HHKG ON THI QG 2016

Chứng minh SAC vuông góc với ABCD Chứng minh tam giác SAC vuông Tính khoảng cách từ S đến ABCD Giải a Chứng minh SAC vuông góc với ABCD Gọi O là tâm của hình thoi ABCD... “Trong một tam [r]

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông (ABC) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) Cho tam giác ABC vuông B Lấy điểm S nằm ngoài (ABC) cho SA vuông (ABC) Cho tam giác ABC vuông B, kẻ tia Ax vuông góc (ABC) Lấy điểm S trên tia Ax Góc hợp SB và mặt phẳng (ABC) Do SA ⊥(ABC ) ⇒ AB là hình chiếu vuông góc SB lên (ABC) ⇒ góc hợp SB và (ABC) là góc Góc hợp SC và mặt phẳng (ABC) Do SA ⊥(ABC ) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc SC lên (ABC) ⇒ góc hợp SB và (ABC) là góc CMR: tam giác SBC vuông  BC  AB  BC  SB   BC  SA (định lí ba đường vuông góc) ⇒ SBC vuông B  SBA  SCA Góc hợp SC và mặt phẳng (SAB)  BC  AB  BC   SAB    BC  SA ⇒ SB là hình chiếu vuông góc SC lên (SAB)  ⇒ góc hợp SC và (SAB) là góc CSB Góc hợp SB và mặt phẳng (SAC) Gọi E là hình chiếu vuông góc B lên AC  BE  AC  BE   SAC    BE  SA ⇒ SE là hình chiếu vuông góc SB lên (SAC)  ⇒ góc hợp SB và (SAC) là góc BSE Góc hợp (SBC) và mặt phẳng (ABC)  SBC    ABC    AB  BC  SB  BC   Góc hợp (SBC) và (SAC) là góc tạo hai  đường thẳng SB và AB là SBA Tính thể tích khối SABC 1 VABC  SA.SABC  SA AB AC Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua điểm S, A, B, C Cách Gọi I là trung điểm SC SAC  A  IA IS IC  1 (dựa vào câu 3) SBC  B  IA IS IC  2 Từ (1) và (2) suy IA IS IB IC  I là tâm mặt cầu qua điểm S, A, B, C Với bán R  SC kính Cách 2: (thực bước tổng quát) Gọi M là trung điểm SB, N là điểm trên SC cho NS 2 NC Tính thể tích khối AMNCB VSAMN SM SN    V SB SC 3 SABC Ta có: 10 Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng (P) qua AG và song song BC, cắt SB, SC M, N Tính thể tích khối AMNCB Gọi K là trung điểm BC G là trọng tâm tam giác SBC Trong tam giác SBC qua G kẻ song song BC, cắt SB M, SC N VSAMN  VSABC  VAMNCB  VSABC 3 MN  BC MSN2G  SBC3I Ta có: VSAMN SM SN   VSABC SB SC VSAMN  VSABC  VAMNCB  VSABC 9 11 Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A lên SB và SC Tính tỉ lệ thể tích chóp SABC chia (AHK) SAB vuông A SH SH SB SA2   SB SB SA2  AB SAC vuông A SK SK SC SA2   SC SC SA2  AC VSAHK SH SK    V SB SC  SABC Ta có:   VSAHK  VSABC   VAHKCB   VSABC   12 Tính d  A;  SBC   VSAHK   VAHKCB    Cách 1: Gọi H là hình chiếu A lên SB   AH  SB    BC   SAB   AH  AH  BC  AH   SBC   d  A;  SBC    AH Tính AH các công thức sau:  1 SA2 AB    AH  AH SA2 AB SA2  AB AB AC  AH BC  AH    sin SBA   AB AC BC AH   AH  AB.sin SBA AB Cách 2: VSABC  d  A;  SBC   S ABC  d  A;  SBC    13 Tính d  C ;  SAB   BC   SBC  3.VSABC SA AB AC  SSBC SB.BC (ý 3)  d  C ;  SAB   BC 14 Tính d  B;  SAC   Gọi E là hình chiếu vuông góc B lên AC  BE  AC    BE   SAC   BE  SA d  B;  SAC   BE (tính BE ý 12) 15 Tính d  SA; BC   AB  SA  d  SA; BC   AB   AB  B 16 Tính d  SB; AC  Gọi P cho PACB là hình bình hành AC / / BP, BP   SBP   d  AC ; SB  d  AC ;  SBP   d  A;  SBP   Gọi K là hình chiếu A lên BP, H là hình chiếu A lên SK AH  AK (1)  BP  AK  BP   SAK   AH   BP  SA  AH  BP (2) Từ (1) và (2) 17 Tính d  SC ; AB  AH   SBP   d  A;  SBP    AH Gọi P cho ABCP là hình bình hành  Vì ABC 90  ABCP là hình chữ nhật AB / / CP, CP   SCP   d  AB; SC  d  AB;  SCP   d  A;  SCP   Gọi H là hình chiếu A lên SP AH  SP (1) CP  AP  CP   SAP   AH  CP  SA  AH  CP (2) Từ (1), (2) AH   SCP   d  A;  SCP    AH 18 Tính d  Q;  SBC   Q thuộc AB cho AQ nQB Ta có:  QA   SBC  B d  Q;  SBC   d  A;  SBC     d  Q;  SBC    QB QA QB d  A;  SBC   QA Bài toán quay ý 12 19 Tính d  G;  SBC   G là trọng tâm cùa tam giác SAB Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB GM   SBC  S  d  G;  SBC   d  M ;  SBC    GS  MS  d  G;  SBC    d  M ;  SBC   (1) AM   SBC  B  d  A;  SBC   d  M ;  SBC    AB 2 MB  d  M ;  SBC    d  A;  SBC   (2) d  G;  SBC    d  A;  SBC   Từ (1), (2) suy Bài toán quay ý 12 Áp dụng thực tế