Phương trình mặt cầu được xác định; Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mặt phẳng P; Giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng d và phương trình của mặt [r]
(1)Lêi nãi ®Çu Cuốn sách “Cẩm nang ôn luyện kỹ giải toán hình học giải tích”, nội dung chính sách là phân loại, cung cấp các dạng toán bản, nâng cao toán hình học giải tích mặt phẳng và không gian Nội dung bài toán sách xây dựng trên công cụ “Bản đồ tư hình học giải tích” - mối quan hệ hình học cổ điển và toán học đại, nội dung đúng chuẩn đánh giá (bài viết chính tác giả đã đăng trên Tạp chí Giáo dục và xã hội, đăng trên Tạp chí Dạy và học ngày nay), đây chính là điểm khác biệt sách với các sách, tài liệu các tác giả khác Ngoài ra, sách cung cấp phương pháp giải Hệ phương trình ba ẩn 120 (2) hình học giải tích không gian (bài viết chính tác giả đã đăng trên Tạp chí Dạy và học ngày nay), ứng dụng định lý trung điểm đoạn thẳng, định lý trọng tâm tam giác giải toán (bài viết chính tác giả đã đăng trên Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ) Nội dung sách chia làm Hai chương Chương I: Hình học giải tích mặt phẳng Nội dung chính chương là phân dạng toán thành các Vấn đề (dựa trên giả thiết và kết luận đề toán) Trên Vấn đề có ba nội dung 1- Một số vấn đề và phương pháp giải; 2- Bài tập ôn luyện, củng cố và nâng cao (trong nội dung này các bài tập xếp tăng dần độ khó, các bài toán khó phục vụ ôn luyện kì thi THPT quốc gia phân biệt dấu (*) dành cho học sinh khá giỏi); 3- Ôn luyện dạng toán các đề thi Đại học (trong nội dung này các bài tập tuyển chọn các đề thi Đại học đã công bố, phân loại công phu với lời giải chi tiết) Chương II: Hình học giải tích không gian Nội dung chính chương là phân dạng toán thành các Vấn đề (dựa trên giả thiết và kết luận đề toán) Trên vân đề có hai nội dung 1- Một số vấn đề và phương pháp giải; 2- Bài tập ôn luyện, củng cố và nâng cao (trong nội dung này các bài tập xếp tăng dần độ khó, các bài toán khó phục vụ ôn luyện kì thi THPT quốc gia phân biệt dấu (*) dành cho học sinh khá giỏi) Nội dung ôn luyện dạng toán đề thi Đại học tách riêng thành Bài (trong nội dung này các bài tập tuyển chọn các đề thi Đại học đã công bố, phân loại công phu theo giả thiết đề toán với lời giải chi tiết) Tác giả đã có nhiều cố ngắng biên soạn, không thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót, mong tiếp nhận đóng góp ý kiến từ bạn đọc để nội dung sách ngày hoàn thiện Thân ái! Tác giả HUỲNH VĂN MINH, 0945603096 121 (3) Mục lục Chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng Bài Viết phương trình đường thẳng - I Một số vấn đề và phương pháp giải II Bài tập ôn luyện, củng cố và nâng cao - III Ôn luyện qua dạng toán các đề thi Đại học - 16 Bài Viết phương trình đường tròn 24 I Một số vấn đề và phương pháp giải - 24 II Bài tập ôn luyện, củng cố và nâng cao 32 III Ôn luyện qua dạng toán các đề thi Đại học - 39 Bài Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước - 65 Chương hai Phương pháp tọa độ không gian 106 Bài Hệ trục tọa độ không gian - 106 Bài Phương trình mặt phẳng 120 I Một số vấn đề và phương pháp giải - 120 II Bài tập ôn luyện, củng cố và nâng cao 128 Bài Phương trình đường thẳng 139 I Một số vấn đề và phương pháp giải - 139 II Bài tập ôn luyện, củng cố và nâng cao 150 Bài Phương trình mặt cầu 163 I Một số vấn đề và phương pháp giải - 163 II Bài tập ôn luyện, củng cố và nâng cao 175 Bài Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện cho trước - 191 Bài Ôn luyện dạng toán đề thi Đại học - 205 I Bài toán với giả thiết điểm và mặt - 205 II Bài toán với giả thiết hai đường thẳng - 225 III Bài toán với giả thiết đường thẳng và mặt phẳng 233 122 (4) Chương HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Bài VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề Viết phương trình đường thẳng d qua M(xM ; yM ) cách I(x0 ; y0 ) khoảng h>0 Phương pháp giải Giả sử d : ax + by - axM - byM = 0; Giải phương trình d I,d = h a;b d Vấn đề Cho đường thẳng a : ax + by + c = và điểm M(x0 ; y0 ) Viết phương trình đường thẳng d qua M tạo với đường thẳng a góc Phương