a Tìm hệ số chứa x2012 trong khai triển trên b Tính tổngcác hệ số của khai triển trên.. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu.[r]
(1)Câu 1: (4đ) Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác thỏa mãn điều kiện: a) Có chữ số đôi khác b) Là số lẻ có chữ số đôi khác c) Là số chẵn có chữ số đôi khác Câu 2: (2đ) x A C 14 x x x Giải phương trình: Câu 3: (4đ) Lớp 11a có 26 học sinh gồm 13 nam,13 nữ chọn ngẫu nhiên nhóm có học sinh tham gia đội văn nghệ a) Tính xác suất để đội văn nghệ có bạn cùng giới? b) Tính xác suất để đội văn nghệ có ít bạn trai? Câu (3,0 điểm): a Lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số phân biệt từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 7, 8, b Lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác đôi và chia hết cho từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Câu 2(3.0 điểm): a Khai triển nhị thức 2x y 2 y 3 y y b Tìm hệ số chứa khai triển Câu 3(3.0 điểm): Bạn Nam có sách tham khảo gồm 15 khác đó có sách Toán, sách Lý và sách Hóa Bạn Nam muốn lấy bốn sách để tham khảo Tính xác suất để a lấy cùng môn b lấy có ba môn Câu 4(1,0 điểm): Cho n là số tự nhiên chẵn ( n 2 ) Chứng minh đẳng thức Cn0 Cn2 Cn4 Cnn 2n Câu (3điểm): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi: a) Có bao nhiêu số có chữ số đôi khác b) Có bao nhiêu số chẵn có chữ số đôi khác c) Có bao nhiêu số có chữ số đôi khác và nhỏ 430 2 x x Câu 2(2điểm): Cho khai triển 2011 (2) a) Tìm hệ số chứa x2012 khai triển trên b) Tính tổngcác hệ số khai triển trên Câu 3(3điểm): Một hộp đựng 45 cầu đánh số thứ tự từ đến 45, đó có 15 cầu màu đỏ, 10 cầu màu xanh, cầu màu trắng và 12 cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để: a cầu chọn cùng màu b cầu chọn có màu đôi khác c cầu chọn có ít cầu màu đỏ 2 n Câu 4(1điểm): Giải phương trình: Cn 1 An 8nCn 1 0 Câu 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi: a Có bao nhiêu số có chữ số đôi khác b Có bao nhiêu số có chữ số đôi khác và chia hết cho c Có bao nhiêu số có chữ số đôi khác và nhỏ 540 x 2x Câu 2: Cho khai triển 2012 a Tìm hệ số chứa x2012 khai triển trên b Tính tổngcác hệ số khai triển trên Câu 3: Một hộp đựng 50 viên bi đánh số thứ tự từ đến 50, đó có 10 viên bi đỏ, 25viên bi xanh, viên bi trắng và viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để: a viên bi chọn cùng màu b viên bi chọn có màu đôi khác c viên bi chọn có ít viên bi đỏ Câu 4: Giải phương trình: An2 A22n 42 0 Bài 1: (3,0 điểm) Từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho: a) Các chữ số đôi khác b) Các chữ số đôi khác và chia hết cho c) Các chữ số kề thì khác Bài 2: (3,0 điểm) Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh; túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên Tính n() Tính xác suất cho: a Hai bi lấy cùng màu b Hai bi lấy khác màu 2x x Bài 3: (3,0 điểm) Tìm hệ số chứa x khai triển 2n n Bài 4: (1,0 điểm) Chứng minh C2n C2n C2n C2n 4 (với n ) (3) Câu1(1.5đ): Một kệ sách có sách toán khác và sách lí khác Hỏi học sinh có thể có bao nhiêu cách chọn sách toán lí để đọc? Câ 2(1.5đ): Một cô gái có áo sơ mi, quần tây và đôi giày Hỏi cô gái đó có thể “diện” bao nhiêu cách thông qua cách chọn áo quần để mặc và giày để mang? Câu3( 1.5đ): Có tem thư khác và bì thư khác Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào bì thư? Câu 4(1.5đ): Cho điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 phân biệt Có thể có bao nhiêu véctơ khác véctơ không tạo thành từ điểm đó? 1 x x Câu5(2đ): Tìm số hạng chứa x khai triễn 15 Câ 6(2đ): Từ hộp chứa cầu trắng, cầu đen, lấy ngẫu nhiên hai cầu Hãy tính xác suất cho hai cầu đó: Đều là màu trắng Cùng màu Câu 1: Trong hộp có chứa cầu đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên đông thời cầu a Mô tả không gian mẫu phép thử b Gọi A và B là các biến cố lấy A: “ cầu có tổng các chữ số 7” B: “ cầu là số tự nhiên liên tiếp” Hãy mô tả các biến cố trên? Câu 2: Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Phép thử lấy ngẫu nhiên 10 thẻ hãy tính a Số khả xảy phép thử? b Gọi A là biến cố “ lấy 10 thẻ đó có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chăn đó có đúng thẻ chia hết cho 10” Hãy tính P(A) ? ¿10 ? Câu 3: a Tìm số hạng có chứa x8 khai triển nhị thức x+2 ¿ ¿ n 1024? b Tìm số nguyên dương n biết tổng các hệ số khai triển x −3 ¿ Bài (3điểm) Một đội văn nghệ có 20 người, đó 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người cho Có đúng nam người đó Có ít nam và ít nữ người đó (4) Bài (3 điểm) Chọn ngẫu nhiên ba bạn từ tổ có nam và 4nữ để làm trực nhật Tính xác suất cho đó: a) nam b) có đúng hai bạn nam c) có ít nam Bài3 (2 điểm) 1/Tìm số hạng tổng quát khai triển: ( x− x ) 2/ Tìm số hạng không chứa x khai triển trên Bài 4: (1 điểm) Tìm n biết : A n −C n< Bài 5: (1 điểm) Gieo súc sắc lần Tính xác suất để ít lần xuất mặt chấm Câu 1: ( đ) Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác ? Câu 2:(3đ) Cho đa giác lồi có n đỉnh (n>3) a).Có bao nhiêu véctơ khác không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh đa giác b) Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các đỉnh đa giác c) Đa gíác đã cho có bao nhiêu đường chéo Câu 3:(2đ) Tìm hệ số x9 khai triển ( 3x-2)12 Câu 4:( 4đ) Một lớp 11A gồm 40 học sinh Trong đó có em học sinh giỏi, 12 em học sinh khá, 20 em học sinh trung bình Lấy ngẫu nhiên em học sinh theo danh sách Tính xác suất: a) Để em học sinh là học sinh khá? b) Để học sinh có em học giỏi , em học sinh khá và em học trung bình? c) Để học sinh có ít em là học sinh khá? (5) a Gọi chữ số cần tìm là abcde a 0 Để chon a ta có cách A94 Để chọn số còn lại ta có: b Vậy có tất cả: A9 = 27216 Gọi chữ số cần tìm là abcde a 0 Để chọn e ta có cách ( e = 1;3;5;7;9) Để chọn a ta có: cách Để chọ số còn lại từ số ta có: A8 c Vậy có tất cả: 8.5 A8 = 13440 cách 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 4 Số các chữ số chắn là A9 - 8.5 A8 =13776 Ax3 C xx 14 x x! x! 14 x x ! x ! x x ! x x 1 x x x 1 0,5 14 x x x x 28 0 0,5 x x 25 0 0,5 x 5 x 10 loai Vậy nghiệm phương trình là: x= 0,5 (6) a Số cách chọn bạn từ 26 bạn là c26 = 65780 cách n 65780 Để chọn bạn cùng giới co thể chọn: Gọi A là biến cố chọn bạn cùng giới ta có TH1: bạn chọn là nam: có c13 TH2: bạn chọ là nữ có c13 cách chọn Ta có n(A)= c13 = 2574 Xác xuất để chọn bạn cùng