Hệ quả Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.. Phương p[r]
(1)Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 – HK I PHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Các hệ thức lượng giác sin a tan a = 2 sin a + cos a = cosa 1 + tan2 a = 1+ cot2 a = cos a sin2 a cot a = cosa sin a tan a.cot a = Giá trị lượng giác cung góc có liên quan đặc biệt 2.1 Cung đối nhau: a và - a 2.2 Cung bù nhau: a và p - a cos(- a) = cosa sin(- a) = - sin a tan(- a) = - tan a cot(- a) = - cot a 2.3 Cung kém p : a và a + p sin(a + p) = - sin a cos(a + p) = - cosa tan(a + p) = tan a cot(a + p) = cot a Công thức lượng giác 3.1 Công thức cộng sin(a + b) = sina cosb + sinbcosa sin(a - b) = sina cosb - sinbcosa cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb tana + tanb 1- tana tanb tana - tanb tan(a - b) = + tana tanb 3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích a +b a- b cosa + cosb = 2cos cos 2 a +b a- b cosa - cosb = - 2sin sin 2 a +b a- b sina + sinb = 2sin cos 2 a +b a- b sina - sinb = 2cos sin 2 3.5 Công thức hạ bậc tan(a + b) = sin(p cos(p tan(p cot(p - a) = sin a a) = - cosa a) = - tan a a) = - cot a p - a 2.4 Cung phụ nhau: a và æ ö æ ö p p ÷ ÷ ç ÷ ÷ sinç a = cos a cos a = sin a ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è2 ø è2 ø æ ö æ ö p p ÷ ÷ tanç = cot a cot ç = tan a ç - a÷ ç - a÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è2 ø è2 ø 3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a tan2a = 2tana 1- tan2 a sin3a = 3sina - 4sin3 a cos3a = 4cos3 a - 3cosa 3.4 Công thức biến đổi tích thành tổng ù cosa cosb = é ëcos(a + b) + cos(a - b)ú û 2ê 1é ù êcos(a + b) - cos(a - b)û ú 2ë ù sina cosb = é ësin(a + b) + sin(a - b)ú û 2ê sina sinb = - (2) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC + cos2a 1- cos2a sin2 a = cos2 a = BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT Hàm số y sin x TXĐ: D=R T 1;1 Tập giá trị: Là hàm số lẻ Chu kỳ: T 2 Hàm số y cos x TXĐ: D=R T 1;1 Tập giá trị: Là hàm số chẵn Chu kỳ: T 2 Hàm số y tan x DR\,kZ TXĐ: 2 Tập giá trị: T R Là hàm số lẻ Chu kỳ: T Hàm số y cot x D R \ k , k Z TXĐ: Tập giá trị: T R Là hàm số lẻ Chu kỳ: T II BÀI TẬP A DẠNG 1: Tìm GTNN – GTLN hàm số y 3cos x 2 y 1 5sin x y 4 cos x 5 y cos x sin x 4 y sin x cos x 4 y sin x cos x 1+3 cos x y= 11 12 y=2−4 sin x cos x 13 y=3 √ cos2 x+1 14 y=4 sin x−cos x 2 15 y 2sin x 4sin x cos x 16 y 2 cos x cos x (3) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC 17 y 2 cos x 4sin x cos x y 3cos x 2 y 1 5sin x 18 y sin x cos x 10 y 2sin x 19 20 B DẠNG 2: Xét tính chẵn lẻ hàm số y= cos x x y=2 x−2sin x y sin x x y 2 sin x cos x y=4 sin2 x−cos2 x y=3 √ cos2 x+1 y=7−3|sin3 x| √ 2 y= 5−2sin xcos x BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I LÝ THUYẾT u v k 2 sin u sin v u v k 2 u v k 3600 sin u sin v 0 u 180 v k 360 Công thức nghiệm theo độ: Các giá trị đặc biệt: sin x 0 x k xsin1k2 sin x x k 2 u v k 2 cos u cos v u v k 2 u v k 3600 cos u cos v u v k 360 Công thức nghiệm theo độ: Các giá trị đặc biệt: cos x 0 x k cos x 1 x k 2 cos x x k 2 (4) Bài tập đại số và giải tích 11 II A T.Sang- NHC tan u tan v u v k cot u cot v u v k BÀI TẬP Dạng Phương trình lượng giác sin 3x cos2 x=− 11 √2 ( π4 )=√ √2 12 cos x 15o 0,5 13 cos x 15o 0,5 tan x− cos x −sin4 x= sin x−sin x cos x=0 sin x sin x 5 5 14 sin x−cos x=0 15 tan x cot x=1 16 4cos x 0 ( π6 )+1=0 π cos ( x− )+1=0 t an3 x 0 cos x− 17 cos 2 x 18 cos x 1 cos x 1 ( tan x + π +tan x=0 ) cot x 20o cot 60o 19 sin x cos x x cos x−2 sin2 =0 20 10 B Dạng Phương trình bậc hai hàm số lượng giác cos2 x−2 ( √ 3+1 ) cos x+ √ 3=0 cos2 x +5 sin x−4=0 2cosx−8+5=0 2cos x 3cos x 1 0 2sin x 5sin x 0 cos x sin x 0 cos x cos x 1 0 cot x cot x 0 cos x cos x 0 10 cos x 5sin x 0 11 tan x cot x 0 x x sin - cos + = 2 12 (5) Bài tập đại số và giải tích 11 x cos x 5sin 0 13 14 cos x - sin x - = 15 cos x 3cos 3x 0 16 cos x cos x=1+cos x+cos x =3+2 tan2 x 17 cos x 18 tan x−2 cot x−3=0 19 6sin 3x cos12 x 4 20 21 cos2 x−3 cos x=4 cos cot x=tan x + x 2cos x sin x cos x ( 2sin x +3 √2 )+2sin x −3 =1 1+sin x 22 23 tan x +2 tan x−1=0 1 cos x−sin x= − sin x cos x 24 C Dạng Phương trình bậc theo sinu và cosu √ cos x−sin x=√ cos x−√ sin x=−1 3 sin x cos x 1 cos x sin x 2 3cos x sin x sin x cos x 7 2sin x cos x sin x+ √3 cos3 x=√ 2 2sin x sin x 3 10 sin x cos x 11 cos x− √ sin x =√ 12 2sin x cos x cos x 0 sin2 x cos x + √ cos4 x + √2=0 14 cos x−sin x=√ ( cos5 x−sin x ) 13 15 sin x +sin x = T.Sang- NHC (6) Bài tập đại số và giải tích 11 16 T.Sang- NHC √3 ( 1−cos x ) =cos x sin x 17 tan x−3 cot x=4 ( sin x+ √ cos x ) 18 sin x− √ cos x =1+4 sin x D Dạng Phương trình bậc hai (đẳng cấp) theo sinu và cosu sin2 x +3 sin x cos x−4 cos x=0 sin x+3sin x−2 cos x=4 2 2 3sin x sin x cos x 2cos x 3 sin x sin x cos x 2 2sin x 3 sin x cos x cos x 4 2 cos x sin x 3sin x 0 2 2sin x sin x cos x cos x 2 cos x 3sin x 2 cos x sin x 3sin x 0 x x sin2 +3 √ sin x−2 cos =4 2 10 3 11 sin x +2 sin x cos x−3 cos x=0 2 12 3sin x+8sin xcos x+ ( √ 3−9 ) cos x=0 2 13 sin x−5 sin x cos x−cos x=−2 3 14 sin x+3 sin x cos x −sin x−cos x =0 E Dạng 5: Phương trình dạng đối xứng và bán đối xứng sin x cos x 2sin x cos x 1 0 sin x cos x 6sin x cos x 0 sin x cos x 4sin x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 3sin x sin x cos x 2 sin x cos x 2sin x 3 sin x cos x 0 sin x 2sin x cos x F Tổng hợp số đề thi và Bài tập tổng hợp A13: 1+ sin x =2(sin x +cos x ) cos x (7) Bài tập đại số và giải tích 11 B13: D13: T.Sang- NHC sin x +2 cos x=1 sin 3x cos x sin x π cos ( −x)+sin x=0 CĐ 13: A12: √ 3sin2 x+cos2 x=2 cos x−1 B12: ( cos x+ √3 sin x ) cos x=cos x− √3 sin x+1 D12: CĐ12: sin x+cos x−sin x+cos x=√2 cos2 x cos x +sin x=sin x 1+sin x+cos x = √ sin x sin x 1+cot x A11: 10 B11: sin x cos x +sin x cos x=cos x +sin x +cos x 11 D11: sin x +2 cos x−sin x−1 =0 tan x + √ 12 CĐ11: cos4x+12in−=0 ( π4 ) = cos x (1+sin x +cos x ) sin x+ 1+tan x 13 A10: 14 B10: 15 D10: √2 ( sin x +cos2 x ) cos x+2 cos x−sin x=0 sin x−cos x +3 sin x−cos x−1=0 17 A9: 5x 3x cos +2 ( sin x−1 ) cos x=5 2 ( 1−2 sin x ) cos x = √3 (1+2 sin x )( 1−sin x ) 18 B9: sin x+cos x sin x+ √ cos3 x=2 ( cos x +sin3 x ) 19 D9: √ cos5 x−2sin x cos2 x−sin x=0 20 CĐ9: ( 1+2 sin x )2 cos x=1+sin x +cos x 16 CĐ10: cos + sin x 21 A8: 22 B8: 23 D8: ( sin x− 3π =4 sin ) ( 74π −x) sin3 x− √3 cos x=sin x cos x−√ sin2 x cos x sin x ( 1+cos2 x ) +sin x=1+2 cos x + sin x 24 CĐ8: 1 sin( x− 3π ) =4 sin( 7π −x ) 25 A7: ( 1+sin2 x ) cos x + ( 1+cos x ) sin x=1+sin x 26 B7: sin2 x +sin x−1=sin x (8) Bài tập đại số và giải tích 11 27 D7: T.Sang- NHC x x sin +cos + √ cos x=2 2 ( cos x +sin6 x ) −sin x cos x ( ) ( cot x+ sin x 1+tan x tan 29 B6: 30 D6: 31 A5: 32 B5: =0 √2−2sin x 28 A6: x =4 ) cos x+ cos x−cos x−1=0 cos x cos2 x−cos2 x =0 1+sin x+ cos x+ sin2 x +cos x=0 ( π4 ) sin ( x− π4 )− 32 =0 cos x +sin x+ cos x − 33 D5: CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT I LÝ THUYẾ A HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Quy Tắc Cộng Một công việc nào đó có thể thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực không trùng với phương án nào phương án A thì công việc đó có m+n