Tâm của mỗi đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đờng phân giác của hai góc ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đờng phân giác[r]
(1)Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Hằng đẳng thức đáng nhớ Các phép biến đổi thức a b a2 2ab b2 a b a2 2ab b2 a b a b a2 b2 a b a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 a b a2 ab b a3 b3 a b a ab b a b c a2 b2 c 2ab 2bc 2ca Một số phép biến đổi thức bậc hai - Đều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A - Các công thức biến đổi thức A2 A A A B B (A 0;B 0) AB A B (A 0;B 0) A 2B A B (B 0) A B A 2B (A 0;B 0) A B B C A B C A A B A 2B (A 0;B 0) A AB (AB 0;B 0) B A B (B 0) B C( A B) (A 0;A B2 ) A B2 C( A B) (A 0;B 0;A B) Dạng A 1: B Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau B Phương pháp: Nếu biểu thức có Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác Chứa bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dấu Chứa thức bậc chẵn mẫu ĐKXĐ: biểu thức dấu Chứa thức bậc lẻ mẫu ĐKXĐ: biểu thức dấu x 1 3 x x Trường THCS Hồng Dương (2) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 x2 4x x 5 x 2008 x 2008 x -5x x 5 x 7x 10 x x 11 3x 12 x 13 2x 14 7x 14 15 2x 3 x 16 7x x 3 17 x 18 2x x 2x 5x 19 21 x 5x 3x x 5 x 22 6x x 23 24 x 3x 20 √ x −12 25 26 3 3x √ −5 x+1 27 28 3x √ x +2 Trường THCS Hồng Dương (3) Lê Thanh Lụa √ 29 √ 30 Giáo án ôn thi vào 10 x2 −1 x +5 x 1 5 x x 1 31 32 33 √ x −1 √ 3− 21 x 35 36 2−x x2 2x √ 34 37 √ 3 5x x x2 x 7+ x 39 √ x −6 40 √ 2− x √ 38 41 2x2 2 x 42 3x x 1 x 43 x 3 x 22 44 x Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp: Thực theo các bước sau Bíc 1: Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bíc 3: §a mét biÓu thøc ngoµi dÊu c¨n Bíc 4: Rót gän biÓu thøc Dạng toán này phong phú vì học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm “mạch bài toán” và tìm hướng đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp Trường THCS Hồng Dương (4) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 3 18 32 10 11 12 50 30 17 12 √ 50− √18+ √200 − √162 √ 5+ √ 20 −3 √ 45 31 7 48 27 75 108 32 2 48 75 33 8 √ 12 − √ 27+5 √ 48 √ 12+5 √ − √ 48 √ 32+ √ −5 √ 18 √ 20 − √ 45+ √ 24 54 150 34 18 65 35 9 36 4 37 24 √ 18 −7 √ 2+ √ 162 18 32 38 2 39 52 5 40 9 80 41 17 12 42 43 32 6 √ 8+2 √15 - 44 17 32 17 32 45 62 6 46 11 11 33 5 11 50 13 125 20 80 45 14 28 63 175 112 15 2 8 50 32 16 50 12 18 75 17 18 75 12 27 √ 12+ √75 − √ 27 27 12 75 147 19 20 21 22 23 48 75 243 28 32 18 5 14 25 49 16 3 6 27Phương 75 pháp: Thực theo các bước sau 2 8 24 12 35 25 52 26 16 27 31 12 28 27 10 29 14 24 8 √ −2 √15 Dạng 3: Rút gọn biểu thức Bước 1: Tìm ĐKXĐ đề bài chưa cho 50 32 2: Phân tích các đa thức tử thức và mẫu thức thành nhân tử Bước Bước 3: Quy đồng mẫu thức Bước 4: Rút gọn A= A= Trường THCS Hồng Dương ( x √x +2x −1 + x+√√ xx +1 + 1−1√ x ): √ x2−1 √x ( √ x+ )2 (5) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 ( B= A= √ x+ x +1 x − √x 1− :(1− √ x ) √ x+1 √ x −1 )( ) 12 A= A= √ x +1 ( √ xx−1 − √ x ): ( √√x +1x − −1√ x + x2−−√xx ) A= ( √√xx−+11 − √√xx−1+1 − x8−1√ x ) :( √ xx−−1x −3 − √ x1−1 ) B= A= 1 1 + : − + 1− √ x 1+ √ x 1− √ x 1+ √ x √ x A= √x √ x + √ x − x+9 A= √ x+ √ x −3 x −9 ( )( ) ( 14 15 √ x − 11 √ x − 2 √ x +3 + − x +2 √ x −3 − √ x √ x +3 −5 √ x A= √ x +3 x √ x +1 x −1 A= − x −1 √ x+1 A= √x √ x −1 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức A= √ x+ Q x √ x+ 13 x B= √ x+ A= √ x+ = các bước sau Phương pháp: Thực theo x a ta rút gọn biểu thức thay x a x+ x √ x − − Để3 tính : √giá trị − √ biểu thức biết x −2 √ x 2− √ x vào√ xbiểu √thức x −2 vừa rút gọn A=1trị − √của x x biết giá trị biểu thức A ta giải phương trình Để tìm giá )( ) A x 1Lưu ý: Tất tínhx 3toán, x biến đổi dựa vào biểu thức đã rút gọn A x 1 x x 1 x x1 A=x −2 √ x −1 a 3 a a1 a 4 a a 2 A= a > ; a 4 √ a −2 P Cho biÓu thøc : 2 1 A= : 1- x x x x 2 A= √ x (1− √ x ) 10 x2 − √ x x + √ x 2( x −1) A= − + x + √ x +1 √x √ x −1 A=x − √ x+1 ( 2x √√ xx +−1x − √ x1−1 ) :( x √+√x+2x+1 ) Trường THCS Hồng Dương a a Rót gän P b) Tìm giá trị a để P < biÓu thøc: P = x x 3 x 2 x 2 : x x x x x a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P < Cho biÓu thøc: P = x1 x x 2 : x x 9x x 11 A= x Cho a 3 a a) a 2 (6) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 a) Rót gän P a) b) Tìm các giá trị x để P = Cho biÓu thøc P a a : a 1 a a a a a 1 a) Rót gän P b) c) a 19 Cho biÓu a(1 a)2 : 1 a a) b) T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn a để P có giá trị nguyên 10 Cho biÓu thøc P = 1 a 1 a 2 : a a a a1 a) Rót gän P = b) P a3 a 1 a a Rót gän P a3 Tìm giá trị a để P > Tìm giá trị a để P < T×m gi¸ trÞ cña P nÕu thøc: Rót gän P 11 Cho biÓu thøc : x 2 x x 1 x x x 1 x = a a) Tìm x để Q = Q Q b) Tìm số nguyên x để Q cã gi¸ trÞ nguyªn b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M = x x x 12 Cho biÓu thøc P = x a) Rót gän biÓu thøc sau a.(P- ) P Cho biÓu thøc: P = b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu x 1 2x x x 1 2x x : 2x 2x 2x 2x thøc P x = a) Rót gän P x x 1 x b) TÝnh gi¸ trÞ cña P x x x 1 13 Cho biÓu thøc : A = a) Rót gän biÓu thøc 2 2 Cho biÓu thøc: P = b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu x x : x x x x x thøc A x = x 1 c) Tìm x để A < a) Rót gän P A A d) Tìm x để P = 14 Cho biÓu thøc : A = 1 x 3 x 5 1 a a a x 5 x 3 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Xác định a để biểu Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P thøc P = thøc A > b) Tìm x để P Cho biÓu thøc: x x 25 x 1 : x x 15 x 25 a) Rót gän P b) <1 Cho biÓu a 1 a b a 3a : a b 2a ab 2b a ab b a a b b Trường THCS Hồng Dương (7) Lê Thanh Lụa 15 Cho biÓu Giáo án ôn thi vào 10 thøc : A = x x x x 1 x x 1 : x x x x x a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Tìm x để A < 16 Cho biÓu thøc : A = x 2 x x1 : x x x x 1 1 x a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Chøng minh r»ng: < A<2 CHỦ ĐỀ 2: b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm sè ®i qua ®iÓm (1; -4) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm sè lu«n ®i qua víi mäi m Bµi 3: Cho hµm sè : y 2x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm (P) với đờng th¼ng (d) y mx theo m d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua ®iÓm M(0; -2) vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi : Cho (P) y x và đờng thẳng (d) y 2x m 1) Xác định m để hai đờng đó : a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ®iÓm y ax b) C¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt HÀM SỐ A và B , điểm có hoành độ x= -1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm toạ độ A và B Hàm số bậc 2) Trong trêng hîp tæng qu¸t, gi¶ sö Hàm số bậc là hàm số đợc cho bởi(d)công thøct¹iy hai = ax®iÓm + b đó aMvà N ×m c¾t (P) ph©n biÖt Hµm sè bËc nhÊt x¸c víi mäi gi¸ trÞ xto¹ Rđộvàtrung cã tÝnh chÊt đồng biÕn a >m0;vµ ®iÓm I cña ®o¹n MN theo nghÞch biÕn a < tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Đồ thị hàm số bậc là đờng thẳng Cắt trục tung