AB a, BC a 2, AB a AB BC a, SB a AB a, BC a , góc hợp SB và (ABC) là 600 AB a, AC a 5, góc hợp SC và (SAB) là 300 AB a, AC a 5, d  A;  SBC    a Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông SA   ABCD  , O  AC  BD Cột thứ gợi ý Các em phải nắm rõ bài để trình bày và lý luận Góc hợp SB và mặt phẳng (ABCD)  SB;  ABCD   SBA Góc hợp SC và mặt phẳng (ABCD)  SC;  ABCD   SCA Góc hợp SD và mặt phẳng (ABCD)  SD;  ABCD   SDA Góc hợp SC và mặt phẳng (SAB)  SC;  SAB   CSB Góc hợp SC và mặt phẳng (SAD)  SC;  SAD   CSD Góc hợp mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD)   SBC  ;  ABCD   SBA  Góc hợp mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)   SCD  ;  ABCD   SDA  Góc hợp mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD)   SBD  ;  ABCD   SOA  Góc hợp mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SAB) Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB Cách 1:  SAB    SBC  SB   AH  SB  BC  SB   SBC  ;  SAB    AH ; BC  Cách 2:   AH   SBC     AD   SAB   SBC  ;  SAB    AH ; AD  10 Góc hợp mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SAD) Tương tự ý 11 Góc hợp mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SCD) Cách 1:  ; AB   SBC  ;  SAB    AH ; CD   AH Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên SC (khi đó H là hình chiếu vuông góc D lên SC)  ; DH   SBC  ;  SCD    BH Cách 2: Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A lên SSB, SD  SBC  ;  SCD    AM ; AN  12 Tính thể tích các khối:… 1 VSABCD  SA.S ABCD  SA AB ; 3 VSABC VSABD VSACD VSDCB  VSABCD 13 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Gọi I là trung điểm SC SAC vuông A  IA IS IC  1 SBC vuông B  IB IS IC  2 SCD vuông D  ID IS IC  3 Từ (1), (2) và (3) suy IA IB IC IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R  SC SABCD với bán kính 14 Tính d  A;  SBC   Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB 15 Tính d  A;  SCD   Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD 16 Tính d  A;  SBD   d  B;  SCD   d  A;  SCD    AH Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SO 17 Tính d  A;  SBC    AH d  A;  SBD    AH Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do AB / /  SCD  d  B;  SCD   d  A;  SCD    AH d M ; SCD   18 Tính   với M thuộc AB Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do AB / /  SCD  , M  AB d  M ;  SCD   d  A;  SCD    AH 19 Tính d  O;  SCD   Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do  AO   SCD  C d  A;  SCD   d  O;  SCD    AC 2 OC  d  O;  SCD    AH d P; SCD   20 Tính   với P là trung điểm BO Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do  PB   SCD  O d  P;  SCD   d  B;  SCD    PO  BO  d  P;  SCD    d  B;  SCD   Do AB / /  SCD   d  A;  SCD   d  B;  SCD   d  P;  SCD    d  A;  SCD   Vậy: d G; SCD   21 Tính   với G là trọng tâm tam giác SAB Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD M là trung điểm AB d  G;  SCD    d  M ;  SCD   d  M ;  SCD   d  A;  SCD    d  G;  SCD    AH 22 Tính d  SB; AD  Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB 23 Tính d  AB; SC  d  SB; AD   AH Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên SC d  AB; SC  BH Cách 2: Gọi K là hình chiếu vuông góc A lên SD AB / /  SCD   d  AB; SC  d  AB;  SCD   d  A;  SCD    AK 24 Tính d  BD; SC  Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên SC 25 Tính d  SC ; AD  d  BD; SC  OH Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB AD / /  SCB   d  AD; SC  d  AD;  SCB   d  A;  SCB    AH 26 Tính d  SB; CD  d  SB; CD   AD d BM ; CD Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông góc O lên AK  27 Tính  Với M là trung điểm SC CD / / AB   MAB   CD / /  MAB   d  CD; BM  d  CD;  MAB   d  C ;  MAB   1  d  O;  MAB    OH 2 28 Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc A lên SB, SC, SK CMR: A, H, I, K đồng phẳng Tính thể tích khối chóp SAHIK  SC  AH  SC   AHK   Gợi ý:  SC  AK Mà AI  SC  AI   AHK  Ta có: VSAHI SH SI SA2 SA2    VSABC SB SC SA  AB