Câu III: 3 điểm 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mpABCD Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD SC AMN.. Gọi K[r]
(1)KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2013-2014 LẦN THỨ I ĐỀ THI MÔN: TOÁN; KHỐI:D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 01 trang) Câu I:(3 điểm) Cho hàm số y x m( x 1) có đồ thị là (Cm); ( m là tham số) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để tiếp tuyến với (Cm) giao điểm nó với trục tung, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Câu II:(3 điểm) 5 sin x tan x 2 cos x Giải phương trình: Giải phương trình: x3 2 x Giải hệ phương trình: x y xy 3 x y 4 Câu III: (3 điểm) 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) Gọi M và N là hình chiếu điểm A trên các đường thẳng SB và SD SC AMN a.Chứng minh MN BD và b Gọi K là giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh (AB): x y 0 và đường chéo (BD): x y 14 0 ,đường chéo AC qua điểm M(2 ; 1) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Câu V : (1 điểm) Cho các số thực a , b , c ∈[1 ; 2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a+b ¿ ¿ ¿ P=¿ ………………… … ……………… Hết…………………………………… (Cán coi thi không giải thích gì thêm) (2) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2013-2014 LẦN THỨ I ĐỀ THI MÔN: TOÁN; KHỐI: D (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang) Câu I ý Nội Dung Điểm Khảo sát hàm số (1 điểm) y x m( x 1) (Cm) m = : y x 3x + TXĐ: D = R + Sự biến thiên: (C3) 0, - CBT: y ' 3 x 3, y ' 0 x 1 Xét dấu y’: 1 x y’ + 0 + => Hàm số đồng biến trên : ( ; ) và (1; ), nghịch biến trên ( ;1) -Cực trị: CĐ( ;0) , CT(1; 4) lim y , lim y - Giới hạn: x Bảng biến thiên : x y’ 0, x 1 + + 0,25 y 4 (3) +Đồ thị : Tâm đối xứng (0 ;-2) Cho x = -2 => y = - Cho x = => y = 2 Ta có : y ' 3x m Giao điểm (Cm) với trục tung là: A (0;1 m) Pttt (Cm) A là : y mx 1 m Để cắt hai trục tọa độ thì m 0 đó cắt hai trục các điểm: 1 m ;0 (0;1 m ) m A và B Diện tích OAB là : S OAB OA.OB (1 m) 8 2m Giải ta : m 9 4 ; m 4 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1 Đk: x k 0,25 5 sin x tan x 2 cot x tan x 2 2 sin x cos x sin x 1 x k x k KL: pt đã cho có nghiệm , k Z x3 2 x ĐK: x Pt x x 2 x x x x 37 0,25 0,25 0,25 x x x 2 x x 1) 2( x 1 x 0,25 x x 0 x x 0 0,25 0,25 0,25 (thỏa mãn) KL:…… (4) x y xy 3 x y 4 (1) (2) ĐK: x 1; y 1; x y 0 0,25 Pt (2) x y x y xy 14 Đặt S x y; P xy Hpt trở thành: S 6 P 9 14 S 3 S P 3 P S 6S 4S P S 28S 196 S S P 14 (TM ) 0,25 0,25 Giải : x y 3 KL:… 0,25 III S 1.a N K M 0,25 D A O B C CMR: MN BD +) Ta có: SAB SAD AM AN (2 đường cao tương ứng) BM ND (do MAB NAD ) 1.b SB SD MN BD BM DN SBD +) Xét có SC mp AMN * CMR: BC AB gt BC SA SA ABCD BC SAB BC MA +) Vì MA BC MA SB gt MA SC +) Có (1đường thẳng với cạnh tam giác thì với cạnh còn lại) CM tương tự ta có: NA SC SC mp AMN Vậy BD AC BD SAC BD SA Có Mặt khác: BD // MN MN ( SAC ) MN AK 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (5) Do B là giao AB và BD nên toạ độ B là nghiệm hệ: 21 x x y 0 21 13 B ; 5 x y 14 0 y 13 Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc AC và AB góc n (1; 2); nBD (1; 7); nAC ( a; b) AB và BD, kí hiệu AB (với a2+ b2 > 0) là VTPT các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: cos nAB , nBD cos nAC , nAB a b 2 2 a 2b a b 7a 8ab b 0 a b - Với a = - b Chọn a = b = - Khi đó Phương trình AC: x – y – = 0, A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm hệ: x y 0 x 3 A(3; 2) x y 0 y 2 Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm hệ: x x y 0 I 7;5 2 x y 14 0 y 5 14 12 C 4;3 ; D ; 5 Do I là trung điểm AC và BD nên toạ độ - Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) 0,25 0,25 0,25 0,25 IV P viết lại dạng tương đương là : 0,25 a+b ¿ ¿ a+b ¿ ¿ a+b ¿ ¿ c + c(a+b)+¿ ¿ ¿ P=¿ Do a , b , c ∈[1 ; 2] nên a+b ≠ , nên chia tử và mẫu M cho a+b ¿ ta ¿ 0,25 được: M= ( a+bc ) +4 ( a+bc )+1 ⇔t ∈ = t +4 t +1 với t c a b Với a , b , c ∈[1 ; 2] ;1 [ ] (6) Xét hàm số f (t)= trên t + t+ t∈ ;1 [ ] [ ] [ ] ⇒ f ❑ (t) nghịch biến trên t ≤ 1⇒ f (t )≥ f (1)= Vậy Min P ¿ ;1 t + t+1 ¿2 ¿ Ta có < 0, ∀ −2(t +2) ❑ f ( t)= ¿ ;1 .Do đó 0,25 ∀ Đẳng thức xảy t=1 ⇔(a ; b ; c)=(1 ; 1; 2) (a ; b ; c )=(1; ; 2) 0,25 (7)