cách thực Quy Tắc Nhân Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực và ứng với cách đó có n cách thực công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực B HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Hoán vị ( Không lặp) n 1 Mỗi cách xếp n phần tử này theo thứ tự Một tập hợp gồm n phần tử nào đó gọi là hoán vị n phần tử P n! n. n 1 n Số các hoán vị n phần tử: n CHỈNH HỢP k n theo Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp A n! Ank n. n 1 n k 1 n k! Sô chỉnh hợp chập k n phần tử: TỔ HỢP k n phần tử A Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k gọi là tổ hợp chập k n phần tử Ak n! Cnk n k! n k!k! Số các tổ hợp chập k n phần tử: Bảng tóm tắt Ký hiệu Số phần tử lấy từ n phần tử Thứ tự (9) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC P n! Hoán vi: n Chỉnh hợp: n! Ank n k! n phần tử Có thứ tự k phần tử Có thứ tự Tổ hợp: Ak n! Cnk n k! n k!k! k phần tử Không có thứ tự C NHỊ THỨC NEWTON Công thức khai triển nhị thức NEWTON: a b n n Cnk a n k b k , k n;n,k N k 0 Các khai triển thường gặp n - x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 x n - Cn0 Cn1 x Cn2 x 1 Cnn x n n n n - Cn Cn Cn Cn 2 ; Cn Cn Cn Cn Cn Cn D XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ BIẾN CỐ - Không gian mẫu : Là tập hợp các kết có thể xảy phép thử - Biến cố A: Là tập hợp các kết phép thử làm xảy A A - Biến cố đối A: A \ A Hợp hai biến cố: A B ; Giao hai biến cố: A B Viết tắt: A.B XÁC SUẤT P A - Xác suất biến cố: - P A 1 P A Xác suất biến cố đối: P A 1; P 1; P 0 - P A B P( A ) P( B ) Quy tắc cộng: Nếu A B Thì BÀI TẬP QUY TẮC ĐẾM Cho các chữ số 1;2;3;4;5;6 Khi đó có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số thành lập từ các chữ số đã cho? Cho các chữ số 1;2;3;4;5;6 Khi đó, có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đôi khác nhau, thành lập từ các chữ số đã cho? Cho các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 Khi đó, số các chữ số tự nhiên gồm chữ số đôi khác thành lập từ các chữ số đã cho là bao nhiêu? Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác và chia hết cho ? - II A n A n (10) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác và chia hết cho ? Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác và là số chẵn? Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác và là số chẵn? Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác và là số lẻ? Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác và là số lẻ? 10 Cho tâp hợp A = { 1,2,3,4,5,6 } a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác lấy từ tập A ? b Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ 436 và gồm ba chữ số khác ? 11 Cho các chữ số 1;2;3;4;5;6 Khi đó, có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đôi khác nhau, thành lập từ các chữ số đã cho? 12 Với chữ số 1,2,5,7,8 có thể lập bao nhiêu số có chữ số phân biệt thỏa mãn các điều kiện sau a là số chẵn b là số nhỏ 278 c là số chẵn nhỏ 278 13 Cho A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác đôi thỏa: a Luôn mặt số b Luôn có mặt số và c Số 3,5 không đồng thời có mặt d Luôn có mặt số và là số chẵn 14 Cho A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} a có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số b có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác hình thành từ tập hợp trên c có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số đứng cạnh phải khác d có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác cho nhát thiết phải có mặt chữ số 15 Cho các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 Khi đó, số các chữ số tự nhiên gồm chữ số đôi khác thành lập từ các chữ số đã cho là bao nhiêu? 16 Cho các chữ số 1;2;3;4;5;6 Khi đó có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số thành lập từ các chữ số đã cho? 17 Cho chữ số 1,2,3,4,5,6 a có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và luôn chia hêt cho b có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác đó luôn có mặt chữ số ,2 cho chữ số này luôn đứng cạnh c Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác đôi đó có chữ số đầu tiên là số lẻ? 18 Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu 345 (11) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC 19 Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi các số đó có bao nhiêu số bắt đầu 23 20 Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu chữ số 21 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7, có bao nhiêu số gồm chữ số khác và luôn có mặt chữ số và chữ số hàng ngàn là chữ số 22 Cho chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm chữ số khác và luôn có mặt chữ số viết từ các chữ số đã cho 23 Cho chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm chữ số khác viết từ c ác chữ số đã cho 24 Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập số gồm chữ số khác từ chữ số trên cho số tạo thành là số không có chữ số 25 Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập số gồm chữ số khác từ chữ số trên cho số tạo thành là số chẵn 26 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và đó có chữ số 27 Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đồng hồ gồm mặt và dây ? 28 Trên giá sách có sách tiếng Việt (khác nhau), sách tiếng Hoa (khác nhau) và 16 sách tiếng Anh (khác nhau) Hỏi có bao nhiêu cách chọn a Một sách ? b Ba sách với ba thứ tiếng khác ? 29 Từ các chữ số 1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác Trong đó có chữ số và không đứng cạnh 30 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số ,trong đó chữ số có mặt lần còn số khác có mặt đúng lần 31 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta có thể thành lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đó phải có mặt chữ số 32 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số chẵn, số gồm chữ số khác 33 Cho các số 1,2,3,4,5,6,7 Tìm các số tự nhiên gồm chữ số lấy từ chữ số trên cho các chữ số khác 34 Cho các số 1,2,3,4,5,6,7 Tìm các số tự nhiên gồm chữ số lấy từ chữ số trên cho không tận cùng là chữ số 35 Một đội văn nghệ có nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn a Một đôi song ca nam – nữ ? b Một bạn để biểu diễn đơn ca ? 