Sở GD – ĐT Hà Tĩnh ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012 Trường THPT Nghèn, Can Lộc Môn: Toán; Khối: D GV. Đinh Văn Trường Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số x y x 1 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm I đến tiếp tuyến bằng 2 . Câu II (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 x 2 3 cos x 2sin 2 4 1 2cos x 1 . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 y 3 2 x y 1 x x x y 2 4 y 3. Giải phương trình: 2 3 3 log x 1 log 2x 1 2 Câu III (2,0 điểm) 1. Tìm nguyên hàm: 2 I ln x 1 x dx . 2. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y T 1 x 1 y Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a. Gọi SH là đường cao của hình chóp và I là trung điểm của SH. Cho biết khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SBC) bằng a 39 26 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Câu V (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết A 3;6 , trực tâm H 2;1 và trọng tâm 4 7 G ; 3 3 . Xác định tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:x y 1 2 0 và điểm A 1;1 . Viết phương trình đường tròn C đi qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng d. Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………… ………………………… ; Số báo danh: …………… …… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm I (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Tập xác định: D R \ 1 . Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 1 y' 0 x 1 , x D . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . 0,25 - Giới hạn và tiệm cận: x x lim y lim y 1 ; tiệm cận ngang : y 1 . x 1 lim y , x 1 lim y ; tiệm cận đứng : x 1 . 0,25 - Bảng biến thiên: 0,25 Đồ thị: 0,25 2. (1,0 điểm) Giả sử điểm a M a; (C) a 1 . Phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị (C) là: 2 1 a y x a a 1 a 1 2 1 a x a y 0 a 1 a 1 0,25 Tọa độ điểm I 1;1 . Khoảng cách từ điểm I đến là: 4 2 a 1 d I, 1 a 1 0,25 Theo giả thiết ta có 4 a 0 2 a 1 2 a 2 1 a 1 0,25 Với a 0 , ta có tiếp tuyến : 1 : y x . Với a 2 , ta có tiếp tuyến : 2 : y x 4 . Vậy có hai tiếp tuyến : 1 : y x và 2 : y x 4 . 0,25 1 1 x -1 y’ y + + 3 1 - 1 - 3 y - 3 - 1 1 3 x Câu Đáp án Điểm II (3,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Điều kiện : 1 cosx x k2 2 3 (*) Phương trình đã cho tương đương với : 2 3 cosx 1 cos x 2cosx 1 2 0,25 2 3 cosx sinx-1 2cos x 1 sinx 3 cos x 0 0,25 t anx 3 x k 3 0,25 Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra nghiệm : 2 x k2 3 . 0,25 2. (2,0 điểm) Điều kiện : 2 2 x,y 0 x y 1 (*) Đặt 2 2 u x y x v y . Hệ đã cho trở thành : 1 3 1 3 2 2 u 1 v 2v 3 v u 2v 4 u 2v 4 0,25 2 v 1 4v 13v 9 0 u 2 u 2v 4 hoặc 9 v 4 1 u 2 0,25 Vì 0 u 1 nên 1 u 2 không thỏa mãn. 0,25 Với 2 2 2 x 1 y x v 1 y 1 y u 2 x 1 x 1 x y 2 hoặc y 1 x 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x;y 1; 1 hoặc x;y 1;1 . 