giới là: b p (A) nA 2574 0, 03913 n 65780 Gọi B là không gian mẫu để chọn bạn là nữ n(B)= c13 =1287 Xác xuất để chọn ít bạn là nam là: p ( B) 1 p(B) 1 1287 0,98043 65780 Câu NỘI DUNG Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: Có cách chọn số d, Có cách chọn số c Có cách chọn số b , Có cách chọn số a Theo quy tắc nhân có 7.6.5.4= 840 số ĐIỂM 0.5 0.5 0.5 Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: TH1: d = d có cách chọn Các số còn lại có: A6 cách chọn có A6 = 120 (số) TH 2:d 0 d có cách chọn, a có cách chọn, các số còn lại có A52 cách chọn 0.5 0.5 0.5 A có 1.5 = 100 (số) Vậy có tất là: 120 + 100 = 220 (số) 2x y 4 C40 x C41 x y C42 x y C43 x y C44 y 1.5 16 x 32 x y 24 x y 8xy y 2 y y3 , Số hạng TQ; Ta có khai triển k Tk 1 C y 6 k 1.5 k k 2 k 12 k C6 y y ; số hạng chứa y3 nên 12 – 5k = suy k = nên hệ số y3 là: C65 192 n C154 1365 Gọi A là biến cố: “bốn lấy cùng môn” đó có 0.5 (7) n( A) C C C 21 4 P( A) 1,25 n( A) 21 n() 1365 65 nên Gọi B là biến cố: “bốn lấy có ba môn” đó n( B ) C62 C51 C41 C61 C52 C41 C61 C51 C42 300 240 180 720 P( B ) nên 1.25 n( B ) 720 48 n() 1365 91 n n n Với n chẵn ta có Cn Cn Cn Cn ( Cn ) Cn 2 (1) và Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ( Cnn ) Cnn 0 (2) 0.5 Cộng vế theo vế (1) với (2) ta có Cn2 Cn4 Cn6 Cnn 2n Cn2 Cn4 Cn6 Cnn Thành phần Nội dung đáp án đề 1: a b Câ u 2n 2n (đpcm) Nội dung đáp án đề 2: 0.5 Điểm Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: a có cách chọn Gọi số cần tìm là abcde Khi đó: a có cách chọn 0,25 các số còn lại có A6 cách chọn các số còn lại có A7 cách chọn 0,25 có tất là: A6 = 720 (số) có tất là: A7 =5 880 (số) Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: TH1: d = d có cách Các Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: TH1: d = d có cách Các số còn lại có: A6 số còn lại có: A7 có A6 = 120 (số) TH 2: d d có cách , a có có A7 = 210 (số) TH 2: d = d có cách, a có cách, các số còn lại có: A5 cách cách, các số còn lại có: A6 cách 0,25 có 1.6 A6 = 180 (số) 0,25 Vậy có tất là: 210 + 180 = 390 (số) 0,25 A có 3.5 = 300 (số) có tất là: 120 + 300 = 420 (số) c Gọi số cần tìm là abc Khi đó: TH 1: a < a có cách chọn (a 0) Các số còn lại có: A62 Gọi số cần tìm là abcd Khi đó: TH 1: a < a có cách chọn (a 0) Các số còn lại có: A73 0,5 0,25 0,25 có A = 90 (số) A7 = 168 (số) TH 2: a = 4, b < b có cách TH 2: a = 5, b < b có cách c có cách có 3.5 = 15 (số) Vậy có tất là: 90 + 15 = 105 c có cách 4.6 = 24 (số) Vậy có tất là 168 + 24 = 192 0,25 0,5 (8) (số) Số hạng tổng quát là: k 2011 C a x k k 4022 k 2 k k C2012 x2 C2011 x x 2011 k Số hạng chứa x2012 4022 – 5k = 2012 k = 402 Vậy hệ số chứa x Câ u (số) Số hạng tổng quát là: 2012 là b 2011 2011 k 2011 C k 0 k 0 k 2011 k 2011 C 2 k x 4022 k k Số hạng chứa x2011 4024 – 3k = 2011 k = 671 Vậy hệ số chứa x Ta có: Khi đó tổng các hệ số khai triển là: 2011 2011 x 2x C4 2671 2140 0,0244 C45 b đó: | B |C C C C 14400 15 10 12 2012 k k 2012 C 1 1 2 2 C50 || 2012 0,5 13001 P A 0,056 C50 0,5 Gọi B là biến cố: “4 viên bi lấy có bốn màu khác nhau” Khi đó: 0,5 | B |C C C C 13500 10 25 Gọi C là biến cố: “4 cầu lấy có ít cầu màu đỏ” Khi đó, C là