Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một quy tắc tương ứng áp dụng lên hai tập hợpbất kỳ còn được gọi là tập nguồn và tập đích, mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này tập hợp nguồn tương ứ[r]
(1)Hàm số Mỗi số thuộc tập X tương ứng với số thuộc tập Y qua hàm f Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) hiểu tương tự khái niệm ánh xạ Nếu ánh xạ định nghĩa là quy tắc tương ứng áp dụng lên hai tập hợpbất kỳ (còn gọi là tập nguồn và tập đích), mà đó phần tử tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với và phần tử thuộc tập hợp (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là trường hợp đặc biệt ánh xạ, tập nguồn và tập đích là tập hợp số Ví dụ hàm số f xác định trên tập hợp số thực R miêu tả biểu thức: y =x2 - cho tương ứng số thực x với số thực y nhận giá trị là x2 - 5, tương ứng với Khi hàm f đã xác định, ta có thể viết f(3) = Đôi chữ hàm dùng cách gọi tắt thay cho hàm số Tuy nhiên các trường hợp sử dụng khác, hàm mang ý nghĩa tổng quát ánh xạ, lý thuyết hàm Các hàm hay ánh xạ tổng quát có thể là liên hệ các tập hợp không phải là tập số Ví dụ có thể định nghĩa hàm là quy tắc cho tương ứng hãng xe với tên quốc gia xuất xứ nó, chẳng hạn có thể viết Xuất_xứ(Honda) = Nhật Khái niệm Định nghĩa Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số f xác định trên X, nhận giá trị Y là quy tắc cho tương ứng số x thuộc X với số y thuộc Y Ký hiệu Với: Tập X gọi là miền xác định (2) Tập Y gọi là miền giá trị x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số y gọi là biến phụ thuộc hay còn gọi là hàm số f(x) gọi là giá trị hàm f x Cách cho hàm số Hàm số có thể cho bảng biểu đồ biểu thức Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10} Hàm cho bảng sau: x y 5 Các hàm cho biểu thức , , Lưu ý: Trong chương trình môn Toán bậc Trung học phổ thông Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng: Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) hàm số cho biểu thức y = f(x) là tập hợp tất các giá trị x làm cho f(x) có nghĩa Ví dụ: Hàm số có miền xác định là Hàm số là Miền giá trị hàm số y = f(x) là tập hợp tất các giá trị có thể có Ví dụ: Miền giá trị hàm số Nếu X,Y Nếu X,Y Nếu X ,hàm mũ , thì hàm số gọi là hàm số biến số phức Ví dụ: Hàm dao động thì hàm số gọi là hàm số thực Ví dụ: Hàm lượng giác là ; thì hàm số gọi là hàm số số học , nghĩa là (3) Ví dụ: Hàm Euler hàm Sigma biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng với n, biểu diễn tổng tất các ước số tự nhiên n Các dạng hàm số Đơn ánh, song ánh, toàn ánh Như trên đã đề cập, hàm số là trường hợp ánh xạ, nên người ta miêu tả hàm số dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh Đơn ánh Một hàm số là đơn ánh nó áp dụng lên đối số khác luôn cho giá trị khác Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá trị Y, là đơn ánh nó thỏa mãn điều kiện với x1 vàx2 thuộc X và x1 ≠ x2 thì f(x1) ≠ f(x2) Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh và khi: Với đồ thị hàm số y = f(x) hệ tọa độ Đề các, đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox cắt đường cong đồ thị nhiều là điểm Toàn ánh Hàm số f gọi là toàn ánh với số y thuộc Y ta luôn tìm ít số x thuộc X cho f(x) = y Theo cách gọi ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là phần tử y thuộc Y là tạo ảnh ít mẫu x thuộc Xqua ánh xạ f Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh và khi: tức là Đồ thị hàm cắt đường thẳng Song ánh Trong toán học, song ánh, hàm song ánh, là hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, y thuộc Y, có x thuộc X cho f(x) = y Nói cách khác, f là song ánh và nó là tương ứng một-một hai tập hợp; tức là nó vừa là đơn ánh và vừa là toàn ánh Ví dụ, xét hàm fxác định trên tập hợp số nguyên vào, định nghĩa f(x) = x + Ví dụ khác, cặp số thực (x,y) hàm f xác định f(x,y) = (x + y, x − y) là song ánh (4) Hàm song ánh đôi còn gọi là hoán vị Tập hợp tất các song ánh từ tập X vào tập Y kí hiệu là X ↔ Y Thông thường tập các hoán vị tập X kí hiệu làX! Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng toán học, nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và khái niệm liên quan phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác Minh hoạ Đơn ánh không phải toàn ánh Toàn ánh không phải đơn ánh Vừa đơn ánh vừa toàn ánh (= song ánh) Hàm hợp và hàm ngược Hàm hợp Cho các hàm số: đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung Hàm hợp f1 và f2 là hàm số: định nghĩa bởi: Có thể ký hiệu hàm hợp là: Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp f2(f1(x)), đó f2(y) = sin(y), f1(x) = (x2 +1) (5) Việc nhận biết hàm số là hàm hợp các hàm khác, nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản Hàm ngược Cho hàm số song ánh: đó X, Y là tập hợp số nói chung Khi đó phần tử y = f(x) với y nằm Y là ảnh và phần tửx X Như vậy, có thể đặt tương ứng phần tử y Y với phần tử x X Phép tương ứng đó đã xác định hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này gọi là hàm số ngược hàm số f và kí hiệu là: Nếu f−1(x) tồn ta nói hàm số f(x) là khả nghịch Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là f(x) là song ánh thì ta luôn tìm hàm ngược f−1(x) và ngược lại Đồ thị hàm số Xem thêm: Đồ thị hàm số Thông thường thì hàm số xác định biểu thức tổng quát y = f(x) nào đó, ví dụ y = x2 Tuy nhiên có hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng x với y nó không theo quy luật nào để có thể diễn đạt biểu thức toán học Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số x và các giá trị hàm số y tương ứng với chúng Ngoài hàm số còn có thể xác định cách triệt để đồ thị nó Đối với hàm số biến số thực (có miền xác định thực), đồ thị hàm số định nghĩa sau: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng R2 có tọa độ [x, f(x)] Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là: Xem thêm Ánh xạ Hàm số đơn điệu Tham khảo Liên kết ngoài The Wolfram Functions Site (6) Theory of Functions and related areas Notes on functions (7)