De Dap an thi chon HSG huyen lop 9 nam hoc 20132014

nên theo hệ quả của định lí Thales ta có CG CH  2 GN NO mà CN là trung tuyến của ABC, suy ra G là trọng tâm của ABC Vậy đường thẳng HI đi qua trọng tâm G của ABC.... Lưu ý: - Các cá[r]

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN-NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán, Lớp Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 10/10/2013 Bài 1: a b c   a) Cho các số a, b, c thỏa mãn: 2012 2013 2014 Chứng minh rằng:  a  b   b  c   a  c  b) Cho A  2012  2013  2014 và B  2009  2011  2019 Hãy so sánh A với B Bài 2: a) Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn: a+b+1=ab b) Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a  b  b  c  c  d  d  a 2013 Bài 3: x  a) Giải phương trình: b) Cho đa thức: 4x  x  2 12 f  x  x  3x  3x   2014   2013  f f    2012  Chứng minh rằng:  2013   Bài 4: Cho ABC có góc nhọn và góc BAC =450; hai đường cao BD và CE cắt H Gọi I là trung điểm DE Kẻ EM vuông góc với AC (M  AC), DN vuông góc với AB (N  AB) O là giao điểm EM và DN a) Tứ giác EHDO là hình gì? b) Chứng minh rằng: HC = 2NO c) Chứng minh đường thẳng HI qua trọng tâm ABC b2 2a   4 a Bài 5: Cho hai số thực a, b khác 0, thỏa mãn: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S ab  2013 - Hết - Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài Bài 1: a) Nội dung Ta có a b c a b b c a c      2012 2013 2014   1   1    Điểm điểm 1đ Từ đó suy  a  b  a  c  b  c  a  c  a  b   b  c   a  c  ;  1đ b) điểm 2012  2009  Ta có 2013  2011  3  2012  2009 2019  2014 0,75đ 2  2013  2011 2019  2014 Cộng theo vế hai 0,75đ BĐT trên ta được: 2012  2009  2013  2011   2019  2019  2014 2014 0,5đ Suy A > B Bài 2: a) điểm Ta có: a+b+1=ab↔(a-1)(b-1)=2 (1) 0,5đ Do a, b nguyên dương, nên (1) suy ra: a-1 nguyên dương và là ước 0,5đ Từ đó suy ra: a-1=1 a-1=2 0,25đ Với a-1=1→a=2; b=3 0,25đ Với a-1=2→a=3, b=2 0,25đ Trả lời: (a; b)=(2; 3) (3; 2) 0,25đ điểm 0,5đ b) 2x nÕu x 0 x  x   nÕu x < Do đó x  x là số Với số thực x bất kì thì nguyên chẵn x  Z Mặt khác: a  b  b  c  c  d  d  a 2013  a  b  a  b  b  c  b  c  c  d  c  d  d  a  d  a 2013 Vế trái là số nguyên chẵn còn vế phải là số nguyên lẻ Vậy không có các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn đề Bài 3: a) x2 2x x  x 2  ĐKXĐ: x  -2 Ta có x  0,5đ  x2   2x     x  x    x 2   0,5đ 0,5đ 2 điểm 0,5đ 0,5đ 4x 4x x   x   x  2 2  x2  4x 4x 2   x    x2  x2  x  2  0,5đ x2 y Đặt x  ta có phương trình: y  4y  12 0   y  2 0,5đ  y 2 16    y  x2 2  x  2x  0   x  1 5  x 1  Với y =  x  (TMĐK) b) x2   x  6x  12 0   x    Với y = -6  x  vô lí điểm Vậy phương trình có nghiệm x 1  1đ f  x  x  3x  3x   x  1  Ta có: 1  2014   2013  1 f  4 f  4    3   2013  2013 ;  2012  2012 Do 2013 2012  2014   2013  1 f  f       2012    20123  2013   2013  Bài 4: a) 0,5đ 0,5đ điểm Theo bài ta có ADB, AEC vuông cân, đó nhận DN và EM làm trung tuyến, 1đ suy M, N là trung điểm AC và AB A Tứ giác EHDO là hình bình hành (do các cạnh đối song song) nên HO qua trung điểm I ED và EO = HD Lại có hai tam giác NOE và DHC   vuông cân (do NEO HCD 45 ) nên 1đ 450 N O G E B M D H HC HD EO 2NO b) 1đ I Gọi G là giao điểm CN và HO Do NO // CH C 1đ điểm nên theo hệ định lí Thales ta có CG CH  2 GN NO mà CN là trung tuyến ABC, suy G là trọng tâm ABC Vậy đường thẳng HI qua trọng tâm G ABC 1đ 1đ Bài 5: điểm 2 a  b 1  b    a   ab  ab   a     a    ab  2 a a  2  Ta có  ab + Do đó ab   S  2015  a   a  Vậy GTLN S là 2015 đạt  Mặt khác: 0 a  b 0 2  a  1;b   a 1;b 2  b2 1  b    a   ab  ab   a     a    ab  2 a a  2   -ab +  ab  -2  S  2011 a   a  a 0   a  b 0 Vậy GTNN S là 2011 đạt   a 1;b   a  1;b 2  Lưu ý: - Các cách giải khác đúng cho điểm tối đa - Vẽ hình sai không chấm Không có hình vẽ đúng cho 1/3 số điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