điểm B(0; b) b Hàm số y ax A ;0 Cắt trục hoành điểm a (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc) Hàm số có tính chất: Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < và đồng biến x NÕucã a <cïng th×hÖ hµm trôc x < 0Ox vµ c¸c nghÞch x > 0NÕu Các đờng> thẳng sè sè gócđồng a th×biÕn t¹o víi gãc biÕn b»ngkhi §å thÞ mét Parabol lµ agãc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối gäi lµ gãc hîphµm bíi sè giữalàđờng th¼ng vµvíi tiađỉnh Ox th× = tg xøng Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và đờng thẳng (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) thì: Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị a' đồ thị a cao Nếu a < thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm (d) c¾t (d’) a a’ a a' (d) trïng (d’) b b' (d) song song (d’) b b' (d) (d’) a.a’ = -1 Các dạng toán Dạng 1: Xác định hàm số bậc (phơng trình đờng thẳng) Phơng pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x 0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b th× ax0 + b = y0 Các kết đã nêu phần lý thuyết trên Bµi Cho hµm D¹ng sè y2:= X¸c (m –định 2)x +hµm m + sè y = ax2 (a 0) a) T×m ®iÒu kiÖn Ph¬ng cñaph¸p: m để hàm Dùasè vµo lu«n điểm sau: Nếu điểm A(x 0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax thì nghÞch biÕn ax0 = y0 ®iÓmsècña b) T×mD¹ng m để3:đồTìm thÞ giao cña hµm c¾thai trụcđồ thị Ph¬ng hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh độ pháp: 3.Lập phơng trình hoành độ giao điểm ph¬ng c) Tìm m để đồ thị hàmGiải sè trªn và trình, từ đó tìm toạ độ các giao điểm 4: T¬ng vµ Parabol các đồ thị củaDạng c¸c hµm sè ygiao = -x gi÷a + ; đờng y = 2xth¼ng – Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a 0) và Parabol y = Ax2 đồng quy (A sè0) Bµi 2: Cho hµm y =XÐt (m ph¬ng – 1)x + tr×nh m + 3.hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1) Ta có số giao điểm hai thÞtrÞphô sècña nghiÖm a) Tìmđồgiá cñathuéc m để vào đồ thị hµm cña ph¬ng tr×nh nµy vµ chØ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm sộ song song vợi Ẽổ -thÞưởng hµmth¼ng sè y = c¾t -2x Parabol + - §êng th¼ng kh«ng c¾t Parabol vµ chØ ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm vµ chØ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp - §êng th¼ng tiÕp xóc Parabol Trường THCS Hồng Dương (8) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Bài 9: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) x y=mx− 2m −1 y=− Bµi : Cho (P) y= x 2 và đờng thẳng (d) (d1 ) x + y=m c¾t t¹i (d 2)mx + y=1 mét ®iÓm trªn (P) y=− x Bµi 4: Cho (P) y=2 x cã ph¬ng tr×nh a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB Bµi 5: Cho (P) y=x a) VÏ (P) b) Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 12: Cho (P) y= x y=− +2 x đờng thẳng (d) a) VÏ (P) b) T×m m cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét điểm cố định Bµi 10: Cho hµm sè y=x (P) a) VÏ (P) b) Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) Bài 11: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d ) ? V× ? b) Tìm a để hàm số y=a x (P) qua A c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( d ) d) Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( d ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( d ) víi trục tung Tìm toạ độ B và C Tính diÖn tÝch tam gi¸c ABC y=a.x+b Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P) Bài : Cho (P) y=x và đờng thẳng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 3: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng Bµi 6: Cho (P) vµ y=− x2 vµ (d) y=x+m a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B c) Xác định pt đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P) và đờng thẳng (d) a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đó đờng tiếp tuyến (P) song song víi (d) Bµi7 : Cho (P) qua ®iÓm I( y= x và đờng thẳng (d) CHỦ ĐỀ 3: ; ) cã hÖ sè gãc lµ m a) VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) b) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bµi 8: Cho (P) y=− x HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN vµ ®iÓm I(0;- 2) Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số gãc m.VÏ (P) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B ∀ m∈ R a) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn nhÊt Trường THCS Hồng Dương (9) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 x y Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số: 1 3hîp (nÕu cÇn) cho c¸c hÖ sè - Nh©n c¸c vÕ cña hai ph¬ng tr×nh víi sèthÝch ẩn nào đó hai phơng trình hệ bằng đối x y tr×nh hoÆc míi, 5ph¬ng - Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực j)hiện trongk) đó có phơng trình mà hệ số hai ẩn 0x(tức lµ ph¬ng tr×nh mét Èn sè) y 7 - Giải phơng trình ẩn vừa thu đợcrồi suy nghiệm hệ phơng trình đã cho 2 x y 4 l) C¸ch 2: Sö dông ph¬ng ph¸p thÕ - Dùng quy tắc biến đổi hệ phơngtrình 3x đã y cho 7 để đợc hệ phơng trình mới, đó có phơng trình ẩn y 3của hệ đã cho 2rax nghiÖm - Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy 3x y 5 m) 2 x y 18 x y 5 2 x y Dạng 1: Giải các hệ phương trình sau Bài 1: Dạng ïìï 2x + 3y = - í ï 3x - 2y = - a) ïî b) ìï 4x + 3y = ï í ïï 2x + y = î c) ìï 9x + 8y = ï í ïï 2x - y = î ïìï x - 6y = 17 í ï 5x + y = 23 d) ïî n) o) x y 4 6 x y 2 x y 9 2 x y 4 p) q) 2 x y 3 x y 6 r) x y 3 3x y 2 Bài 2: Dạng biến thể ìï x + y - = ïï í3 ïï 5x - y = 11 a) ïî b) ìï a b ïï + = í5 ïï 4a - 5b - 10 = ïïî e) ìï 7x + 4y = 74 ï í ïï 3x + 2y = 32 î ïìï x - 3y = í ïï - 2x + 6y = - 12 î f) x y 2 x y 1 g) i) 2 x y 1 x y 2 h) x y 1 x y 2 ìï x = y ïï í2 ïï x + y - 10 = ïî Bài 3: Dạng biến thể phức tạp Trường THCS Hồng Dương c) (10) Lê Thanh Lụa ìï x - y = ïï í ïï x + y = a) ïî ìï ( - 1)x - y = ïï í ïï x + ( + 1)y = ïî Giáo án ôn thi vào 10 ìï (x - 2)(y + 1) = xy ï í ïï (x + 8)(y - 2) = xy c) ïî b) 3x 2 2y 3 6xy 1) ; 4x y 4xy c) ìï x - 3y = ïï í ïï 2x + y = - ïî ìï x - y = ïï í ïï x + y = d) ïî ìï (x - (1 + 3)y = ïï í ïï (1- 3)x + y = ïî ìï 5x + y = 2 ïï í ïï x - y = ïî y 27 2y - 5x 2x 3) ; 6y 5x x y e) Bài 5: Dạng bậc cao ïìï x - y + = í ïï 2x - xy + 3y2 - 7x - 12y + = a) ïî f) b) ìï x - 5y = - ï í ïï x + y2 - 3xy + x + y = 10 ïî ìï x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = ï í ï x - 3y - = c) ïïî Bài 4: Thu gọn ẩn đưa dạng ïìï 6(x + y) = + 2x - 3y í ïï 5(y - x) = + 3x + 2y a) ïî ìï (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3) ï í ïï (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1) b) ïî ìï 3x2 + 6xy - x + 3y = ï í ï 4x - 9y = d) ïïî Bài 6: Dùng ẩn phụ a) ìï 1 ïï =1 ïï x y í ïï ïï + = ïî x y b) ìï ïï + = ïï x y í ïï 10 =1 ïï ïî x y c) ìï 1 ïï + = ïï x y í ïï 10 =1 ïï ïî x y d) ìï 1 ïï + = ïï x y 24 í ïï ïï = ïî x y 10 Trường THCS Hồng Dương 2x - 3 2y 2) x 1 3y 3 7x 5y - x 3y 4) 6x - 3y 10 5x 6y (11) Lê Thanh Lụa e) ìï 1 ïï + =2 ïï x - y - í ïï =1 ïï ïî x - y - f) ìï ïï + =2 ïï x - y + í ïï 29 + = ïï ïî x - y + 20 Giáo án ôn thi vào 10 ìï ïï =1 ïï x y + 12 í ïï =3 ïï + ïî x y + 12 g) Bài 7: Dùng ẩn phụ a) ìï 2x y ïï + =2 ïï x + y + í ïï x 