Kiến thức về dãy số sẽ giúp ta giải quyết vấn ñề này 1.Dãy số: Nhớ lại ñịnh nghĩ trong SGK: một hàm số u xác ñịnh trên tập hợp các số nguyên dương Ν * ñược gọi là một dãy số vô hạn hay g[r]
(1)DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOAN VẬT LÝ By: Lê ðại Nam Nhớ lại bài thi tuyển sinh lớp 10 trường PTNK, có năm ñã mạch ñiện này Mỗi ñoạn dây có ñiện trở là R Tính ñiện trở tương ñương ñầu AB RAB = ? Liệu với hình vuông nxn thì ñiện trở tương ñương Rn bao nhiêu? Kiến thức dãy số giúp ta giải vấn ñề này 1.Dãy số: Nhớ lại ñịnh nghĩ SGK: hàm số u xác ñịnh trên tập hợp các số nguyên dương Ν * ñược gọi là dãy số vô hạn hay gọi tắt là dãy số Chính từ ñịnh nghĩa này, số người ñã nghĩ rằng, vật lý, các thông số vật lý thường là hàm xác ñịnh trên tập hợp số thực R nên dãy số và các bài toán vật lý không có mối quan hệ Tuy nhiên, thực tế có bài toán vật lý, vài thông số là hàm xác ñịnh trên tập Ν * Dãy số ñược cho các cách sau ñây: Cách 1: cho dãy số công thức số hạng tổng quát un = f ( n ) ∀n ∈ N * n ∀n ∈ N * ⇒ u : ; ; ; n +1 Cách 2: cho dãy số hệ thức truy hồi Hệ thức truy hồi dãy số là hệ thức cho phép ta xác ñịnh số hạng dãy số ta biết một, hai hay nhiều số hạng ñứng trước nó u = un +1 + un ∀n ∈ N * Ví dụ: dãy Fibonacci n + u1 = u2 = Dãy số ñơn ñiệu: Tính ñơn ñiệu hàm số ñóng vai trò quan trọng việc xác ñịnh tính ñơn ñiệu dãy số xác ñịnh hàm số ñó Ta thường dùng tính chất sau Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh theo công thức un = f ( un −1 ) ∀n ≥ Ví dụ : un = Giả sử un ∈ [ a, b ] ∀n ∈ N và f ñồng biến trên [ a, b ] thì a) Nếu x1 < x2 thì dãy là ñơn ñiệu tăng b) Nếu x1 > x2 thì dãy là ñơn ñiệu giảm Một vài dãy số bản: Cấp số cộng : Một cấp số cộng ñược xác ñịnh theo yếu tố: số hạng thứ u1 và công sai d (2) Theo ñịnh nghĩa ( un ) là cấp số cộng ⇔ un = un −1 + d ∀n ≥ Do ñó, cấp số cộng có thể ñược biểu diễn hệ thức truy hồi sau u1 , d = const un = un −1 + d ∀n ≥ Hay công thức cho số hạng tổng quát sau: un = ( un − un −1 ) + ( un −1 − un − ) + ( un −2 − un −3 ) + + ( u2 − u1 ) + u1 = u1 + ( n − 1) d ⇒ un = u1 + ( n − 1) d ∀n ∈ N * Tổng n số hạng ñầu tiên cấp số cộng là: n n ( n − 1) n S n = ∑ ui = ∑ ( u1 + ( i − 1) d ) = nu1 + d i =1 i =1 Biến thể cấp số cộng: Biến thể cấp số cộng là dãy số un nào dó, mà tồn hàm f cho an = f ( un ) là cấp số cộng ðể xác ñịnh ñược dãy ( an ) thì cần xác ñịnh ñược hàm f Thông thường dãy ( un ) ñược biểu diễn theo công thức truy hồ i Ví dụ: u ( u + 1) − un −1 ( un + 1) = ( un −1 + 1)( un + 1) ∀n ≥ Ta có ví dụ ñơn giải sau: n n −1 u1 = ðể giải dãy này, trước hết ta có nhận xét Nếu ( un −1 + 1)( un + 1) = ⇔ ( un + 1) = ( un −1 + 1) ⇔ un −1 = un = −1∀n ≥ thì vô lý, vì u1 = Vậy ( un −1 + 1)( un + 1) ≠ Từ công thức truy hồ i, ta có: u un − n −1 = 2∀n ≥ ( un −1 + 1) ( un + 1) u = an − an −1 = un ðặt an = ⇒ thấy ( an ) là cấp số cộng có a1 = và công sai d = un + a1 = ⇒ an = ( n − 1) + = 2n − 2 an 4n − Giải un = =− − an 4n − Cấp số nhân: Một cấp số nhân ñược xác ñịnh theo yếu tố: số hạng thứ u1 và công bội q Theo ñịnh nghĩa ( un ) là cấp số nhân ⇔ un = qun −1∀n ≥ Do ñó, cấp số cộng có thể ñược biểu diễn hệ thức truy hồ i sau (3) u1 , d = const un = qun −1∀n ≥ Hay công thức cho số hạng tổng quát sau: un = ( un un −1 )( un −1 un −2 )( un − un −3 ) ( u2 u1 ) u1 = u1q n −1 ⇒ un = u1q n −1∀n ∈ N * Tổng n số hạng ñầu tiên cấp số cộng là: n n qn −1 S n = ∑ ui = ∑ ( u1q i −1 ) = u1 q −1 i =1 i =1 Biến thể cấp số nhân: Biến thể cấp số cộng là dãy số un nào dó, mà tồn hàm f cho an = f ( un ) là cấp số nhân ðể xác ñịnh ñược dãy ( an ) thì cần xác ñịnh ñược hàm f Thông thường dãy ( un ) ñược biểu diễn theo công thức truy hồ i Ví dụ: 9u − 27un −1 = 2∀n ≥ Ta có ví dụ ñơn giản sau: n u1 = Ta giải dãy số này như: 9un − 27un −1 = 2∀n ≥ 9un + = ( 9un −1 + 1) ∀n ≥ ⇔ u1 = u1 = a = 3.an −1 ðặt an = 9un + ⇒ n thấy ( an ) là cấp số nhân có a1 = 10 và công i q = a1 = 10 ⇒ an = 10.3n −1 a −1 Giải ta ñược un = n = 10.3n −3 − 9 Cấp số ñiều hoà Ngoài cấp số trên, còn có cấp số ñiều hoà Cấp số ñiều hoà ñược ñịnh nghĩa là dãy số {un } với un ≠ 0∀n ∈ N thoả mãn ñiều kiện 2un −1un +1 ∀n ∈ N * un −1 + un +1 Từ ñiều kiện trên, ta thấy chất cấp số ñiều hoà là biến thể cấp số cộng 2un −1un +1 1 1 1 un = ∀n ∈ N * ⇔ = + ⇔ − = − un −1 + un +1 un un −1 un +1 un +1 un un un −1 un = 1 Tức là {un } là cấp số ñiều hoà thì là cấp số cộng un Mỗi liên hệ cấp số cộng , cấp số nhân và cấp số ñiều hoà Xét dãy số sau: (4) Aun + Bun −1 + C = 0∀n ≥ Với A,B,C là số và A khác u1 = const Nếu A + B = thì dãy trên là cấp số cộng Nếu C = thì dãy trên là cấp số nhân Nếu A + B , C ñều khác thì ta có: Aun + Bun −1 + C = 0∀n ≥ u1 = const B C un + un −1 + = 0∀n ≥ ⇔ A A u1 = const C B un + = − un −1∀n ≥ ⇔ A A u1 = const A C1 = C C1 + C2 = C C1 B C1 + A B Chọn C1 + C2 = C thoả un + = − un −1 + ∀n ≥ tức C1 B C2 ⇔ A A A A A = A C = B C A+ B C C −B ðặt an = un + thì dãy ( an ) là cấp số nhân với công i q = và a1 = u1 + A A A Dãy trên ñược