36 Một lớp học có 20 học sinh, đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách người dự hội nghị SV trường cho người có ít cán lớp? 37 Một đội văn nghệ có 20 người, đó 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người cho a Có đúng nam người đó b Có ít nam và ít nữ người đó (12) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC 38 Với các chữ số 1,2,3,4,5,6 Ta lập các số mà số có chữ số đó các chữ số khác đôi Có bao nhiêu số đó phải có mặt chữ số 39 Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Từ các chữ số ta lập có bao nhiêu số chia hết cho 9, có chữ số và chữ số đó khác đôi 40 Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Từ các chữ số ta lập bao nhiêu số chia hết cho 5, có chữ số và chữ số đó khác đôi 41 Một tổ học sinh gồm nam và nữ Giáo viênmuốn chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, đó có ít nam sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn 42 Xếp sách văn, sách sử, sách địa và công dân vào hệ thống theo môn Hỏi có bao nhiêu cách xếp 43 Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam, 15 nữ Có baô nhiêu cách chọn học sinh cho phải có nam nữ 44 Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng, và bông hồng đỏ (các bông hoa xem đôi khác nhau) người ta muốn chọn bó hoa gồm bông Có bao nhiêu cách chọn bó hoa đó có ít bông hồng vàng và ít bông hồng đỏ B HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có bao nhiêu cách Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập số tự nhiên có chữ số khác Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có bao nhiêu cách X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} Từ tập hợp có thể lập số tự nhiên có chữ số khác Có 10 sách toán khác Chọn cuốn, hỏi có bao nhiêu cách Một nhóm có nam và nữ Chọn người cho đó có ít nữ Hỏi có bao nhiêu cách Hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị Một nhóm công nhân gồm 15 nam và nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ công tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam và có ít nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập số tự nhiên có chữ số khác 10 Một nhóm có nam và nữ Chọn người cho đó có ít nữ Hỏi có bao nhiêu cách 11 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra 12 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra 13 Hội đồng quản trị công ty gồm 12 người, đó có nữ Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị và ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu phải có nữ 14 Từ các chữ số 1, 2, lập bao nhiêu số tự nhiên có đúng chữ số 1, chữ số và chữ số 15 Cần xếp nam và nữ vào hàng ghế có chỗ ngồi cho nam ngồi kề và nữ ngồi kề Hỏi có bao nhiêu cách (13) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC 16 Xét đa giác có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh Tính số cạnh đa giác đó 17 Tính số các số tự nhiên đôi khác có chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, cho chữ số và đứng cạnh 18 Tính số các số tự nhiên có chữ số đôi khác thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, cho số đó có mặt ít chữ số 19 Hai nhóm người cần mua nhà, nhóm thứ có người và họ muốn mua kề nhau, nhóm thứ hai có người và họ muốn mua kề Họ tìm lô đất chia thành rao bán (các và chưa có người mua) Tính số cách chọn người thỏa yêu cầu trên 20 Từ chữ số 0, 1, 2, lập thành các số tự nhiên có chữ số phân biệt Tính tổng các số thành lập 21 Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O 22 Cho đa giác có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có các đỉnh là 2n đỉnh đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n đỉnh đa giác Tính số hình chữ nhật 23 Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, đó có em khối 12, em khối 11 và em khối 10 Tính số cách chọn em đội dự trại hè cho khối có ít em chọn 24 Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác Tính số tập hợp khác rỗng chứa số chẵn các phần tử X 25 Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng và bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp đó cho không có đủ màu 26 Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt, biết trận đấu: đội thắng điểm, hòa điểm, thua điểm và có 23 trận hòa Tính số điểm trung bình trận toàn giải 27 Tính số các số tự nhiên gồm chữ số chọn từ 1, 2, 3, 4, cho chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần 28 Tính số các số tự nhiên gồm chữ số phân biệt và chữ số đầu tiên là thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 29 Từ nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và học sinh khối C chọn 15 học sinh cho có ít học sinh khối A và có đúng học sinh khối C Tính số cách chọn 30 Từ nhóm 12 học sinh gồm học sinh khối A, học sinh khối B và học sinh khối C chọn học sinh cho khối có ít học sinh Tính số cách chọn 31 Tính số tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa mà không chứa 32 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Tính số cách chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh này thuộc không quá lớp trên 33 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập thành số tự nhiên chẵn có chữ số phân biệt nhỏ 25000 Tính số các số lập 34 Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng và bông hồng đỏ ( các bông hoa xem đôi khác ), ta chọn bó gồm bông a Có bao nhiêu cách chọn bó hoa đó có đúng bông hồng đỏ ? (14) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC b Có bao nhiêu cách chọn bó hoa đó có ít bông hồng vàng và bông hồng đỏ ? 35 Một lớp có 20 em h/s đó có 14 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập đội gồm h/s đó: a Số nam nữ b Có ít nữ 36 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lý nam Lập đoàn công tác người cần có nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách? 37 Một tổ có h/s nam và h/s nữ xếp thành hàng dọc a Có bao nhiêu cách xếp khác ? b Có bao nhiêu cách xếp cho không có h/s cùng giới đứng cạnh ? 38 Một lớp có 30 h/s nam và 15 h/s nữ Có h/s chọn để lập tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách lập khác : a Nếu phải có ít nữ ? b Nếu chọn tuý ý ? 39 Một đội văn nghệ có 20 người, đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người cho: a Có đúng nam người đó b Có ít nam và ít 1nữ người đó 40 Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người làm nhiệm vụ địa điểm B, người lại trực đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công? 41 Một lớp học có 20 học sinh, đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử người dự hội nghị sinh viên trường cho trong3 người có ít cán lớp? 42 Một đội văn nghệ có 10 người đó có nữ và nam a Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành nhóm có số người và nhóm có số nữ ? b Có bao nhiêu cách chọn người mà đó có không quá nam ? 43 Một nhóm gồm 10 học sinh đó có nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 h/s trên thành hàng dọc cho học sinh nam phải đứng liền ? a Có bao nhiêu cách xếp khác ? b Có bao nhiêu cách xếp cho không có học sinh cùng giới đứng cạnh ? 44 Có bao nhiêu cách xếp h/s A, B, C, D, E vào cái ghế dài cho: a Bạn C ngồi chính ? b Hai bạn A, E ngồi đầu ghế ? 45 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không đủ mầu ? 46 Xếp bi đỏ có bán kính khác và bi xanh giống vào dãy ô trống a Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau? (15) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC b Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác cho bi đỏ xếp cạnh và bi xanh xếp cạnh nhau? 47 Một nhóm h/s gồm 10 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn mõi trường hợp sau: a Có học sinh nhóm ? b Có học sinh nhóm đó có nam và nữ ? 48 Trong phòng có bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 h/s gồm nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: a Các h/s ngồi tuỳ ý ? b Các h/s nam ngồi bàn và các h/s nữ ngồi bàn ? 49 Một đoàn tầu có toa chở khách: toa I, toa II, toa III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tầu Biết toa có ít chỗ trống Hỏi: a Có bao nhiêu cách xếp cho hành khách lên toa tầu đó ? b Có bao nhiêu cách xếp cho hành khách lên tầu để có toa có hành khách trên ? 