3y + =- ïï ïî x + y + b) ìï ïï + =- ïï 2x - 3y 3x + y í ïï = 21 ïï ïî 3x + y 2x - 3y Bài 8: Hệ đối xứng loại ìï x + y + xy = ï í ïï x + y2 + xy = 13 a) ïî ìï x + xy + y = ï í ïï x + y2 = b) ïî ïìï x2 + y2 + x + y = ïí ïï x2 + y2 + xy = c) ïî ìï xy = x + y + 17 ï í ïï x + y2 = 65 d) ïî ïìï x + +y - xy = - 17 í ï xy - 12 = e) ïî ïìï x + y = í ïï x + y2 = 34 f) ïî ïìï xy = 10 í ïï x + y2 = 29 g) ïî 11 Trường THCS Hồng Dương h) ìï 2x 3y ïï + =1 ïï y - x - í ïï 2y 5x =2 ïï ïî x - y - i) ìï ïï + =3 ïï x - 2y x + 2y í ïï + =- ïï ïî x - 2y x + 2y (12) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 ïìï xy = 15 í ïï x + y2 = 34 h) ïî Bài 9: Hệ đối xứng loại 2: ïìï 2x = y2 - 4y + ïí ïï 2y = x2 - 4x + a) ïî ìï 2x2 - 3xy = y2 - 3x - ïï í ïï 2y - 3xy = x2 - 3y - d) ïî ïìï y2 = 2x + ïí ïï x2 = 2y + b) ïî ïìï x2 = - y ïí ïï y2 = - x e) ïî ïìï x2 - 2y2 = 7x ïí ïï y2 - 2x2 = 7y c) ïî f) ìï x - 2y = ïï í ïï y - 2x = ïî Bài 10: Hệ bậc ẩn a) ìï x + y + z = ïï ïï í x + 2y + 4z = ïï ïï x + 3y + 9z = 27 ïî b) ìï x + y + z = 12 ïï ïï í 2x - 3y + z = 12 ïï ïï x + y - 2z = ïî ìï x = y = z ïï í4 - ïï 4x + 3y - 2z = 24 g) ïî ìï x = y = z ïï í5 ïï 2x - y + 4z = 30 h) ïî ïìï 4x + 3y - 2z = - ïí x y z ïï = = i) îï - 10 - ïìï x - = y + = z ï í ïï 4x - y - z = ï j) ïî l) ìï x + y = 16 ïï ïï í y + z = 28 ïï ïï x + z = 22 ïî m) ìï x + y = 25 ïï ïï í y + z = 30 ïï ïï x + z = 29 ïî n) ìï x + 3y + z = - ïï ïï í x - y + 2z = ïï ïï z = 3x ïî ìï x = + z ïï ïï í y = + 3z ïï ïï - 3x - 2y + z = - p) ïî 12 Trường THCS Hồng Dương k) ìï x + y = ïï ïïí y + z = ïï ïï x + z = ïî (13) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 - NÕu a - b + c = x1 = -1; x b) T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai X2 - SX + P = c) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: NÕu ph¬ng tr×nh ax bx c 0 (a 0) cã hai nghiÖm x1; x2 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 th× d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng tr×nh ax bx c 0 (a 0) ax bx c a x x §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax bx c 0 (a 0) 2 C«ng thøc nghiÖm: Ta cã b 4ac - NÕu < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - NÕu = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1,2 nghiÖm tr¸i dÊu c 0 - NÕu a th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu - NÕu > th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x2 ph©n biÖt c 0 a b a - NÕu th× ph¬ng tr×nh cã hai c 0 a b 0 nghiÖm d¬ng NÕu a th× ph¬ng tr×nh cã b 2a ; b 2a HÖ thøc Viet: NÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 x b c x1.x a ;P= a x1; x2 th× S = Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax bx c 0 (a 0) Ta cã thÓ sö dụng định lí Viet để tính các biểu thức x 1, x2 theo a, b, c S1 = x12 x 22 x1 x 2x1x S2 b2 2ac a2 x13 x 23 x1 x 3x1x x1 x hai nghiÖm ©m e) XÐt dÊu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: S x1 x2 P x1 x2 Dấu nghiệm x1 x2 = 3abc b a3 trái dấu 2 b 4ac cùng dấu, x1 x x1 x x1 x 4x1x a2 cùng dương, øng dông hÖ thøc Viet cùng âm S3 a) = NhÈm nghiÖm: Cho ph¬ng tr×nh ax bx c 0 (a 0) - NÕu a + b + c = x1 = 1; c a 13 Trường THCS Hồng Dương + + S>0 S<0 C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n: Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai cã nghiÖm x2 x x c 0 - NÕu a th× ph¬ng tr×nh cã hai b 2a x1 c a P<0 P>0 P>0 P>0 (14) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bËc hai cã nghiÖm lµ b 4ac hoÆc Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn để phơng trình có nghiệm Bíc 2: TÝnh S = c 0 a x1 x Trong trêng hîp cÇn chøng minh cã Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh ax bx c 0 ; a' x b' x c ' 0 cã nghiÖm ngêi ta thêng lµm theo mét hai c¸ch sau: Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh víi Èn sè m, so s¸nh ®iÒu kiÖn Bíc 4: KÕt luËn Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu sè: Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn để phơng trình có nghĩa Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa phơng trình bậc (bậc hai) Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối: Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn để phơng trình có nghĩa Bíc 2: Khö dÊu gi¸ trÞ tuyệt đối, biến đổi đa phơng trình bậc (bËc hai) Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: ax bx c 0 (a 0) Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt x2 = t Bớc 2: Biến đổi đa ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm Ph¬ng tr×nh cã d¹ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e víi a + d = b + c Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt t = x2 + (a + C¸ch 1: Chøng minh 1 0 C¸ch 2: 1. 0 D¹ng 2: T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai X2 - SX + P =0 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh X2 - SX + P = Bíc 3: KÕt luËn Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn để phơng trình có nghiệm Bíc 2: TÝnh S = x1 x b c x1.x a ;P= a , theo m Bíc 3: BiÓu diÔn hÖ thức đề bài theo S, P với chú ý x12 x 22 S2 2P ; x13 x 23 S S2 3P ; 1 S 1 S2 2P x1 x P ; x12 x 22 P2 D¹ng 4: HÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn để phơng trình có nghiệm Bíc 2: TÝnh S = x1 x ad bc d)x + k = x + (b + c)x + k víi k = 2 Bớc 2: Biến đổi đa ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x Ph¬ng tr×nh håi qui a) D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax bx cx bx a 0 (a 0) Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 b c x1.x a ;P= a , theo m Bớc 3: Khử m để lập hÖ thøc gi÷a S và P, từ đó suy hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè m Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với bëi mét hÖ thøc cho tríc 14 Trường THCS Hồng Dương b c x1.x a ;P= a , theo m (15) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Bíc 2: §Æt t 2 víi ®iÒu kiÖn hai Èn t t x Bài 1: x vµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x b) D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax bx cx bx a 0 (a 0) Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 a) 3x2 + 5x - = c) 7x - 2x + = d) Bíc 2: §Æt ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x Ph¬ng tr×nh cã d¹ng 2x - 7x + = e) 6x + x - = f) 3x2 + 5x + = g) x - 8x + 16 = e d ax bx cx dx e 0 víi a b ; e Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: h) §Æt d d d d t x t x x bx bx b bx x2 - 28x + 52 = b) x vµ t x x2 - 12x + 27 = 5x2 - 17x + 12 = 3x2 - 19x - 22 = x2 - (1+ √ )x + √ = x2 - 14x + 33 = 16z + 24z + = i) x - 12x - 288 = j) d d x t b bx tr×nh bËc hai Èn t bËc hai trªn 9x2 - 12x + = Bíc 2: §a vÒ ph¬ng Bài 2: Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh a) b) Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm Ph¬ng tr×nh cã d¹ng Ph¬ng ph¸p: Bíc 4 §Æt t = d) a b a b a b x x a t ;x b t 2 tr×nh trïng ph¬ng Èn t trïng ph¬ng trªn Bíc 2: §a vÒ ph¬ng 4x - 5x - = e) t + 24t - 25 = Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh f) 9x4 + 8x2 - = g) 3x + 10x + = Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm Dạng 1: Giải phương trình bậc