pháp giải Giả sử đường thẳng d có phương trình n x - x0 + m y - y0 = 0, n + m 0 Giải phương trình Cos α an + bm a + b2 n2 + m2 n;m Δ Vấn đề Cho đường tròn (C) : (x - x0 )2 +(y - y0 )2 = R , đường thẳng d có phương trình ax+by+c=0 Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d, tiếp xúc với đường tròn (C) Tìm tọa độ tiếp điểm Phương pháp giải Đường tròn có tâm I(x0 ; y0 ) và có bán kính R; Giả sử đường tròn là bx-ay+d=0; Giải phương trình d I,Δ = R d Δ Vấn đề Cho đường tròn (C) : (x - x0 )2 +(y - y0 )2 = R , đường thẳng d có phương trình ax+by+c=0 Viết phương trình đường thẳng tạo với đường thẳng d góc , đồng thời tiếp xúc với đường tròn (C) Tìm tọa độ tiếp điểm Phương pháp giải Gọi a là đường thẳng qua gốc tọa độ O tạo với đường thẳng d góc Tìm đường thẳng a: a’x+b’y+c’=0; Đường thẳng tạo với đường thẳng d góc nên song song với 123 (5) đường thẳng a, tức có phương trình a’x+b’y+d=0; Giải phương trình d I,Δ = R d Δ Vấn đề Các đường đặc biệt tam giác ABC Chú ý - Đường cao đỉnh A qua A và vuông góc BC; - Đường trung tuyến đỉnh A qua A và trung điểm M đoạn BC (có vectơ phương là vectơ BM ) - Đường trung trực cạnh BC qua trung điểm M đoạn BC và vuông góc với BC (có vectơ pháp tuyến là vectơ BC ) - Đường phân giác góc A cách hai đường thẳng AB, AC và hai điểm B, C nắm khác phía so với đường phân giác đó - Đường thẳng chứa các cạnh tam giác ABC (ta gọi tắc là đường thẳng AB, đường thẳng AC, đường thẳng BC) Bài VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Vấn đề Phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng Phương pháp Cách Giả sử đường tròn có phương trình x + y - 2ax - 2by + c = 0, a + b - c > (*) Thay tọa độ A vào phương trình (*) ta phương trình (1); Thay tọa độ B vào phương trình (*) ta phương trình (2); Thay tọa độ C vào phương trình (*) ta phương trình (3); (1) a Giải hệ phương trình (2) b kiểm tra a + b - c > suy phương trình (3) c đường tròn Cách Giả sử đường tròn có tâm I(a;b); Tính AI AI , BI BI , CI CI ; AI = BI a Giải hệ phương trình I, R = IA suy phương trình IA = CI b đường tròn Cách Viết phương trình hai đường trung trực hai đoạn thẳng AB và AC; Tìm tọa độ giao điểm hai đường trung trực đó Khi đó I là tâm đường tròn Bán kính R=IA suy phương trình đường tròn 124 (6) Vấn đề Phương trình đường tròn có bán kính R qua hai điểm A, B Phương pháp Viết phương trình đường trung trực a đoạn thẳng AB; Tâm I thuộc đường thẳng a có dạng tham số; Giải phương trình IA=R ta có nghiệm là tham số, suy tâm I; Phương trình đường tròn xác định Vấn đề Phương trình đường tròn qua hai điểm A, B có tâm thuộc đường thẳng Phương pháp Viết phương trình đường trung trực a đoạn thẳng AB, đường tròn tâm I qua A, B nên tâm I thuộc đường thẳng a; Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng a và phương trình đường thẳng cho nghiệm là tọa độ I; Giải phương trình IA=R; Phương trình đường tròn xác định Vấn đề Phương trình đường tròn tâm I xI ; yI , tiếp xúc đường thẳng Δ : ax + by + c = Tìm tọa độ tiếp điểm H Phương pháp Bán kính R = d I,Δ ; Phương trình đường tròn x - xI + y - xI = R ; 2 Để tìm tiếp điểm H, ta xét hệ phương trình ax + by + c = x0 H x ; y 0 x - xI 2 + y - xI 2 = R y0 Vấn đề 10 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng a, bán kính R và tiếp xúc với đường thẳng b H Tìm tọa độ tiếp điểm H Phương pháp Viết phương trình đường thẳng a có dạng tham số Điểm I thuộc a nên điểm I có tọa độ dạng tham số; Giải phương trình d I,b = R ta tham số Suy tọa độ tâm I; Phương trình đường tròn xác định Vấn đề 11 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I qua A, B tiếp xúc với đường thẳng d H Tìm tọa độ tiếp điểm H Phương pháp Viết phương trình đường thẳng a là trung trực đoạn thẳng AB dạng 125 (7) tham số Điểm I thuộc a nên điểm I có tọa độ dạng tham số; Giải phương trình d I,d = IA ta tham số Suy tọa độ tâm I, bán kính R=IA; Phương trình đường tròn xác định Tìm tọa độ tiếp điểm: xét hệ phương trình gồm phương trình d và phương trình (C) Giải hệ ta có nghiệm là tạo độ tiếp điểm H Vấn đề 12 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I, tiếp xúc đường thẳng