c Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn EF khi N chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC là a.... Đáp án tóm tắt..[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán TRƯỜNG THCS SƠN TÂY ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: 1 1 2009.2012 2012.2015 1) Tính A = 2.5 5.8 8.11 2) Cho các số tự nhiên a, b; thỏa mãn: a2 + b2 chia hết cho Chứng minh rằng: tích ab chia hết cho Câu 2: 1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: ab c b c a c a b c a b Hãy tính b a c B c b a giá trị biểu thức 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua x2 x2 y y x xy y P : x x xy xy y xy x y Câu : Cho biểu thức a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị P với x 1 và y 1 5x 4y xy 2 60y 80x Câu 4: a) Giải hệ phương trình xy b) Giải phương trình 9x 15x 3x 3x 0 Câu 5: Cho tam giác ABC có AH là đường cao, N là điểm bất kì trên cạnh BC (N khác B, C) Từ N vẽ NE vuông góc AB, NF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC) a) Chứng minh: A, E, N, H, F cùng nằm trên đường tròn b) Gọi O là trung điểm AN Chứng minh các tam giác OEH và OFH là tam giác đều, từ đó suy OH EF c) Tìm giá trị nhỏ đoạn EF N chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh tam giác ABC là a (2) HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC : 2015 – 2016 Bài 4,0 đ Đáp án tóm tắt Thang điểm 1 1 2009.2012 2012.2015 1., A = 2.5 5.8 8.11 3 3 ( ) 2012.2015 = 2.5 5.8 8.11 1 1 1 1 1 1 671 ( ) ( ) 2012 2015 = 2015 = 4030 = 5 8 11 2,0 đ Đặt a = 3k+ r (r = 0; 1; 2); a2 = 9k2+6k + r2 suy a2 chia cho dư tương tự b2 chia cho dư Nếu a không chia hết cho 3, suy a2 chia cho dư Do a2 + b2 chia hết cho suy b2 chia cho dư (loại) Vậy a chia hết cho 3, từ a2+b2 chia hết cho suy b chia hết cho 3; nên ab chia hết cho (đpcm) 5,0 đ +)Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: 2,0 đ 2,5 đ a b c b c a c a b a b c b c a c a b c a b = a b c =1 mà a b c b c a ca b 1 1 1 c a b = => a b b c c a c a b =2 b a c b a c a b c )( )( ) ( a c b = Vậy B = a c b +)Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b c a b = a b c =0 mà a b c b c a ca b 1 1 1 c a b = 1=> a b bc c a c a b =1 b a c b a c a b c )( )( ) ( a c b =1 Vậy B = a c b 2) Gọi tổng số gói tăm lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x a ;b ;c 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau đó chia cho lớp là : a’, b’, c’, ta có: 2,5 đ (1) (3) a , b, c , a , b , c , x 4x 5x x 6x a, ; b, ; c, 15 15 15 15 15 (2) So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều 6x 7x x 4 4 x 360 90 lúc đầu Vậy : c’ – c = hay 15 18 Vậy số gói tăm lớp đã mua là 360 gói 3,0 đ y x xy P a) ĐKXĐ: x 0; y 0; x y ; Rút gọn ta : y y 1 x 1 y x 1 x b) ; 1,5 đ Với x = (loại) 1,5 đ Thay x = 1; y = ta P = 3; P Thay x = 1; y = thì 4,0 đ Giải: a) ĐKXĐ: x, y Hệ phương trình tương đương 4 x y 2 60 80 y x 64 80 x y 32 60 80 y x 2,0 đ 124 31 x 4 x 80 60 y 5 x y (TMĐK) x 4 Vậy nghiệm hệ phương trình y 5 b) Phương trình tương đương 9x 6x 9x 6x 9x 6x 3x 0 3x 3x 3x 3x 0 2,0 đ pt xảy : 3x – = 3x 3x 3x 0 3x – = x = 3 3x 3x 3x 0 4x x 3x 3x 4x x 1 x x x 3 41 2 ;3 Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 1 4,0 đ a) Ta có: NE AB , NF AC , AH BC Nên: E, H, F cùng nhìn đoạn AN góc vuông Vậy A, E, N, H, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AN b) Xét đường tròn đường kính AN, tâm O Ta có OE = OH = OF nên EOH , HOF cân O 1,0 đ (4) s®EOH 2.s®EAH 60 và s®HOF 2s®HOF 60 Suy EOH , HOF OE EH HF FO Do đó tứ giác OEHF là hình thoi OH EF 2,0 đ c) Gọi I là giao điểm OH và EF EF 2 EI 2 Mà AN AH 3 OE OA AN 2 ( OA = 1/ AN) a ( Đường xiên và hình chiếu ) a 3a N trùng H Vậy giá trị nhỏ EF là : 2 1,0 đ (5)