gọi là cấp số suy rộng Dạng này thường gặp các bài toán dãy số đôi giải các bài toán vật lý, ta dùng ñến chúng Nếu dãy {un } là cấp số cộng thì dãy {vn } với = a un ∀n ∈ N , a > lập thành cấp số nhân Nếu dãy {un } là cấp số nhân thì dãy {vn } với = log a un ∀n ∈ N , < a ≠ lập thành cấp số cộng Nếu ta có hàm số f ( x ) thoả mãn ñiều kiện f ( ) xy = f ( x) + f ( y) ∀x, y > và cấp số nhân dương {an } thì dãy { f ( an )} là cấp số cộng x+ y Nếu ta có hàm số f : R → R + thoả mãn ñiều kiện f = {an } thì dãy { f ( an )} là cấp số nhân f ( x ) f ( y )∀x, y ∈ R và cấp số cộng Nếu ta có cấp số nhân dương {an } và hàm f : R + → R + thoả f ( x) f ( y) ∀x, y ∈ R + thì dãy { f ( an )} là cấp số ñiều hoà f ( x) + f ( y) Dãy Lucas Chắc hẳn các bạn ñã quen thuộc với dãy Fibonacci Mình xin nói sơ dãy Fibonacci u = un +1 + un ∀n ∈ N * Công thức truy hồi dãy là n + u1 = u2 = f ( ) xy = (5) n n + − Và công thức tổng quát nó là un = − Công thức trên ñược gọi là công thức Binet Thông thường, số học các nhà toán học thường ký hiệu Fn ñể số Fibonacci thứ n dãy Fibonacci Dãy Fibonacci có nhiều tính chất ñặc biệt, nhiên mình không ñề cập ñến các tính chất này Tổng quát dãy Fibonacci là dãy Lucas Cụ thể mình ñề cập ñến dãy Lucas ñơn giản ^^ un + = aun +1 + bun ∀n ∈ N * ñó a,b là các số khác u1 , u2 const Chúng ta thứ giải dãy Lucas cách bài nhé ðể giải dãy Lucas cách bài bản, ta có cách sau: Cách 1: un + = aun +1 + bun ∀n ∈ N * u1 , u2 const Từ un + = aun +1 + bun ta ñặt an = un +1 − Aun Ta tìm A cho ( an ) là cấp số nhân Khi ñó an +1 = Ban ⇒ an = B n −1a1 với B là số chưa biết Suy ( un + − Aun +1 ) = B ( un +1 − Aun ) ⇔ un + = ( A + B ) un +1 − ABun A+ B = a ðồng hệ số, ta ñược suy A và B là nghiệm phương trình r − ar − b = AB = −b Ta có: an = un +1 − Aun = B n −1 ( u2 − Au1 ) Do A, B tương ñương nên ta có thể hoán vị A, B ñể ñược: un +1 − Bun = An −1 ( u2 − Bu1 ) Ta ñược hệ phương trình sau: un +1 − Bun = An −1 ( u2 − Bu1 ) n −1 un +1 − Aun = B ( u2 − Au1 ) Nếu A = B thì un = ( un − Aun −1 ) + A ( un −1 − Aun − ) + + An −2 ( u2 − Au1 ) + An −1u1 = ( n − 1) An − ( u2 − Au1 ) + An −1u1 ⇒ un = ( n − 1) An − ( u2 − Au1 ) + An −1u1 = ( n − 1) u2 An −2 − ( n − ) u1 An −1 Nếu A,B là nghiệm phân biệt thì: An −1 − B n −1 An −1 B − B n −1 A n −1 u = u − u1 un +1 − Bun = A ( u2 − Bu1 ) n A− B A− B ⇔ n −1 n n n n un +1 − Aun = B ( u2 − Au1 ) u = A − B u − A B − B A u n +1 A−B A−B Ta có công thức tổng quát dãy số là (6) An −1 − B n −1 An −1 B − B