SA2  AC  VSAHI VSABC  2VSAHI 2VSABC  VSAHIK VSAB 29 Gọi G là trọng tâm tam giác SBD (P) qua AG song song BD cắt SB, SC, SD M, N, Q Tính thể tích khối chóp SAMNQ VSAMN SM SN   VSABC SB SC 1  VSAMN  VABC  2VSAMN  2VSABC 3  VSAMNQ  VSABCD Áp dụng thực tế AB a, SB a AB 2a , góc hợp SC và mặt phẳng (ABCD) là 450 AB a , góc hợp mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là 300 AB a , góc hợp SC và mặt phẳng (SAB) là 600 Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật SA   ABCD  , O  AC  BD Cột thứ gợi ý Các em phải nắm rõ bài để trình bày và lý luận Góc hợp SB và mặt phẳng (ABCD) Hình tương tự bài  SB;  ABCD   SBA Góc hợp SC và mặt phẳng (ABCD) Hình tương tự bài  SC;  ABCD   SCA Góc hợp SD và mặt phẳng (ABCD) Hình tương tự bài  SD;  ABCD   SDA Góc hợp SC và mặt phẳng (SAB) Hình tương tự bài  SC ;  SAB   CSB Góc hợp SC và mặt phẳng (SAD) Hình tương tự bài  SC;  SAD   CSD Góc hợp mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) Hình tương tự bài   SBC  ;  ABCD   SBA  Góc hợp mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) Hình tương tự bài   SCD  ;  ABCD   SDA  Góc hợp mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) Hình tương tự bài   SBD  ;  ABCD   SOA  Góc hợp mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SAB) Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB Cách 1:  SAB    SBC  SB   AH  SB  BC  SB   SBC  ;  SAB    AH ; BC  Cách 2:   AH   SBC     AD   SAB   SBC  ;  SAB    AH ; AD  10 Góc hợp mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SAD) Hình tương tự bài Tương tự ý 11 Góc hợp mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SCD) Hình tương tự bài Cách 1:  ; AB   SBC  ;  SAB    AH ; CD   AH Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên SC (khi đó H là hình chiếu vuông góc D lên SC)  ; DH   SBC  ;  SCD    BH Cách 2: Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A lên SSB, SD  SBC  ;  SCD    AM ; AN  12 Tính thể tích các khối: … 13 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD 1 VSABCD  SA.S ABCD  SA AB ; 3 VSABC VSABD VSACD VSDCB  VSABCD Hình tương tự bài Gọi I là trung điểm SC SAC vuông A  IA IS IC  1 SBC vuông B  IB IS  IC  2 SCD vuông D  ID IS IC  3 Từ (1), (2) và (3) suy IA IB IC IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD R  SC với bán kính 14 Tính d  A;  SBC   Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB d  A;  SBC    AH 15 Tính d  A;  SCD   Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD d  A;  SCD    AH 16 Tính d  A;  SBD   Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SO d  A;  SBD    AH 17 Tính d  B;  SCD   Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do AB / /  SCD  d  B;  SCD   d  A;  SCD    AH d M ; SCD   18 Tính   với M thuộc AB Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do AB / /  SCD  , M  AB d  M ;  SCD   d  A;  SCD    AH 19 Tính d  O;  SCD   Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do  AO   SCD  C d  A;  SCD   d  O;  SCD    AC 2 OC  d  O;  SCD    AH d P; SCD   20 Tính   với P là trung điểm BO Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD Do PB   SCD  O  d  P;  SCD   d  B;  SCD    PO  BO  d  P;  SCD    d  B;  SCD   Do AB / /  SCD   d  A;  SCD   d  B;  SCD   d  P;  SCD    d  A;  SCD   Vậy: d G; SCD   21 Tính   với G là trọng tâm tam giác SAB Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SD M là trung điểm AB d  G;  SCD    d  M ;  SCD   d  M ;  SCD   d  A;  SCD    d  G;  SCD    AH 22 Tính d  SB; AD  Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB d  SB; AD   AH 23 Tính d  AB; SC  Hình tương tự bài Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên SC d  AB; SC  BH Cách 2: Gọi K là hình chiếu vuông góc A lên SD AB / /  SCD   d  AB; SC  d  AB;  SCD   d  A;  SCD    AK 24 Tính d  BD; SC  Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên SC d  BD; SC  OH 25 Tính d  SC ; AD  Hình tương tự bài Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SB AD / /  SCB   