hai 2 x - 2x - = c) x - 13x + 36 = x a x b c 1: 2x4 - 3x2 - = x2 - 11x + 30 = x2 - 10x + 21 = h) 41 42 15 Trường THCS Hồng Dương 9a + 2a - 32 = 43 5x2 45 46 47 11x x2 x2 - (16) Lê Thanh Lụa i) Giáo án ôn thi vào 10 b) u4 + 3u2 + = + + x2 - 5x + x2 - 8x + 15 x2 - 13x + j) 2x4 + 5x2 + = c) Bài 3: a) 1 + + x2 + 9x + 20 x2 + 11x + 30 x2 + 13x x4 + 2x2 - x + = 15x2 - x - 35 e) b) 1 + + x - 5x + x - 7x + 12 x - 9x + 2x4 + x2 - = x4 + 6x2 + c) 5x4 - 7x2 - = 3x4 - 10x2 - Bài d) 25x2 x + = 11 (x + 5)2 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2 (x - 2)(x + 2)(x2 - 10) = 72 e) a) f) (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 10 b) Bái 4: a) 1 + = x2 (x + 2)2 16 d) 3x - 2x + + =2 x- x + x + 2x - 4x2 x + = 12 (x + 2)2 81x2 x + = 40 (x + 9) b) x+3 x- + = x - x - - x + 6x - x2 - 3x + = x x - x- c) c) e) x2 x + = 15 (x + 1) d) 1+ 8x 4x 32x2 + =0 + 8x 12x - 3(4 - 16x2) Bài a) e) x3 + 7x2 + 6x - 30 x2 - x + 16 = x3 - x +x +1 b) 4x 3x + =1 4x2 - 8x + 4x2 - 10x + Bài 5: a) 1 + = x2 + 4x + x2 + 8x + 15 16 Trường THCS Hồng Dương 2x 7x =1 3x2 - x + 3x2 + 5x + (17) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 c) 2 2 ( x + x 5) = ( x x + 5) e) 2x 13x + =6 2x2 - 5x + 2x2 + x + f) (x2 + x + 1)2 = (4x - 1)2 g) d) (x2 + 3x + 2)2 = 6(x2 + 3x + 2) 3x 7x + =- x2 - 3x + x2 + x + h) (2x + 3)2 - 10x3 - 15x = e) 4x 5x + = x2 + x + x2 - 5x + Bài 10: f) c) x - 3x + x + = a) x + 6x + 3x - 10 = b) x + 2x + 3x + = 4x 5x + =1 4x2 - 8x + 4x2 - 10x + d) x - 7x + 14x - = e) x - 5x + x + = f) x + 4x - 29x + 24 = Bài 12: a) Bài a) x4 - 10x3 + 15x2 + 10x - 16 = b) x + 11x - 8x + 8x - 12 = x - 10x + 15 4x = x2 - 6x + 15 x2 - 12x + 15 4 b) x2 - 3x + x2 - 5x + = x2 - 4x + x2 - 6x + c) c) 2x + 3x - 17x - 27x - = d) x - 2x + 6x - 10x + = Bài 13: a) x6 - 7x3 + = b) x - 13x + 15 x - 15x + 15 1- x + 9x - = = x2 - 14x + 15 x2 - 16x + 15 12 x8 - 17x4 + 16 = c) Bài d) ( x )( x + 2x - 3) = a) b) x + 3x + 2x = x8 + x - = Bài 14: a) 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - = b) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = c) (x + x)2 + 4(x2 + x) = 12 d) c) (2x + x - 4)2 - (2x - 1)2 = 2(x2 - 2x)2 + 3(x2 - 2x) + = d) (2x + 3)4 + 5(2x + 3)2 = 17 Trường THCS Hồng Dương (18) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 - 2x + = d) 4x + = Bài 15: a) b) x ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) = ( x - 1) ( x - 4) ( x - 5) ( x - 8) = - 31 c) ( x + 2) ( x + 3) ( x - 7) ( x - 8) = 144 - x +4 =2 g) 3x + = 4x + = ( x + 5) ( x + 6) ( x + 8) ( x + 9) = 40 i) Bài 19 4x - + x - - Bài 16: 16x + 16 - b) 9x + + 4x + + x + = d) x + x + 1- x = x + 25x - 25 - 49x - 49 = x - + 4x - c) Bài 20 2x2 + 3x + 2x2 + 3x + = 33 a) d) x +1 = x - x- =x- 2 9x - 18 = 20 c) 2 a) 3x + 2x = x + x + 1- x 3x + 21x + 16 + x + 7x + = e) x + x - 10 = f) x + 12 x + 35 = g) 2x + x + = h) 2x + 13 x - 45 = b) c) 4x - 20 = x - 20 d) x + = e) 3x + = f) x + = 1- x g) x + x + = 13 Bài 17: a) h) 2x + = 2x - 24 15 =2 x2 + 2x - x2 - 2x - Bài 21 1 + = 2 x - 2x + x - 2x + 2(x - 2x + 4) c) x +x - 3x + +4= x x +x - a) x2 - 4x + = 49 b) 4x2 - 4x + = 13 c) x2 - 6x + = x + d) e) x2 + 2x + = - x + x2 - 2x + - c) Bài 22 b) 5x + = 18 Trường THCS Hồng Dương i) x- 5+7= x b) Bài 18 x +3 = a) x- =4 h) a) 2x - 8x + 16x = 28 b) d) f) e) - 2x + = x2 + 4x + = - 2x + (19) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 2x + - a) x + = 5- (x lµ Èn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm tr¸i dÊu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M = x- x1 x x x x + x +1 = f) 2x - + x - = x + b) x + 1- x - = 12 - x x - 1- c) m 1 x 4x + 17 = x + x a 1 x a a 0 x + + x + 10 = x + + x + f) x = 2x + - 3x + 1: m 2x Cho ph¬ng 2 x m tr×nh tr×nh : a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 2 x1 và x2 Tìm giá trị a để x1 x đạt gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 57: Cho pt (m - 4)x2 - 2mx + m + = Dạng 2: Dạng tổng hợp phương trình bậc hai – Phương trình chưa tham số Bµi m 1 x 2m 0 5x - = 3x - e) x - 3- c) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 5: Cho ph¬ng d) 3x + 15 - kh«ng phô thuéc vµo m Bài 4: Tìm m để phơng trình a) x − x +2 ( m− )=0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) 4x 2x m 0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt Bài 23 a) : x m 1 x m 0 x+4+ x- = e) tr×nh x- x + = 3- d) c) TÝnh x1 x theo m 3: Cho ph¬ng Bµi x +3+ x- 1= b) c) 3x - = a) Tìm m để pt có nghiệm x = Tìm nghiÖm b) Tìm m để pt có nghiệm : x12 + x22 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m c, TÝnh theo m Dạng 3: Định lí Viet b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 x 3 x1 cã ; nghiÖm x2 2 lập c) Tìm m để phơng trình d- phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên ¬ng nhÊt Ví dụ : Cho Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh :S x1 x2 5 m 0 m x 2mxTheo hệ thức VI-ÉT (x lµ Ènta)có P x1 x2 6 x1 ; x2 là nghiệm phương trình có a) T×m dạng: m để phơng trình có nghiệm 2 Sx x T×m nghiÖmxcßn l¹i P 0 x 5x 0 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài tập áp dụng: ph©n biÖt x1 = x2 = -3 x1 = 36 19 Trường THCS Hồng Dương x2 = -104 (20) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 x1 = x2 = x1=2 x2=5 x1=-5 x2=7 x1=-4 x2=-9 x1 = - 5; x1 = 4; x2 = 11 ; x1 = - x2 = + x2 = + Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x x 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc có ẩn là y thoả mãn : h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: y1 x2 1 y2 x1 x1 và x2 Theo 1 1 1 x x x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 9 y y 0 y y 0 2 Vậy pt cần lập có dạng: y Sy P 0 hay S y1 y2 x2 Bài tập áp dụng : Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x + px - = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: a) -x1 vµ -x2 - x1 + - x2 + x2 x1 b) 4x1 vµ 4x2 g) vµ 1 x2 x1 3 c) vµ d) x1 vµ x2 e) f) x1 vµ h) x2 i) x1 j) x2 - x1 - x2 x1 - x2 - x1 x2 vµ x2 x1 x12 x1 + vµ x1 - 1 x2 vµ vµ x22 x2 - x2 k) vµ l) x12x2 vµ x1x22 x1 x2 + x1 Tìm hai số biết tổng và tích chung Nếu hai số có Tổng S và Tích P thì hai số đó là hai nghiệm phương trình : x Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P ) V í dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = và tích P = ab = Vì a + b = và ab = n ên a, b là nghiệm phương trình : x 3x 0 giải phương trình trên ta 4 Trường Hồng Vậy nếuTHCS a = thì b =Dương a = thì b = x1 1 và x220 (21) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Bài tập áp dụng a) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 27, tÝch cña chóng b»ng 180 b) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 1, tÝch cña chóng b»ng c) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 33 , tÝch cña chóng b»ng 270 d) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 4, tÝch cña chóng b»ng 50 e) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng , tÝch cña chóng b»ng -315 T×m hai sè u, v biÕt: a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = h) u + v = -5; uv = -24 