n −1 A u − Bu1 n −1 Au1 − u2 n −1 un = u2 − u1 = A + B A− B A− B A−B A− B u − Bu1 n Au1 − u2 n ⇒ un = A + B A( A − B) B ( A − B) Cách biễu diễn un theo An và B n có ý nghĩa Tí chúng ta biết cách giải 1+ A = Với dãy Fibonacci ta thay u1 = u2 = 1; a = b = ⇒ B = − n n + − Ta ñựơc un = − Cách 2: Cách giải trên có vẻ phức tạp và kết không ñược ñẹp n n + − n n Ta thấy dãy Fibonacci có công thức tổng quát là Fn = − có dạng un = C1r1 + C2 r2 Vậy ta đốn với trường hợp tổng quát thì dãy Lucas cĩ cơng thức tổng quát tuân theo dạng trên Ta giả sử un = C1r1n + C2 r2n (1) với r1 , r2 , C1 , C2 là số Khi ñó ta có: un + = aun +1 + bun ⇒ C1r1n + + C2 r2n + = a ( C1r1n +1 + C2 r2n +1 ) + b ( C1r1n + C2 r2n ) ⇔ C1r1n ( r12 − ar1 − b ) + C2 r2n ( r22 − ar2 − b ) = 0(*) Chọn r1 , r2 là nghiệm phương trình r − ar − b = Khi ñó biểu thức (*) ñược thoả Dựa vào u1 , u2 thay vào (1) ta ñược hệ phương trình ẩn bậc nhất, ẩn C1 và C2 Từ ñó ta giải C1 và C2 Cách giải này giúp ta có cách giải nhanh và gọn các dãy Lucas Phương trình r − ar − b = là phương trình ñặc trưng dãy Lucas Từ ñó ta rút cách giải gọn gàng, dùng ñể tính dãy Lucas sau: - từ hệ thức un + = aun +1 + bun ta rút phương trình ñặc trưng dãy Lucas sau: Chỉ số chân n nhỏ coi là bậc 0, n+1 ứng với bậc và n+2 ứng với bậc Nghĩa là ñó Thay un → r ; un +1 → r ; un + → r ta ñược phương trình ñặc trưng r − ar − b = - Giải phương trình ñặc trưng, lưu ý ta biệt thức ∆ < thì ta nhận luôn nghiệm phức u1 = C1r11 + C2 r21 - Giải hệ phương trình 2 u2 = C1r1 + C2 r2 - Thay r1 , r2 , C1 , C2 ta ñược công thức tổng quát un = C1r1n + C2 r2n *** Lưu ý: Tổng quát dãy Lucas ñã trên là các dãy Lucas với phương trình ñặc trưng bậc Dãy Lucas là nghiệm quan hệ hồ i quy ñơn giản (7) Ngoài ra, tổng quát là quan hệ hồ i quy tuyến tính hệ số Quan hệ hồ i quy tuyến tính hệ số bậc k ñược ñịnh nghĩa là quan hệ có dạng: f ( n + k ) = a1 f ( n + k − 1) + a2 f ( n + k − ) + + ak f ( n ) Và dãy Lucas mà ta xét trên là nghiệm ứng với bậc k = Ở ñây mang tính chất giới thiệu không giải chi tiết Nguyên lý quy nạp toán học: Nguyên lý quy nạp toán học là nguyên lý giúp ta giải các dãy số theo phương pháp mới, phương pháp quy nạp toán học Nguyên lý quy nạp toán học ñược phát biểu sau: Giả sử S là tập hợp nào ñó các số nguyên dương, chứa số Khi ñó với mọ i n ∈ S , S ñều chứa số n+1 thì S là tập hợp tất các số nguyên dương Nếu hiểu nôm na, nguyên lý quy nạp toán học cho phép ta mở rộng tập S N thoả ñiều kiện với mọ i n ∈ S , S ñều chứa số n+1 Giả sử ta có mệnh ñề, ñúng với mọ i n ∈ S , ta hiểu S là tập xác ñịnh mệnh ñề ñó Nếu với mọ i n ∈ S , ta chứng minh ñược n+1 thuộc S thì theo nguyên lý quy nạp toán học, S = N* tức mệnh ñề ñó luôn ựúng với mọ i số nguyên dương đó là phương pháp quy nạp toán học ựơn giản Dựa vào phương pháp này, ta có giải bài toán dãy số sau: - tính các giá trị ứng với các giá trị cụ thể n, thường là 1,2,3 - tìm quy luật chung các giá trị các số hạng dãy - rút công thức tổng quát - chứng minh công thức nêu là ñúng Tức ñúng với n thì ñúng với n+1 Bước thứ là bước khó đòi hỏ i phải có kinh nghiệm, óc quan sát và chút cái gọ i là may mắn , hay nói gọn là các tố chất nhạy cảm toán học Hoặc ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp ta ñã nhớ ñược công thức tổng quát dãy số chẳng hạn 4.Các bài toán vật lý có sử dụng dãy số: Hy vọng với các phần trên, các bạn ñã có vốn kiến thức kha khá dãy số Ta bước vào phần chính chuyên ñề này: các bài toán vật lý có sử dụng dãy số Bài toán 1: Các mạch ñiện vô hạn Các bài toán mạch ñiện vô hạn quá quen thuộc với các học sinh chuyên lý phổ thông, kể cấp lẫn cấp Tuy nhiên, cách giải thông thường là mắc thêm mắc xích và ñiện trở tương ñương không ñổ i Vậy liệu ñó có là cách giải Ta có thể nghĩ ñến cách giải khác, trâu bò hơn, không phải là dở Nếu ñiện trở tương ñương mạch ñược biểu diễn dãy số thì nhỉ??? Dưới ñây là vài bài tập ñể ta làm thử Bài tập 1: Mỗi ñiện trở có giá trị là R tính ñiện trở tương ñương RAB mạch biết có vô hạn mắc xích Giải: (8) Mỗi mắc xích là ñiện trở trên Gọi Rn là ñiện trở tương ñương ñầu AB mạch có n mắc xích Xét mạch có n+1 mắc xích Ta dễ thấy Rn +1 : ( Rn / / R ) ntR nên RRn R + Rn Và R1 = 2R Rn +1 = R + RRn ∀n Rn +1 = R + R + Rn Ta tìm ñược cách biểu diễn ñệ quy dãy số (Rn) R = 2R Bây ta giải dãy số này là giải ñược vấn ñề Thử với n = 1,2,3,4 13 34 Ta ñược: R; R; R; R Nhận thấy các số 13 21 34 là các số Fibonacci 21 Như ta rút công thức tổng quát là F Rn = n +1 R F2 n Ta cùng chứng minh thử nhé RRn Thay vào Rn +1 = R + ta ñược R + Rn F2 n +1 F2( n +1)+1 RRn F2 n F2 n +1 + F2 n F + F2 n + = Rn +1 = R + = R 1 + R = n +1 R= R F2 n +1 R + Rn F2 n + F2( n +1) F2 n +1 + F2 n + F2 n Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, nhận ñịnh ta là ñúng F Ta có Rn = n +1 R F2 n Khi số mắc xinh lớn vô hạn thì n → ∞ Ta có tính chất khá lý thú dãy Fibonacci n n + − Fn +1 1+ Từ công thúc Binet Fn = n → ∞ → − ta chứng minh ñược tỉ số Fn 1+ Vậy R∞ = R Bài tập 2: Bây ta xét mạch ñiện na ná mạch ñiện trên (9) Mỗi ñiện trở là R Tính ñiện trở tương ñương RAB mạch có vô hạn mắc xích trên Giải: Trước hết xin giới thiệu lời giải sách “Một số vấn ñề nâng cao Vật lý Trung học phổ thông tập 2” thầy Phạm Quang Thiều Ta kí hiệu các cường ñộ dòng ñiện và hiệu ñiện hình vẽ sau: Lời giải và ký hiệu hiệu ñiện mình khác sách thầy Thiều chút ñể phù hợp với chuyên ñề nhiên giữ ñược ý tưởng chính lời giải gốc U Ta có Rn = n In Áp dụng ñịnh luật Ohm, ta có các hệ thức sau: U n = U n −1 + I n R U n = 4U n −1 − U n − U n −1 = U n −2 + I n −1 R ⇒ I n = I n −1 − I n − U n −1 I n = I n −1 + R Ta xét dãy Lucas un = 4un −1 − un −2 Phương trình ñặc trưng là r − 4r + = Phương trình có nghiệm phân biệt r1 = + 3; r1 = − Ta ñược un = C1r1n + C2 r2n Áp dụng cho Un và In ta ñược (10) U n = Ar1n + Br2n n n I n = Cr1 + Dr2 U r − U1 A= r2 − r1 U = A + B Giải A,B Ta có ⇒ U1 = Ar1 + Br2 B = U r1 − U1 r1 − r2 I r −I C= 02 ( r2 − r1 ) I = C + D Giải C, D Ta có: ⇒ I1 = Cr1 + Dr2 D = I r1 − I1 ( r1 − r2 ) U = I1 R Và nhớ U1 = 3I1 R1 Vì coi I0 ñi qua ñầu U0 và không khí ☺ nên I0 = I = n n I1 R n n U n = Ar1 + Br2 = + + + − − Ta ñược kết n n I = Cr n + Dr n = I1 + − − n Ta chia Un cho In , tìm ñược U Rn = n = In ( n ( )( ( ) ( )( ) + ( − 1)( − ) (2 + ) − (2 − ) +1 + n ) ( )( ) ) n R n ðể tìm ñược R∞ thì ta có: n n )( ) + ( −1)( − ) R (2 + ) − (2 − ) (2 − 3) ( + 1) + ( − 1) (2 + ) = R +1 = R lim ( ) − 3) ( 1− (2 + 3) Vậy R = R ( + 1) ∞ ( = R lim +1 + n n →∞ n n n n →∞ n n ∞ Và ñây là lời giải khác cho bài toán này Tương tự bài tập 1, ta có: gọi Rn là ñiện trở tương ñương mạch AB có n mắc xích Khi ñó Rn+1 : R nt (Rn // R)nt R (11) RRn R + Rn Và R1 = 3R Ta thấy dãy này khá giống bài tập nên ta nghĩ ñến cách làm sau: an a a b 3a + 2bn Ta ñặt Rn = n R thì ñó n +1 = + n = n a bn +1 an + bn bn n +1 bn Nên Rn +1 = R + an +1 = 3an + 2bn an + = 3an +1 + 2bn +1 = 4an +1 − an ðồng tử và mẫu ta ñược ⇒ bn +1 = an + bn bn + = an +1 + bn +1 = 4bn +1 − bn Như cách 1, ta giải dãy Lucas un = 4un −1 − un −2 ñược un = C1r1n + C2 r2n với r1 = + 3; r1 = − ðiều kiện ban ñầu là a1 = 3b1 Ngoài n = thì R0 = ∞ nên b0 = a = Coi b1 = ⇒ a0 = Giải dãy {an} và {bn} ta ñược n 1+ 3 −1 2+ + 2− an = 3 b = + n − − n n 3 ( ) ( ) U Từ ñó rút Rn = n = In Và R∞ = R ( ( ( ( ) n ) n )( ) + ( − 1)( − ) (2 + ) − (2 − ) +1 + n n n R ) +1 Nhận xét Qua bài tập trên, ta rút tính chất khác dãy Lucas bun ∀n un +1 = a + un + c Xét dãy số u x ( a + b ) un + ac ( a + b ) xn + acyn x Ta ñặt un = n Khi ñó n +1 = = yn yn +1 un + c xn + cyn Từ ñó ta có thể suy xn +1 = ( a + b ) xn + acyn xn +1 = ( a + b ) xn + acyn xn + = ( a + b ) xn +1 + acyn +1 xn + = ( a + b + c ) xn +1 − bcxn ⇒ ⇒ y = x + cy yn +1 = xn + cyn yn + = ( a + b + c ) yn +1 − bcyn n +1 n n y = x + cy n +1 n +1 n+ (12) bun ∀n un +1 = a + un + c Vậy ta có thể biểu diễn số hạng tổng quát dãy tỉ số số hạng u dãy Lucas có cùng quan hệ hồ i quy dạng X n + = ( a + b + c ) X n +1 − bcX n bun ∀n un +1 = a + un + c hay xuất các mạch ñiện thay Rn = un R thì Dãy số u bRn R bRn R Rn +1 = aR + và thường xuất dạng b = c Bởi số hạng b = c biểu diễn ñiện trở Rn + cR Rn + cR tương ñương Rn //(bR) Bài tập Quay lại vấn ñề ñã nêu ñầu chuyên ñề Với hình vuông 3x3 thì khá dễ với ñã có kinh nghiệm việc gỡ nút mạch ñiện Do mạch là ñố i xứng nên ta gỡ nút sau: 13 R Khi mạch ñiện là hình vuông 2x2 hình sau Khi ñó ta dễ dàng tính ñược Rtd = Thì ta tách nút và tính ñược Rtd = R và mạch ñiện là hình vuông 1x1 (13) Thì Rtd = R Liệu với hình vuông nxn thì ñiện trở tương ñương Rn bao nhiêu? Ta xét hình vuông (n+1)x(n+1) hình sau: Ta tách các nút ñường chéo AB Ta ñược nhánh song song giống hệt nên mỗ i nhánh có ñiện trở là Rn +1 Mỗi nhánh có hình dạng sau: (14) Mạch CD có nhánh, nhánh gồ m 2n ñiện trở R mắc nố i tiếp Nhánh còn lại có hình dạng sau: Ta thấy mạch giố ng hình trên mắc song song thì hình vuông nxn Do ñó ñiện trở mạch CD trên này lả Rn Rn 2nR nRn R Ta có: Rn +1 = R + ⇒ Rn +1 = R + Rn + 2nR Rn + nR R nun ðể ñơn giản, ta ñặt un = n ⇒ u1 = và un +1 = + R un + n Dãy số này khác với dạng dãy số bài trên, mà b = c = n lại phụ thuộc vào n a Tuy nhiên, ta thử vận may với việc ñặt un = n bn ( n + 1) an + nbn nun a Khi ñó, ta ñược un +1 = + ⇒ n +1 = un + n bn +1 an + nbn (15) an +1 = ( n + 1) an + nbn an +1 = ( n + 1) an + nbn an +2 = ( n + ) an +1 + ( n + 1) bn +1 an + = ( 2n + 3) an +1 − n ( n + 1) an Suy ⇒ ⇒ = + b a nb bn +1 = an + nbn bn + = ( 2n + ) bn +1 − n bn n n n +1 b = a + ( n + 1) b n +1 n +1 n+2 Chọn ñiều kiện ban ñầu a1 = 1; b1 = 1; a2 = 3; b2 = an + = ( 2n + 3) an +1 − n ( n + 1) an ðầu tiên ta xét dãy a1 = và sau ñó ta xét dãy a = bn + = ( 2n + ) bn +1 − n 2bn a1 = a = Tuy nhiên dãy trên mình chưa tìm ñược công thức tổng quát Mong số các bạn ñọc có người tìm ñược công thức tổng quát cho dãy này Và trên thực tế, cách biểu diễn truy hồ i xác ñịnh dãy số nên ta có thể tạm chấp nhận lời giải bài toán dừng ñây (16)