d  AD; SC  d  AD;  SCB   d  A;  SCB    AH 26 Tính d  SB; CD  Hình tương tự bài d  SB; CD   AD d BM ; CD Hình tương tự bài Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông góc O lên AK  Với 27 Tính  M là trung điểm SC CD / / AB   MAB   CD / /  MAB   d  CD; BM  d  CD;  MAB   1 d  C ;  MAB    d  O;  MAB    OH 2 28 Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc A lên SB, SC, SK CMR: A, H, I, K đồng phẳng Tính thể tích khối chóp SAHIK Hình tương tự bài  SC  AH  SC   AHK   SC  AK  Gợi ý: Mà AI  SC  AI   AHK  VSAHI SH SI  VSABC SB SC Ta có:  SA2 SA2  SA2  AB SA2  AC  VSAHI VSABC  2VSAHI 2VSABC  VSAHIK VSABCD 29 Gọi G là trọng tâm tam giác SBD (P) qua AG song song BD cắt SB, SC, SD M, N, Q Tính thể tích khối chóp SAMNQ Áp dụng thực tế AB a, SB a Hình tương tự bài VSAMN SM SN   VSABC SB SC 1  VSAMN  VABC  2VSAMN  2VSABC 3  VSAMNQ  VSABCD AB 2a, SB a , góc hợp SC và mặt phẳng (ABCD) là 450 AB a, SB a , góc hợp mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là 300 AB a, SB a , góc hợp SC và mặt phẳng (SAB) là 600 Bài 4: Cho hình chóp tam giác SABC M là trung điểm BC, O là tâm tam giác ABC Góc hợp cạnh bên và mặt đáy  ;  ABC  SAO    SA Góc hợp mặt bên và mặt đáy   SBC  ;  ABC   SMA Thể tích khối chóp SABC VSABC  SO.S ABC  SO AB 12 Tính Cách 1: d  A;  SBC   d  B;  SAC   d  C;  SAB   d  A;  SBC    3VSABC S SBC Cách 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên SM d  A;  SBC   3d  O;  SBC   3OH Tính d  SA; BC  Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên SA d  SA; BC  d  M ; SA  MH d  SB; AC  d  SC ; AB  Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC SO là trục tam giác ABC Gọi N là trung điểm SA Dựng mặt phẳng trung trực SA cắt SO I  IA IB IC IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính R IS Cách 1: NSI OSA   R IS  IS NS  SA SO SA2 2SO Cách 2: R IS  SN  cos NSI Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp SABC Chóp SABC nội tiếp hình nón có bán kính R OA ; chiều cao h SO và đường sinh Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp chóp SABC Chóp SABC nội tiếp hình trụ có bán kính R OA ; chiều cao h SO l SA Vnon  SO. OA2 Vtru SO. OA2 Gọi E là trung điểm AB Tính d  EC ; SB  Gọi P cho BECP là hình bình hành CE vuông AB nên BECP là hình chữ nhật Kẻ gọi K thuộc BP cho OK song song EB Gọi H là hình chiếu O lên SK d  EC ; SB  d  EC ;  SBP   d  EC ;  SBP   d  O;  SBP   OH 10 Gọi E là trung điểm AB Tính d  EC ; BC  Gọi F là trung điểm AC K giao điểm AM với EF H là hình chiếu O lên SK d  EC ; BC  d  BC ;  SEF   d  C;  CEF   3d  O;  SEF   3OH Áp dụng thực tế Cạnh đáy a, cạnh bên a Cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc là 60 Cạnh đáy 2a, mặt bên hợp với mặt đáy góc là 30 Cạnh đáy a , mặt bên hợp với mặt đáy góc là 30 Cạnh đáy a, diện tích tam giác SAC 4a Cạnh đáy 2a, khoảng cách từ A đến (SBC) là a Bài 5: Cho hình chóp tứ giác SABCD M là trung điểm CD, O là tâm ABCD Góc hợp cạnh bên và mặt đáy  ;  ABCD  SAO    SA Góc hợp mặt bên và mặt đáy   SBC  ;  ABCD   SMO Thể tích khối chóp SABCD 1 VSABCD  SO.S ABCD  SO AB 3 Tính d  A;  SCD   Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên SM d  A;  SBC   d  A;  SCD   2d  O;  SCD   2OH d  B;  SCD   d  B;  SAD   Tính d  SA; BC  d  SA; CD  d  SB; CD  d  SB; AD  Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên SM d  SB; CD  d  SB;  SCD   d  B;  SCD   2d  O;  SCD   2OH  Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD SO là trục ABCD Gọi N là trung điểm SA Dựng mặt phẳng trung trực SA cắt SO I  IA IB IC ID IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD, bán kính R IS Để tính IS ta dùng Cách 1: NSI OSA   R IS  SA2 2SO IS NS  SA SO Cách 2: R IS  SN  cos NSI Cạnh đáy a, cạnh bên a Cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc là 60 Cạnh đáy 2a, mặt bên hợp với mặt đáy góc là 30 Bài 6: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc (tứ diện vuông OABC) Góc hợp bởi:  AB;  OAB   ABO;  AC;  OBC   ACO;  ;  OAB  BCO   ;  BC Góc hợp (ABC) và (OBC) Gọi E là hình chiếu vuông góc Thể tích khối OABC 1 VOABC  OA.SOBC  OA.OB.OC Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên (ABC) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC Kẻ AH cắt BC E Do H là hình chiếu vuông góc O lên (ABC) nên OH  AE Suy BC  AH nên AH là đường cao tam giác ABC ABC  ;  OBC   AEO  O lên BC Tương tự cho BH; CH Vậy H là trực tâm tam giác ABC Chú ý:  d  O;  ABC   OH  1 1  2  2 OH OA OB OC Áp dụng thực tế OA a; OB b; OC c Bài 7, Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi O là giao điểm AC và BD Hình chiếu S lên (ABCD) là H thuộc AB cho AH 2 BH Tính thể tích khối chóp SABCD Tính d  H ;  SCD   d  A;  SCD   d  B;  SCD   d  M ;  SCD   M  AB VSABCD  SH S ABCD Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên CD J là hình chiếu vuông góc H lên SK d  H ;  SCD   HJ Tính Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên CD J là hình chiếu vuông góc H lên SK d  O;  SCD   1 d  O;  SCD    d  B;  SCD    OH 2 Tính Kẻ đường thẳng d qua D song HC Gọi K là hình chiếu vuông góc H lên đường thẳng d J là hình chiếu vuông góc H lên SK d  HC ; SD  d  HC ; SD  d  HC ;  SKD   d  H ;  SKD   HJ BÀI TẬP HƯỚNG DẪN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy , SA = a a) b) c) d) e) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông CMR (SAC)  (SBD) Tính góc SC và mp ( SAB ) Tính góc hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) Tính d(A, (SCD)) Giải a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông  Ta có : SA   ABCD   SA  AD, SA  AB  SAD, SAB vuông A  Chứng minh SBC vuông : Ta có : BC  AB ( Hai cạnh kề hình vuông ABCD ) BC  SA ( vì SA   ABCD  )  BC   SAB  SB   SAB   BC  SB , mà  SBC vuông B  Chứng minh SCD vuông : Ta có : CD  AD ( Hai cạnh kề hình vuông ABCD ) CD  SA (Vì SA   ABCD  )  CD   SAD  SD   SAD   CD  SD , mà  SCD vuông D b) CMR (SAC)  (SBD) : BD  AC (Hai đường chéo hình vuông ABCD ) BD  SA ( Vì SA   ABCD  )  BD   SAC  BD   SBD    SAC    SBD  , mà c) Tính góc SC và mp ( SAB ) :  Do BC   SAB  B nên hình chiếu C lên (SAB) là B  Hình chiếu SC lên (SAB) là SB      ,  SAB   SC  , SB CSB   SC  Trong SAB vuông A, ta có :  Trong SBC vuông B, ta có : SB  SA2  AB   tan CSB   a 2  a a BC a     CSB 300 SB a 3  ,  SAB  30 SC   Vậy d) Tính góc hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) : SBD  ABCD BD    Ta có :  Gọi O là tâm hình vuông ABCD, O  BD Theo chứng minh câu b) Mặc khác, AO  BD BD   SAC  , mà SO   SAC   SO  BD  , AO  AOS SBD  ,  ABCD    SO      Vậy (do AOS là góc nhọn) AC a  AO   a 2 tan AOS   Trong SAO vuông A, ta có :     SBD  ,  ABCD   AOS arctan SA a  2  AOS arctan AO a 2   Nhận xét : Để xác định góc   và   ta có thể làm theo các cách sau :  Cách : Tìm a, b cho     a     , b        ,     a , b       Cách : Nếu     thì tìm O   Từ O,   vẽ a   O ;    ,      b   vẽ O Suy  Cách : Trong trường hợp tổng quát :      Tìm     ;   a , b  (đã trình bày câu d) )     Tìm   cho   ;    a        b  Tìm     , ; Kết luận :    ,      a , b  Câu d) ta có thể trình bày cách sau :  SBD    ABCD  BD ; BD   SAC   (theo chứng minh câu b) ) SAC    SBD  SO SACBD  ,;  Ta có : SBD  ,  ABCD    AC , SO   AOS    Vậy ( Vì AOS là góc nhọn) e) Tính d(A, (SCD)) : Gọi H là hình chiếu A lên SD Ta có : AH  SD CD  AD ( Hai cạnh kề hình vuông ABCD) ; (1) CD  SA (Vì SA   ABCD  )  CD   SAD  , mà AH   SAD   CD  AH (2)  AH   SCD   d  A,  SCD    AH Từ (1), (2) H Xét SAD vuông A có AH là đường cao : Ta có : 1 1  2  2 AH AS AD a  d  A,  SCD    AH    2a a 2   AH   AH  2 a 2a 3 a Vậy Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông C và SB ¿ √2 , BC = a, SB = 3a a) Chứng minh: AC ¿ (SBC) b) Gọi BH là đường cao tam giác SBC Chứng minh: SA ¿ c) Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Giải a) Chứng minh : AC  (SBC) Ta có : AC  BC (gt) ; AC  SB (Vì SB   ABC  ) ;  AC   SBC  b) Chứng minh : SA ¿ BH BH (ABC), biết AC = a Để chứng minh SA ¿ Ta có : BH  SC (gt) BH ta