ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc H của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB.. Gọi K là trung điểm của đoạn AD.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề y 2x x Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Câu (1,0 điểm) Tìm các điểm cực trị đồ thị hàm số y x 3x Câu (1,0 điểm) log 22 x log x 4 a) Giải bất phương trình x x x b) Giải phương trình 5.9 2.6 3.4 Câu (1,0 điểm) Tính nguyên hàm I x sin xdx SA ABC , ABC 900 , AB a, BC a 3, SA 2a Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có Chứng minh trung điểm I cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC và tính diện tích mặt cầu đó theo a Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: 2cos x sin x 1 0 b) Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B và học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng năm học Tính xác suất cho lớp nào có học sinh chọn và có ít học sinh lớp 12A Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 3a Hình chiếu vuông góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm đoạn AB Gọi K là trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách hai đường thẳng HK và SD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A và D có AB AD CD , điểm B (1; 2) , đường thẳng BD có phương trình là y 0 Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt cạnh AD M Đường phân giác góc MBC cắt cạnh DC N Biết đường thẳng MN có phương trình x y 25 0 Tìm tọa độ đỉnh D Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x x x y x 1 y 1 3 x x 4 x 1 y x, y y x y x 3x x , y Câu 10 (1,0 điểm) Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y x y -HẾT (2) Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác đúng và đủ ý thì cho điểm tối đa - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn - Với bài hình học không gian thí sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không cho điểm tương ứng với phần đó II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 2x y 1,0 x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2x y x Tập xác định: D \ {2} Sự biến thiên y ' 0, ( x 2) 0,5 x D Suy hàm số nghịch biến các khoảng ( ; 2) và (2; ) Hàm số không có cực trị lim y 2; lim y 2; lim y ; lim y x x x Các giới hạn x Suy x 2 là tiệm cận đứng, y 2 là tiệm cận ngang đồ thị 0,25 Bảng biến thiên 0,25 1 1 ;0 0; Đồ thị: Giao với trục Ox , giao với trục Oy , đồ thị có tâm đối xứng là điểm I (2; 2) 0,25 (3) Tìm các điểm cực trị đồ thị hàm số y x x * Tập xác định: x 0 y ' 3 x x, y ' 0 x 2 Bảng xét dấu đạo hàm x y + 0 - 1,0 0,25 0,25 + Từ bảng xét đấu đạo hàm ta có Hàm số đạt cực đại x 0 và giá trị cực đại y 6 ; đạt cực tiểu x 2 và giá trị cực tiểu y 2 0;6 , điểm cực tiểu đồ thị hàm số là N Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số là M 2; a 0,25 x 4 Giải bất phương trình (1) +) Điều kiện bất phương trình (1) là: x (*) +) Với điều kiện (*), (1) log 22 x log x log log 22 x log x 0 log 22 x log 0,25 0,5 0,25 (log x 2)(log x 1) 0 x 4 x 1 +) Kết hợp với điều kiện (*), ta có tập nghiệm bất phương trình (1) là log x 2 log x 1 S 0; 4; 2 b Giải phương trình 5.9 x 2.6x 3.4x (1) Phương trình đã cho xác định với x x Chia hai vế phương trình (1) cho ta : 2x x 3 3 5.9 x 2.6 x 3.4 x 3 2 2 2x x 2x x 3 3 0 1 3 0 2 2 (2) x 3 x Vì nên phương trình (2) tương đương với 0,25 0,5 0,25 0,25 (4) x 3 1 x 0 2 Vậy nghiệm phương trình là: x 0 I x sin 3xdx Tính nguyên hàm u x Đặt dv sin xdx 1,0 0,25 du dx cos x v ta x cos x cos xdx I 3 Do đó: 0,25 0,25 x cos 3x sin x C 0,25 SA ABC , ABC 900 , AB a, BC a 3, SA 2a Cho hình chóp S ABC có Chứng minh trung điểm I cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC và tính diện tích mặt cầu đó theo a S 1,0 I A C B Vì SA ABC SA BC BC SAB Mặt khác theo giả thiết AB BC , nên và đó BC SB Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAB vuông đỉnh A nên SC IA IB IS IC (*) Vậy điểm I cách bốn đỉnh hình chóp, đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC SC R Từ (*) ta có bán kính mặt cầu là 2 Ta có AC AB BC 2a SC SA2 AC 2 2a R a 2 Diện tích mặt cầu là 4 R 8 a 0,25 0,25 0,25 a Giải phương trình cos x sin x 1 0 2 Ta có: cos x sin x 0 2sin x sin x 0 (sin x 1)(2sin x+3)=0 sin x 1 (do 2sin x x ) s inx 1 x k k Vậy nghiệm phương trình đã cho là 0,25 x k k 0,5 0,25 0,25 (5) b Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B và học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng năm học Tính xác suất cho lớp nào có học sinh chọn và có ít học sinh lớp 12A Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên là Số phần tử không gian mẫu là: C9 126 Gọi A là biến cố “Chọn học sinh từ đội văn nghệ cho có học sinh ba lớp và có ít học sinh lớp 12A” Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A là : + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C 2 2 1 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: C4 C3 C2 C4 C3 C2 C4 C3 C2 78 78 13 P 126 21 Xác suất cần tìm là 0,5 0,25 0,25 3a Hình chiếu vuông Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm đoạn AB Gọi K là trung điểm đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách SD hai đường thẳng HK và SD S 1,0 F C B H E O A K D Từ giả thiết ta có SH là đường cao hình chóp S.ABCD và 3a a SH SD HD SD ( AH AD ) ( ) ( ) a a 2 1 a3 V SH S a.a S ABCD ABCD 3 Diện tích hình vuông ABCD là a , Từ giả thiết ta có HK / / BD HK / /( SBD) Do vậy: d ( HK , SD ) d ( H ,( SBD )) (1) Gọi E là hình chiếu vuông góc H lên BD, F là hình chiếu vuông góc H lên SE Ta có BD SH , BD HE BD ( SHE ) BD HF mà HF SE nên suy HF ( SBD) HF d ( H , ( SBD)) (2) a a HE HB.sin HBE sin 450 +) +) Xét tam giác vuông SHE có: 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) a a a 2 ( ) a2 (3) a d ( HK , SD) +) Từ (1), (2), (3) ta có Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A và D có AB AD CD , điểm B (1; 2) , đường thẳng đường thẳng BD có phương trình là y 0 Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt cạnh AD M Đường SH HE HF SE SH HE HF SE a 1,0 phân giác góc MBC cắt cạnh DC N Biết đường thẳng MN có phương trình x y 25 0 Tìm tọa độ đỉnh D Tứ giác BMDC nội tiếp BMC BDC DBA 450 BMC vuông cân B, BN là phân giác MBC M , C đối xứng qua BN AD d ( B, CN ) d ( B, MN ) 0,25 0,25 Do AB AD BD AD 4 BD : y 0 D(a; 2) , a 5 D 5; BD 4 a D 3; (loai cung phia B so voi MN ) Vậy có điểm thỏa mãn là: D(5; 2) Giải hệ phương trình: x Điều kiện: y x x x y x 1 y 1 3x x 4 x 1 y x3 x x y 1 x 1 x 1 y 1 x x x 1 x 1 Xét hàm số f t t t 0,25 x x x 1 x 1 x 1 x, y y y 0,25 1,0 0,25 y y 1 f t 3t 0t trên có suy f(t) đồng biến 0,25 (7) x f f x 1 trên Nên x y 1 x 1 Thay vào (2) ta y 1 x x 4 x x x 1 x x x 1 x x 0 x x x x 1 3x 9 x 10 x 0 x2 y 1 x 1 Ta có 0,25 x 3 13 x 3 13 41 13 x y Với 72 Với Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện x 3 y 0,25 43 x; y 3; KL: Hệ phương trình có hai nghiệm 10 13 41 13 & x; y ; 72 y x y x x x , y Cho thỏa Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y x y 1,0 x2 x 3x x và Từ giả thiết ta có y 0 và 2 x y x x 3x 2 x x x Max 6 f ( x ) 2 x x x ; x 0; 6 0; Xét hàm số ta f(x) = x y 2 P x y 2 2 2x y x y x y 2 x y2 t2 P , t 2 2 t Đặt t x y Xét hàm số: t2 g (t ) , t 0; t t3 g '(t ) t ; g '(t ) 0 t t t Lập bảng biến thiên ta có Min P 33 16 x y 2 x y2 0,25 0,25 0,25 0,25 (8) Hết (9)