Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng và điểm M có hoành độ nhỏ hơn 1.. Khóa học PenC – N3 Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng..[r]
(1)GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan KHAI THÁC CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY HAY DÙNG (Phần 1) A Các kĩ cần thiết Trong nhiều bài toán hình học tọa độ phẳng Oxy , đôi “mẫu chốt” bài toán lại nằm việc phát và chứng minh tính chất đặc biệt nào đó liên quan tới hình học phẳng túy Do đó để làm tốt bài toán thế, các bạn cần trang bị cho mình hai kĩ sau: Kĩ 1: Vẽ hình chính xác Điều đó giúp chúng ta có dự đoán đúng tính chất đặc biệt bài toán (song song, vuông góc, hai đoạn thẳng nhau, phân giác, tứ giác nội tiếp, tứ giác là hình bình hành, chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hai góc bù nhau…) Kĩ 2: Chứng minh dự đoán Dùng kiến thức hình học phẳng túy (hình học cấp 2, hệ thức vecto…) để dự đoán mình là chính xác Chú ý: Vì bài toán ta đề cập tới thuộc mảng hình học phẳng Oxy Vì đề thi dự đoán chính xác các tính chất đặc biệt, thì việc chứng minh thường đơn giản (bởi khó thì bài toán mang “nặng” tính túy mà tính tọa độ Oxy đó ) Vì lời khuyên, quá trình ôn tập các bạn không nên xa đà vào các tính chất quá khó (các bạn thấy rõ điều này qua đề thì các năm trước đây) Ở tài liệu này gặp tính chất khó thì hiểu là chúng ta thư giãn B Hệ thống các chất hình học phẳng túy hay dùng Chùm tính chất 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H , nội tiếp đường tròn tâm I Gọi M , N , K là trung điểm BC , AC , AH và D, E , F là chân đường cao ứng với các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: 1) AH IM Từ đó hãy suy MIAK là hình bình hành và HG 2GI với G là trọng tâm tam giác ABC 2) IA EF và MK EF (tính chất chặt MK là trung trực EF ) 3) D là trung điểm HR với R là giao điểm thứ hai AD với đường tròn tâm I 4) E , K , D, M , N cùng nằm trên đường tròn đường kính MK Từ đó hãy suy đường tròn qua điểm (trung điểm các cạnh, chân các đường cao và trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh tam giác) 5) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (2) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan CHỨNG MINH A x E K N F GI H B D R C M J 1) AH IM Từ đó hãy suy MIAK là hình bình hành và HG 2GI với G là trọng tâm tam giác ABC IMN và HBA INM (góc có cạnh tương ứng song song) Cách : Ta có HAB HA HB AB Suy HAB ~ IMN nên HA IM AH IM IM IN MN Cách : Gọi J là giao điểm thứ hai AI và đường tròn tâm I , đó : JC AC ; BH AC JC / / BH JBHC là hình bình hành, suy M là trung điểm HJ JB AB; CH AB JB / / CH AH / / IM Khi đó IM là đường trung bình tam giác AHJ , suy AH IM (1) AH IM Do K là trung điểm AH nên AH AK (2) Từ (1) và (2) , suy IM AK MIAK là hình bình hành Gọi HI AM G ' , theo định lý Ta – let ta có: AG ' AH AG ' 2G ' M G ' G G ' M IM HG AH HG 2GI HG 2GI GI IM 2) IA EF và MK EF Cách 1: Do E , F nhìn BC góc vuông nên EFBC nội tiếp đường tròn Khi đó ) (1) Suy ABC AEF ( cùng bù với FEC Gọi J là giao điểm thứ hai AI với đường tròn tâm I , đó: ABC AJC (cùng chắn cung AC ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AEF AJC 900 IA EF Mặt khác: AJC JAC 900 , suy AEF JAC Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (3) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Cách 2: Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ( I ) , đó: Ax AI (*) ) Ta có: AB ) và xAB ACB (cùng chẵn ACB AFE (cùng bù với góc BFE Suy xAB AFE Ax / / EF (2*) Từ (*) và (2*), suy IA EF Theo ý 1) , ta có MIAK là hình bình hành , suy MK / / IA , suy MK EF Chú ý: Ta có thể tính chất chặt MK là trung trực EF Cụ thể: AH KE KF MK là trung trực EF ME MF BC 3) D là trung điểm HR với R là giao điểm thứ hai AD với đường tròn tâm I ) và B Ta có B A (cùng chắn cung RC A (cùng phụ với góc ACB ) 1 B BHR cân B D là trung điểm HR (đpcm) Suy B 4) E , K , D, M , N cùng nằm trên đường tròn đường kính MK Từ đó hãy suy đường tròn qua