chứng minh (1) Theo chứng minh trên , AC   SBC   BH  SAC mà BH   SAC  BH   SBC   BH  AC (2) SA  SAC  BH  SA   , mà   Từ (1) và (2) c) Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) SB  ABC   B nên hình chiếu S lên (ABC) là B Do  Hình chiếu SA lên (ABC) là BA      ,  ABC   SA  , BA SAB   SA 2 2  Trong ABC vuông C, ta có : AB  BC  AC  a  2a a  Trong SBA vuông B, ta có :  tan SAB  SB 3a     SAB 60 AB a  ,  ABC  SAB  SA 60   Vậy  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 và SA=SB = SD = a a) b) c) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) Chứng minh tam giác SAC vuông Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Giải a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) Gọi O là tâm hình thoi ABCD Ta có : SBD cân S có O là trung điểm BD nên SO  BD ABCD là hình thoi nên BD  AC ;  BD   SAC  BD  ABCD   SAC    ABCD    , mà b) Chứng minh tam giác SAC vuông Ta chứng minh SO = AO = OC  ;  Do ABD cân A có BAD 60  ABD  ABD cạnh a có AO là đường trung tuyến  AO  a 3a a a SO  SD  OD  a         SOD  Xét vuông O, ta có :  SO  AO OC  a , mà SO là đường trung tuyến SAC  SAC vuông S Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến ABC vuông A  AM MB MC “Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền” c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Xét hình chóp S.ABD : Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp ABD  SH   ABD  Gọi H là trọng tâm  SH   ABCD  (Theo tính chất hình chóp đều) H  ,dSABCDH 2 a a AH  AO   3  Vì H là trọng tâm ABD nên a 3 SH  SA  AH  a     a     Trong SHA vuông H, ta có :  d  S ,  ABCD   SH  2 a 3 2a a     3   a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác Gọi E, F là trung điểm AB và CD a) Cho biết tam giác SCD vuông cân S Chứng minh: SE ¿ (SCD) và SF ¿ (SAB) b) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên EF Chứng minh: SH ¿ c) Tính góc đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) Giải a) Chứng minh SE ¿ (SCD) và SF ¿ (SAB)  Chứng minh SE ¿ (SCD) :  Do SCD cân S có F là trung điểm CD  CD  SF Mà CD  EF (theo tính chất hình vuông)  CD   SEF  SE  SEF  SE  CD   , mà  Ta chứng minh SEF vuông S cách sử dụng định lý Pytago sau : SCD vuông S có SF là đường trung tuyến nên a SF  CD  2 SAB cạnh a có SE là trung tuyến nên SE  a (1) AC EF = a  a   a  3a a SE  SF   a EF      2 4     Ta có : Vậy SEF vuông S  SE  SF 2 (2)  SE  SCD   Từ (1) và (2)  Chứng minh SF ¿ (SAB) : Theo chứng minh trên, SF  SE (3) CD   SEF  (4) , mà AB // CD  AB   SEF   SF  AB  SF  SAB   Từ (3) và (4) b) Chứng minh SH ¿ Ta có : CD   SEF  AC (theo chứng minh trên), mà SH   SEF   SH  CD SH   ABCD  Hơn nữa, SH  EF (gt)  AC  ABCD    SH  AC Mà c) Tính góc đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) (câu khó - các em học sinh đọc tham khảo) Gọi O là tâm hình vuông ABCD Theo tính chất hình vuông ABCD, ta có AC, BD và EF đồng quy O Vì SE  SF nên H thuộc đoạn OF  Trong mặt phẳng (ABCD), qua H vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD, OD M và K Vậy góc BD và mặt phẳng (SAD) là góc KD và (SAD) Ta tìm hình chiếu K lên (SAD) SH   ABCD   AD   SHM    SAD    SHM  Ta có : AD  MH , AD  SH (do )  SAD    SHM  SM  KP  SAD   P  Vẽ KP  SM ( P  SM ) Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng  Hình chiếu K lên (SAD) là P  Hình chiếu KD lên (SAD) là PD   ,  SAD   KD     , PD  KDP  BD,  SAD    KD   Để tìm góc KDP ta tìm KD và KP  SEF vuông S có SH là đường cao nên ta có : 1 1 1 4 16 3a a  2         SH   SH  2 3a a SH SE SF 3a a 3a 16 a 3 a     4    SEH vuông H nên ta có : OH EH  OE   EH  SE  SH  3a 3a 9a 3a    16 16 3a a a a a a    HF OF  OH    4 4  H là trung điểm OF, mà HK // DF nên HK là đường trung bình FOD 1 a a  KD  OD    K là trung điểm OD 2 (do BD a ) 1 a a a a a HK  DF   MK MH  HK     K 2 4, 4  là trung điểm MH  Trong (SHM), vẽ HQ  SM ( Q  SM ), mà KP  SM  KP / / HQ mà K là trung điểm MH nên MHQ  KP  HQ KP là đường trung bình  SHM vuông H có HQ là đường cao, ta có : 1 1 1 16 28 3a a  2         HQ   HQ  2 2 3a a HQ HS HM 3a a 3a 28  a 3  a     16   a a  KP   2 7 a KP   sin KDP     KDP 27 035' KD a 14  Trong KPD vuông P, ta có :   BD,  SAD  KDP 27035' Vậy   Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD) và SA = 2a a) Chứng minh (SAC )  (SBD ) ; (SCD )  (SAD ) b) Tính góc SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC); c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Giải a) Chứng minh (SAC )  (SBD) ; (SCD )  (SAD ) SAC  SBD   :  Chứng minh  Ta có : BD  AC (Hai đường chéo hình vuông ABCD) ; BD  SA (do SA   ABCD  ) ;  BD   SAC  BD   SBD    SAC    SBD  , mà SCD  SAD   :  Chứng minh  Ta có : CD  AD (Hai cạnh kề hình vuông ABCD) ; CD  SA (do SA   ABCD  ;  CD   SAD  CD   SCD    SCD    SAD  , mà b) Tính góc SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC)  Tính góc SD và (ABCD) SA  ABCD   A nên hình chiếu S lên mp (ABCD) là A Ta có :  Hình chiếu SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD  ,  ABCD   SD  SD    , AD  SDA   Trong SAD vuông A,  tan SDA  SA 2a   2  SDA arctan AD a  ,  ABCD  SDA  SD arctan   Vậy  Tính góc SB và (SAD) BA  SA, BA  AD  BA  SAD   A nên hình chiếu B lên (SAD) là A Ta có :  Hình chiếu SB lên mặt phẳng (SAD) là SA  ,  SAD   SB     , SA BSA  SB  Trong SAB vuông A,  tan BSA  AB a 1     BSA arctan SA 2a 2  ,  SAD  BSA  SB arctan   Vậy  Tính góc SB và (SAC) Gọi O là tâm hình vuông ABCD BD  SAC   O nên hình chiếu B lên (SAC) là O Theo chứng minh trên  Hình chiếu SB lên (SAC) là SO      ,  SAC   SB  , SO BSO   SB a BD a  BO  BD  2  SB  SA2  AD   SAB  vuông A nên  2a   a a a BO 1   sin BSO      BSO arcsin SB a 5 10 10  Trong SOB vuông O, ta có :  ,  SAC  BSO  SB arcsin 10 Vậy   c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Tính d(A, (SCD)) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SD Ta có : AH  SD Theo chứng minh câu a, CD   SAD  mà AH   SAD   AH  CD    H  SAD vuông A có AH là đường cao, ta có :  AH   SCD   d A, SCD  AH 1 1 4a 2a       AH   AH  2 AH AD AS a 4a 4a 5 d  A,  SCD    AH  2a Vậy Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với thì đường thẳng nào nằm mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng AH   SCD  Trong ý trên, (SAD)  (SCD) và có giao tuyến là SD nên kẽ AH  SD thì Tính d(B,(SAC)) Theo chứng minh trên BD   SAC   d  B,  SAC   BO  a 2 O nên hình chiếu B lên (SAC) là O  Bài Hình chóp S.ABC ABC vuông A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC) a) CM: SB  (ABC) b) CM: mp(BHK)  SC c) CM: BHK vuông d) Tính cosin góc tạo SA và (BHK) Giải Nhận xét : Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng đó, tức là :         d        ;          Ta có : d    a) CM SB  (ABC) :   SAB    SBC  SB  SAB    ABC  ;  SBC    ABC    Ta có : SB   ABC  b) CM (BHK)  SC :  SC  BK (gt)  AC  AB ( ABC vuông A) ; (1) AC  SB (do SB   ABC  )  AC   SAB  BH   SAB   BH  AC mà , mặc khác BH  SA (gt)  BH   SAC  SC   SAC   SC  BH mà (2)  SC  BHK   Từ (1) và (2) c) CM BHK vuông : BH  SAC HK   SAC   BH  HK   mà Theo chứng minh câu b, Vậy BHK vuông H d) Tính cosin góc tạo SA và (BHK) :  ,  BHK   SH  ,  BHK  SA     Vì H  SA nên SC  BHK   K nên hình chiếu S lên (BHK) là K Theo chứng minh câu b,  Hình chiếu SH lên (BHK) là KH       ,  BHK   SH  ,  BHK   SH  , KH SHK   SA  HK HK AC SHK SCA   SH Ta có : SH SC  SHK vuông K nên AB AB a cos 600   BC   2a BC cos 60  BAC vuông A,  cos SHK  2 2  SBC vuông B nên SC  BS  BC  4a  4a 2 2a 2 2  AC  BC  AB  8a  a a   cos SHK  HK AC a 7 14     SH SC 2a 2 14  ,  BHK  cos SHK  cos SA  Vậy   Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên hình vuông ABCD Và M là trung điểm SC a) b) c) d) a √5 Gọi O là tâm Chứng minh: (MBD) ¿ (SAC) Tính góc SA và mp(ABCD) Tính góc hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) Tính góc hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Nhắc lại : Hình chóp là hình chóp có các cạnh bên và có đáy là đa giác Do đó, hình chóp đều, tâm đa giác đáy trùng với