d A và tâm I cách điểm B khoảng h>0 Phương pháp Viết phương trình đường thẳng a vuông góc với đường thẳng d A; điểm I thuộc a nên điểm I có tọa độ dạng tham số; Giải phương trình IB = h ta tham số Suy tọa độ tâm I, bán kính R=IA; Phương trình đường tròn xác định Vấn đề 13 Điểm A thuộc đường thẳng Viết phương trình đường tròn tiếp xúc đường thẳng d A có tâm I cách đường thẳng d khoảng h>0 Phương pháp Viết phương trình đường thẳng a vuông góc với đường thẳng A; điểm I thuộc a nên điểm I có tọa độ dạng tham số; Giải phương trình d I,d = h ta tham số Suy tọa độ tâm I, bán kính R=IA; Phương trình đường tròn xác định Vấn đề 14 Điểm A thuộc đường tròn (C0 ) có tâm I , điểm M và số thực dương h Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I cách M khoảng h và tiếp xúc đường tròn (C0 ) A Phương pháp Viết phương trình đường thẳng I A dạng tham số; Tâm I thuộc đường thẳng I A nên tâm I có dạng tham số; Giải phương trình IM = h ta tham số Suy tọa độ tâm I, bán kính R=IA; Phương trình đường tròn xác định Vấn đề 15 Điểm A thuộc đường tròn (C0 ) có tâm I , điểm B thuộc đường thẳng Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc đường tròn (C0 ) A và tiếp xúc đường thẳng B Phương pháp 126 (8) Viết phương trình đường thẳng I A ; Viết phương trình đường thẳng a vuông góc với đường thẳng B; Tâm I là giao điểm đường thẳng I A và đường thẳng a; Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng I A và phương trình đường thẳng a Suy tọa độ tâm I, bán kính R=IA; Phương trình đường tròn xác định Chương hai HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Vấn đề 16 Bài toán vận dụng các phép toán trên hệ trục tọa độ không gian Phương pháp Sử dụng các kết quả, công thức quan trọng Trong không gian Oxyz, cho a= a1 ;a ;a , b= b1 ;b ;b3 đó tọa độ vectơ tích có hướng a,b = a1 a a = a b -a b ;a b -a b ;a b -a b ; 3 1 2 b b b 3 Hai vectơ cùng phương a//b a,b =0 t R: a=t.b; Công thức tính diện tích tam giác ABC: SABC = AB,AC ; 2 Công thức tính thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD = AB,AC AD 6 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 17 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M x0 ; y0 ; z0 và có vectơ pháp tuyến n = (A; B;C) Phương pháp Phương trình mặt phẳng (P) xác định công thức A x - x0 + B y - y0 + C z - z0 = Ax + By + Cz + D = 0, D = -Ax0 - By0 - Cz0 127 (9) Vấn đề 18 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M x0 ; y0 ; z0 và song song với mặt phẳng (Q) Phương pháp Từ phương trình mặt phẳng (Q) Ax+By+Cz+D=0 suy vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Cách Phương trình mặt phẳng (P) xác định công thức A x - x0 + B y - y0 + C z - z0 = Ax + By + Cz + DP = (kiểm tra DP D ) Cách Gọi phương trình mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + DP = 0; Vì mặt phẳng (P) chứa M x0 ; y0 ; z0 nên thay tọa độ M vào phương trình (P), tính giá trị DP (kiểm tra DP D ) Vấn đề 19 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M x0 ; y0 ; z0 và vuông góc với đường thẳng d Phương pháp Từ phương trình đường thẳng d, vectơ phương d, vectơ đó là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P); Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 20 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M x0 ; y0 ; z0 và vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R) Phương pháp Từ phương trình (Q) và (R) có vectơ pháp tuyến (Q) và (R) là nQ ,nR ; Tính tích có hướng nQ ,nR nP ; Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 21 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm A, B, C không thẳng hàng Phương pháp Tính tích có hướng AB,AC nP ; 128 (10) Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 22 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) Phương pháp Tính tích có hướng AB,nQ nP ; Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 23 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M, vuông góc với mặt phẳng (Q) và song song đường thẳng d Phương pháp Tính tích có hướng nQ ,ud =nP ; Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 24 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d