điểm (trung điểm các cạnh, chân các đường cao và trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh tam giác) A K T N E F H P B Q D M C +) Ta có MN , KN là đường trung bình tam giác ABC , AHC , suy ra: MN // AB và KN // CH 900 (1) Mà CH AB KN MN , hay MNK +) Ta có EK , EM là các đường trung tuyến hai tam giác vuông EBA , EBC B Mà (vì cùng phụ với góc E Suy E A1 và E A1 B ACB ), suy E 1 E E E 900 , hay MEK 900 (2) Suy E 2 Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (4) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 900 (3) +) Ta có MDK Từ (1), (2), (3), suy E , K , D, M , N cùng nằm trên đường tròn đường kính MK (*) Chứng minh tương tự ta có: K , T , F , D, M cùng nằm trên đường tròn (2*) ; Q, T , F , N , E cùng nằm trên đường tròn (3*) và P, E , N , T , F cùng nằm trên đường tròn (4*) Từ (*), (2*), (3*) và (4*) suy K , N , E , Q, M , D, P, F , T cùng thuộc đường tròn (đpcm) Nhận xét: Hiển nhiên bài hình học Oxy không có câu hỏi xuất điểm này, song từ đây ta có thể có nhiều cách “thiết kế” bài toán hay mà đó có tham gia điểm bất kì, đó “che dấu” điểm đó 5) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF A E F H 21 B D C D C 1 Cách : Ta có CDHE và DBFH là các tứ giác nội tiếp đường tròn, đó : B2 D2 B (cùng phụ với góc BAC ) Mặt khác C (1) D hay DH là phân giác góc EDF Suy D (2) D hay EH là phân giác góc DEF Chứng minh tương tự ta D Từ (1) và (2), suy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Cách : BAE BAC CDE BDF Do ABDE và AFDC là các tứ giác nội tiếp đường tròn nên CDE BDF CAF BAC (1) D 900 BDF D D D hay DH là phân giác góc EDF Mà CDE 2 (2) D hay EH là phân giác góc DEF Chứng minh tương tự ta D Từ (1) và (2), suy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (5) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Chùm tính chất 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H , nội tiếp đường tròn tâm I và ngoại tiếp đường tròn tâm J Gọi D, E , F là chân đường cao ứng với các đỉnh A, B, C và K là giao điểm AJ và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (hình 1) IAC , từ đó suy AJ là tia phân giác góc HAI 1) Chứng minh BAD 2) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường thẳng AJ cắt BC M và N a) Chứng minh tam giác MAN cân M b) Gọi P, Q đối xứng với D qua AB , AC Chứng minh P, Q, E , F thẳng hàng Từ đó hãy suy PQ // AM 3) Gọi T đối xứng I qua BC Chứng minh T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC 4) Chứng minh rằng: a) K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCJ Từ đó hãy suy K là trung điểm JL với L là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A tam giác ABC b) BK là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN (hình 2) 5) Gọi X đối xứng với B qua I và Z là giao điểm XK và AC ; S là giao điểm BX và AK Chứng minh SZ XC 6) Gọi Y đối xứng với K qua I và BJ , CJ cắt AY V , R Chứng minh BCVR nội tiếp đường tròn 7) Gọi G , O, U , W là các hình chiếu vuông góc D lên BA, BE , CF , CA Chứng minh G , O, U , W thẳng hàng (hình 3) CHỨNG MINH A Q E F H P M J B I N C D T K L Hình Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (6) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan IAC , từ đó suy AJ là tia phân giác góc HAI 1) Chứng minh BAD AIC 1800 AIC IAC 900 Ta có BAD ABC 900 IAC 2 , suy AJ là tia phân giác góc HAI Mặt khác, BAJ CAJ BAJ BAD CAJ IAC HAJ IAJ theo cách suy luận sau: Chú ý: Ta có thể chứng minh AJ là tia phân giác góc HAI IKA CAK KB KC IK BC IK // AH HAK +) Ta có BAK IAK , suy HAK IAK hay HAJ IAJ , suy AJ là tia phân giác góc HAI +) Mà IKA 2) a) Chứng minh tam giác MAN cân M NCA CAN (tính chất góc ngoài tam giác) Ta có MNA (cùng chắn cung BAN ( AN là phân giác) Mà AB ) và CAN NCA BAM BAM BAN MAN MAN cân M Suy MNA b) Chứng minh P, Q, E , F thẳng hàng Từ đó hãy suy PQ // AM ) (1) +) Ta có BEFC là tứ giác nội tiếp nên F ACB (cùng bù với BFE ACD AFDC là tứ giác nội tiếp nên F ACB (cùng bù với AFD ) (2) F (3) Mặt khác, P