i) j) k) l) m) n) d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 u + v = 4; uv = 19 u - v = 10; uv = 24 u2 + v2 = 85; uv = 18 u - v = 3; uv = 180 u2 + v2 = 5; uv = -2 u2 + v2 = 25; uv = -12 Tính giá trị các biểu thức nghiệm Đối các bài toán dạng này điều quan trọng là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VIÉT rổi tính giá trị biểu thức x12 x22 ( x12 x1 x2 x22 ) x1 x2 ( x1 x2 )2 x1 x2 x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 x14 x24 ( x12 ) ( x22 ) x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 x12 x22 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 x22 x13 x23 x14 x24 x16 x26 ( x1 x2 x1 x2 =…….) x2 x x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1x2 =…… ) (= x12 x22 x12 x22 x1 (= (= =…… ) ( x ) ( x ) x x22 x14 x12 x22 x24 3 2 21 Trường THCS Hồng Dương = …… ) (22) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính x x 1 x x2 x1 x2 x x1 2 x1 x2 2 b) Cho phương trình : x 72 x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x 1 x2 2 x1 x2 c) Cho phương trình : x 14 x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x1 x2 2 x1 x2 d) Cho phương trình : x x 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x1 x2 x1 x2 x2 x1 2 Cho ph¬ng tr×nh: x - 5x + = Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh: a) x12 + x22 b) x13 + x23 Tìm giá trị tham số phương trình thõa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số) Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ: Cho phương trình : mx m 1 x m 3 0 Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 và x2 l à : m 0 ' m 21 9(m 3)m 0 m 0 2 ' 9 m22 2m 1 9m 27 0 Trường THCS Hồng Dương m 0 m 0 ' 9 m 1 0 m (23) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Bài tập áp dụng 1.Cho pt x - 6x + m = TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: a) x12 + x22 = 36 b) 1 + =3 x1 x2 c) d) 1 + = x12 x22 x1 - x2 = 2.Cho pt x - 8x + m = Tìm các giá trị m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả các hệ thøc sau: a) x12 + x22 = 50 c) 2x1 + 3x2 = 26 b) x1 = 7x2 d) x1 - x2 = x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = Cho pt Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm pt? a) Tìm k để pt: b) Tìm m để pt: x2 + (k - 2)x + k - = x2 - 2(m - 2)x - = Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ 23 Trường THCS Hồng Dương x1 = 2x2 x12 + x22 = 10 x12 + x22 = 18 (24) Lê Thanh Lụa c) Tìm k để pt: Giáo án ôn thi vào 10 (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - = cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 5x + 2x2 = d) Tìm m để pt: 5x + mx - 28 = có hai nghiệm x1; x2 thoả Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c cña pt: mx2 + (m - 1)x + 3(m - 1) = Chøng minh: 1 + =x1 x2 6.Cho phương trình : mx m x m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 0 Cho phương trình : x m 1 x 5m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 1 8.Cho phương trình : 3x 3m x 3m 1 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 6 CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ph¬ng ph¸p chung - Chọn ẩn số và xác định điều kiện ẩn số (đơn vị tính) ẩn số thờng là đại lợng cha biết bài toán Việc chọn ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lợng cha biÕt bµi to¸n - Biểu diễn mối tơng quan đại lợng đã biết và đại lợng cha biết - LËp ph¬ng tr×nh (hay hÖ ph¬ng tr×nh) - Gi¶i ph¬ng tr×nh (hay hÖ ph¬ng tr×nh) - Nhận định kết và trả lời Dạng 1: Các bài toán chuyển động - Dựa vào quan hệ ba đại lợng S: quãng đờng; t: thời gian; v: vận tốc vật chuyển động công thức S = v.t - Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ giải bài toán chuyển động thuyền trên sông ta có: v1 = v0 + v3; v2 = v0 – v3 đó v1 là vận tốc thuyền xuôi dòng, v2 lµ vËn tèc thuyÒn ®i ngîc dßng, v0 lµ vËn tèc riªng cña thuyÒn, v lµ vËn tèc dßng ch¶y Hai tỉnh A và B cách 180 km Cùng lúc, ôtô từ A đến B và xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , còn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết trên đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi 24 Trường THCS Hồng Dương (25) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất giê TÝnh vËn tèc cña ca n« níc yªn lÆng, biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng níc lµ km/h Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở A Thời gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc giê 20 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ km/h Một ngời chuyển động trên quãng đ ờng gồm đoạn đờng và đoạn đờng dốc Vận tốc trên đoạn đờng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng là 110km và thời gian để ngời đó quãng đờng là 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã Một xe tải và xe cùng khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 km/h, xe với vận tốc 45 km/h Sau đợc quãng đờng AB, xe tăng vận tốc thêm km/h trên quãng đờng còn lại Tính quãng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phót Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời đó đờng khác dài trớc 29 km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ giê 30 phót Dạng 2: Các bài toán suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành công việc; s: l ợng s công việc đã làm thì N = t Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong Nếu đội làm mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm mình xong công việc bao lâu? Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy đó đã hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế ho¹ch Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá, nhng đã vợt mức đợc tuần nên đã hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà còn v ợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đã định Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đó đợc bổ sung thêm xe nên xe chở ít so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết r»ng sè hµng chë trªn tÊt c¶ c¸c xe cã khèi lîng b»ng Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n NÕu lµm chung giê tæ vµ giê tổ thì hoàn thành đợc mức khoán Nếu để tổ làm riêng thì tổ này làm xong møc kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm bao l©u ? Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đ ã định Họ làm chung với thì tổ thứ đợc điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công viÖc cßn l¹i 10 giê Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngời thứ hai làm thì họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ngời làm công việc đó mÊy giê th× xong Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm §Õn lµm viÖc, ph¶i điều công nhân làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết suất lao động c«ng nh©n lµ nh Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngời thứ làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm mình công việc đó mÊy giêi th× xong ? 25 Trường THCS Hồng Dương (26) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 10 Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do đó cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm 11 Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ? 