không qua A Phương pháp Chọn điểm M đường thẳng d; Tính tích có hướng AM ,ud =nP ; Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 25 Cho hai đường thẳng chéo a và b, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song đường thẳng b Phương pháp Từ phương trình hai đường thẳng a và b tìm hai vectơ phương a, b; Tính tích có hướng a,b =nP ; Chọn điểm M thuộc đường thẳng a, đó M thuộc mặt phẳng (P); Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 26 Cho đường thẳng d không vuông góc mặt phẳng (Q), viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng (Q) Phương pháp 129 (11) Từ phương trình đường thẳng d tìm vectơ phương u, từ phương trình mặt phẳng (Q) tìm vectơ pháp tuyến nQ mặt phẳng (Q); Tính tích có hướng u,nQ =nP ; Chọn điểm M thuộc đường thẳng d, đó M thuộc mặt phẳng (P); Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 27 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) và cách điểm M khoảng h>0 Phương pháp Mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = suy mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + m = 0, m D; Xét phương trình d M,(P)=h suy m, kiếm tra m D; Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 28 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm A khoảng h>0 Phương pháp Mặt phẳng (P) : ax + by + cz + d = 0, a + b + c > 0; Từ phương trình tham số đường thẳng d, chọn hai tham số khác ta hai điểm B, C thuộc mặt phẳng (P); Thay hai điểm tọa độ hai điểm B, C vào phương trình (P) ta có hai phương trình (1), (2); Kết hợp (1), (2) và phương trình d A,(P) = h ta tìm bốn số a, b, c, d; Phương trình mặt phẳng (P) xác định Vấn đề 29 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách điểm A khoảng lớn Phương pháp Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng (P), K là hình chiếu vuông góc A trên đường thẳng d Khi đó ta có AH AK d A,(P) d A,d ; d A,(P) lớn d A,d ; d A,(P) = d A,d H K; 130 (12) Phương trình mặt phẳng (P) xác định (chứa K và vuông góc AK) Bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 30 Viết phương trình đường thẳng d chứa điểm M x0 ; y0 ; z0 và vuông góc với hai đường thẳng a, b cho trước Phương pháp Đường thẳng a có vectơ phương a, đường thẳng b có vectơ phương b; Tính tích có hướng a,b = ud ; Phương trình đường thẳng d xác định Vấn đề 31 Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc đường thẳng trên mặt phẳng (P) Phương pháp Cách Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng và vuông góc mặt phẳng (P); Đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q); Cách Tìm giao điểm A đường thẳng và mặt phẳng (P) (khi và (P) có điểm chung); Chọn điểm B (khác A) thuộc đường thẳng Tìm hình chiếu vuông góc B’ B trên mặt phẳng (P); Đường thẳng d trùng với đường thẳng AB’ Cách Khi đường thẳng song song mặt phẳng (P) Chọn điểm M thuộc đường thẳng Tìm hình chiếu vuông góc M’ M trên mặt phẳng (P); Đường thẳng d qua M’ và song song với đường thẳng Vấn đề 32 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, cắt hai đường thẳng a và b Phương pháp Cách Viết phương trình mặt phẳng (A,a); 131 (13) Tìm giao điểm B đường thẳng b và mặt phẳng (A,a); Đường thẳng d xác định d AB Cách Viết phương trình mặt phẳng (P) (A,a), viết phương trình mặt phẳng (Q) (A,b); Đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) Nhận xét Cách giải là hiệu Qua đó ta tìm giao điểm đường thẳng d với hai đường thẳng a và b Vấn đề 33 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng , cắt hai đường thẳng a và b Tìm tọa độ giao điểm Phương pháp giải Cách Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với đường thẳng , chứa đường thẳng a; viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với đường thẳng , chứa đường thẳng b; Đường thẳng d xác định d = (P) (Q) Cách Gọi A= d a, B = d b (hai điểm A, B có dạng tham số a, b); AB, Tính tọa độ vectơ xác định vectơ phương u Δ đường thẳng ; Giải điều kiện AB cùng phương vectơ u Δ tìm tham số a, b Đường thẳng d xác định d AB Nhận xét Cách giải hai là hiệu hơn, với các giải này ta tìm giao điểm Vấn đề 34 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng b B Tìm tọa độ điểm B Phương pháp giải Nhận xét Đường thẳng d qua A và vuông góc với đường thẳng a chứng tỏ đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc đường thẳng a Đường thẳng d cắt đường thẳng b B nên d qua giao điểm B đường thẳng b và mặt phẳng (P) Từ nhận xét đó, ta có phương pháp giải sau Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc đường thẳng a; Tìm giao điểm B đường thẳng b và mặt phẳng (P); 132 (14) Đường thẳng d xác định d AB Vấn đề 35 Viết phương trình đường thẳng d chứa điểm A, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng b B Tìm tọa độ điểm B Phương pháp giải Nhận xét Đường thẳng d chứa điểm A và song song mặt phẳng (P) chứng tỏ đường thẳng d thuộc mặt phẳng (Q) chứa A và song song với mặt phẳng (P) Đường thẳng d cắt đường thẳng b B chứng tỏ đường thẳng d qua giao điểm B đường thẳng b và mặt phẳng (Q) Từ nhận xét trên, ta có phương pháp giải sau Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa điểm A và song song mặt phẳng (P); Tìm giao điểm B đường thẳng b và mặt phẳng (Q); Đường thẳng d xác định d AB Vấn đề 36 Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng a, b Tìm tọa độ giao điểm Phương pháp giải Tìm giao điểm A đường thẳng a và mặt phẳng (P), tìm giao điểm B đường thẳng b mặt phẳng (P); Đường thẳng d xác định d AB Vấn đề 37 Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a A (đường thẳng d nằm (P) cắt và vuông góc đường thẳng a A) Tìm tọa độ giao điểm A Nhận xét Đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) cắt đường thẳng a A chứng tỏ đường thẳng d qua giao điểm A đường thẳng a và mặt phẳng (P) Đường thẳng a nằm (P) nên ud nP , đường thẳng d vuông góc đường thẳng a nên ud ua Từ nhận xét này ta có phương pháp giải sau Phương pháp giải Tìm giao điểm A đường thẳng a và mặt phẳng (P); Xác định vectơ phương đường thẳng a, vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Tính tích có hướng ua , nP ud ; Đường thẳng d xác định 133 (15) Vấn đề 38 Viết phương trình đường vuông góc chung d hai đường thẳng chéo a và b Nhận xét Đường thẳng d vuông góc a nên u d a, đường thẳng d vuông góc đường thẳng b nên u d b đồng thời d cắt a và b Từ nhận xét ta có phương pháp giải sau Phương pháp giải Gọi A= a d A có dạng tham số, B = b d B có dạng tham số; Tính tọa độ vectơ AB; Giải phương trình điều kiện AB cùng phương với vectơ a, b ; Đường thẳng d xác định d AB Vấn đề 39 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng a, b Tìm tọa độ giao điểm (nhóm bài toán “tìm phương trình đường thẳng d có vectơ phương, cắt hai đường thẳng a, b”) Phương pháp giải Xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P), nP = ud ; Gọi A = a d A có dạng tham số, B = b d B có dạng tham số; Giải phương trình điều kiện AB cùng phương với vectơ nP ; Đường thẳng d xác định d AB Vấn đề 40 Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt và vuông góc đường thẳng a A Tìm tọa độ điểm A Nhận xét Đường thẳng d chứa A và vuông góc đường thẳng a chứng tỏ đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) chứa A và (P) vuông góc đường thẳng a Ta phương pháp giải sau Phương pháp giải Cách Tìm hình chiếu vuông góc A điểm M trên đường thẳng a (có hai cách tìm); Đường thẳng d xác định d AM Cách Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M và vuông góc đường thẳng a; Tìm giao điểm A đường thẳng a và mặt phẳng (P); Đường thẳng d xác định d AM 134 (16) Vấn đề 41 Viết phương trình đường thẳng d chứa điểm A, vuông góc đường thẳng b và cách điểm M khoảng h>0 Phương pháp giải Gọi vectơ phương đường thẳng d là u = (a;b;c), a + b + c >0; Đường thẳng d vuông góc đường thẳng b nên u.ub = 0; (1) Lập phương trình d M,d = h; (2) Giải hệ (1) và (2), sau đó chọn a, b, c thỏa điều kiện Bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I MỘT SỐ VẤN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 42 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Phương pháp Cách Giả sử mặt (S) có phương trình x + y + z - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, a + b + c - d >0; Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D thuộc