Đang tải... (xem toàn văn)
Vậy Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và năm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Gọi M là trung điểm của SD, mpABM vuôn[r]
(1)* HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, AC = a , BC = 2a Tam giác SBC cân S, tam giác SCD vuông C Tính thể tích khối chóp SABCD, biết a khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) GIẢI: Do CD = a, AC = a ,AD = 2a nên t/giác ACD vuông C Gọi H là S trên (ABCD), E là trung điểm BC => BC v/góc (SEH) Ta có DC v/góc CS => DC v/góc CH (đ/lý đ/v/góc) Mặt khác: DC v/góc CA => H thuộc AC Xét t/g/vuông CEH: AB a sin C = BC 2a HEC 300 ,biết EC = a a 2a , CH , Suy ra: EH = AH AC CH a 2a a a 3 Gọi I là giao điểm AD với (SEH), t/giác SIE, kẻ IK v/góc SE Do t/giác AIH là nửa t/giác đều, có AH a a a IH , AI a a a IK SE IK SBC d D, SBC d AD, SBC IK BC Mặt khác: Do đó: a d I , SBC IK KE IK KE EKI EHS SH IK ; KE IE IK HE SH HE a a 2a 15 3a 3a a 15 SH 3 a 15 15 IE IH HE 1 2a 15 2a 15 5.a VSABCD SH S ABCD 2.S ABC a.a 3 15 45 15 5.a 15 Vậy thể tích khối chóp SABCD bằng: (2) Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC = 1) và các cạnh bên SA = SB = SC = Gọi K, L là trung điểm AC và BC, Trên cạnh SA, SB lấy các điểm M, N cho SM = BN = Tính VLMNK GIẢI: V V 1 MNKL Ta có: LMNK Lấy điểm E trên SA cho AE = 1=> NE // AB // KL S NKL S EKL VMNKL VMEKL S EKM S SAC BK d L, MKE VMEKL VLEKM 3 1 , , 3 VLMNK VLEKM BK 1 S SACVSABC SK S ABC 1 VLEKM VSABC ; VSABC SK S ABC 12 17 17 2 17 34 VLEKM 12 144 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và tam giác SCD vuông S 1) Tính theo a thể tích khối chópS.ABCD 2) Cho M là điểm thuộc đường thẳng CD cho BM vuông góc cới SA Tính AM theo a 3) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SC GIẢI: 1) SAB là t/giác đều, cạnh a Gọi I, J là t/điểm AB, CD AB IS AB SIJ ABCD SIJ AB IJ theo g/tuyến IJ Gọi H là h/chiếu v/góc S trên IJ => SH v/góc (ABCD) SJ CD a a ; IJ a SI SJ IJ ; SI 2 Do đó t/giác SIJ Tam giác SCD có là tam giác vuông S => a a SI SJ 2 a SH IJ a 2) Gọi P là tr/điểm AS => SA v/góc BP (t/giác SAB đêu) SA v/góc BM =>SA v/góc (BPM) Gọi P, Q là tr/điểm AS và AJ => PQ là đ/t/bình t/giác ASJ => SJ // PQ Mặt khác, t/giác SAJ có: (3) 5a a2 SA SJ a AJ ASJ vuông S 4 2 => AS v/góc SJ => AS v/góc PQ Lại có: AS v/góc BP (t/giác SAB đều) => AS v/góc (BPQ) => AS v/góc BQ, lúc đó M là giao điểm BQ và CD JM QJ 1 JM AB a JD a DM a 2 Trong t/giác vuông AB // JM => AB QA a2 a 2 AM AD DM a ADM có: 3) AB và SC là đ/thẳng chéo Ta có: AB // CD SCD AB // SCD ; SC SCD d AB, SC d AB, SCD d I , SCD Theo câu (1) IS v/góc SJ và AB v/góc (SIJ), AB // CD nên a CD v/góc (SIJ) => CD v/góc IS Từ đó IS v/góc (SCD) => IS = d (I, (SCD)) = a Vậy d(AB, SC) = SI = Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ANCD là hình vuông với AB = 2a Tam giác SAB vuông S, mp(SAB) mp(ABCD) Biết góc tạo đường thẳng SD và mp(SBC) với sin = Tính VS.