đối xứng với D qua AB nên ta có F F F BFE F BFE 1800 B , F , E thẳng hàng Từ (1), (2) và (3), suy F 3 Chứng minh tương tự ta Q, E , F thẳng hàng, suy P, Q, E , F thẳng hàng +) Theo chùm tính chất 1, ta có EF AI Mặt khác, AM AI EF // AM hay PQ // AM 3) Gọi T đối xứng I qua BC Chứng minh T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Do T đối xứng I qua BC , suy BTCI là hình thoi TB TC IB (1) Mặt khác theo chùm tính chất 1, suy AH IT , đó AHTI là hình bình hành TH IA IB (2) Từ (1) và (2), suy TB TC TH hay T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC 4) a) K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCJ Từ đó hãy suy K là trung điểm JL với L là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A tam giác ABC JAB JBA KAC JBN KBC JBN KBJ , suy KBJ cân K KB KJ (1) +) Ta có KJB CAK KB KC (2) Mặt khác: BAK Từ (1) và (2), suy KB KC KJ hay K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCJ 900 +) Ta có BJ , BL là các phân giác trong, phân giác ngoài góc B LBJ Ta lại có BK KJ BK JL KJ KL hay K là trung điểm JL Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (7) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan V Y A R I' X 1 J I S Z 1 B C N K Hình b) BK là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN Gọi I ' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN , đó ta có: BI ' N 1800 2.I ' BN I KBC KAC KAB NAB 900 I ' BN KBC ' BN 900 KB I ' B 2 Suy BK là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN XASZ là tứ giác nội tiếp, suy ra: 5) Chứng minh SZ XC Ta có X A A 2 900 hay BC XC (2) Từ (1) và (2), suy SZ XC Z1 X1 ACB SZ // BC (1) Mặt khác BCX 6) Chứng minh BCVR nội tiếp đường tròn ABC BAC ABC 1800 BAC ACB 0 Ta có: V1 90 J1 90 A1 ABJ 90 C1 2 cùng nhìn RB các góc nhau, suy BCVR nội tiếp đường tròn Khi đó V , C 7) Chứng minh G , O, U , W thẳng hàng A Ta có CDUW và DUHO là các tứ giác nội tiếp, ,D cùng phụ với ODB nên ta có: cùng với DW // BE và B D B D U U 1 4 E U U CUO U CUO 1800 hay U 4 Suy O, U , W thẳng hàng (1) Chứng minh tương tự ta G , O, U thẳng hàng (2) Từ (1) và (2), suy G , O, U , W thẳng hàng W F G B H O U 4 1 D C Hình Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (8) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Chùm tính chất 3: Cho tam giác ABC vuông A và có đường cao AH Hình 1) Gọi M , N là các điểm thuộc AH và BH Chứng minh rằng: CM AN thỏa mãn: a) M , N là trung điểm AH , BH b) CM , AN là các đường phân giác ACH , BAH 2) Gọi D là điểm đối xứng B qua H ; K là hình chiếu vuông góc C trên đường thẳng AD Chứng minh HI là đường trung trực đoạn thẳng AK 3) Trên mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , dựng tia Bx vuông góc với BC và cắt AC E Gọi F là điểm thuộc đoạn BE ( F B, F E ) và CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC P Chứng minh A, E , F , P cùng nằm trên đường tròn Hình 4) T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R là điểm thuộc đoạn TC Gọi Q là giao điểm thứ hai AR với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và J là trung điểm AQ Biết tia By vuông góc với AQ và cắt CJ L Chứng minh rằng: a) AL BQ ( hay L là trực tâm tam giác ABQ ) 900 R là trung điểm TC b) BLT CHỨNG MINH B N K H D F M P E A I C x Hình 1) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (9) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan a) M , N là trung điểm AH và BH , suy MN là đường trung bình tam giác ABH Khi đó MN // AB , suy MN AC (do AB AC ), suy M là trực tâm tam giác ANC CM AN , suy ra: AM AC và BN BA (1) b) CM , AN là các đường phân giác ACH , BAH MH CH NH AH AC BA Mặt khác, CAH ~ ABH (2) CH AH AM BN Từ (1) và (2), suy NM MN // AB , suy MN AC (do AB AC ) MH NH Suy M là trực tâm tam giác ANC CM AN K (cùng chắn cung AH ) và C 2) Ta có C A1 (cùng phụ với góc ABC ) 1 Mặt khác, AH vừa là đường cao và vừa là trung tuyến tam giác ABD nên A1 A A nên tam giác AHK cân H HA HK Mà IA IK , nên HI là đường trung trực AK Suy K ) Suy 3) Ta