12 N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ triÖu ngêi D©n sè tØnh A n¨m t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1% Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m lµ 045 000 ngêi TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m ? D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ lµm chung – lµm riªng, vßi níc ch¶y chung – ch¶y riªng Dùa vµo kÕt qu¶ sau - Nếu x (hoặc ngày) làm xong công việc thì (hoặc ngày) làm đợc x công việc đó 1 - Nếu giờ: Đối tợng A làm đợc x công việc, đối tợng B làm đợc y công 1 việc thì lợng công việc mà hai làm đợc là x + y công việc a - Nếu làm đợc x công việc thì a làm đợc x công việc Hai vòi nớc cùng chảy vào cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể 50 phút NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt giê 48 phót NÕu ch¶y riªng, vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê 30 phót Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, bơm đợc 15 m3 Do so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phót TÝnh thÓ tÝch bÓ chøa NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 30 phót sÏ ®Çy bÓ NÕu më vßi thø nhÊt 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai ch¶y tiÕp 20 phót thì đợc bể Hỏi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể ? Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau giê 48 phót th× ®Çy Nðu ch¶y cïng mét thêi gian nh thì lợng nớc vòi II lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng th× sau bao l©u ®Çy bÓ NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mÖt bÓ c¹n th× sau giê 55phót bÓ ®Çy bÓ NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ ? Dạng 4: Các bài toán xếp, chia sản phẩm (hàng hóa ) Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho s xe; t: lµ sè xe chë hµng; s: tæng sè lîng hµng ho¸ kho th× N = t 26 Trường THCS Hồng Dương (27) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Hai đội bóng bàn hai trờng A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh Biết đấu thủ đội trờng A phải lần lợt gặp các đối thủ trờng B lần và số trận đấu gấp lần tổng số đấu thủ đội Tìm số đấu thủ trờng Trong mét cuéc gÆp mÆt häc sinh giái cã 35 b¹n häc sinh giái v¨n vµ to¸n tham dù C¸c häc sinh giái v¨n tÝnh sè ngêi quen cña m×nh lµ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n vµ nhËn thÊy r»ng : b¹n thø nhÊt quen b¹n; B¹n thø quen b¹n; B¹n thø quen b¹n ; vµ cø thÕ b¹n cuèi cïng quen tÊt c¶ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n TÝnh sè häc sinh giái v¨n, giái to¸n BiÕt r»ng kh«ng cã häc sinh nµo võa giái v¨n võa giái to¸n Trong buổi liên hoan, lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đ ã có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế và dãy ghế phải ngồi thêm thì đủ chỗ ngồi Biết dãy ghế có số ng ời ngồi nh và ngồi không quá năm ngời Hỏi líp häc lóc ®Çu cã bao nhiªu d·y ghÕ Mét ®oµn gåm 50 häc sinh qua s«ng cïng mét lóc b»ng lo¹i thuyÒn : Lo¹i thø nhÊt, mçi thuyền chở đợc em và loại thứ chở đợc em thuyền Hỏi số thuyền loại ? Hai đội cờ thi đấu với Mỗi đấu thủ đội này phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đã đấu bình ph ơng số đấu thủ đội thứ cộng với số đấu thủ đội thứ hai Hỏi đội có bao nhiêu đấu thủ ? Mét khèi líp tæ chøc ®i tham quan b»ng « t« Mçi xe chë 22 häc sinh th× cßn thõa häc sinh Nếu bớt ôtô thì có thể xếp các học sinh trên các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiªu «t«, bao nhiªu häc sinh Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 häc sinh Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian đã định và dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có bao nhiêu xe ? Hai tổ học sinh trồng đợc số cây sân trờng Nếu lấy cây tổ chuyển cho tổ thì số cây trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 cây tổ chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc tổ hai gấp đôi số cây tổ Hỏi tổ trồng đợc bao nhiªu c©y ? D¹ng 5: C¸c bµi to¸n t×m sè Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hµng mét sè Chó ý: ab 10a b ; abc 100a 10b c 1 Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số Nếu tử số thêm và mẫu số tăng gấp thì giá trị phân số 24 Tìm phân số đó Tìm số N gồm chữ số, biết tổng các bình phơng hai chữ số số đó cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đó thì đợc số có hai chữ số mà các chữ số viÕt thø tù ngîc l¹i Tìm số có chữ số biết đem số đó chia cho tổng các chữ số nó thì đợc thơng là và d là Còn đem số đó chia cho tích các chữ số nó thì đợc thơng là vµ d lµ Tìm số gồm ba chữ số cho ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm hai chữ số còn lại, ta đợc có ba chữ số lớn số ban đầu 765 đơn vị D¹ng 6: C¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc Chú ý đến các hệ thức lợng tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích cña c¸c h×nh 27 Trường THCS Hồng Dương (28) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất còn lại vờn để trồng trọt là 4256 m2 Cho mét h×nh ch÷ nhËt NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2 NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu Cho mét tam gi¸c vu«ng NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn cm vµ cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2 NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2 TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng D¹ng 7: Tổng hợp Một ô tô từ A đến B với vận tốc xác định và thời gian đ ã định Nếu vận tốc ô tô gi¶m 10 km/ h th× thêi gian t¨ng 45 phót NÕu vËn tèc « t« t¨ng 10 km/ h th× thêi gian gi¶m 30 phót Tính vận tốc và thời gian dự định ô tô Hai xÝ nghiÖp theo kÕ ho¹ch ph¶i lµm tæng céng 360 dông cô Thùc tÕ, xÝ nghiÖp I vît møc kÕ hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, đó hai xí nghiệp đã làm đ ợc 404 dụng cụ TÝnh sè dông cô mçi xÝ nghiÖp ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian đã định Nh ng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù ngời đó đã làm thêm sản phẩm so với dự kiến, nh ng thời gian hoàn thành công việc chậm so với dự định là 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm ngời đó Biết ngời đó làm không quá 20 sản phẩm Một xe khách và xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách là 20 km/h Do đó nó đến B trớc xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đờng AB dài 100km Theo kế hoạch, công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm thời gian định Nhng cải tiến kĩ thuật nên ngời công nhân đó đã làm thêm đ ợc sản phẩm Vì vậy, hoàn thành kế hoạch sớm dự định 30 phút mà còn vợt mức sản phẩm Hỏi theo kế hoạch, ngời đó phải làm bao nhiêu sản phẩm CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng HÖ thøc lîng tam gi¸c vu«ng a) Một số hệ thức cạnh và đờng cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH ta có b2 = a b’ c2 = a c’ 2 b +c =a h2 = b’ c’ a h = b c b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän Trường THCS Hồng Dương c 1 2 2 h b