hình chiếu đỉnh S lên mặt đáy a) Chứng minh : (MBD) ¿ (SAC) : Vì hình chóp S.ABCD nên SO   ABCD  ; BD  ABCD  BD  SO   mà ; Hơn nữa, BD  AC (Hai đường chéo hình vuông ABCD);  BD   SAC  BD  MBD  MBD    SAC     mà b) Tính góc SA và mp(ABCD) : SO  ABCD   nên hình chiếu S lên (ABCD) là O Ta có :  Hình chiếu SA lên (ABCD) là OA      ,  ABCD   SA  , OA SAO   SA a a AC a  AO  ;   Trong SOA vuông O, ta có : SA  a AO 2   cos SAO     SAO arc cos SA a 5  ,  ABCD  SAO  SA arc cos   Vậy c) Tính góc hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) :  Ta có :  MBD    ABCD  BD ; BD   SAC   ; SACBD   ;   SAC    MBD  MO ;       MBD  ,  ABCD    AC , MO COM   ( Vì COM là góc nhọn ) 1 a a OM  SC   2  Trong SOC vuông O có OM là đường trung tuyến nên OC   a a ; MC  SC  2 2   Áp dụng định lí cosin tam giác COM, ta có : CM OM  OC  2OM OC.cos COM 2 a 5 a 2 a 5 a       2 4 OM  OC  CM 2          cos COM      COM arccos 2OM OC a a a 5 2  MBD  ,  ABCD   COM arccos   Vậy Cách : 1 a a OM  SC   CM 2 Trong SOC vuông O có OM là đường trung tuyến nên    COM cân M  COM MCO  SAO arccos     Mặc khác, MCO SAO ( Vì SAC cân S)  COM SAO Theo câu b,  MBD  ,  ABCD   COM arccos   Từ đó suy Nhận xét : Trong việc xác định góc hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) ta có thể dùng cách đã nói bài tập Cách này không đơn giản vì tìm điểm thuộc BD để từ đó vẽ (ABCD) và (MBD) hai đường thẳng vuông góc với BD điểm đó là khó Thực chất, người ta thường dùng cách để từ đó trình bày cách cho đơn giản d) Tính góc hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) : SAB  ABCD  AB     Ta có :  ; Gọi E, F là trung điểm AB và CD SO   ABCD   AB   SEF   AB  EF ; AB  SO (do ) SEFABCD   ;   SEF    SAB  SE ;      , EF SEF    SAB  ,  ABCD   SE  ( Vì SEF là góc nhọn ) 2 a 5 a 2 5a 2 a a SO  SC  OC          2 4      SOC vuông O nên 2 a SO   tan SEF     SEF 600 a OE  Trong SEO vuông O, ta có :  600 SAB  ,  ABCD  SEF   Vậy Bài Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) Giải a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) AA '/ /  BCC ' B ' Vì AA '/ / BB ' nên  d  AA ',  BB ' C ' C   d  A,  BCC ' B '  Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên BC Từ H, vẽ đường thẳng song song với AA’ cắt B’C’ H’ AA '   ABC   HH '   ABC   HH '  AH Do AA '/ / HH ' ,  AH  BC  AH   BCC ' B '  AH  HH '  Ta có : H  d  A,  BCC ' B '   AH 2 2  ABC vuông A nên AC  BC  AB  4a  3a a  ABC vuông A có AH là đường cao nên 1 1 3a a       AH   AH  2 2 2 AH AC AB a 3a 3a  d  AA ',  BB ' C ' C    AH  a b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) AA '  ABC  AB   A ' ACC '  AB  A ' C   ) ; AB  AC (gt)  AB  AA ' (do Ta có : A’A = AC = a nên A’ACC’ là hình vuông Gọi O là tâm hình vuông A’ACC’ A ' C  AC '   A ' C   ABC '  A ' C   A ' BC    ABC '    A ' BC  A ' C  AB   Do mà  A ' BC  ,  ABC ' OB  Hai mặt phẳng có giao tuyến là  ABC ' kẻ AK  OB  K  OB   d  A,  A ' BC    AK Trong  AK   A ' BC  K  AOB vuông A có AK là đường cao nên 1 1 1 1 3a a          AK   AK  2 2 2 2 AK AB AO 3a  a  3a a 3a 3a 7     Vậy d  A,  A ' BC    AK  a Cách : BC  AH , BC  AA '  BC  AA ' H  A ' BC    AA ' H      Vì Hai mặt phẳng này cắt theo giao tuyến A’H  Trong mặt phẳng (AA’H), kẻ  d  A,  A ' BC    AI AI  A ' H  I  A ' H   AI   A ' BC  I  AA ' H vuông A có AI là đường cao nên 1 1 a         AI  2 3a AI AH AA ' a 3a a 3a  d  A,  A ' BC    AI  a Nhận xét : Hai điểm I và K hiển nhiên trùng c) Chứng minh AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC)  Chứng minh AB  (ACCA) : AA '   ABC   AB   ACC ' A '  Ta có : AB  AC , AB  AA ' (do )  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) : Theo chứng minh trên, Ta có : A ' C   ABC ' A ' C a  A ' O  O nên d  A ',  ABC '    A ' O a a  d  A ',  ABC '   2 Nhận xét : Để tính khoảng cách từ M đến  chiếu M lên   thì ta làm sau :  Tìm mp    qua M và        ;  Tìm giao tuyến  Kẻ    , đề bài cho không xác định trực tiếp hình         ; MH    H     MH      d  M ,     MH