biến cố: “4 cầu lấy không có cầu màu đỏ” Gọi C là biến cố: “4 viên bi lấy có ít viên bi màu đỏ” Khi đó, C là biến cố: “4 viên bi lấy không có viên bi màu đỏ” | C |C30 C4 P C 304 0,184 C45 | C |C30 C4 P C 30 0,119 C 50 0.5 13500 P B 0,0586 C50 P C 1 P C 1 0,184 0,816 0,5 2012 14400 P B 0,097 C45 0,25 4024 3k x 2 | A |C104 C25 C64 C94 13001 P A 0,25 k k 2012 C k 0 là | A |C154 C104 C84 C124 Gọi B là biến cố: “4 cầu lấy có bốn màu khác nhau” Khi c 2012 Ta có: = Gọi A là biến cố: “4 viên bi lấy cùng màu” Khi đó: Câ u 2012 2011 671 C2012 Ta có: | | = 45 Gọi A là biến cố: “4 cầu lấy cùng màu” Khi đó: = 2140 0,5 Khi đó tổng các hệ số khai triển là: k 0 a k k 4024 k k C2012 x 2x 402 402 C2011 Ta có: 2 x 3 x 2012 k P C 1 P C 1 0,119 0,881 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (9) Điều kiện: Pt Câu n 2 n Điều kiện: n 1 ! n! 8n n 1 ! 0 2! n 1 ! n ! n 1 !2! Pt n 2 n 2n ! 42 0 n! n ! 2n ! n n 1 8n 0 n 9n 0 3n n 1 2n 2n 1 42 0 n n 42 0 n 0 n 9 n n 6 Vậy nghiệm phương trình là n=9 Vậy nghiệm phương trình là n=6 Bài Nội dung a) Mỗi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 Khi đó có thể coi số dạng này là chỉnh hợp chập (chữ số) Do đó số các số cần tìm là A7 840 Bài b) Mỗi số cần tìm có dạng b1b2b3b4 Khi đó: b4 có cách chọn; các số còn lại (sau đã chọn hàng đơn vị) là chỉnh hợp chập (chữ số) Do đó số các số cần tìm là 1A6 120 c) Mỗi số cần tìm có dạng c1c2c3c4 Khi đó: c1 có cách chọn; c2 , c3 , c4 có cách chọn Bài Do đó số các số cần tìm là 7.6 1512 Không gian mẫu là kết hai hành động lấy bi liên n 5.9 45 qui tắc nhân a) Gọi A:” Hai bi lấy cùng màu” 1 1 Khi đó n A C3C4 C2C5 22 P A n A 22 n 45 Từ đó b) Gọi B:” Hai bi lấy khác màu” 1 1 Khi đó n B C3C5 C2C4 23 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 1.0 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 (10) P B Bài Từ đó Số hạng tổng quát khai triển là k 6 k k C6k x C6k 26 k 3 x6 3k x Ta phải cần tìm k cho 3k 3 k 1 Vậy số hạng cần tìm là C6 3 576 Ta có a b Bài 2n C20n C21n C22n C22nn CÂU 1,0 1,0 1,0 C20n a 2n C21n a 2n 1b C22n a 2n 2b2 C22nnb2n Cho a b 1 ta C20n C21n C22n C22nn 22n 22 Vậy n B 23 n 45 2 2n n 0,5 4n n 2 0,5 4 n NỘI DUNG ĐIỂM Có Toán khác nên có cách chọn sáchToán Có Lí khác nên có cách chọn sách Lí Theo qui tắc cộng học sinh đó có + = cách chọn sách 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Chọn áo có cách Chọn quần có cách Chọn giày có cách Theo qui tắc nhân có: x x = 252 cách “diện” 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,75 đ Cố định bì thư Mỗi hoán vị tem thư là cách dán Vậy có P5 = 5! = 120 cách dán tem vào bì thư 0,75 đ 0,75 đ Chọn điểm để ghi vào điểm: đầu và cuối ta véctơ Vậy véctơ là chỉnh hợp chập 0,75 đ Vậy có A72 7.6 42 véctơ 0,75 đ Số hạng tổng quát có dạng k 15 Tk 1 C x 15 k k 1 k 30 k C15 x x Số hạng chứa x9 khi: 30 – 3k = k = Vậy số hạng chứa x9 là T8 C157 x 6435 x 1/ Gọi A là b/cố: “ Hai cầu trắng” B là b/cố: “ Hai cầu đen” 0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,25 đ (11) C là b/cố: “ Hai cầu cùng màu” Số phần tử không gian mẫu: Số phần tử biến cố A là: 0,5 đ n() C52 10 n( A) C32 3 0,25 đ P( A) Xác suất để hai cầu màu trắng