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD) theo a GIẢI: SAB ABCD , BC AB BC SAB BC SA , mà SA SB SA SBC Gọi d là k/cách từ D đến (SBC) SD => d = SD.sin = Mặt khác: AD // (SBC) => d (D,(SBC))= SD D (A, (SBC)) => d = SA => SA = Do AD // BC => AD v/góc SA Xét tam giác SAD vuông A có AD = 2a và 2 SA AD SD SA2 4a 9SA2 SA a 2 2 SB AB SA 2a a 14 4a 2 Kẻ SH v/góc AB H => SH v/góc (ABCD) Trong t/g/vuông SAB có (4) a a 14 1 a SA.SB 2 a V 4a SH SABCD SH S ABCD 3 AB 2a SH = 3.V 7.a 7.a ; d C , SBD SBCD 1 V V ; BD a SBCD SABCD S SBD ; a 14 3a SB SD 8a => t/giác SBD vuông S 1 a 14 3a 3a S SBD SB.SD 2 2 2a d C , SBD Thay vào (1) ta được: Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cat91 SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD, biết SA = AB = a và góc hợp đường thẳng AN và mp(ABCD) 30o GIẢI: Tam giác SAC có G là trọng tâm Gọi O là SG g/điểm đ/chéo AC và BD => SO G là trọng tâm t/giác SBD Gọi M, N g/điểm AG với SC, BG với SD => M, N là trung điểm SC và SD Ta có: MO ABCD V VANDQMP VBCQP (với P,Q là trung điểm AB và CD) V MN S AND MO.SBCQP 3 a 1 a a a a.a a a a 5 3.a S SAD AD 24 2 2 2 Vậy thể tích khối đa diện VMNABCD 3.a 24 MNABCD là: Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh bên A’A (5) tạo với đáy góc 30o Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C, biết khoảng cách AA’ và a BC GIẢI: Gọi O là tâm t/giác ABC và M là t/điểm BC, ta có: BC cùng v/góc với AM và A’O nên BC v/góc (A’AM) Kẻ MH v/góc A’A, BC v/góc (A’AM) => BC v/góc HM, từ đó suy HM là đoạn v/góc chung A’A và BC a => d (A’A, BC) = HM = A ' AO A ' A, ABC Ta có: AM 2.MH 300 a ; ABC có AM là t/tuyến, đ/cao nên => AB = a a2 SABC ; => t/giác A’AO là nửa t/giác đều, a a AO AM A 'O 3 2 a a2 VA ' BB ' C ' C VABCA ' B ' C ' VA ' ABC A ' O.S ABC A ' O.S ABC A ' O.S ABC 3 3 3.a 18 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Góc tạo SC và mp(SAB) 30o Gọi E là trung điểm BC 1) Tính VS.ABCD 2) Tính d(DE, SC) theo a 3) Tính d(A, (SBD)) GIẢI: 1)CB cùng v/góc AB, SA => CB v/góc (SAB) => SB là h/chiếu v/góc SC lên (SAB) a SC , SAB SC , SB CSB tan 30 a 30 SA 3a a SB a a 2) Từ C kẻ CI // DE => CE = DI = Và DE // (SCI) => d (DE, SC) = d (DE, (SCI)) Từ A kẻ AK v/góc CI, cắt ED H, cắt CI K , CI cùng g/góc SA và AK nên CI v/góc (SAK) Trong (SAK), ta kẻ HT v/góc SK => HT v/góc (SCI) Lúc đó: d (DE,(SCI)) = d (H,(SCI)) = HT (6) 1 S ACI AK CI CD AI 2 Ta có: 3a a 3a 5.a AK 5 a a2 a HK DI 1 5.a AKI : HD // KI HK AK AK AI 3a 3 5.a a HT SA HK SA a 10 38.a sin SKA HT HK SK SK 19 95.a 45a 2 2a 25 AC BD O; BD AC , BD SA BD SAO 3) AM SO AM d A, SBD a 2 AM a 2 2a a a 10 5 1 2 AM AO AS