0,25 3. (1,0 điểm) Điều kiện : 1 x 1 2 (*) Phương trình đã cho tương đương : 3 3 log x 1 log 2x 1 1 0,25 3 log x 1 2x 1 1 x 1 2x 1 3 . Xét hai trường hợp : 0,25 + 2 x 1 x 1 x 2 x 1 2x 1 3 2x 3x 2 0 0,25 + 2 1 1 x 1 x 1 2 2 1 x 2x 1 3 2x 3x 4 0 . Phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x 2 . 0,25 Câu Đáp án Điểm III (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Đặt 2 2 1 du dx u ln x 1 x 1 x dv dx v x 0,25 2 2 x I xln x 1 x dx 1 x 0,25 = 2 2 2 d 1 x xln x 1 x 2 1 x 0,25 = 2 2 xln x 1 x 1 x C 0,25 2. (1,0 điểm) Do x, y 0 và x y 1 nên 0 x, y 1 . Áp dụng BĐT Côsi, ta có : 3 2x 1 3 2x 1 x 2. 1 x 2 2 4 2 2 và 3 2y 1 y 2 2 0,25 Do đó, x y 3 4xy T 2 2 2 2 3 2x 3 2y 3 4xy 0,25 Đặt t xy . Ta có : 2 x y 1 0 t xy 4 4 . Do đó, 3 4t T 2 2. 3 4t Xét hàm số : 3 4t f t 3 4t , với 1 0 t 4 0,25 2 24 f ' t 0, 3 4t 1 t 0; 4 , suy ra 1 0; 4 1 1 minf t f 4 2 Vậy, minT 2 ; khi và chỉ khi 1 x y 2 . 0,25 IV (1,0 điểm) J H A D B C S I K Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ HJ BC , J BC . Vì BC SH nên BC SHJ . Trong mặt phẳng (SHJ), kẻ IK SJ . Khi đó, IK SBC . Suy ra, a 39 IK 26 . 0,25 Ta có : a HJ 2 và hai tam giác vuông SIK , SJH đồng dạng nên SI IK 39 13SI SJ SJ JH 13 39 0,25 Đặt SH 2x , x 0 13x SJ 39 . Mặt khác, 2 2 2 2 2 2 13x a SJ SH HJ 4x 3 4 0,25 a 3 x 2 . Do đó, SH 2x a 3 . Diện tích đáy : 2 ABCD S a . Thể tích : 3 S.ABCD ABCD 1 a 3 V SH.S 3 3 . 0,25 Câu Đáp án Điểm V (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) G I H A B C Gọi I là trung điểm của BC và giả sử I a;b . Ta có : AG 2GI 13 4 7 2 a a 3 3 2 1 11 7 b 2 b 2 3 3 . Suy ra 7 1 I ; 2 2 0,25 Ta có, AH 5; 5 5 1; 1 . Đường thẳng BC đi qua I và có VTPT là n 1; 1 Phương trình đường thẳng BC : x y 3 0 . 0,25 Giả sử B t; t 3 BC C 7 t;4 t . Ta có AB t 3;t 9 và CH t 5;t 3 Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AB.CH 0 0,25 t 1 t 3 t 5 t 9 t 3 0 t 6 Vậy tọa độ các điểm B, C là : B 1; 2 ,C 6;3 hoặc C 1; 2 ,B 6;3 . 0,25 2. (1,0 điểm) Phương trình của đường tròn (C) là : 2 2 x y 2ax 2by c 0 , với 2 2 a b c 0 Vì (C) đi qua gốc tọa độ O nên c 0 . 0,25 Đường tròn (C) đi qua điểm A 1;1 nên 1 a b 0 ( 1). 0,25 Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là I a; b và bán kính 2 2 R a b Vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d nên 2 2 a b 1 2 d I,d R a b 2 0,25 Sử dụng (1) 2 2 a b 1 (2). Ta có hệ phương trình 2 2 1 a b 0 a b 1 a 0 b 1 hoặc a 1 b 0 Vậy có hai đường tròn: 2 2 1 C : x y 2y 0 hoặc 2 2 2 C :x y 2x 0 . 0,25 Chúc các em thành công ! . Sở GD – ĐT Hà Tĩnh ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2 012 Trường THPT Nghèn, Can Lộc Môn: Toán; Khối: D GV. Đinh Văn Trường Thời gian làm bài: 18 0 phút, không kể thời gian phát đề Câu I. đương : 3 3 log x 1 log 2x 1 1 0,25 3 log x 1 2x 1 1 x 1 2x 1 3 . Xét hai trường hợp : 0,25 + 2 x 1 x 1 x 2 x 1 2x 1 3 2x 3x 2 0 . 1. (1, 0 điểm) Tập xác định: D R 1 . Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: 2 1 y' 0 x 1 , x D . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;