Bạn An làm một chiếc diều có dạng tứ giác ABCD hình vẽ .. Tính chiều dài đoạn AC và BD để làm khung cho diều và diện tích tứ giác ABCD.[r]
(1)BÀI GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN TRI TÔN NĂM HỌC: 2015 – 2016 -o0o BÀI (3,0 điểm): Rút gọn biểu thức: A 2 2 2 2 2 3 Nhân tử và mẫu biểu thức cho A 2 2 2 2 2 3 , ta được: 2 42 42 2 4 4 ( 1) 1 3 1 2 2 2 3 1 3 BÀI (4,0 điểm): Cho hai hàm số: y 3x ; y x 3 a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ b) Gọi (d) và (d’) là đồ thị hai hàm số đã cho; (d) và (d’) cắt trục hoành A và B ; gọi C là giao điểm (d) và (d’) Chứng minh tam giác ABC vuông và có góc 30 GIẢI: a) Vẽ đồ thị hai hàm số: (d): y x (d’): y x 3 Đồ thị hàm số y x là đường thẳng (d) qua hai điểm (0; 3) và ( 1;0) Đồ thị hàm số Vẽ đồ thị: y x 3 là đường thẳng (d’) qua hai điểm (0; 3) và (3;0) (2) b) Dựa vào đồ thị, ta xác định tọa độ các điểm: A( 1;0) ; B(3;0) ; C (0; 3) Đường thẳng (d) có hệ số góc là và đường thẳng (d’) có hệ số góc là 3 =-1 Ta có: Do đó (d) và (d’) vuông góc với C Hay tam giác ABC vuông C tan A Xét tam giác vuông OAC, ta có: 0 OC A 600 OA Do đó: B 90 A 90 60 30 Vậy tam giác ABC vuông C và có góc B 300 BÀI (3,0 điểm): x y 9 x y Giải hệ phương trình: GIẢI: x 2t 9 (1) t y (t 0) x t (2) Đặt đó HPT đã cho trở thành: Từ (2) suy ra: t x thay vào PT (1) ta được: x 2( x ) 9 x x 11 x x * Nếu x 2 thì Khi đó: x x 11 x x 11 x 11 (loại) x 2 x * Nếu x thì Khi đó: x x 11 x x 11 x 9 x (nhận) Với x = -3 suy ra: t = - – ( - 3) = y 2 y 2 y Do đó: y 3 y Vậy HPT đã cho có hai nghiệm: (-3 ; 3) và (-3 ; - 1) BÀI (3,0điểm): Cho hai số a, b khác Chứng minh rằng: a b 1 b a a b ab 1 ab 0 Dấu xảy nào? GIẢI: Ta có: a b 1 a b (a b) ab 0 b a a b ab 1 ab 0 (ab )2 a b (a b) ab 0 (do a, b khác nên (ab) ) 2a 2b 2a 2b 2ab 0 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 2 2 a b a 1 b 1 0 (3) a b Do: 2 0 ; a 1 0 ; b 1 0 1 2 a b a 1 b 1 0 Nên: a b 1 b a a b ab 1 ab 0 Vậy a b 0 a 0 b 0 a b a 1 a b 1 b 1 Dấu “=” xảy BÀI (4,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông B, kẻ trung tuyến BD Đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với cạnh AD K Tính các góc tam giác ABC biết K là trung điểm AD GIẢI: Vì tam giác ABC vuông B nên: B 90 Vì BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên: DA BD AC (1) AC (2) Mặt khác D là trung điểm AC nên: Từ (1) và (2) suy ra: BD = DA nên tam giác DAB cân D DBA Do đó: DAB (tính chất tam giác cân) (3) Hai tam giác vuông OKD và OKA có KD = KA (GT) và OK là cạnh chung nên: OKD OKA (c.g.c) BDA BAD BDA BAD ODK OAK Suy ra: (góc tương ứng) hay (4) DBA BDA Từ (3) và (4) suy ra: DAB hay tam giác DBA là tam giác DAB 600 Suy ra: Do đó: ACB 30 900 B A 600 Vậy số đo các góc tam giác ABC là: C 30 (4) BÀI (3,0điểm): Thả điều là hoạt động vui chơi thường gặp ngày hè Vật liệu làm diều chính là giấy, hai tre và dây thả Bạn An làm diều có dạng tứ giác ABCD (hình vẽ) Biết AB = BC = 20cm ; AD = DC ; góc ABC 90 và ADC 60 Tính chiều dài đoạn AC và BD để làm khung cho diều và diện tích tứ giác ABCD GIẢI: Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: AC AB BC 202 202 20 (cm) Dễ thấy H là trung điểm AC AC 20 10 2 Suy ra: (cm) AB.BC 20.20 BH 10 AC 20 Ta có: BH.AC = AB.BC (cm) ADC 60 HA HC Tam giác ADC có DA = DC (GT) và nên tam giác ADC là tam giác Suy ra: DA = DC = AC = 20 (cm) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông DHA: DH AD HA2 (20 2)2 (10 2)2 10 (cm) Do đó: BD = BH + DH = 10 10 10 2(1 3) (cm) Diện tích tứ giác ABCD: S ABCD S ABC S ADC (cm2) BH AC DH AC AC ( BH DH AC BD 20 2.10 2(1 3) 200(1 3) 2 2 (5)