de hsg toan 8

Chứng minh EF song song với BC c Chứng minh AF vuông góc với BN Câu 5 1,0 điểm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:... a Chứng minh được tam giác BMD và tam giác DMC đồng dạng.[r]

PHÒNG GD&ĐT NINH GIANG  ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04 tháng năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) x2  x  2x  A   x  x  x  10 x  Với x ≠ và x ≠ 1) : Rút gọn 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 Câu (2,0 điểm) 2 1   1     x     x     x    x    x   x  x  x   1) Giải phương trình:  x  2x  m x   3 2) Cho phương trình x  x  Tìm m để phương trình có nghiệm dương Câu (2,0 điểm) 1) Tìm n  N* cho n2 + n + 13 là số chính phương 2) Tính giá trị biểu thức Q x – 19x  19x – 19x  19x – 19x  25 x10 – 21x  52x  36x 1 với x = 18 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC, tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC D Qua D kẻ các đường thẳng DM và DN vuông góc với AB và AC (M AB; NAC) a) Chứng minh: BD.ND = BM.CD b) Gọi E là giao điểm BN và MD, F là giao điểm CM và DN Chứng minh EF song song với BC c) Chứng minh AF vuông góc với BN Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a2 b2  a  b  với a  1, b  - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG MÔN TOAN NĂM HỌC 2012-2013 Câu Câu Đáp án x2  x  2x  x2  x  2x  A       x  x  x  10 x  x  ( x  5)( x  2) x  x   x  x   (2 x  4)( x  2)  ( x  5)( x  2)  x  x  15  ( x  5)( x  3)  x    ( x  5)( x  2) ( x  5)( x  2) x B = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) 2 (2) 0.5 0.25 0.25 0.5 1   1     x     x     x    x    x   x  x  x   1)  x  (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 1        x     x2     x2    x x    x    0.25 0.25  Câu Điểm 1    x     x   x    1 1 2     x     x    x     x   16 x x     x 0   x  Với x = (không TM đk); x = -8 (TM đk) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  0.25 0.25 0.25 0.25 2) Điều kiện: x 2;x  2x  m x   3 (1) x x2  (2x  m)(x  2)  (x  1)(x  2) 3(x  2)(x  2)  x   m  2m  14 0.25 m = 1phương trình có dạng 0x = -12 vô nghiệm 0.25 2m  14 x 1 m m 1 phương trình trở thành 2m  14 x  m là nghiệm dương (1) thì Để  2m  14   m 2  m 4   1  m   2m  14    m  m 4  Vậy pt (1) có nghiệm dương 1  m  0.5 Câu 1) Tìm n  N* cho n2 + n + 13 là số chính phương Đặt n2 + n + 13 = y2 (y  N*) => 4n2 + 4n + 52 = 4y2 <=> (2y + 2n + 1) (2y – 2n - 1) = 51   2y  2n  17    2y  2n  3     2y  2n  51     2y  2n  1 0.25 0.25 n 3   y 5 n 12   y 5 Vậy n = 3, n = 12 0.5 2) Ta có A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - (x 0.5 – 18 ) + Thay x = 18 có A = B = x10 – 21x9 + 52x8 +36x3 +1= x9 ( x – 18) – 3x8( x- 18 ) -2x7 ( x18) – 0.5 Thay x = 18 có B = -1 Do đó với x = 18 thì giá trị biểu thức Câu Q A  B 0.25 A N M B E F C D a) Chứng minh tam giác BMD và tam giác DMC đồng dạng 0.5 BD BM   BD.ND BM CD (g.g) Từ đó ta có DC ND 0.25 b) Tứ giác AMDN là hình vuông (vì có góc vuông và đường chéo là tia phân giác) 0.25 MF BD   BCM có DF//MB => FC DC (1) BD BM  DC ND (2) Theo câu a có BM ME  ND ED (3) Có BM//DN => MF ME  Từ (1), (2), (3) ta có FC ED => EF // BC (theo định lí Ta lét đảo) AN ND  c) Có AB AB (Vì AN = ND) 0.25 0.25 0.25 ND CN NF   AB CA AM (Vì ND//AB) NF NF  AM AN (Vì AM = AN) AN NF  Từ đó suy AB AN Câu => tam giác BAN đồng dạng với tam giác ANF (c.g.c)   => ABN NAF => AF vuông góc với BN Đặt a -1 = x (x > 0); b -1 = y (y > 0) đó ta có: a = x + và b = y + đó 0.25 0.25 0.25 0.25 (x  1)2 (y  1)2 x  2x  y  2y  1    x   y   0.5 x y x y x y 1 x y x y đạt giá trị nhỏ M đạt giá trị nhỏ và khi: M 1 áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương x, x và y, y ta có; 1 1 x   y  2 x  y 4 x y x y Suy maxM = Dấu xảy  x  x x 1    y 1 y   y 0.25 0.25