a Chứng minh các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.. b Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD..[r]
(1)BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN IV BÀI TẬP ÁP DỤNG (2) • Góc đường thẳng chéo : Góc đường thẳng a và b chéo là góc hai đường thẳng a’ và b’ cắt cùng phương với a và b • Kí hiệu : (a,b) = (a',b') a’ O a b’ O b a’ O b’ (3) Ghi chú Với đường thẳng a, b tùy ý, ta có : o (a,b) 90 o a//b (a,b) = 0o a b (a,b) = 90o a b (4) II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Định nghĩa o a b (a,b) 90 b’ b a’ O a (5) Tính chất : a//b c b c a c a b (6) Các mệnh đề sau đúng hay sai ? a) Hai đường thẳng vuông góc thì cắt ? Sai, vì chúng có thể chéo c b a (7) b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với ? Sai, vì chúng có thể chéo cắt u a b b (8) PHƯƠNG PHÁP GiẢI TOÁN Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : Dùng định nghĩa : c // b ab a c a ( ) ab b ( ) a b (a,b) 90o Nếu a, b đồng phẳng dùng các phương pháp hình học phẳng, Pytago đảo, trung tuyến tam giác cân, tính chất đường cao, trung trực,… (9) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm BC và CD Biết AB = CD = 2a và MN = a Tính góc (AB,CD) (10) Hướng dẫn giải toán Gọi O là trung điểm AC A OM , ON là ĐTB ABC, ACD OM = ON = a và OM // AB, N a ON // CD 2a O (AB,CD) = (OM,ON) a a B M D 2a C (11) O Tính góc (AB,CD) a a M N a H + Cách : Gọi H là trung điểm MN Trong tam giác cân OMN có : a OM = a, MH = MON = 2.MOH 2.60o = 120 o (AB,CD) = (OM,ON) = 180o 120o 60o (12) + Cách Áp dụng định lí cosin cho MON : MN2 = OM2 + ON2 – 2.OM.ON.cos MON Suy : cosMON = Do đó : MON = 120 o Vậy : O (AB,CD) = 60 (13) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi M, N, P , Q , R là các trung điểm AB, CD, AD, BC và AC a) Chứng minh : MN RP và MN RQ b) Chứng minh : AB CD (14) a Chứng minh MN RP, MN RQ Ta có : RP là ĐTB ACD RP // CD (1) A MCD cân MN CD (2) Từ (1) và (2) suy : M MN RP Tương tự : RQ là ĐTB ABC RQ // AB (3) B và ABN cân MN AB (4) (3) , (4) MN RQ R P D Q C N (15) b Chứng minh AB CD Tương tự : PQ AD Ta có : RP // CD và RQ // AB A Ta chứng minh : RP RQ QPD vuông P, nên : 2 QP = QD - DP a QP = Ta có : 2 a RQ + RP = = QP 2 M R P D B Do đó : RP RQ AB CD Q C N (16) Bài tập Bài Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi DM) M là trung điểm BC Tính góc (AB, (17) Hướng dẫn giải toán A DM) Tính góc (AB, MN là ĐTB ABC, nên MN // AB DM) NMD (AB, B N Áp *Cách dụngkhác định: lí cosin cho tam giác MND , ta : Trong tam giác cân MND M 2 D, gọi H làMN trung điểm MD ND 3 C MH a / cosnên : MN, cos 2.MN.MD DM a / D (18) Bài Tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó b) Tính cosin góc hợp các đường thẳng AC và BD (19) Hướng dẫn giải toán a) Chứng minh : + MN CD , MN AB ; : AD , PQ BC Ta có + PQ ABC = BDA (c-c-c) MC = MD MND cân MN CD Tương tự : MN AB A a M b P c b B c Q D C N a (20) Hướng dẫn giải toán a) Chứng minh : + PQ AD , PQ BC ABC = DCB (c-c-c) A a M c b P QA = QD QAD cân Q PQ AD Tương tự : PQ BC b B c Q D a N C Vậy các đoạn nối trung điểm các cạnh đối vuông góc với các cặp cạnh đối đó (21) b) Tính cos(AC,BD) Ta có : NP // AC, MP // BD Nên : (AC,BD) MPN Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNP : 2 MP NP MN cos 2MPNP MNC vuông N B A a M b/2 c P b/2 b D MN2 = MC2 – NC2 c a Q Áp dụng định lí trung tuyến N C cho ABC , ta : 2 2 a c 2b 2c a Vậy : cos(AC,BD) cos MC b (22) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân A, M là điểm trên cạnh AD (M khác A và D) Mặt phẳng qua M và song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a và x (23) Hướng dẫn giải toán S Q P A B M N C D (24) Hướng dẫn giải toán S a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông Q (SAB) //( ) P A SA //( ) B M N SA //( ) SA (SAD) ( ) (SAD) MQ // SA M ( ) (SAD) C D (25) Tương tự : AB // () () (SAB) = MN // AB Và () (SCD) = PQ // CD //AB SB // () () (SBC) = NP // SB Vậy tứ giác MNQ là hình thang (26)