c B 28 A b h c' b' H a C (29) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 - Các tỉ số lợng giác góc nhọn đợc định nghĩa nh sau: c¹nh kÒ cos = c¹nh huyÒn c¹nh kÒ cotg = cạnh đối c¹nh kÒ - Víi hai gãc vµ phô ta cã sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg sin300 cos60 - Một số góc đặc biệt 3 t g300 cot g60 cạnh đối cạnh đối sin = c¹nh huyÒn cạnh đối tg = c¹nh kÒ sin450 cos45 cos300 sin60 2 tg450 cot g450 1 cot g30 t g60 c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc tam gi¸c vu«ng Trong mét tam gi¸c vu«ng, mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n víi sin gãc đối nhân với côsin góc kề Mỗi cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân tang góc đối nhân với côtang góc kề d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c a.h S= a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB 2 S= (h là đờng cao ứng với cạnh a) S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) a.b.c S = 4R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) S= p p a p b p c (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c) §êng trßn: a) Sự xác định đờng tròn Tính chất đối xứng đờng tròn - Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, nằm bên ngoài đờng tròn - Qua ba điểm không thẳng hàng, vẽ đợc và đờng tròn - Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kính nào nó b) Đờng kính và dây cung đờng tròn Liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Trong đờng tròn, dây lớn là đờng kính - §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong đờng tròn: Hai dây và chúng cách tâm Trong hai d©y kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n vµ chØ nã gÇn t©m h¬n c) Vị trí tơng đối đờng thẳng và đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt ứng với vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng và bán kính R đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R Ta có các định lí - Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính qua tiÕp ®iÓm 29 Trường THCS Hồng Dương (30) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 - Nếu đờng thẳng qua điểm đờng tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì: - Điểm đó cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua các tiếp điểm e) §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đờng phân giác các góc tam giác - Đờng tròn qua ba đỉnh tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đờng trung trực tam giác - §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai cạnh là đờng tròn bàng tiếp tam giác Tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm hai đờng phân giác hai góc ngoài tam giác giao điểm tia phân giác góc và hai đờng phân giác góc ngoài không kề với nó f) Vị trí tơng đối hai đờng tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn không giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt Do tính chất đối xứng đờng tròn, hai đờng tròn cắt thì giao điểm đối xứng với qua đờng nối tâm, hai đờng tròn tiếp xúc thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm g) Góc với đờng tròn: + Góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung đó Số đo cung lớn hiệu 360 và số đo cung nhỏ Số đo nửa đờng tròn 1800 + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa dây cung đờng tròn đó Cung bên góc gọi là cung bị chắn Trong đờng tròn số ®o cña gãc néi tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc tạo tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến (O) A, AB là dây cung Góc tạo tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gäi lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc có đỉnh bên đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh bên đờng tròn chắn hai cung: cung nằm bên góc và cung nằm bên góc đối đỉnh cung đó Số đo có đỉnh bên đờng tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn nöa hiÖu hai cung bÞ ch¾n Chú ý: Trong đờng tròn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng ch¾n c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng th× b»ng - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 90 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : l Rn 180 30 Trường THCS Hồng Dương (31) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 R 2n lR S 360 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n 0: C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi b»ng - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai góc cùng nhọn cùng tù có các cạnh đôi song song hoÆc vu«ng gãc - Hai góc so le trong, so le ngoài đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc cùng mộ tam giác cân - Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai dây trơng ứng hai cung đờng tròn hai đờng Tính chất tiếp tuyến cắt Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song C¸ch chøng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng th¼ng thø ba - Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: vị trí so le trong; vị trí so le ngoài; vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng là hai cạnh đối hình bình hành, chữ nhật, hình vu«ng, Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc C¸ch chøng minh: - Chúng cùng song song với hai đờng thẳng vuông góc kh¸c - Chứng minh chúng là chân đờng cao tam giác - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y vµ d©y kh«ng ®i qua t©m - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï - Tính chất đờng chéo hình thoi, hình vuông Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy C¸ch chøng minh: - Dùa vµo tæng hai gãc kÒ bï cã tæng b»ng 180 - Dựa vào hai góc đối đỉnh - Dựa vào hai đờng thẳng qua điểm cùng song song với đờng thẳng khác - Dùa vµo hai gãc b»ng cã c¹nh trïng 31 Trường THCS Hồng Dương (32) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 - Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c (hoÆc mét ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng * Hai tam gi¸c thêng: - Trêng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Trêng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Trêng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét c¹nh vµ mét gãc nhän b»ng - Cã c¹nh huyÒn b»ng vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng - Cạnh góc vuông đôi Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam gi¸c thêng: - Có hai góc đôi (g-g) - Cã mét gãc b»ng xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-g-c) - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ - Cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp C¸ch chøng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diÖn - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn l¹i díi mét gãc - Dựa vào phơng tích đờng tròn II C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy song song với Lăng trụ là lăng trụ đứng có đáy là đa giác Sxq = p l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên) Lăng trụ đứng: Sxq = p h (p là chu vi đáy, h là chiều cao) V = B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) H×nh hép ch÷ nhËt: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c lµ c¸c kÝch thíc cña h×nh hép ch÷ nhËt) V = a b c 2 Các đờng chéo hình hộp chữ nhật d = a b c H×nh lËp ph¬ng: V = a3 (a lµ c¹nh) H×nh chãp: H×nh chãp lµ h×nh ®a diÖn cã mét mÆt lµ ®a gi¸c, c¸c mÆt kh¸c lµ tam gi¸c cã chung đỉnh Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các mặt bên Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm đáy và thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp gọi là hình chóp cụt Sxq = n a d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ Hình chóp đều: dµi trung ®o¹n) Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy) V= 3.B.h 32 Trường THCS Hồng Dương (33) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 n.a n.a' d = (n là số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung Hình chóp cụt đều: Sxq ®o¹n chiÒu cao mÆt bªn) V = V1 + V2 (V1 thÓ tÝch h×nh chãp côt; V2 thÓ tÝch h×nh chãp trªn) h B B' B.B' V= (B, B’ là diện tích đáy, h là chiều cao) H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - Diện tích xung quanh: Sxq = 2 R h (R là bán kính đáy; h là chiều cao) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2 R h + 2 R2 - Thể tích hình trụ: V = S h = R2 h (S là diện tích đáy) H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vuông nó Hình nón cụt là phần hình nón đáy và thiết diện vuông góc với trục H×nh nãn: - Diện tích xung quanh: Sxq = R l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = R l + R2 .R h - ThÓ tÝch: V = (h lµ chiÒu cao) H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: S xq = (R1 + R2) l (R1; R2 lµ b¸n kÝnh hai đáy; l là đờng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2) l + (R12 + R22) H×nh cÇu: .h.(R12 R 22 R1 R ) - ThÓ tÝch: V = (h lµ chiÒu cao) - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4 R2 (R lµ b¸n kÝnh) .R 3 - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = Dạng 1: Hình học phẳng Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M và N Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: DEA ACB Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA là phân giác góc MAN y A x Chứng tỏ: AM2=AE AB N D E M O B C 33 Trường THCS Hồng Dương (34) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Bài 2: Cho(O) đường kính AC trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I Tứ giác ADBE là hình gì? C/m DMBI nội tiếp C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD C/m MC DB=MI DC C/m MI là tiếp tuyến (O’) D I A M B O C O' E H×nh Bài 3: Cho ABC có A =1v Trên AC lấy điểm M cho AM < MC Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM cắt BC E;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S C/m BADC nội tiếp BC cắt (O) E Cmr:MD là phân giác AED C/m CA là phân giác góc BCS A D S M O B C E 34 Trường THCS Hồng Dương Hình (35) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Bài 4: Cho ABC có A = 1v Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM > MC Dựng đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D và đường thẳng AD cắt (O) S C/m ADCB nội tiếp C/m ME là phân giác góc AED C/m: ASM = ACD K Chứng tỏ ME là phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy A D M S O B H×nh Bài 5: E C Cho tam giác ABC có góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD và đường kính AA’ Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ C/m AEDB nội tiếp C/m DB A’A=AD A’C C/m:DE AC Gọi M là trung điểm BC Chứng minh MD = ME = MF Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E Chứng minh tam giác ABC vuông A O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên đường tròn Chứng tỏ : BC2= Rr 35 Trường THCS Hồng Dương (36) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r B E C N F A O I H×nh 10 Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm trên đoạn OB) Từ B hạ đường vuông góc với AM H,cắt AO kéo dài I C/m OMHI nội tiếp Tính góc OMI Từ O vẽ đường vuông góc với BI K C/m OK=KH Tìm tập hợp các điểm K M thay đổi trên OB y A E M O B x H I K H×nh 1 Bài 8: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E C/m: MA là phân giác góc CMD C/m: EFBM nội tiếp Chứng tỏ: AC2 = AE AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I C/m NI//CD 36 Trường THCS Hồng Dương (37) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM C M N E A F O B I D H×nh 12 Bài 9: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE Gọi H là trung điểm DE C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên đường tròn C/m HA là phân giác góc BHC Gọi I là giao điểm BC và DE C/m AB2=AI AH BH cắt (O) P C/m AE//CP B E H I D O K A P C Bài 10: H×nh 13 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Chứng minh : AD AB = AE AC Chứng tỏ AK là phân giác góc DKE Gọi I; J là trung điểm BC và DE Chứng minh: OA//JI Bài 11: 37 Trường THCS Hồng Dương (38) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn E và F,cắt AC I(Enằm trên cung nhỏ BC) Chứng minh BDCO nội tiếp Chứng minh: DC2 = DE DF Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn Chứng tỏ I là trung điểm EF Bài 12: Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M AM cắt CD E Chứng minh AM là phân giác góc CMD Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn Chứng tỏ AC2 = AE AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I Chứng minh NI//CD Bài 13: Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E và cắt đường thẳng AC G Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ và cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D C/m: AEHF nội tiếp Chứng tỏ: HG HA = HD HC Chứng minh EFDG và FHC = AFE Tìm điều kiện hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén Bài 18: Một hình trụ có chu vi đáy 20cm, diện tích xung quanh 140cm2 tính chiều cao hình trụ Bài 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm và A’C = 13 cm Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó Bài 31: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình lập phương đó Bài 20: Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ 600 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật đó Bài 33: 38 Trường THCS Hồng Dương (39) Lê Thanh Lụa Giáo án ôn thi vào 10 Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh và thể tích nó biết cạnh đáy dài cm và góc AA’B 300 Bài 21: Cho tam giác ABC cạnh a Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 22: a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình chóp Bài 23: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên a a) Tính diện tích toán phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài 24: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 25: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là cm Tính thể tích hình chóp cụt đó Bài 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên là tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 27: Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh nó Bài 28: Một hình nón có bán kính đáy cm và diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón đó 39 Trường THCS Hồng Dương (40)