Vậy Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân S và năm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm SD, mp(ABM) vuông góc cới mp(SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính VS.BCM và khoảng cách từ M đến mp(SBC) GIẢI: Gọi H là t/điểm AB => SH v/góc AB => SH v/góc (SABD) M là t/điểm SD, (ABM) chứa AB => (ABM) cắt (SCD) theo g/tuyến ML // CD, với L là t/điểm SC Gọi N là t/điểm CD, BC cùng v/góc BA và SH nên BC v/góc (SBH) => BC v/góc SB Tam giác SCD cân S vì có SN vừa là đ/cao, đ/t/tuyến ML là đ/t/bình => ML // CD Ta có: SN v/góc ML (1) (vì CD v/góc (SHN), ML // CD) Theo đề: (SCD) v/góc (ABML) theo giao tuyến ML (2) Từ (1), (2) suy SN v/góc (ABML) => SN v/góc KH (vì KH chứa (ABML) Tam giác SHN có HK là đ/cao, đ/t/tuyến => SHN là t/giác v/cân H Theo đề: AM v/góc BD, BD v/góc ME (vì ME // SH, SH v/góc mp đáy) => BD v/góc (AMN).=> BD v/góc AN Trong t/giác vuông ADN: (7) NA NA NA 3.DN a DN NI NA AD AN DN 3a a a HN SH HN a 1 4a VSABCD SH AB AD a 2.2a.a 3 d D, SBC SD 2 VSBCM VMSBC VDSBC SM d M , SBC (do ) 3 1 1 4a a VSBCD VSABCD 2 3 3V d M , SBC SBCM S SBC (do SBC là t/giác vuông B) a3 3 2.a a a a 2a a Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB và SAD 900 , J là trung điểm SD Tính theo a thể tích tứ diện ACDJ và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACJ) GIẢI: Do DA v/góc AB,DA v/góc AS nên DA v/góc (SAB) => mp (SAB) và (ABCD) v/góc với theo g/tuyến AB Gọi I là t/điểm AB thì SI v/góc AB => SI v/góc (ABCD) Do J là t/điểm SD => d (J, (ABCD)) 1 a d S , ABCD SI 2 = (do t/giác SAB cạnh a) VACDJ VJACD d J , ABCD S ACD Vậy 1 a 3.a a 2 24 * Tính d (D, (ACJ)): (8) 3.VDACJ a3 ; V DACJ VJACD S ACJ 24 Ta cần tính SJAC, SAD là t/giác Do d (D, (ACJ)) = với a SD ; AC a 2; 2 v/cân A có AJ là t/tuyến => AJ = t/giác SBC v/cân B => SC = a Trong t/giác CDS có SJ là t/tuyến nên: CS CD SD 2a a 2a 2 CJ a 2 4 a a 2a 2 2 JA JC AC AJC : cos J 2 sin J JA.JC a 2 2 2 .a 1 a a2 S AJC JA.JC.sin J a 2 2 3a 21.a d D, ACJ 24.a Từ đó ta tính được: Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA tạo với đáy góc 60o Tam giác ABC vuông o B, ACB 30 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mp(SAB) GIẢI: (SGB) và (SGC) cùng v/góc mp đáy nên SG v/góc mp đáy SAG 60 Gọi I là t/điểm BC, ta có: Sa 3a AG 3a 9a , AI AG , 2 3.a ; AB x AC 2 x, BC x vABI : AI AB BI 81a 3x x 2 x 16 4 81a 9a x x a 7.4 14 9a 1 9a S ABC BC AB 2 14 14 Do đó: SG Hay là: S ABC x 81a x 3.x 2 56 (9) VABC 1 3.a 81a 243a SG.S ABC 3 56 112 Vậy: * Tính d (C,(SAB)): Cách 1: Vẽ GK // CB; K AB GK AG 2 1 9a GK BI BC BI AI 3 3 14 3a 21 14 GH SK ; H SK GH SAB GH d G , SAB GK # Kẻ 1 1.142 1.4 142 28 32 2 2 GH GK GS 9a 21 27 a 9.3.7 a 27 a 3a 3a GH # Mặt Khác: d C , SAB d G , SAB Vậy: CE 3 GE d C , SAB 3.d G , SAB 3 9a Cách 2: Dựa vào cách 1, tính 3a 21 1 9a 27 9.21.a 2 GK S SAG SK AB SG GK AB 14 2 14 142 54 9a 27 a a 14 28 (10) d C , SAB 3.VSAB 243a 28 9a 3 S SAB 112 27.a Bài 11: Gọi O = AC BD Do hai mp (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) => SO (ABCD) * Gọi M là trung điểm AB, I là trung điểm AM DO tam giác ABC là tam giác cạnh a, nên CM AB, OI AB a a OM = , OI = AB OI AB SOI AB SI AB SO * Nên SIO 30 (góc mp (SAB) & (ABCD) o a * Tam giác vuông SOI, IO = => a 4, 1 a a a3 SO.S ABCD 4 24 SI = VSABCD= Bài 12: Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên (ABCD), M là trung điểm AB và tam giác AB SM AB SH SAB cân S nên => AB (SMH) , ABCD SAH SA 45o SA SH , MH SMH 60 * SAB , ABCD SM * o => SM = SH * Từ N kẻ NP SM thì NP là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng CD và SA => NP = a * Tam giác vuông NPM là nửa tam giác => NP = a , MN = a => AB = MN = a * Trong tam giác vuông SMA: SM2 + MA2 = SA2 (11) SH a => SH => 4 2 2 SH a SH a SH a 3 1 3a SH S ABCD a 3SA 3 Vậy VSABCD= Bài 13: Cách 1: Qua A kẻ đường thẳng song song với BN, cắt CB E Gọi H = AB EN Kẻ MH//SA Suy MH (ABCD) = MH là đường cao hình chóp M.ANBE Ta có MH = a SA 2 1 SANBE = 2SABN = MH.SANCE= MH.2SABN BS 1 AS AB 2a a 2 Ta lại có AM = AE = BN = a CB (SAB) = CB SB Suy tam giác SBE vuông B = ME = BE BM Tam giác EMA cân E =>S a a a a a2 a =2 BN // AE d BN , AM d BN , AME d N , AME AM ( AME ) 3VN AME 3.VM ANE S S AME AME = .VM ANBE a3 a 21 S AME a 7 (12) a 21 Vậy d(AM, BN) = Cách 2: (Phương pháp tọa độ): a a 3 ;0; 2 a A(0;0;0); B(a;0;0); S(0;0; ) ; N(0;a;0) => M a a 3 AM ;0; a 1;0; 2 = BN a; a;0 a 1; 1;0 u1 1;0; AM qua A(0;0;0), u2 1; 1;0 BN qua B(a;0;0), AB a;0;0 u1 ; u2 3; 3; u1 ; u2 AB a u2 , u1 AB a a 21 d AM , BN 7 u1 , u2 -Bài 14 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Góc BAC 600 , hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng ABCD trùng với SAC hợp với mặt phẳng ABCD góc trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt SCD phẳng GIẢI : * Tính thể tích khối chóp S ABCD + Gọi h là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD SH ABCD , tam giác ABC + Theo đề, suy ra: là tam giác cạnh a, BO DO a a ; HO BO AC OB AC SBO AC SO AC SH SOB 600 (góc mp SAC và ABCD ) (13) HO + SHO là nửa tam giác đều, biết SH HO a a 1 a2 S ABCD AC.BD a.a 2 * Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: 1 a a a3 VS ABCD SH S ABCD 3 2 12 * Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng + Trong mặt phẳng (SBD), kẻ OE // SH, ta có: SCD OE DO 3 a 3a a a OE SH OC ; OD SH DH 4 ; 2 OF CD CD EOF + Trong mặt phẳng (OCD), kẻ OF + Trong tam giác EOF vuông O, kẻ + Vì O là trung điểm BD, + Ta có: OI OI * Vậy OE OI EF OI ECD ECD SCD d B, SCD 2d O, SCD 2OI OF OE 3a 112 d B, SCD 2OI 6a 112 OC OD 64 4 112 9a a 3a 9a (14)