phương trình mặt cầu ta có bốn phương trình bậc bốn ẩn (biến đổi và giải máy tính bỏ túi); Giải hệ và kiểm tra a + b + c - d > 0; phương trình mặt cầu xác định Cách Giả sử tâm mặt cầu là I(a;b;c); Tính AI , BI , CI , DI suy AI , BI , CI , DI ; AI = BI a Giải hệ phương trình AI = CI b I(a;b;c); AI = DI c Tính R=AI, phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 43 Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm H Phương pháp giải Tính bán kính R = d I,(P) ; 135 (17) Phương trình mặt cầu xác định; Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mặt phẳng (P); Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng d và phương trình mặt phẳng (P) tìm tham số, suy tiếp điểm H Vấn đề 44 Viết phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc đường thẳng d Tìm tọa độ tiếp điểm H Phương pháp giải Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H I trên đường thẳng d; Tính bán kính R=IH; Phương trình mặt cầu xác định; Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa I và vuông góc đường thẳng d; Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng d và phương trình mặt phẳng (P) tìm tham số, suy H Vấn đề 45 Viết phương trình mặt cầu có tâm I, cắt đường thẳng d A, B cho AB=2b>0 Tìm tọa độ hai điểm A, B Phương pháp giải Tính khoảng cách IH = d I,d = h; Ta có AH=b, R = h + b ; Phương trình mặt cầu xác định Xét hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng d và phương trình mặt cầu, giải tọa độ A và B Vấn đề 46 Viết mặt phẳng cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r (chu vi 2r, diện tích πr ) Tìm tâm H đường tròn giao tuyến Phương pháp giải Tính IH = d I,(P) , R = IH + r ; Phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 47 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc mặt phẳng (P) H Phương pháp giải Viết phương trình đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (P) H; Tìm giao điểm đường thẳng a và đường thẳng d là tâm I; 136 (18) Bán kính R=IH, phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 48 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng a, tiếp xúc đường thẳng d H Phương pháp giải Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm H và vuông góc đường thẳng b; Tâm I là giao điểm đường thẳng a và mặt phẳng (P); Phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 49 Viết phương trình mặt cầu có bán kính R tiếp xúc mặt phẳng (P) điểm M Phương pháp giải Viết phương trình đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P) M dạng tham số; Tâm I thuộc đường thẳng d, tâm I có dạng tham số; Giải phương trình IM=R, ta có tham số, suy tâm I; Phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 50 Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a và b Phương pháp giải Gọi A thuộc đường thẳng a, đó A có dạng tham số, B thuộc đường thẳng b, đó B có dạng tham số; Tính AB, a,b ; Giải điều kiện AB cùng phương a,b , có tham số A, B Suy điểm A, điểm B; Tính trung điểm I đoạn AB, tính bán kính R = AB; Phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 51 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và qua hai điểm A, B Phương pháp giải Tâm I thuộc đường thẳng d, tâm I có dạng tham số t; 137 (19) Giải phương trình IA =IB2 tham số t; Tâm I xác định, tính R=IA; Phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 52 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng (P), tiếp xúc mặt phẳng (Q) M Phương pháp Viết phương trình đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (Q) M; Tâm I là giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P); Phương trình mặt cầu xác định Vấn đề 53 Viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A, B, đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (P), (Q) Tìm tọa độ hai tiếp điểm H, K Phương pháp giải Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu; Thiết lập ba phương trình từ ba giả thiết: mặt cầu tâm I qua A, B: IA=IB (1), mặt cầu tiếp xúc (P) và (Q): d I,(P) = d I,(Q) (2), qua A và tiếp xúc (P): IA = R IA2 = d I,(P) (3); Giải hệ (1), (2), (3) ta tọa độ tâm I, tính bán kính R=IA; Phương trình mặt cầu xác định 138 (20)