) 4 (2) Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định Vì a Z và k N nên a-1-k a-1+k và a-1-k ; a-1+k có cùng tính chẵn -lẻ nên có trường hợp: a k 2 a k 1 a TM § K a k a k k -Với a=1 thì 2y2-y=1 2y2-y-1=0 (**) , pt (**) có dạng a+b+c=0 nên có nghiệm:y1=1 (TMĐK) ; y2= c (loại) a a k 22 x 2 2 Với a=1; k=2 thì pt (*) có hai nghiệm: (TMĐK) 2 a 1 k 11 x1 0 2 Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1) *Cách 2: Đưa pt tích: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1) x2-2y2x+xy+2y2 -x-y=1 x(-2y2+y+x)-(-2y2+y+x)=1 (-2y2+y+x)(x-1)=1 x y x x x x 1 y (Lo¹i) 2 2 y 2y x y 2y y 2y y x x x 1 x0 x0 2y2 x y 1 2y y 1 2y y y y y 1 (Lo¹i) Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1) Bài 3: Gọi thời gian làm riêng xong công việc người thợ thứ là x ( giờ), người thợ thứ hai là y (giờ) ĐK: x ,y > 16 Trong giờ: + Người thợ thứ làm được: (CV) x (CV) y + Cả hai người thợ làm được: (CV) 16 1 Ta pt: + = (1) x y 16 Người thợ thứ làm được: (CV) x Người thợ thứ hai làm được: (CV) y Cả hai người thợ làm được: (CV) Ta pt: (2) x y + Người thợ thứ hai làm được: (3) Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 1 1 x y 16 x 24 Từ (1) và (2) ta hệ pt: giải hpt ta được: (TMĐK) y 48 x y Vậy thời gian làm riêng xong công việc người thợ thứ là 24 giờ, người thứ hai là 48 C Bài 4: (4 đ) a) CM tứ giác CKFM nội tiếp CD AB => CKF = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Lại có CMF =900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Suy CKF + CMF =1800 => Tứ giác ABEF nội tiếp b) CMR: DF.DM=AD2 A Ta có: DKF DMC 900 Lại có : D1 chung => DKF DMC g.g M O DF CD DF.DM DK.CD(1) DK DM K F B I E Lại có: DAC 90 ( góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn (O)); AKC 90 => ACD vuông A có D đường cao AK nên: AD =DK.CD (2) Từ (1) và (2) suy DF.DM=AD2 c Chứng minh: Tiếp tuyến M đường tròn (O) qua trung điểm EF: Gọi giao điểm tiếp tuyến đường tròn (O) M với AE là I -Ta có: M M 900 ( vì OMI 90 ), E M 900 ( vì CKE 90 ), lại có C M ( Vì OC=OM => OMC cân C) suy E M => IME cân I => IM=IE (3) -Ta có: M IMF DME 900 , E F 900 ( vì DME 90 ) , mà E M (c.mt) => IMF cân I => IM=IF (4) Từ (3) và (4) suy IE=IF =>Tiếp tuyến M đường tròn (O) qua trung điểm EF FB KF d) CMR: EB KA Ta có: A1 M1 ( góc nội tiếp cùng chắn cung DB) và F1 F ( đối đỉnh) FB FD FB.FA FM.FD(5) FM FA Ta có DKF MMF 900 và F1 F ( đối đỉnh) => ADF MBF g.g FM FK FE.FK FM.FD(6) FE FD FB FK FB FK FB FK Từ (5) và (6) suy ra: FB.FA=FE.FK => FE FA FE FB FA FK EB KA => FKD FME g.g Bài 5: (1 đ) : ĐK: x 2017 A x 2016 x 2017 x 1 x 1 Theo BĐT Cô –Si cho hai số không âm, ta có: x 2016 2017 x 2017 2016 x 1 2017 x 1 2016 (4) Phan Hòa Đại A x 2016 2017 x 1 2017 Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định x 2017 2016 x 1 20176 x 1 x 1 2017 1 1 2016 x 1 20176 2017 x 1 2016 2017 2017 2016 2016 2017 2017 2016 2016 2017 A 2016 2017 2.2016.2017 8132544 2017 x 2016 x 4033 (TMĐK) 2016 x 2017 Dấu “=” xảy và khi: Vậy Amax= 2017 2016 2016 2017 x=4033 8132544 (5)