Chứng minh d Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) M a a 2 3b 3b a 3b 2a a 3ab Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện a, b để M xác định và rút gọn M 22 a 1 2, b 10 b) Tính giá trị M Bài (2,0 điểm) x x x 2m 1 0 Cho phương trình , m là tham số a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 2 x x x 11 b) Tìm giá trị m để Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C và D Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm CD a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp b) Các đường thẳng MO và AB cắt H Chứng minh MHC = MDO HC KC = HD KD c) Các đường thẳng MD và AB cắt K Chứng minh d) Chứng minh đường thẳng AB luôn qua điểm cố định M thay đổi trên đường thẳng d Bài (1,5 điểm) 6 x , y , z x y z Cho số thực thoả mãn và biểu thức P x y z a) Chứng minh P x y z b) Tìm giá trị nhỏ P Bài (0,5 điểm) Giải phương trình: x 3 3x 28 x 12 x HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (2) Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN (Chuyên Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này gồm trang) Câu Nội dung M a a 2a a) ĐK xác định M: M Câu (2,0đ) b) Ta có a 3b a 2a 0,25 2a 3b 2a 3b 0,25 a 1 2, b 10 1 2a 3b a 0,25 30 22 1 102 68 17 3 2 2 2 2 0,5 22 Với 30 22 Từ đó ta có 3b a 3b 64 a Vậy 3b 2a 2a 2a 3ab 3ab 3b 2a a 3ab M 2 a 3ab a, b 0 a a 0 b 0 2a 3b a 3ab 3b 3b 3b a Điểm 6 2 0,25 M 0,25 x 2 x x 3x 2m 1 0 0,25 Để pt (1) có nghiệm phân biệt thì pt (*) có nghiệm phân biệt khác 0,25 m Điều kiện là 0,5 x 3x 2m 0 (*) a) Câu2 (2,0đ) 0,25 b) Ta có nghiệm pt (1) là pt (*) 13 8m 13 m 2m 3 x1 2; x2 ; x3 đó x2 ; x3 Khi đó x12 x22 x32 11 x2 x3 x2 x3 11 x2 x3 x2 x3 7 (**) x2 x3 3 x x 2m Áp dụng định lý Vi-ét pt (*) ta có Vậy 0,25 là nghiệm (**) 2m 1 7 m 1 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 0,5 (3) Vậy m 1 là giá trị cần tìm A O H M d C a) K D I B MA, MB là các tiếp tuyến (O) 0,25 MAO = MBO = 900 I là trung điểm CD Câu (4,0đ) b) OI CD MIO = 90 0,25 0,25 A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO Q Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB 0,25 MO là đường trung trực AB MO 0,25 AB MH.MO = MB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) MBC = MDB sđ BC ΔMBC đồng dạng với ΔMDB (g.g) MB MD = MC MB MC.MD = MB (2) Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD MC MO = MH MD ΔMCH đồng dạng với ΔMOD (c.g.c) MHC = MDO MHC = MDO 0,25 c) 0,5 (chứng minh trên) tứ giác HCDO nội tiếp 0 MHC=900 MDO CHK =90 =90 OCD Như 0,25 (vì ΔCOD 0,5 cân O) (4) = 900 OHD (vì tứ giác HCDO nội tiếp) = DHK HK là đường phân giác ΔCHD HC KC = HD KD d) 0,25 ( tính chất đường phân giác tam giác) Gọi Q là giao điểm AB và OI IOH chung ΔQHO ΔMIO đồng dạng với MO OQ = OI OH OH.OM OA R OQ = = = OI OI OI (R là bán kính (O) không đổi) O, I cố định độ dài đoạn OI không đổi độ dài đoạn OQ không đổi Hai tam giác vuông MIO và QHO có lại có Q thuộc tia OI cố định Q là điểm cố định 0,25 0,25 0,5 đpcm a) Ta có P x y 3z y z 2 y 3z y y z 3z 0 0,25 y 1 z z 1 0 (1) y 1 Vì 2 0; z 1 0; z vì z theo giả thiết Vậy bđt (1) đúng 0,5 Ta có đpcm P x y 3z P x y 3z b) Theo câu a) ta có Câu (1,5đ) (vì 6 x y z theo giả thiết), hay 9 x y z 1 2 3 P x y 3z x y z 0,25 Áp dụng bđt Cô-si cho số dương ta có x Do đó 2; y 4; z 6 x y z P 2 3 0,25 (2) 0,25 x y z 1 x y z 1 Dấu “=” xảy các dấu “=” (1) và (2) xảy Vậy GTNN P là 3, đạt Câu (0,5đ) Ta có x 0 x 1 3(1 x) 0 28 x 12 x 0 0,25 Với điều kiện trên, bình phương vế (5) phương trình ta x 27 27 x 18 x 28 x 12 x 18 x 28 x x 27 x 18 x x x 0 Đặt t 3x (t 0) , pt trở thành (2) x 3t 9t 18t x x 0 3t x 3t x 0 3t x (3) Ta có pt (3) vô nghiệm vì VT(3) 0 t 0 còn VP(3) x 1 x 0 x 0 27 x 3 3x x 2 28 x 27 27 x 28 x 27 Xét pt (2) x Kết luận: Pt đã cho có nghiệm 27 28 Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo phần hướng dẫn chấm 0,25 (6)