Dap an de thi HSG tinh Nam Dinh nam hoc 20152016

Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học.. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Đáp án 1.1 (1,5) P 5  5  22 Tính giá trị biểu thức M 5  5  22 Đặt Điểm  11  10  22 M  2  22 Ta có 0,25  M  (Do M  ) 11   3 2 3  0,5 Suy P 3 1.2 (1,5) 0,25 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x  y  z 2, 2 x  y  z 18 và xyz  Tính giá trị Ta có yz  x   y  1  z  1 S Suy Suy 1   xy  z  yz  x  zx  y  0,5  và zx  y   z  1  x  1   x  1  y  1  y  1  z  1  z  1  x  1  Ta có S xy  z   xy  x  y   x  1  y  1 Tương tự 2.1 (2,0) 0,5  x yz  x  1  y  1  z  1 0,25 0,25 1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z S  x  y  z   xy  yz  zx   xy  yz  zx  0,25 Giải phương trình 2 x   x   x Điều kiện 2x   x   0,25 x  11 0 0,5 x  11 0  2 x   x   x  11  x   x  x  5 x  11  2.2 (3,0) 0,5 x  x  3  x 0,5  x 3  x 3  x 1      2  x  12 2 x  x  9  x  x  x  11x  12 0 Đối chiếu điều kiện ta x 1 là nghiệm phương trình  y  y x    x  0  1    x  y  x  0  2 Giải hệ phương trình  Điều kiện x 1, y    y2  y  0,5    x    x  0  y  y  x   y  1 0   y  1 y   y 1   y  x  Với y 1 , thay vào (2) ta x2 1  x  0  x   x   x  x  7 x    x2  4   x   0  x  2  x  2 x  0 x  1 x2   0,25  x 2    x  2 x2  0  x  1 x2   Với x 2 suy y 1 x2 Ta có  x   Với x 1 thì  x  2 0,5    x 1    x  2  x  2  Suy 0,5 0,5  x 1  x 1  x  x  0      x 2 (do điều kiện x)  x 4 2 Với y  x  , thay vào (2) ta x  x   x  0  x  0  x  2  x  1 x2   x2     x     x2     x2       x  1 x2    x  1 x   0   x   x2   0,5 0,5 x2   x2   0 0 x  1 Vậy hệ phương trình có các nghiệm  1;1 ,  2;1 0,25 3.1 (2,0) 2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x  y  xy  x  y 1 2 x  y  xy  x  y 1   x  y    x  1   y  1 4 Ta có 0,75 1,0 Ta có bảng giá trị tương ứng (học sinh có thể xét trường hợp) xy x y 0  1;1 -2 0 Loại Loại -2   1;1 0 Loại 0 -2  1;  1 Vậy các số 3.2 (1,0)  x; y  cần tìm là  x; y  0,25  1;1 ,   1;1 ,  1;  1 Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có Với số nguyên dương k ta có Nghiệm  n  1 k  k    k  1    k  1  k  1 n 3 0,25 Sử dụng đẳng thức trên liên tiếp với k 3, 4, , n ta 0,5   2.4    3.5     4.6         n  1  n  1 0,25        n  1  n  1   n  1 n Ta có điều phải chứng minh (7,0) O Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn   và ngoại tiếp đường   I tròn   Điểm D thuộc cạnh AC cho ABD  ACB Đường thẳng AI cắt đường O tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai là E và cắt đường tròn   điểm thứ hai là Q Đường thẳng qua E và song song với AB cắt BD P Chứng minh tam giác QBI cân; Chứng minh BP.BI BE.BQ ; Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm JE Chứng minh PK / / JB 4.1 (2,0)  Ta có AI là phân giác BAC nên Q là điểm chính cung BC (O) 1,0    Suy BAQ QAC QBC 1,0      BAQ   IBQ IBC  QBC IBA BIQ Hay tam giác QBI cân Q 4.2 (3,0) Tam giác ABD đồng dạng tam giác ACB AB AD  Suy AC AB hay AB  AD AC (1) Tam giác ADI đồng dạng tam giác AEC   (có góc A chung và AID  ACE ) 0,5 0,5 AD AI  Suy AE AC hay AI AE  AD AC (2) Từ (1) và (2) suy AI AE  AB , 0,5 suy tam giác ABI đồng dạng tam giác AEB  AEB  ABI  ABC Suy  BAC AEP BAE   (hai góc so le trong), Ta có 0,5   BEP  ABC  BAC suy 4.3 (2,0) (2,0)  BAC  ABC  BIQ    Theo a) ta có suy BIQ BEP 0,25     Ta có BPE  ABD  ACB BQI 0,25 BP BE   BP.BI BE BQ Suy hai tam giác PBE và QBI đồng dạng, suy BQ BI , ta có điều phải chứng minh 0,5 Tam giác BQI đồng dạng tam giác BPE và tam giác BQI cân Q nên tam giác PBE cân   BAC  ABC  PBE  P, suy và PH  BE với H là trung điểm BE 0,5 Do HK là đường trung bình tam giác EBJ nên HK//BJ 0,5 ACB  BAC  ABC   JBD  DBE  o  và Ta có , suy JBE 90 hay JB vuông góc BE 0,75 Suy PH//JB, suy P, H, K thẳng hàng hay PK//JB Cho lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia đúng câu lạc Nếu chọn 10 học sinh bất kì thì luôn có ít học sinh tham gia cùng câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm ít học sinh 0,25 Giả sử tất các câu lạc có không quá học sinh 0,5 Gọi N là số câu lạc có học sinh Nếu N  , từ số các câu lạc này, chọn câu lạc học sinh, đó 10 học sinh này không thỏa mãn điều kiện bài toán Nếu N<4 , đó số học sinh tham gia các câu lạc này không quá 3.8 24 , nghĩa là còn ít 35  24 11 học sinh, học sinh tham gia câu lạc mà câu lạc này có học sinh Chọn 10 học sinh số này, không thỏa mãn điều kiện bài toán 0,5 Vậy N=4 Số học sinh tham gia câu lạc này không quá 4.8 32 , nghĩa là còn ít học sinh, học sinh tham gia câu lạc mà câu lạc này có học sinh 0,5 Chọn số học sinh này và câu lạc trên chọn học sinh, đó 10 học sinh không thỏa mãn điều kiện 0,25 Vậy điều giả sử sai, nghĩa là tồn câu lạc có ít học sinh tham gia 0,25 Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình, thì giám khảo thống chia điểm thành phần tương ứng -HẾT -