50 Một trường tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, đó có cặp anh em sinh đôi Cần chọn nhóm h/s số 50 h/s trên dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? C GIẢI PT – BPT – HPT An An 12 C1x 6.Cx2 6.Cx3 9 x 14 x n 1 n Cn 4 Cn3 7( n 3) C1x +C 2x +C3x = x 2 C3x−1 −C 2x−1 = A 2x−2 x−3 A 3x +2 C x−1 x +1 −3 C x−1 =3 x +P6 +159 C5x C5x C5x 25 Cnn Cnn Cnn 79 14 x x x C5 C6 C7 C o Cxx C xx 79 10 x A3 C xx 14 x 11 x 12 Cxx83 5 Ax36 (16) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC 13 C1x 6C x2 6C x3 9 x 14 x 14 Cn6 3Cn7 3Cn8 Cn9 2Cn82 1 1 15 Cx Cx 1 6C x 4 PA726 16 x Cn4 Cn3 An2 0 17 Cn21 n C 10 n 18 A3 Cnn11 14 n 1 19 n1 An44 143 n ! Pn 20 An4 24 n An 1 Cn 23 21 Ax 0 22 A2 x Ax2 Cx3 10 x 23 A Ax 21x 24 x A2 x Ax2 Cx3 10 x 25 C x4 Cx3 Cnn13 A 14 P3 26 n 1 Cnn 12 Cnn2 27 D NEWTON An A ( x )= x− ,( x≠0 ) x ( Tìm số hạng không chứa x khai triển Cho khai triển nhị thức Newton Tìm số hạng chứa x C n =13 Cn , n∈Ν 10 x − x 12 ( ) khai triển ) Tìm số hạng chứa x ( x 3− x2 n ) biết n thỏa mãn hệ thức: (17) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC n D ( x ) = x − , ( x≠0 , n∈Ν ) x x Tìm hệ số chứa khai triển , biết n thỏa 3 mãn hệ thức sau: C n+1 +2 C n= A n ( ) ( E ( x )= √ x + Tìm số hạng không chứa x khai triển mãn hệ thức: C n+3 =2 C n+2 , Tìm hệ số chứa x 10 ) , biết n thỏa ( x >0 ,n∈Ν ) P( x )= ( x +1 ) −( x +1 ) + ( x +1 ) n khai triển và rút gọn đa thức: Tìm hệ số chứa x √x khai triển và rút gọn đa thức: Q( x )= ( 2+x ) + ( 2−x ) 12 P( x) x x Tìm hệ số chứa x khai triển và rút gọn đa thức: P( x) x x3 Tìm hệ số chứa x khai triển và rút gọn đa thức: P( x ) x x 10 Tìm hệ số chứa x khai triển và rút gọn đa thức: Q( x) x 11 Tìm hệ số chứa x khai triển và rút gọn đa thức: 10 . x 10 12 Tìm hệ số chứa x khai triển và rút gọn đa thức: Q ( x) x 10 x x2 E XÁC SUẤT Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất a Xuất mặt lẻ b Xuất mặt lớn Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất a Hai lần gieo giống b Tổng hai lần gieo 10 c Tích hai lần gieo là số lẻ d Lần đầu xuất mặt lẻ Sấ PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: PHÉP BIẾN HÌNH BÀI 1: PHÉP TỊNH TIẾN I LÝ THUYẾT M x; y M ' x '; y ' v a; b Cho điểm , gọi là ảnh M qua phép tịnh tiến theo vector Khi đó, ta có biểu thức tọa độ: x ' x a Tv M M ' MM ' v y ' y b (18) Bài tập đại số và giải tích 11 II T.Sang- NHC BÀI TẬP v 2; 3 d : x y Cho điểm A(1;2), đường thẳng và vector Tìm ảnh A,d v 2; 3 qua phép tịnh tiến theo vector Cho điểm A(3;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm ảnh A,d qua phép tịnh tiến v 2;5 theo vector Cho điểm A(4;-2), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x 1 y 3 9 v 1; Tìm ảnh A,d,(C) qua phép tịnh tiến theo vector Cho điểm A(5;2), đường thẳng d : 3x y 0 và đường tròn C : x y x y 0 v 3;1 Tìm ảnh A,d,(C) qua phép tịnh tiến theo vector Cho điểm A(1;2), B(2;-1), C(4;0), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x y 16 Tìm ảnh C,d,(C) qua phép tịnh tiến theo vector AB Cho điểm A(2;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm A’,d’ là ảnh A,d qua phép v 2; 3 tịnh tiến theo vector Cho điểm A(0;-1), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y x 0 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) vector v 2;3 qua phép tịnh tiến theo Cho điểm A(0;1),B(1;-1), C(-2;3), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y 1 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) qua phép tịnh tiến theo vector BC Cho hai điểm A(1;-2), B(-3;1) và hai đường thẳng d : x y 0, d ' : x y 0 Tìm hai điểm C,D trên d,d’ cho ABCD là hình bình hanh 10 hai điểm A(3;0), B(-2;1) và hai đường thẳng d : x y 0, d ' : x y 0 Tìm hai điểm C,D trên d,d’ cho ABCD là hình bình hanh BÀI 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I LÝ THUYẾT M x; y M ' x '; y ' Cho điểm , gọi là ảnh M qua phép đối xứng Ox,Oy Khi đó, ta có biểu thức tọa độ: x ' x ox M M ' y ' y Đ (19) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC x ' x oy M M ' y ' y Đ II BÀI TẬP Cho điểm A(1;2), đường thẳng d : x y 0 Tìm ảnh A,d qua phép đối xứng trục Ox Cho điểm A(3;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm ảnh A,d qua phép đối xứng trục Oy Cho điểm A(4;-2), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x 1 y 3 9 Tìm ảnh A,d,(C) qua phép đối xứng trục Oy Cho điểm A(5;2), đường thẳng d : 3x y 0 và đường tròn C : x y x y 0 Tìm ảnh A,d,(C) qua phép đối xứng trục Ox Cho điểm A(1;2), B(2;-1), C(4;0), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x y 16 Tìm ảnh C,d,(C) qua phép đối xứng trục Oy Cho điểm A(2;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm A’,d’ là ảnh A,d qua phép đối xứng trục Ox Cho điểm A(0;-1), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y x 0 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) qua phép đối xứng trục Oy Cho điểm A(0;1),B(1;-1), C(-2;3), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y 1 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) qua phép đối xứng trục Ox BÀI 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM I LÝ THUYẾT M x; y M ' x '; y ' I a; b Cho điểm , gọi là ảnh M qua phép đối xứng tâm Khi x ' 2a x I M M ' y ' 2b y đó, ta có biểu thức tọa độ: Đ II BÀI TẬP Cho điểm A(1;2), I(4;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm ảnh A,d qua phép đối xứng tâm I Cho điểm A(3;-1), I(-1;5), đường thẳng d : x y 0 Tìm ảnh A,d qua phép đối xứng tâm I Cho điểm A(4;-2), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x 1 y 3 9 gốc tọa độ Tìm ảnh A,d,(C) qua phép đối xứng tâm O với O là (20) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Cho điểm A(5;2), đường thẳng d : 3x y 0 và đường tròn C : x y x y 0 Tìm ảnh A,d,(C) qua phép đối xứng tâm H(1;3) Cho điểm A(1;2), B(2;-1), C(4;0), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x y 16 Tìm ảnh C,d,(C) qua phép đối xứng ttâm I(-1;3) Cho điểm A(2;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm A’,d’ là ảnh A,d qua phép đối xứng tâm E(6;-1) Cho điểm A(0;-1), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y x 0 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) qua phép đối xứng tâm I(-3;2) Cho điểm A(0;1),B(1;-1), C(-2;3), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y 1 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) qua phép đối xứng tâm H(0;3) BÀI 4: PHÉP QUAY I LÝ THUYẾT II BÀI TẬP BÀI 5: PHÉP VỊ TỰ I LÝ THUYẾT M x; y M ' x '; y ' I a; b Cho điểm , gọi là ảnh M qua phép vị tâm , tỷ sô k Khi x ' k x a a V I ,k M M ' IM ' k IM y ' k y b b đó, ta có biểu thức tọa độ: II BÀI TẬP Cho điểm A(1;2), I(4;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm ảnh A,d qua phép vị tự tâm I tỷ số k=2 Cho điểm A(3;-1), I(-1;5), đường thẳng d : x y 0 Tìm ảnh A,d qua phép vị tự tâm I tỷ số k=-2 Cho điểm A(4;-2), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x 1 y 3 9 Tìm ảnh A,d,(C) qua phép vị tự tâm O tỷ số k=3 Cho điểm A(5;2), đường thẳng d : 3x y 0 và đường tròn C : x y x y 0 Tìm ảnh A,d,(C) qua phép vị tự tâm H(1;2), tỷ số k=-2 Cho điểm A(1;2), B(2;-1), C(4;0), đường thẳng d : x y 0 và đường tròn C : x y 16 Tìm ảnh C,d,(C) qua phép vị tự tâm O, tỷ số k (21) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Cho điểm A(2;-1), đường thẳng d : x y 0 Tìm A’,d’ là ảnh A,d qua phép 1 k vị tự tâm E(6;-1), tỷ số Cho điểm A(0;-1), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y x 0 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) qua phép vị tự tâm I(-3;2), tỷ số k=2 Cho điểm A(0;1),B(1;-1), C(-2;3), đường thẳng , d : x y 0 và đường tròn C : x y 1 Tìm A’,d’, (C’) là ảnh A,d, (C) qua phép vị tự tâm H(1;2), tỷ số k BÀI 6: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG CÁC BÀI TOÁN Dd Ss Gg CHƯƠNG II: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Bài toán 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( Không có yếu tố song song) Giao tuyến hai mặt phẳng là gì ? Giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng nằm hai mặt phẳng đó Muốn: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) Cần: A a (P) A ( P) Q A b ( Q ) Tìm điểm B a1 ( P ) B ( P) Q B b1 (Q) Tìm điểm ( P) Q AB Kết luận Giao tuyến BÀI TẬP Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M và N là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) và (NAD) Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AD Lần lượt lấy I, J trên các cạnh AB, AC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) và (DIJ) Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm cạnh AB Lấy điểm N trên cạnh AC cho AN = 2CN Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) Bài toán 2: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng là gì ? Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng là điểm chung đường thẳng và mặt phẳng (22) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Muốn: Xác định giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) Cần: Chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa đường thẳng d ( P) Q Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) ( giả sử ) d ( P ) d A Kết luận giao điểm BÀI TẬP Cho hình chop SABCD, đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K là điểm thuộc SA, AB, BC a/ Tìm IK (SBD) b/ Tìm SD (IJK) c/ Tìm SC (IJK) Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và K là trung điểm cạnh AD Tìm giao điểm đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD) Cho tứ diện ABCD Trên các đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N cho AM BM và AN 2CN Hãy xác định giao điểm cặp đường thẳng và mặt phẳng sau : AC & (DMN) ; MN & (BCD) ; BC & (DMN Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm AC và CB Trên cạnh BD, lấy điểm P cho BP = PD a/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP) ; AD và (MNP) b/ Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) Cho hình chop SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC a/ Tìm I = AM (SBD) Chứng minh IA = 2IM b/ Tìm F = SD (ABM) Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M nằm S và C a/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) b/ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM) Cho tứ diện ABCD Trên các đoạn thẳng AB, AC, AD lấy các điểm B’, C’, D’ không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó Lấy điểm M thuộc miền tam giác BCD a/ Hãy xác định giao điểm C’D’ và mp(ABM) ; b/ Hãy xác định giao điểm AM với (B’C’D’) Cho hình chóp tam giác SABC Gọi I, H là trung điểm SA và AB Lấy K trên cạnh SC cho CK = 3KS a/ Xác định giao điểm đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK) b/ Gọi M là trung điểm IH Xác định giao điểm đường thẳng KM và mặt phẳng (ABC) (23) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M trên cạnh SC Hãy xác định giao điểm đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) 10 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M trên cạnh SB, điểm N trên cạnh SD Hãy xác định giao điểm đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC) 11 Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm đoạn thẳng SC a/ Hãy xác định giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD) Chứng minh IA = 2IM b/ Hãy xác định giao điểm F đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) Chứng minh tứ giác ABMF là hình thang TỔNG HỢP GIAO TUYẾN VÀ GIAO ĐIỂM Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trọng tâm tam giác (ABD) và (ACD) Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau : (AMN) & (BCD) ; (DMN) & (ACB) Cho Tứ diện ABCD Lấy M, N trên các cạnh AB, AC cho MN và BC không song song Gọi I là điểm thuộc miền tam giác BCD Hãy xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau : (MNI) & (BCD) ; (MNI) & (ABD) ; (MNI) & (ACD) Cho hình chóp tứ giác SABCD Trên cạnh BC lấy điểm E cho AE và CD cắt ; trên cạnh SC lấy điểm F Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (AEF) và (SAD) Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trên cạnh AD Gọi I, J tương ứng là hai điểm trên BI BJ cạnh BC, BD cho BC BD Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) và (ACD), suy giao điểm đường thẳng AC và mặt phẳng (IJM) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và CD ; trên cạnh AD, lấy điểm P không trùng với trung điểm AD Tìm giao điểm mặt phẳng (PMN) và BC Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và I là trung điểm đoạn thẳng AD Xác định giao điểm đường thẳng IG và mặt phẳng (ABC) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lấy điểm M trên cạnh SC Hãy xác định giao điểm đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm nằm S và A ; N là điểm nằm S và B Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (CMN) (24) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB và G là trọng tâm tam giác SAD Hãy xác định giao điểm N MG với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh D là trung điểm NC Bài toán 3: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG Cho tứ diện ABCD, gọi H, K là trung điểm AB, BC Trên CD lấy điểm M cho KM // BD Tìm thiết diện tạo mp (HKM) với tứ diện ABCD trường hợp a/ M đoạn CD ; b/ M ngoài đoạn CD Cho hình chop SABCD Gọi M là điểm thuộc miền ∆SCD a/ Tìm (SBM) (SAC) b/ Tìm BM (SAC) c/ Tìm thiết diện hình chóp cắt mp (ABM) Cho hình chop SABCD, đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm trên cạnh SD cho SD= 3SM a/ Tìm (SAC) (SBD) b/ Tìm I = BM (SAC) Chứng minh I là trung điểm SO c/ Tìm thiết diện hình chóp với mp (MAB) Cho hình chóp SABCD, M là điểm thuộc miền ∆SCD a/ Tìm (SBM) (SAC) b Tìm BM (SAC) c/ Tìm thiết diện hình chóp cắt (ABM) Cho hình chóp tam giác SABCD Gọi M là điểm nằm S và A Hãy xác định giao tuyến mp(ACD) với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA) Từ đó suy thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (BCA) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Các điểm I, J là trung điểm SB và SD ; lấy K trên cạnh SA cho SK = 2KA Hãy xác định thiết diện hình chóp SABCD cắt mặt phẳng (IJK) Cho hình chóp tam giác SABC Gọi K, N là trung điểm SA và BC Lấy M trên cạnh SC cho 3SM = 2MC Xác định thiết diện hình chóp SABC và mặt phẳng (KMN) Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Lấy điểm I trên đoạn thẳng AG Xác định thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (BCI) Bài toán : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG (25) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Cho tứ diện ABCD Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các cạnh AB, AC, AD cho PN cắt CD I, PM cắt BD I, MN cắt BC K Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Cho nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Trên Ox lấy điểm A và A’, trên Oy lấy B và B’, trên Oz lấy C và C’ cho AB A’B’= M, AC A’C’ = N, BC B’C’= I Chứng minh M, N, I thẳng hàng Cho hình chóp tứ giác SABCD Lấy điểm M trên cạnh SD a/ Xác định giao điểm L đường thẳng SC với mặt phẳng (ABM) b/ Giả sử AB và CD cắt K Chứng minh ba điểm M, L, K thẳng hàng Cho tứ diện ABCD Lấy điểm I trên đường thẳng BD cho I không thuộc đoạn thẳng BD Trong mặt phẳng (ABD), ta kẻ đường thẳng qua I và cắt đoạn thẳng AB K, cắt đoạn thẳng AD L Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng qua I cắt CB và CD M và N a/ Gọi E là giao điểm BN và DM ; F là giao điểm KN và LM Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng b/ Giả sử hai đường thẳng LN và KM cắt H Chứng minh ba điểm A, C, H thẳng hàng Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác SAD, và N là giao điểm GM với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh ba điểm C, D, N thẳng hàng BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I LÝ THUYẾT Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian Định nghĩa Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng có mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó Hai đường thẳng gọi là chéo chúng không đồng phẳng Hai đường thẳng gọi là song song chúng đồng phẳng và không có điểm chung Hai đường thẳng song song Tính chất Trong không gian, qua điểm nằm ngoài đường thẳng có và đường thẳng song song với đường thẳng đó Tính chất Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song (26) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Định lí (về giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đồng quy đôi song song Hệ Nếu hai mặt phẳng cắt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) II Phương pháp xác định giao tuyến hai mặt phẳng (PP2) B1 Chỉ điểm chung hai mặt phẳng B2 Chứng minh giao tuyến song song với đường thẳng cho trước Từ đó giao tuyến xác định (theo tính chất 1) BÀI TẬP Bài toán : CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh bấn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên mặt phẳng và tứ giác MNPQ là hình bình hành Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi P và Q là trung điểm SA và SB Chứng minh bốn điểm C, D, P, Q cùng nằm trên mặt phẳng Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (P) qua AB và cắt SC, SD hai điểm phân biệt M và N Chứng minh tứ giác ABMN là hình thang Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm AB và BC ; K là điểm nằm A và D Gọi L là giao điểm đường thẳng CD và mặt phẳng (IJK) Chứng minh IJ // KL Bài toán : XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG ( Có yếu tố song song) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm trên cạnh SC, không trùng với S, C Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABM) và (SCD), suy giao điểm mặt phẳng (ABM) và đường thẳng SD Cho hình chóp tứ giác SABCD có AB // CD Xác định giao tuyến mp(SAB) và mp(SCD) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H, K là trung điểm SA và SB, M là điểm trên cạnh SC, không trùng với S, C a/ Chứng minh HK // (SCD) (27) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC b/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (KHM) và (SCD), suy giao điểm SD với (HKM) c/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm các cạnh AB và BC a/ Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJD) và (ACD) b/Lấy điểm E trên cạnh AD Hãy tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IJE) và (ACD), suy giao điểm đường thẳng CD và mặt phằng (IJE), thiết diện tạo (IJE) và tứ diện ABCD Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lấy các điểm M và N trên SM SN các cạnh SA và SB cho SA SB Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh SC a/ Chứng minh hai đường thẳng MN và CD song song b/ Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) và (SCD), suy giao điểm mặt phẳng (MNP) với đường thẳng SD, thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình chóp SABCD Cho hình chóp tứ giác SABCD, có AB và CD song song Lấy điểm M trên cạnh SC, không trùng với S Mặt phẳng (ABM) cắt SD N Chứng minh tứ giác ABMN là hình thang BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình thang và AD là đáy lớn Một mặt phẳng (P) qua AD và cắt các cạnh SB, SC M và N a/ Tứ giác AMND là hình gì ? b/ Chứng minh giao điểm AN và DM luôn nằm trên đường thẳng cố định (P) thay đổi c/ Chứng minh giao điểm AM và DN luôn nằm trên đường thẳng cố định (P) thay đổi Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng qua CD và cắt các đoạn thẳng SA, SB P, Q a/ Thiết diện hình chóp với mặt phẳng là hình gì ? b/ Gọi K là giao điểm CQ và DP Chứng minh hai đường thẳng SK và AD song song (28) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC c/ Gọi O là giao điểm AC và BD ; I là giao điểm CP và DQ Chứng minh ba điểm S, I, O thẳng hàng Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành a/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b/ Lấy điểm M trên cạnh SD (không trùng với S D) Tìm giao điểm I đường thẳng AM và mặt phẳng (SBC) c/ Gọi N là giao điểm IB và SC Chứng minh MN song song với CD Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm BC, BD Một mặt phẳng (P) qua CD và cắt AM, AN E, F a/ Chứng minh tứ giác MNFE là hình thang b/ Gọi K là giao điểm CE và DF Chứng minh ba điểm A, B, K thẳng hàng Cho tứ diện ABCD Gọi E, F là trung điểm AD, CD ; và G là điểm trên đoạn AB cho GA = 2GB a/ Tìm giao điểm M GE với mặt phẳng (BCD) b/ Tìm giao điểm H BC với mặt phẳng (EFG) Suy thiết diện mặt phẳng (EFG) với tứ diện ABCD Thiết diện này là hình gì ? c/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (EFG) và (ACD) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm AB và SC a/ Tìm giao điểm I, K các đường thẳng AN, MN với mặt phẳng (SBD) Tính tỉ số IA KM IN KN b/ Gọi E là trung điểm SA Tìm giao điểm F SD và (EMN) Tứ giác MENF là hình gì ? c/ Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (EMN) Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trung điểm BC và BD a/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (AMN) và (ACD) b/ Một mặt phẳng (P) qua CD và cắt AM, AN F, E Tứ giác CDEF là hình gì ? c/ CF và DE cắt K Chứng tỏ A, B, K là ba điểm thẳng hàng d/ Chứng tỏ giao điểm CE và DF luôn nằm trên đường thẳng cố định (P) thay đổi Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành (29) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC a/ Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng : (SAC) &(SBD) ; (SAB) & (SCD) ; (SBC) & (SAD) b/ Một mặt phẳng (P) qua CD, cắt SA và SB E và F Tứ giác CDEF là hình gì ? Chứng tỏ giao điểm DE và CF luôn trên đường thẳng cố định c/ Gọi M và N là trung điểm SD và BC, K là điểm trên đoạn SA cho KS = 2KA.Tìm thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (KMN) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD với AB // CD và AB = 2CD