a Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó.. c Giả sử MNP đều.[r]
(1)UBND HUYỆN LAI VUNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP DỰ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 01/02/2015 (Đề thi gồm 02 trang) Câu 1: (3,0 điểm) x 1 : với x , x x x x x x x Cho biểu thức P a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (5,0 điểm) a) Cho biểu thức a ab b , với a 0; b Hãy tính giá trị biểu thức M a b a ab 2b b) Với giá trị nào x thì biểu thức A 1 có nghĩa 7 5x 4x 12x c) Cho hai số dương x, y thỏa x y3 x y Chứng minh rằng: x2 + y2 <1 Câu 3: (4,0 điểm) x y 1 a) Giải hệ phương trình: x y 1 1 b) Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn thì sau bể đầy nước Nếu chảy riêng thì vòi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai Hỏi chảy riêng thì vòi phải bao lâu chảy đầy bể? Câu 4: (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a E là điểm nằm A và B, đường thẳng CE cắt đường thẳng AD I Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với CE cắt đường thẳng AB K, P là trung điểm IK a) Chứng minh tam giác APC cân Khi E di động trên đoạn AB thì P di động trên đường thẳng cố định nào? b) Cho BE = x Tính BK, CK, IK và diện tích tứ giác ACKI theo a và x (2) Câu 5: (4,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) không qua tâm O cắt đường tròn (O) tai hai điểm phân biệt A,B Điểm M di động trên (d) và nằm ngoài (O), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường tròn đó b) Chứng minh rằng: MA.MB MN c) Giả sử MNP Khi đó tính độ dài OM và diện tích MNP theo R d) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp MNP thuộc đường thẳng cố định M di động trên (d) - HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm (3) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG Câu a) b) HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP DỰ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN Nội dung Với x , x ta có: x 1 P : x x x x x x x x x x = . x 1 x x x(x x 1) = x( x 1) x 1 (x x 1) = ( x 1)(x x 1) x = x 1 + P nhận giá trị nguyên (x – 1) là ước hay x 1 x 1 a) + Kết hợp điều kiện có kết : x = Với a 0; b Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a ab 6b a ab ab b a ( a b ) b ( a b ) 0,5 ( a b )( a b ) a b ( vì ( a b ) ) a b ab 9b b 10b M 1 a ab 2b 9b 9b 2b 10b Vậy M = b) 0,5 0, 7 5x A có nghĩa 4x 12x x (2x 3)2 x 2x 0,5 0,5 0,25 (4) Câu Nội dung Điểm 0,25 x x / Vậy A có nghĩa x c) và x Do x, y dương và x y x y nên x – y> và xy > 3 3 2 x y x y x y ( x y )( x y xy ) x y xy x y hay x y a) x y (1) (2) x y 1 Từ phương trình (2) y 1 x nên x 1 Thế vào phương trình (1): x 2(1 x) x x vì x 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 x 3 b) Thay x=-3 vào phương trình (2) y=3, y=-1 Vậy nghiệm hệ là (-3;3); (-3;-1) 0,75 0,25 + Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ chảy riêng đầy bể, suy thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là (x – 3) Điều kiện x> + Trong giờ: 0,5 (bể) x Vòi thứ hai chảy (bể) x 3 Vòi thứ chảy 0,5 +Cả hai vòi chảy sau bể đầy nên ta có phương trình: x 1 1 x 7x (x 1)(x 6) x x 3 x + So điều kiện nhận x = Vậy thời gian vòi thứ chảy đầy bể là giờ, vòi thứ hai là D C E A B K P I 0,5 (5) Câu a) Nội dung Chứng minh tam giác APC cân Ta có : Điểm IK IK + CIK vuông C có CP là trung tuyến nên CP 0,5 + Suy CP = AP Tam giác APC cân P + P thuộc trung trực đoạn thẳng AC cố định 0,25 0.25 + AIK vuông A có AP là trung tuyến nên AP b) 0.5 BC BE a(a x) AI AI AE x + CID CKB (DC = BC và DCI = BCK) a(a x) a ID BK AD AI a và CI = CK x x a + CBK vuông B: CK BC BK CK a x x a 2(a x ) + CIK vuông cân C: IK CK x 1 + SACKI SACI SCIK AI.CD CK (SACI = SICD – SACD) 2 a(a x) 1a a (x a) a a2 x2 SACKI x 2x 2x + BC / /AI 0,5 0,5 0,5 0,5 P O I H d A K M B N a) b) + Theo tính chất tiếp tuyến: MN ON và MP OP + N và P cùng nhìn OM góc vuông nên tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn đường kính MO, tâm I là trung điểm OM Chứng minh rằng: MA.MB MN + MBN MNA ( Vì BMN chung, BNM=MAN) + c) MN MB MN MA.MB MA MN 0,5 0,5 0,5 + Luôn có MNP cân M (Vì có MN = MP) 600 NMO 300 + MNP NMP + Sin NMO 0,5 NO MO 2R MO + MN OM ON R SMNP R 0,5 0.5 3 3R 4 0.5 (6) Câu d) Nội dung + Tâm đường tròn ( MNP ) là I Kẻ OK (d), IH OK IH / /(d) (K, H là chân các đường vuông góc) + I là trung điểm MO suy H là trung điểm OK OK ( không đổi vì OK không đổi) + Vậy I thuộc đường thẳng (d ') / /(d) và cách (d) khoảng Điểm 0,25 0,25 + OH 0,25 l OK 0,25 Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa (7)