có APC ABC (cùng chắn cung AC ), lại có AEB ABC (cùng phụ với EBA APC AEB (1) Mặt khác, APC APF 180 (2) Từ (1) và (2), suy AEB APF 1800 hay AEF APF 1800 suy AEFP nội tiếp đường tròn Hay A, E , F , P cùng nằm trên đường tròn 4) B L Q T R J C A y a) Ta có By AQ Mặt khác, TJ AQ (quan hệ đường kính – dây cung) TJ // By hay TJ // BL Suy TJ là đường trung bình tam giác BLC , suy J là trung điểm LC Khi đó J đồng thời là trung điểm AQ và LC nên ALQC là hình bình hành AL // CQ (1) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn (10) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 900 hay CQ BQ (2) Ta lại có: CQB Từ (1) và (2), suy AL BQ Nhận xét: Thực tính chất này đã “biến tấu” từ tính chất 1) chùm tính chất b) Khi R là trung điểm TC thì RJ là đường trung bình tam giác LTC Suy TL // RJ hay TL // AQ (3) Mặt khác, BL AQ (4) 900 Từ (3) và (4), suy BL TL hay BLT Chùm tính chất 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi E là hình là hình chiếu vuông góc B trên đường thẳng AI 1) Gọi T là giao điểm BE với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: AC là phân giác góc BCT 2) Gọi M là trung điểm cạnh BC và D là giao điểm ME và AC Chứng minh BD AC CHỨNG MINH A I D T E B M C 1) Ta có AI vuông góc với BT E E là trung điểm BT tam giác ABT cân A AB AT sđ sđ AB ; TCA AT Mặt khác BCA 2 TCA hay AC là phân giác góc BCT (đpcm) Suy BCA IMB 900 , suy IBME nội tiếp đường tròn BIM BEM (1) 2) Ta có IEB BIC sđ BC BAC (2) Mặt khác BEM BED 1800 (3) Ta có: BIM 2 BED 1800 ABED nội tiếp đường tròn Từ (1), (2) và (3) suy BAC ADB AEB 900 Hay BD AC (đpcm) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn 10 (11) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Chùm tính chất 5: Cho hình vuông ABCD có M , N là trung điểm AB, BC và I là giao điểm PM và CN 1) Chứng minh CM DN 2) Chứng minh AI AD 3) P là điểm thuộc đoạn BD Gọi H , K là hình chiếu vuông góc P lên AB, BC a) Chứng minh DP HK b) Cho CP 3PA Chứng minh tam giác DPN vuông cân 450 4) Gọi T là điểm thuộc đoạn CD cho CT 2TD Chứng minh TAN CHỨNG MINH M H A B P Q K 3 N I D 1 T C Chùm tính chất 6: Cho hình chữ nhật ABCD 1) Gọi H là hình chiếu vuông góc B trên AC Trên tia đối tia BH và CB lấy hai điểm E , M cho BE AC ; CM BC Biết BH giao DM N a) Chứng minh BN DM và AN CN b) Chứng minh DE là phân giác ADC c) O, K là trung điểm AH , CD Chứng minh BO KO (hãy tổng quát tính chất này) 900 Chứng minh AF CF 2) Trên mặt phẳng bờ BD chứa điểm A dựng điểm F cho DFB 3) Trên đoạn BD lấy điểm T cho DT BT Lấy R đối xứng với A qua T và gọi P, Q là hình chiếu vuông góc R trên BC , DC Chứng minh T , P, Q thẳng hàng Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn 11 (12) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan CHỨNG MINH L V E F A B T O R P I H D C K Q N M Các chùm tính chất 7, 8, 9, 10 update sớm tới các bạn ! A Các bài tập ứng dụng Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T ) có tâm I (1; 2) và có trực tâm H thuộc đường thẳng : x y Biết đường thẳng AB có phương trình x y 14 và khoảng cách từ C tới AB Tìm tọa độ điểm C biết hoành độ điểm C nhỏ Đáp số: C (1; 3) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ) : x y 25 ngoại tiếp tam giác ABC có chân đường cao kẻ từ B, C là M (1;3), N (2;3) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết A có tung độ âm 40 75 16 63 Đáp số: A(0; 5), B ; , C ; 17 17 13 13 Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn 12 (13) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H (5;5) , phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x y Biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua hai điểm Đáp số S ABC E (7;3) và F (4; 2) Tính diện tích tam giác ABC Bài Cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC có phương trình là x y và x y Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai là D (4; 2) Viết phương trình các đường thẳng AB , AC biết hoành độ điểm B không lớn Đáp số: AB : x y và AC : y Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B ( 1; 4) Gọi D, E (1; 2), N là chân 7 đường cao kẻ từ A , chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB Biết I ; là tâm đường tròn ngoại 2 tiếp tam giác DEN Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Đáp số: C (1; 2) C ( 5; 2) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện là D (2; 1), E (2; 2), F ( 2; 2) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Đáp số: A( 1;5), B ( 4; 4), C (4; 0) Bài (Khối D – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A là điểm D (1; 1) Đường thẳng AB có phương trình 3x y , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x y Viết phương trình đường thẳng BC Đáp số: x y Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I Điểm M (2; 1) là 31 trung điểm cạnh BC và điểm E ; là hình chiếu vuông góc B trên đường thẳng AI Xác định tọa 13 13 độ các đỉnh tam giác ABC , biết đường thẳng AC có phương trình x y 13 Đáp số: A(1;5), B ( 1; 1), C (5; 1) Bài (THPT QG – 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh BC , D là điểm đối xứng B qua H ; K là hình chiếu vuông góc C trên đường thẳng AD Giả sử H ( 5; 5), K (9; 3) và trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x y 10 Tìm tọa độ điểm A Đáp số : A( 15;5) Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T ) Từ điểm M thuộc cạnh AB ( M A, M B ), kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt các đường thẳng AC , BC D (9; 2) và E Đường tròn qua điểm D, E , C cắt đường tròn (T ) điểm F (2; 3) khác C Tìm tọa độ đỉnh A , biết A thuộc đường thẳng d : x y Đáp số : A(1; 4) Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H (2;1) và tâm đường tròn ngoại tiếp I (1; 0) Trung điểm BC nằm trên đường thẳng có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E (6; 1) và hoành độ điểm B nhỏ Đáp số: B (2;3), C (4; 1) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn 13 (14) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J (2;1) Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC có phương trình x y 10 và D (2; 4) là giao điểm thứ hai AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình x y Đáp số: A(2;6), B ( 3; 4), C (5; 0) Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH , trung tuyến BM Đường tròn (T ) qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B cắt cạnh AC điểm thứ hai là E Đường thẳng BE có phương trình 3x y và H ( 2; 3) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết A thuộc đường thẳng d : x y Đáp số: A( 2;3), B ( 6; 3), C (7; 3) cắt Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Đường phân giác góc BAD DC , BC M , N và có phương trình x y Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC Đường tròn (T ) ngoại tiếp tam giác DIC có phương trình: x y x y 23 , biết AD qua điểm 7 E ; và đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành ABCD biết 2 các điểm B, D có tọa độ nguyên Đáp số: A(2; 1), B (6;1), D (3;1), C (7;3) cắt cạnh CD Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có D (2;1) Phân giác góc BAD điểm M Gọi H (1;3) là hình chiếu vuông góc C trên AM Xác định tọa độ các đỉnh còn lại hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm Đáp số: A(1; 0), B ( 1; 2), C (0;3) 10 Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (T ) Biết G ; là 3 trọng tâm tam giác ABC Gọi E (0; 2) là giao điểm thứ hai CG với đường tròn (T ) và đường tròn (T ) qua điểm F (2; 4) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD biết B có hoành độ dương Đáp số: A( 1;0), B (5; 2), C (6; 1), D (0; 3) 11 Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A ; Một điểm M (1; 1) nằm 2 MCB và BMC 1350 Tìm tọa độ đỉnh D , biết D thuộc đường hình bình hành cho MAB tròn có phương trình (T ) : x y x y Đáp số: Vậy D (2;1) D (3; 2) Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không vuông và đường thẳng có phương trình x y Giả sử D (4;1), E (2; 1), N (1; 2) theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A , chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M cạnh BC nằm trên đường thẳng và điểm M có hoành độ nhỏ Đáp số: A(4;3), B ( 2;1) và C (3;1) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn 14 (15) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I Điểm M (2; 1) là trung điểm cạnh BC và điểm E là hình chiếu vuông góc B trên đường thẳng AI Gọi D là giao điểm ME và AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE có phương trình x y y và C thuộc đường thẳng : x y Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Đáp số: A( 3;3), B (3;1), C (7; 3) A(1;5), B ( 1; 1), C (5; 1) Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : x y 25 , đường thẳng AC qua điểm K (2;1) Gọi M , N là chân đường cao kẻ từ đỉnh B và C Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết phương trình đường thẳng MN là x y 10 và điểm A có hoành độ âm Đáp số: A( 4;3), B ( 3; 4), C (5; 0) A( 4;3), B (0;5), C (5; 0) Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3) Biết trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là H (1; 1) và I (2; 2) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại tam giác ABC Đáp số: B (1;1), C (5; 3) B (5; 3), C (1;1) Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I (2; 2) , trực tâm H (2;12) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết đường thẳng BC có phương trình x y A(4;14), B 1 73 , C 1 73 Đáp số: A(4;14), B 73;1 73 , C 73;1 73 73;1 73;1 Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (6; 6) và ngoại tiếp đường tròn tâm J (4;5) Biết điểm A(2;3) và hoành độ điểm B nhỏ hoành độ điểm C Tìm tọa độ các đỉnh còn lại tam giác ABC Đáp số: B (2;9), C (10;3) Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh D ( 7;0) Một điểm M nằm MCB Phương trình đường thẳng chứa MB, MC là : x y ; hình bình hành cho MAB : x y Tìm tọa độ đỉnh A , biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : y x và A có hoành độ nguyên Đáp số: A(2;6) 5 2 Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A và C (2; 3) Biết I ; là tâm đường 3 3 1 tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K ; là trọng tâm tam giác ACM , với M là trung điểm AB Tìm 3 tọa độ các đỉnh còn lại tam giác ABC , biết A không trùng với gốc tọa độ Đáp số: A(0;1) và B (4; 1) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn 15 (16) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A và M là trung điểm AB Đường thẳng 11 CM có phương trình x y 20 và K ; là trọng tâm tam giác ACM Đường tròn ngoại tiếp 6 tam giác ABC có tâm nằm trên đường thẳng x y và có bán kính Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết A và C có tọa độ nguyên Đáp số: A(1; 1), B (0; 4), C (4; 0) Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A và M là trung điểm AB Biết 8 8 10 I ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , K ; là trọng tâm tam giác ACM Các đường 3 3 3 thẳng AB, CM qua các điểm E (0;3), F (2; 0) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết A có tung độ dương Đáp số: A(6;6), B ( 2; 2), C (2; 2) Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A và M là trung điểm AB Đường thẳng 7 CM có phương trình y và K ; là trọng tâm tam giác ACM Đường thẳng AB qua điểm 3 D ; Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , biết M có tung độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng x y Đáp số: A(1;1), B (1;5), C (3;3) Bài 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh AB , N thuộc AC Biết phương trình đường thẳng MD : x Xác định tọa độ đỉnh C hình vuông ABCD , biết khoảng cách từ C đến đường thẳng MD và N có hoành độ âm Đáp số: C ( 3;1) C ( 3; 0) đường thẳng : 3x y và là điểm trên cạnh AC cho CN Bài 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh AB , N là điểm trên cạnh AC cho CN AC Biết E (1; 1) là trung điểm đoạn DM Tìm tọa độ đỉnh B , biết 2 F ; là trọng tâm tam giác AMN và điểm M có hoành độ âm 3 Đáp số: B ( 4; 0) CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn 16 (17)