là: 2/Chọn hai cùng màu trắng có: C32 3 n( A) n() 10 0,25 đ 0,25 đ cách chọn C 1 0,25 đ 0,25 đ Chọn hai cùng màu đen có: cách chọn Do đó số phần tử để hai cầu cùng màu là: n(C) = + = Vậy xác suất để lấy cầu cùng màu là: P(C ) Câu n(C ) n() 10 0,25 đ Đáp án a Không gian mẫu Ω= {(1,2,3); (2,3,4);(1,3,4);(1 ; ; 4) } Biểu điểm 2đ b A= {(1;2;4)} 1đ B= {(1;2;3);(2;3;4)} 1đ a số khả xảy phép thử là 10 1đ n( Ω)=C 30 b Số khả nẳng xảy biến cố A là 1đ n( A)=C 15 C 12 C Xác suất biến cố A là P( A)= n( A) C15 C 12 C = 10 n( Ω) C30 1đ a số hạng tổng quát khai triển là k −2 ¿ ⇒ 10 − k x¿ ¿ số hạng có chứa x8 tương ứng với 10-k =8 => k = k C 10 ¿ Vậy số hạng cần tìm là C 210 38 x 1đ 1đ 0.5đ 0.5đ b Thay x=1 ta có tổng các hệ số khai triển là: 2n = 1024 = 210 Vậy n =10 BÀI 1 Chọn nam, nữ có: C10 C 10=5400 cách điểm Có nam, (12) nữ: Có 5400 cách Có nam và nữ: Có C310 C 110=5400 cách Có nam và nữ: Có C104 C 110=2100 cách Tổng cộng có: 5400+5400+2100=12900 cách 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm BÀI n ( Ω )=C 310 =120 n ( A )=C 6=20 ( chọn nam số nam) 20 P ( A )= = 120 n ( B )=C 26 C14 ( chọn nam số nam và nữ số nữ) 60 P (B)= = 120 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 Dùng biến cố đối để tính C:”có ít bạn nam” lúc đó C :“không có bạn nam nào” ( tức là nữ) n ( C ) =C ( chọn nữ số nữ), 0.25 0.25 suy xác suất P (C )=120 =30 0.25 29 từ đó suy P(C)= 1− P ( C )=1 − 30 =30 0.25 BÀI 3: 6−k k ( ) − 1/Số hạng tổng quát có dạng: C x x k −k −3 k −1 ¿ x k 2/ Ta có: C k ( x )6 − k − =C k ¿ 6 x2 Số hạng không chứa x ứng với: −3 k =0 ⇔ k=2 k ( ) ( ) Vậy số hạng không chứa x là: C26 24=240 Bài Điều kiện: n ∈ N , n ≥ Bất phương trình tương đương với: n! n! − < ⇔ ( n −1 ) n −n<8 ⇔ n2 − n− 8<0 ( n− ) ! 1! ( n− ) ! 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25*2 Bất phương trình có nghiệm n=2, n=3 thỏa mãn điều kiện Bài 4: n ( Ω )=6 =1296 0.25 0.25 Gọi A: “Có ít lần xuất mặt chấm” Suy A : “Không lần nào xuất mặt chấm” 625 Ta có: n ( A )=5 =625 ⇒ P ( A ) =1296 625 671 Suy ra: P ( A )=1 − P ( A )=1 − 1296 =1296 Câu Câu Đáp án Gọi số cấn tìm là abc theo qui tắc nhân ta có 5.4.3=60 A3 ( họặc lý luận =60) 0.25 0.25 0.25 Điểm 1đ (13) Câu Câu Câu a) Số véctơ khác không thỏa đề bài là An = n(n - 1) n(n - 1)(n - 2) C3n = b) Số tam giác là n(n - 1) n(n - 3) C2 n- n= - n= c) Số đường chéo là Số hạng tổng quát khai triển nhị thức (3x-2)12 thành đa Ck (3x)12- k (- 2)k Ck 312- k (- 2)k x12- k thức là 12 = 12 (Có thể viết dạng tổng ) Tìm giá trị k cho 12-k=9 Û k=3 C3 39 (- 2)3 = Vậy hệ số x là 12 -1760.39=-34 642 080 C4 Số cách chọn em 40 em là 40 =91390 a) Gọi A là biến cố em học sinh chọn là học sinh C4 12 =495 khá Ta có số cách chọn 495 99 = Vậy P(A)= 91390 18278 b) Gọi B là biến cố em học sinh chọn có em học giỏi , em học sinh khá và em học trung bình Ta có số cách C1 C2 C1 12 20 =10560 chọn 10560 1056 = Vậy P(B)= 91390 9139 c) Gọi C là biến cố em học sinh chọn có ít em học sinh khá C biến cố em học sinh chọn không có em học sinh khá C4 28 =20475 Ta có số cách chọn 20475 1091 P(C) =191390 = 1406 Vậy P(C)=1- 1 0.5+ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (14)