a/ Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây : (SAD) & (SBC) ; (SAD) & (SBC) b/ Gọi M là trung điểm SA Tìm giao tuyến mặt phẳng (MBC) với các mặt phẳng (SAD) & (SCD) c/ Một mặt phẳng (P) di động qua AB, cắt SC và SD H và K Tứ giác AHBK là hình gì §3 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG I LÝ THUYẾT Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng - Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung thì ta nói chúng song song với Kí hiệu là - a // P Nếu chúng có điểm chung thì ta nói chúng cắt Nếu chúng có hai điểm chung, suy điểm đường thẳng nằm trên mặt phẳng, ta nói đường thẳng chứa mặt phẳng Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng Định lý Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng nào đó chứa (P) thì a song song với (P) Tính chất Định lý Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a (30) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC dPQ aP/d aQ Hệ Nếu hai mặt phẳng cắt cùng song song với mặt phẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó Định lý Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) - B1 Chọn mặt phẳng (Q) chứa d, tìm giao tuyến a ( P ) (Q ) ; - B2 Chứng minh d // a, từ đó suy d // (P) Q d a P B BÀI TẬP Bài toán : CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SA, N là trung điểm BC Chứng minh MN // (SCD) Cho tứ diện ABCD Lần lượt lấy I và J trên các cạnh BC và CD cho CI CJ CB CD Chứng minh IJ // (ABD) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SA Chứng minh SC // MBD Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P là trung điểm AB, CD và SA Chứng minh : MN // (SBC) ; SB // (MNP) ; SC // (MNP) Cho tứ diện ABCD Gọi E và F là trung điểm AC và AD (31) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC a/ Lấy điểm M nằm hai điểm B và C Mặt phẳng (MEF) và đường thẳng BD cắt N Chứng minh MN // (ACD) b/ Gọi I là điểm nằm A và B, IC cắt ME H, ID cắt NF K Chứng minh HK // EF Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm hai mặt phẳng khác và I, J là tâm chúng a/ Chứng minh IJ // (ADF) ; IJ // (CDFE) b/ Gọi G và H là trọng tâm các tam giác DAB và EAB Chứng minh GH // (CDEF) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC Gọi O là giao điểm AC và BD, G là trọng tâm tam giác SCD Chứng minh OG // (SBC) Bài toán : TÌM GIAO TUYẾN, THIẾT DIỆN Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD Gọi M là trung điểm CD, là mặt phẳng qua M song song với SA và BC a/ Hãy xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng b/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng và (SAC) c/ Chứng minh giao tuyến tìm câu b) song song với mặt phẳng (SAD) Cho tứ diện ABCD Lấy M là điểm thuộc miền tam giác BCD Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AC và BD a/ Hãy xác định thiết diện mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD b/ Thiết diện câu a/ là hình gì ? Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp SABCD cắt mặt phẳng song với BD và SA qua trung điểm M AB, song (32) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD Lấy M điểm A và B Goi a/ Mặt phẳng là mặt phẳng qua M, song song với AD và SB cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì ? b/ Chứng minh rẳng SD song song với mặt phẳng §4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I LÝ THUYẾT Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) - Nếu (P) và (Q) có điểm chung thì chúng cắt theo đường thẳng - Nếu chúng không có điểm chung thì ta nói chúng song song Kí hiệu (P) //(Q) (Q) // (P) Nhận xét Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì đường thẳng chứa mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) P // Q a P a // Q Điều kiện để hai mặt phẳng song song Điều kiện Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt a và b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q) Điều kiện Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng chứa mặt phẳng (Q) thì hai măt phẳng (P) và (Q) song song Tính chất Tính chất Qua điểm nằm ngoài mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng đó Hệ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có mặt phẳng chứa a và song song với (Q) (33) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Hệ Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song Tính chất Nếu hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cắt mặt phẳng (R) theo hai giao tuyến a và b thì a và b song song Định lý Ta-lét không gian Định lý (Định lý Talét) Ba mặt phẳng đôi song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý (Định lý talét đảo) Giả sử trên hai đường thẳng chéo a và a’ lấy các điểm A, B, C và A’, B’, C’ cho AB BC CA A' B ' B 'C ' C ' A' Khi đó ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ nằm trên ba mặt phẳng đôi song song, tức là chúng cùng song song với mặt phẳng Hình lăng trụ và hình hộp A'5 A'4 A'1 A'2 Q A'3 A5 A4 A1 P A2 A3 Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) song song Trên (P) cho đa giác A 1A2…An Qua các đỉnh A1, A2, …,An, ta vẽ các đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (P’) tai các điểm A’1, A’2, …,A’n Dể thấy các tứ giác A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, …, AnA1A’1A’n là hình bình hành và hai đa giác A 1A2…An, A’1A’2…A’n có các cạnh tương ứng song song và (34) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Định nghĩa Hình hợp các hình bình hành A 1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, …, AnA1A’1A’n và hai đa giác A1A2…An, A’1A’2…A’n gọi là hình lăng trụ lăng trụ, kí hiệu là A1A2… An.A’1A’2…A’n Mỗi hình bình hành nói trên là mặt bên hình lăng trụ Hai đa giác A 1A2…An, A’1A’2…A’n gọi là hai mặt đáy lăng trụ ; các cạnh hai đa giác đó gọi là các cạnh đáy ; các đoạn thẳng A1A’1, A2A’2, …, AnA’n gọi là các cạnh bên hình lăng trụ Các đỉnh hai mặt đáy gọi là các đỉnh hình lăng trụ Nếu đáy lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác thì lăng trụ tương úng gọi là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác (35) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Hình hộp Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp B C A D B’ A’ C’ D’ Hình hộp có sáu mặt, mặt là hình bình hành Mỗi mặt có mặt song song với nó Hai mặt thề gọi là hai mặt đối diện Hình hộp có tám đỉnh Hai đỉnh gọi là hai đỉnh đối diện chúng không cùng nằm trên mặt nào Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo hình hộp Hình hộp có bốn đường chéo, các đường chéo này đồng quy trung điểm đường Điểm đồng quy đó gọi là tâm hình hộp Hình hộp có 12 cạnh, chia là ba nhóm, nhóm có bốn đường thẳng song song và Hai cạnh gọi là hai cạnh đối diện chúng song song không cùng nằm trên mặt nào hình hộp Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1A2…An và mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2, …, SAn A’1, A’2, …, A’n Hình hợp thiết diện A’1A’2…A’n và đáy A 1A2…An hình chóp cùng với các tứ giác A’ 1A’2A2A1, A’2A’3A3A2, …, A’nA’1A1An gọi là hình chóp cụt, kí hiệu là A’1A’2…A’n.A1A2…An Đáy hình chóp gọi là đáy lớn hình chóp cụt, còn thiết diện A’1A’2…A’n gọi là đáy nho hình chóp cụt Các tứ giác A’ 1A’2A2A1, A’2A’3A3A2, …, A’nA’1A1An gọi là các mặt bên hình chóp cụt Các đoạn thẳng A 1A’1, A2A’2, …, AnA’n gọi là các cạnh bên hình chóp cụt (36) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, … Tính chất Hình chóp cụt có - Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng ; - Các mặt bên là hình thang ; - Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy điểm II BÀI TẬP .Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M và N là trung điểm SA và BC Chứng minh MN song song với (SCD) Cho hình chóp SABCD Lấy điểm M nằm A và B Hãy xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) Cho hình chóp S.ABC, các điểm I, J, K là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCA a/ Chứng minh hai mặt phẳng (IJK) và (ABC) song song b/ Tìm tập hợp tất điểm M hình chóp S.ABC cho KM // (ABC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi M, N là trung điểm SA và SC a/ Xác định thiết diện hình chóp cắt các mặt phẳng qua M, N và song song với mặt phẳng (SBD) b/ Gọi I và J là giao điểm AC với hai mặt phẳng nói trên Chứng minh AC 2 IJ Cho hai hình vuông ABCD và ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên các đường chéo AC và BF lấy các điểm M và N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N cắt AD và AF M’ và N’ Chứng minh (ADF) // (BCE) ; M’N’ // DF và MN // (DEF) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm đoạn AB Lấy điểm M trên đoạn AD cho AD = 3AM (37) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC a/ Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI N Chứng minh NG // (SCD) b/ Chứng minh MG // (SCD) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M và N nằm trên hai cạnh AD và AM CN MD NC ' CC’ cho a/ Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’) b/ Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M và M’ là trung điểm các cạnh BC và B’C’ a/ Chứng minh AM song song với A’M’ b/ Tìm giao điểm hai mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M c/ Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’) d/ Tìm giao điểm G đường thẳng d với mặt phẳng (AMM’) Chứng minh G là trọng tâm tam giác AB’C’ (38) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC BÀI TẬP LÀM THÊM ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm AC, CB và K là điểm trên cạnh BD cho BK = 2DK Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng (IJK) & (ACD) ; (IJK) & (ABD) Cho tứ diện ABCD, I và J là trung điểm AC và BC Lấy K là điểm trên cạnh BD cho KB = 2KD Tìm a/ (IJK) (ACD) ; b/ (IJK) (ABD) Cho tứ diện ABCD Gọi I và J là trung điểm AD và BC a/ Tìm (IBC) (JAD) b/ gọi M là điểm thuộc AB và N thuộc AC Tìm (IBC) (DMN) Cho hình chóp tam giác SABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC ta lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với dầu mút các đoạn thẳng đó Gọi M là điểm thuộc miền tam giác ABC a/ Tìm giao điểm đường thẳng B’C’ với mặt phẳng (SAM) b/ Tìm giao điểm đường thẳng SM với mặt phẳng (A’B’C’) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các cạnh SA, SB, SC cho không điểm nào trùng với điểm S Hãy xác định giao điểm đường thẳng SD và mặt phẳng (MNP) Cho hình chóp tứ giác SABCD Lần lượt lấy các điểm M và N trên các cạnh SC và AB Hãy xác định giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Cho hình chóp SABCD Điểm M và N thuộc các cạnh BC và SD a/ Tìm I= BN (SAC) b/ Tìm J= MN (SAC) c/ Chứng minh I, J, C thẳng hàng d/ Xác định thiết diện hình chóp với (BCN) Cho tứ diện ABCD Gọi E và F lần kượt là trung điểm AD và CD và G trên đoạn AB cho GA= 2GB a/ Tìm M = GE mp(BCD), (39) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC b/ Tìm H = BC (EFG) Suy thiết diện (EFG) với tứ diện ABCD Thiết diện là hình gì ? c/ Tìm (DGH) (ABC) Cho hình chop SABCD Gọi O = AC BD Một mp(α) cắt SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Giả sử AB C’D = E, A’B’ C’D’ = E’ a/ Chứng minh: S, E, E’ thẳng hàng b/ Chứng minh A’C’, B’D’, SO đông qui HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 10 Cho hình bình hành ABCD và điểm S ngoài mp(ABCD) a/ Tìm (SAD) (SBC) b/ M trên SC Tìm (MAB) (SCD) c/ (SAC) (SBD) = ? d/ Điểm N thuộc SC cho SC = 3SN Xác định hình tính thiết diện tạo mp(NAD) với hình chóp e/ Tìm I = AN (SBD) Chứng minh I là trung điềm SO 11 Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi I, J là trung điểm AC, BC Gọi k là điểm BD cho KB = 2KD a/ Xác định thiết diện (IJK) với tứ diện ABCD b/ C.Minh thiết diện là hình thang cân c/ Tính diện tích thiết diện 12 Cho hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng lấy M AC và N BF AM BN cho AC BF Chứng minh MN//DE ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG 13 Cho tứ diện ABCD, gọi M và N là trung điểm BC và BD a/ (AMD) (ACD) b/ Một mặt phẳng qua CD cắt AM và AN F và E Tứ giác CDEF là hình gì? (40) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC c/ CF DE = k Chứng minh A, B, k thẳng hàng d/ Chứng minh giao điểm CE và DF luôn trên đường thẳng cố định thay đổi 14 Cho hình chop SA BCD có đáy ABCD là hình bình hành a/ Tìm (SAC) (SBD); (SA B) (SCD), (S BC) (SAD) b/ Một mp qua CD, cắt SA và SB E và F Tứ giác CDEF là hình gì? Chứng tỏ giao điểm DE và CF luôn luôn trên đường thẳng cố đinh c/ Gọi M, N là trung điểm SD và BC K là điểm trên đoạn SA cho KS = 2KA Hãy tìm thiết diện hình chop SABCD mp (MNK) 15 Cho hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng a/ Gọi O và O’ là tâm ABCD và ABEF Chứng minh OO’//(ADF) và (BCE) b/ Gọi M, N là trọng tâm ABD và ABE Chứng minh MN // (CEF)\ 16 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm BC, CD a/ Chứng minh MN // (ABD) b/ Gọi G và G’ là trọng tâm ABC và ACD Chứng minh GG’ // (BCD) 17 Cho hình chóm sABCD, đáy là hình thang ABCD với AB // CD,và AB = 2CD a/ Tìm (SAD) (SCD) b M là trung điểm SA, tìm (MBC) (SAD) và (SCD) c/ Một mặt phẳng di động qua AB, cắt SC và SD H và K Tứ giác A BHK là hình gì? d/ Chứng minh giao điểm BK và AH luôn nằm trên đường thẳng cố định 18 Cho hình chop SABCD Gọi M, N, P là trung điểm SA, SD, BD a/ Chứng minh AD //(MNP) b/ NP // (SBC) c Tìm thiết diện (MNP) với hình chóp Thiết diện là hình gì? (41) Bài tập đại số và giải tích 11 T.Sang- NHC 19 Cho hình chop SA BCD đáy ABCD là hình bình hành M là điểm di động trên SC MP AM v à song song với BD a/ Tìm giao điểm E & F mp với SB và SD, b Gọi I = ME CB, J = MF CD Chứng minh A, I,J thẳng hàng HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 20 Cho hình chop SABCD, H, I, K là trung điểm SA, SB, SC a/ Chứng minh (HIK) // (ABCD) b/ Gọi J = OD (HIK) Chứng minh JK // CD và JH // AD 21 Cho hình chop SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a/ Chứng minh (OMN) // (SBC) b/ Gọi P và Q trung điểm AB và ON Chứng minh PQ //(SBC) 22 Cho hình vuông ABCD và ABEF không đồng phẳng Trên AC và BF lấy các điểm M, N cho AM = BN Một mp qua M, N và song song với AB cắt AD, AF M’, N’ a/ Chứng minh : (CBE) // (ADF) b/ (DEF) // 23 Cho hình bình hành ABCD Dựng các nửa đường thẳng song somg và nằm cùng phía hình bình hành qua các điểm A, B, C,D Một mp đường thẳng nói trên A’, B’, C’ , D’ a/ Chứng minh (AA’, B B’) // (CC’, DD’) b/ Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành c/ Chứng minh AA’+ CC’= BB’ + DD’ cắt bốn nửa (42)