Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu được ngay kết quả cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.[r]
(1)ĐỀ ÔN VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) x 1 P : x x x 1 x x Câu (2,5điểm) Cho biểu thức a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn P b) Tính P x = c) Tìm x để biểu thức P > -1 Câu (2,5điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1) với x là ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm giá trị tham số m để x = - là nghiệm phương trình c) Tìm giá trị nhỏ A= x12 + x22 Câu (1,5 điểm) Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trước làm việc đội xe đó bổ sung thêm xe nên xe chở ít so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết số hàng chở trên tất các xe có khối lượng Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC E và F a) Chứng minh rằng: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật b) Chứng minh rằng: BEFC là tứ giác nội tiếp c) Gọi K là trung điểm HC Đường vuông góc với EC C cắt KF P Chứng minh BP song song với AC 1 1 Câu (0,5điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện : a b c a2 b2 c2 a b c Chứng minh rằng: a bc b ca c ab HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (2) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Ý Nội dung cần đạt x 1 P : x x x 1 x x Cho biểu thức (2,5đ ) a 1,0đ ĐKXĐ : x > 0; x 1 P x( Ta có x 1 ( = x ( x 1) = b 0,75đ c 0,75đ (2,5đ ) Biểu điểm a 1,0 đ x 1) x 1 0,25đ 0,25đ x1 x Ta có x = ĐKXĐ Nên thay x = vào P ta có 0,25đ 1 1 3 2 3 0,5đ P= Với x ĐKXĐ ta có P > -1 x1 x >-1 x >- x x >1 x >2 x > và x 1 Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m – = (1) với x là ẩn số Thay m = vào phương trình (1) ta có x2 – 2(0-1)x + – = x2 + 2x – = Vì a+ b + c = + + (-3) = Nên áp dụng hệ thức Vi- ét ta có x1 = 1; x2 = - Thay x = - vào phương trình (1) ta có B (-2)2 + 4(m-1) + m – = 0,75đ c 0,25đ 0,25đ 1 x 1 : x 1) x ( x 1) + 4m – + m - 3=0 5m =3 m = ' Ta có = (m-1)2 – (m – 3) = m2 – 2m + – m + 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (3) = m2 – 3m + ĐK để phương trình có nghiệm là m2 – 3m + 0 Theo hệ thức Vi- ét ta có x1+ x2 = 2(m-1) ; x1.x2 = m - Ta có: A= x12 + x22 = (x1 + x2)2 - x1.x2 0,75đ = 4(m-1)2 – 2(m- 3) = 4m2 – 10m + 10 15 = (2m – )2 + 15 Do (2m – )2 với m nên A với m Dấu “=” xảy và m = 15 Vậy A = m = Gọi số xe lúc đầu đội là x (xe) ĐK: x Z Thì số xe lúc sau đội là: x + (xe) 1,5đ 0,25đ 0,25đ 360 Mỗi xe lúc đầu dự định chở là: x (tấn) 360 x ( tấn) Mỗi xe lúc sau phải chở là: (1,5đ ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Theo bài ta có phương trình 36 36 x - x = 36.x + 108 – 36x = x2 + 3x x2 + 3x -108 = 0,25đ 0,25đ Giải phương trình ta x1 = ( Thỏa mãn) ; x2 = -12 Vậy lúc đầu đội có 9xe 0,25đ ( Loại) A F E B C H K P (4) a 1,0đ b 1,0đ 3,0đ c 1,0đ Xét tứ giác AEHF ta có EAF 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) AEH 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AFH 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có: 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ AEF AHF ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF) AHF = HCF ( Vì cùng phụ với góc CHF ) HCF AEF Nên = Do đó Tứ giác BEFC nội tiếp Ta có EFP ECP ( = 900) Nên tứ giác EFCP nội tiếp mà Tứ giác BEFC nội tiếp nên điểm B, E, F, C, P cùng nằm trên đường tròn Do đó Tứ giác BECP nội tiếp Nên EBP ECP 180 mà ECP = 900 Do đó EBP = 900 nên BP AB mà AC AB Vì AC //BP Từ giả thiết suy ab + bc + ca = abc Ta có 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a2 a3 a3 a3 a bc a abc a ab bc ca (a b)(a c) Do đó bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại: a3 b3 c3 a b c (a b)(a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) 0,5đ 0,5đ 0,25đ Sử dụng BĐT Cauchy, ta a3 a b a c a (a b)(a c) + + a 4a b c (a b)(a c) Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu kết cần chứng minh Đẳng thức xảy và a = b = c = 0,25 đ (5)